Fiche de mathématiques

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Diplôme National du Brevet
Nouvelle Calédonie - Mars 2008
Session Remplacement 2007

L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.

I - Activités numériques	12 points
II - Activités géométriques	12 points
III - Problème	12 points
Qualité de rédaction et de présentation	4 points

Durée de l'épreuve : 2 heures

12 points

Activités numériques

exercice 1

Dans chaque cas, indiquer les étapes du calcul.

1. Calculer A et B en donnant le résultat sous la forme d'une fraction simplifiée :

A $= \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4}$

B $= \dfrac{5}{6}\div \dfrac{5}{9}$

2. Calculer : C $= 10 - [- 2 \times (2 -3)+5]$

exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque ligne du tableau, quatre réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse.
Indiquer sur votre copie, le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte.

		Réponses proposées
1.	Quelle est l'expression développée de : $2x(2x - 3)$ ?	$2x^2 - 6x$	$4x^2 - 3$	$4x^2 - 6x$	$10x^2$
2.	>Quelle est l'expression factorisé de : $x^2 - 100$ ?	$(x - 10)^2$	$(x - 10)(x + 10)$	$(x - 50)^2$	$(x - 50) (x + 50)$
3.	Quelles sont les solutions de : $(x - 4)(2x + 7) = 0$ ?	4 et $- \dfrac{7}{2}$	4 et $\dfrac{7}{2}$	4 et $- \dfrac{2}{7}$	4 et $\dfrac{2}{7}$
4.	Quelle est la valeur exacte de : $\sqrt{4 + 16}$ ?	10	6	$2\sqrt{5}$	4,47
5.	Le prix d'un article coûtant 1 200 F baisse de 5 % ; quel est son nouveau prix ?	60 F	1 260 F	1 195 F	1 140 F

exercice 3

Dans cet exercice, tout début d'explication, de démarche sera pris en compte.

Voici les distances (en km) qui séparent le soleil de trois planètes du système solaire :

Vénus : $105 \times 10^6$

Mars : $2 250 \times 10^5$

Terre : $1,5 \times 10^8$

Parmi ces trois planètes, quelle est celle qui est la plus éloignée du soleil ? Justifier.

12 points

Activités géométriques

exercice 1

Soit un triangle ABC rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 8 cm

1. a) Compléter la figure sur la feuille annexe fournie avec le sujet.
    b) Montrer que BC = 10 cm.

2. a) Placer le point E sur le segment [AB] tel que BE = 1,5 cm.
Placer le point F sur le segment [BC] tel que BF = 2,5 cm.
    b) Montrer que les droites (AC) et (EF) sont parallèles.
    c) Montrer que EF = 2 cm.

3. a) Placer le point B' symétrique de B par rapport à A sur la figure de l'annexe.
    b) Montrer que le triangle BB'C est isocèle en C.

ANNEXE

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2008 - Session de remplacement - troisième : image 3

À RENDRE AVEC LA COPIE

exercice 2

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2008 - Session de remplacement - troisième : image 1

Un verre a une partie supérieure en forme de cône de révolution de sommet S, de hauteur [OS] telle que OS = 9 cm et de rayon [OA] tel que OA = 4 cm.

1. Montrer que le volume de ce verre, en cm³, est égal à $48\pi$ .

2. Avec un litre d'eau, combien de fois peut-on remplir entièrement ce verre ?

Formulaire : 1 litre = 1 dm³ = 1 000 cm³
Le volume d'un cône de hauteur $h$ et de rayon $R$ est : V $= \dfrac{1}{3} \times \pi \times R^2 \times h$

12 points

Problème (non repris sur cette fiche )

Correction

Activités numériques

exercice 1

1. $A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{4}=\dfrac{2+3}{4}=\dfrac{5}{4}$
$B=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{9}{5}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$

2. $C=10-[-2\times (2-3)+5]=10-[-2\times (-1)+5]=10-(2+5)=10-7=3$

exercice 2

1. L'expression développée de $(2x)(2x-3)$ est $4x^2-6x$ .

2. L'expression factorisée de $x^2-100$ est $(x-10)(x+10)$ .

3. Les solutions de l'équation $(x-4)(2x+7)=0$ sont $4$ et $-\dfrac{7}{2}$ .

4. La valeur exacte de $\sqrt{4+16}$ est $2\sqrt{5}$ .

5. Le nouveau prix de l'article est : 1 140 F.

exercice 3

Vénus se trouve à $105\times 10^6=1,05\times 10^8$ km du Soleil ;
Mars se trouve à $2250\times 10^5=2,25\times 10^8$ km du Soleil ;
et la Terre est à $1,5\times 10^8$ km du Soleil.
Puisque $2,25>1,5>1,05$ , on a $2,25\times 10^8>1,5\times 10^8>1,05\times 10^8$ , donc c'est Mars qui est la plus éloignée du Soleil parmi ces trois planètes.

Activités géométriques

exercice 1

Diplôme national du brevet - Nouvelle Calédonie - Mars 2008 - Session de remplacement - troisième : image 5

1. a) voir la figure

1. b) Le triangle ABC est rectangle en A ; d'après le théorème de Pythagore, on a : $\text{BC}^2=\text{AB}^2+\text{AC}^2=36+64=100$ , donc $\text{BC}=10$ .

2. a) voir la figure

2. b) Les points B, F, C d'une part, et B, E, A d'autre part, sont alignés dans cet ordre. De plus, $\dfrac{\text{BE}}{\text{BA}}=\dfrac{1,5}{6}=0,25$ , et $\dfrac{\text{BF}}{\text{BC}}=\dfrac{2,5}{10}=0,25$ : ainsi, $\dfrac{\text{BF}}{\text{BC}}=\dfrac{\text{BE}}{\text{BA}}$ . D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (EF) sont parallèles.

2. c) (AC) et (EF) étant parallèles, on a : $\dfrac{\text{EF}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{BF}}{\text{BC}}=\dfrac{1}{4}$ , d'où $\text{EF}=\dfrac{1}{4}\text{AC}=\dfrac{1}{4}\times 8=2$ .

3. a) voir la figure

3. b) Dans le triangle BB'C, [CA] est à la fois la hauteur issue de C et la médiane issue de C (en effet AB'=AB puisque B' est le symétrique de B par rapport à A). Ce triangle est donc isocèle en C.

exercice 2

1. Le volume du verre vaut $\dfrac{1}{3}\pi\times \text{OA}^2\times \text{OS}=\dfrac{1}{3}\pi\times 16\times 9=48\pi$ cm³.

2. 1 litre = 1000 cm³. Or $1000=6\times 48\pi+40$ : avec un litre, on peut donc remplir complètement le verre 6 fois (après quoi il restera $\approx$ 95,2 cm³ d'eau dans la bouteille).

Publié par TP / critou le 10-12-2015

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