Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Pondichéry - Session Avril 2009

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L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.

I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points


Durée de l'épreuve : 2 heures
12 points

I - Activités numériques


exercice 1

1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible : A = \dfrac{7}{15} - \dfrac{4}{15} \times \dfrac{5}{8}

2. B = 3\sqrt{2} -  \sqrt{98}
    a) Donner la valeur arrondie au centième de B.
    b) Écrire B sous la forme a\sqrt{2}a est un entier.



exercice 2

1. -2 est-il solution de l'inéquation : 3x + 12 < 4 -  2x ? Justifier.
2. -2 est-il solution de l'équation : (x - 2)(2x + 1)  = 0 ? Justifier.
3. -2 est-il solution de l'équation : x^3 + 8 =  0 ? Justifier.
4. Le couple (-2 ; 1) est-il solution du système \left \lbrace \begin{array}{l c l} 2x + 3y & = & -1 \\ x+5y & = & 3\\ \end{array}\right. ? Justifier.



exercice 3

1. Déterminer le PGCD de 238 et 170 par la méthode de votre choix. Faire apparaître les calculs intermédiaires.
2. En déduire la forme irréductible de la fraction \dfrac{170}{238}.



exercice 4

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. Une seule est exacte.
Chaque réponse exacte rapporte 1 point.
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.
Pour chacune des trois questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.

Énoncé :
Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2009 - troisième : image 1


Numéro Question Réponse A Réponse B Réponse C
1 Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ? \dfrac{2}{3} \dfrac{6}{4} 4
2 Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ? \dfrac{1}{4} \dfrac{1}{6} \dfrac{1}{3}
3 Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ? \dfrac{1}{3} \dfrac{2}{4} \dfrac{3}{6}



12 points

II - Activités géométriques


exercice 1

On considère une bougie conique représentée ci-dessous.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2009 - troisième : image 2

(la figure n'est pas aux dimensions réelles.)
Le rayon OA de sa base est 2,5 cm.
La longueur du segment [SA] est 6,5 cm.

1. Sans justifier, donner la nature du triangle SAO et le construire en vraie grandeur.
2. Montrer que la hauteur SO de la bougie est 6 cm.
3. Calculer le volume de cire nécessaire à la fabrication de cette bougie ; on donnera la valeur arrondie au dixième de cm3 ?
4. Calculer l'angle \widehat{\text{ASO}} ; on donnera la valeur arrondie au degré.



exercice 2

On considère un triangle EFG tel que EF = 6 cm, FG = 7,5 cm et GE = 4,5 cm.
1. Construire le triangle EFG.
2. Montrer que le triangle EFG est rectangle et préciser en quel point.
3. Construire le point M milieu de [EF] et construire la droite parallèle à [EG] passant par M ; elle coupe [FG] en N.
4. Montrer que N est le milieu de [FG].


12 points

Problème



Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2009 - troisième : image 3


Les longueurs sont exprimées en centimètres.
TRAP est un trapèze rectangle en A et en P tel que : TP = 3 ; PA = 5 ; AR = 4.
M est un point variable du segment [PA], et on note x la longueur du segment [PM].

1. Dans cette question, on se place dans le cas où x = 1
    a) Faire une figure.
    b) Démontrer que, dans ce cas, le triangle ARM est isocèle en A.
    c) Calculer les aires des triangles PTM et ARM.

2. Dans cette question, on se place dans le cas où x est un nombre inconnu.
    a) Donner les valeurs entre lesquelles x peut varier.
    b) Montrer que l'aire du triangle PTM est 1,5 x et l'aire du triangle ARM est 10 -  2x.

La représentation graphique, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, de la fonction représentant l'aire du triangle ARM en fonction de x est donnée en ci-dessous.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2009 - troisième : image 4
Répondre aux questions suivantes, 3. et 4., en utilisant ce graphique à rendre avec la copie.
Laisser apparents les traits nécessaires.


3.
    a) Pour quelle valeur de x l'aire du triangle ARM est égale à 6 cm2 ?
    b) Lorsque x est égal à 4 cm, quelle est l'aire du triangle ARM ?

4. a) Sur ce graphique donné ci-dessus à rendre avec la copie, tracer la droite représentant la fonction : x \mapsto 1,5x.
    b) Estimer graphiquement, à un millimètre près, la valeur de x pour laquelle les triangles PTM et ARM ont la même aire. Faire apparaître les traits de construction nécessaires.
    c) Montrer par le calcul que la valeur exacte de x pour laquelle les deux aires sont égales, est \dfrac{100}{35}.



Activités numériques

exercice 1

1. A=\dfrac{7}{15}-\dfrac{4}{15}\times\dfrac{5}{8}=\dfrac{7}{15}-\dfrac{4\times 5}{15\times 4\times 2}=\dfrac{14}{30}-\dfrac{5}{30}=\dfrac{9}{30}=\dfrac{3}{10}.

