Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Métropole - La Réunion - Mayotte - Session 2009

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L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.

I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points


Durée de l'épreuve : 2 heures
12 points

I - Activités numériques

exercice 1

1. Calculer A
\text{A} = \dfrac{8 + 3 \times 4}{1 + 2 \times 1,5}


2. Pour calculer A, un élève a tapé sur sa calculatrice la succession de touches ci-dessous :
\fbox{8}\quad\fbox{+}\quad\fbox{3}\quad\fbox{\times}\quad\fbox{4}\quad\fbox{\div}\quad\fbox{1}\quad\fbox{+}\quad\fbox{2}\quad\fbox{\times}\quad\fbox{1}\quad\fbox{.}\quad\fbox{5}\quad\fbox{=}

Expliquer pourquoi il n'obtient pas le bon résultat.



exercice 2

Trois personnes, Aline, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes.
Chacune tire au hasard une bille dans son sac.

1. Le contenu des sacs est le suivant :
 \begin{array}{ccccc} \text{Sac d'Aline : } & \hspace{20pt} & \text{Sac de Bertrand : } & \hspace{20pt} & \text{Sac de Claude : } \\  &&&& \\ \fbox{\begin{array}{c} \hspace{1pt} \\ \text{5 billes rouges} \\ \hspace{1pt} \end{array}} && \fbox{\begin{array}{c}\text{10 billes rouges}\\\text{et}\\\text{30 billes noires}\end{array}}} && \fbox{\begin{array}{c}\text{100 billes rouges}\\\text{et}\\\text{3 billes noires}\end{array}}} \\ \end{array}

Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ?

2. On souhaite qu'Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge.
Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d'Aline ?



exercice 3

On donne ci-dessous les représentations graphiques de trois fonctions. Ces représentations sont nommées \mathscr{C}_1, \mathscr{C}_2 et \mathscr{C}_3.
L'une d'entre elles est la représentation graphique d'une fonction linéaire.
Une autre est la représentation graphique de la fonction f telle que f : x \mapsto -0,4x + 3.

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2009 - troisième : image 1


1. Lire graphiquement les coordonnées du point B.
2. Par lecture graphique, déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe \mathscr{C}_3 avec l'axe des abscisses.
3. Laquelle de ces représentations est celle de la fonction linéaire ? Justifier.
4. Laquelle de ces représentations est celle de la fonction f ? Justifier.
5. Quel est l'antécédent de 1 par la fonction f ? Justifier par un calcul.
6. A est le point de coordonnées (4,6 ; 1,2). A appartient-il à \mathscr{C}_2 ? Justifier par un calcul.


12 points

II - Activités géométriques

exercice 1

L'unité de longueur est le centimètre.
ABC est un triangle tel que : AB = 16 cm, AC = 14 cm et BC = 8 cm.

1. a) Tracer en vraie grandeur le triangle ABC sur la copie.
    b) Le triangle ABC est-il rectangle ? Justifier.

2. Le mathématicien Héron d'Alexandrie (1er siècle), a trouvé une formule permettant de calculer l'aire d'un triangle : en notant a, b, c les longueurs des trois côtés et p son périmètre, l'aire \mathcal{A} du triangle est donnée par la formule :
\mathcal{A} = \sqrt{\dfrac{p}{2} \left(\dfrac{p}{2} - a\right) \left(\dfrac{p}{2} - b\right)\left(\dfrac{p}{2} - c\right)}.

Calculer à l'aide de cette formule l'aire du triangle ABC.
Donner le résultat arrondi au cm² près.



exercice 2

Dans cet exercice, on étudie la figure ci-dessous où :
ABC est un triangle isocèle tel que AB = AC = 4 cm.
E est le symétrique de B par rapport à A.
Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2009 - troisième : image 2

Partie 1 :

On se place dans le cas particulier où la mesure de \widehat{\text{ABC}} est 43°.
1. Construire la figure en vraie grandeur.
2. Quelle est la nature du triangle BCE ? Justifier.
3. Prouver que l'angle \widehat{\text{EAC}} mesure 86°.


Partie 2 :

Dans cette partie, on se place dans le cas général où la mesure de \widehat{\text{ABC}} n'est pas donnée.
Jean affirme que pour n'importe quelle valeur de \widehat{\text{ABC}}, on a \widehat{\text{EAC}} = 2\widehat{\text{ABC}}.
Jean a-t-il raison ? Faire apparaître sur la copie la démarche utilisée.


12 points

III - Problème

On considère un triangle ABC tel que : AB = 17,5 cm ; BC = 14 cm ; AC = 10,5cm.

Partie 1

1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C.

2. Soit P un point du segment [BC].
La parallèle à la droite (AC) passant par P coupe le segment [AB] en R.
La parallèle à la droite (BC) passant par R coupe le segment [AC] en S.
Montrer que le quadrilatère PRSC est un rectangle.
Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2009 - troisième : image 3

La figure n'est pas en vraie grandeur


3. Dans cette question, on suppose que le point P est situé à 5 cm du point B.
    a) Calculer la longueur PR.
    b) Calculer l'aire