2. a) La valeur arrondie au centième de B est -5,66.

2. b) B=3\sqrt{2}-\sqrt{98}=3\sqrt{2}-\sqrt{49\times 2}=3\sqrt{2}-7\sqrt{2}=-4\sqrt{2}.




exercice 2

1. Oui : 3\times (-2)+12=6, 4-2\times (-2)=8, et 6 est bien strictement inférieur à 8.

2. Non : les solutions de (x-2)(2x+1)=0 sont 2 et -\dfrac{1}{2}.

3. Oui : (-2)^3+8=-8+8=0.

4. Oui : en effet, on a bien 2\times (-2)+3\times 1=-4+3=-1 et (-2)+5\times 1=3.




exercice 3

1. Déterminons le PGCD de 238 et 170 par l'algorithme d'Euclide :
238=170\times 1+68
170=68\times 2+34
68=34\times 2+0
Le PGCD de 238 et 170 est le dernier reste non nul : c'est 34.

2. \dfrac{170}{238}=\dfrac{34\times 5}{34\times 7}=\dfrac{5}{7}.




exercice 4

1. Réponse A
car : il y a quatre boules blanches parmi les six au total, donc la probabilité de tirer une boule blanche est \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}.

2. Réponse C
car : il y a deux boules portant le numéro 2 parmi les six au total, donc la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 est \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.

3. Réponse A
car : il y a deux boules blanches numérotées 1 parmi les six au total, donc la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 est \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.


Activités géométriques

exercice 1

1. Le triangle SAO est rectangle en O. En vraie grandeur :
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2009 - troisième : image 5


2. Comme SAO est rectangle en O, on a, d'après le théorème de Pythagore : \text{SO}^2+\text{OA}^2=\text{SA}^2, donc \text{SO}^2=\text{SA}^2-\text{OA}^2=6,5^2-2,5^2=36, et finalement \text{SO}=6 cm.

3. Le volume du cône est : \dfrac{1}{3}\pi \times \text{OA}^2 \times \text{SO} = \dfrac{1}{3}\pi \times 2,5^2 \times 6 \approx 39,3 cm3 (à 0,1 cm3 près). Il faudra environ 39,3 cm3 de cire pour fabriquer cette bougie.

4. On utilise la trigonométrie dans le triangle rectangle ASO : \cos(\widehat{ASO})=\dfrac{\text{SO}}{\text{SA}}=\dfrac{6}{6,5}, d'où \widehat{ASO}=\cos^{-1}(\dfrac{6}{6,5})\approx 23° (à un degré près).




exercice 2

1.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2009 - troisième : image 6


2. On a \text{EF}^2+\text{EG}^2=6^2+4,5^2=56,25 et \text{FG}^2=7,5^2=56,25 : ainsi, \text{FG}^2=\text{EF}^2+\text{EG}^2. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E.

3. voir la figure.

4. La droite (MN) passe par le milieu M du côté [EF] du triangle EFG, et est parallèle au côté [EG]. D'après le théorème des milieux, elle passe par le milieu de [FG] : N est le milieu de [FG].


Problème

1. a)
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2009 - troisième : image 7


1. b) Si x=1, alors \text{AM}=5-1=4 ; et comme \text{AR}=4 aussi, le triangle AMR est isocèle en A.

1. c)
L'aire du triangle PTM vaut \dfrac{\text{PT}\times\text{PM}}{2}=\dfrac{3\times 1}{2}=1,5 cm2.
L'aire du triangle ARM vaut \dfrac{\text{AM}\times\text{AR}}{2}=\dfrac{4\times 4}{2}=8 cm2.

2. a) Puisque le segment [PA] mesure 5 cm, x peut varier entre 0 et 5.

2. b)
L'aire du triangle PTM est \dfrac{\text{PT}\times\text{PM}}{2}=\dfrac{3x}{2}=1,5x.
L'aire du triangle ARM est \dfrac{\text{AM}\times\text{AR}}{2}=\dfrac{4(5-x)}{2}=2(5-x)=10-2x.

3. a) L'aire du triangle ARM vaut 6 cm2 pour x=2 cm.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2009 - troisième : image 8


3. b) Lorsque x est égal à 4 cm, l'aire du triangle ARM vaut 2 cm2.

4. a) voir le graphique.

4. b) On lit sur le graphique que les triangles PTM et ARM ont la même aire pour x\approx 2,9 cm.

4. c) On cherche x tel que 1,5x=10-2x. En résolvant cette équation, on trouve successivement :  3,5x=10, puis x=\dfrac{10}{3,5}=\dfrac{100}{35}.
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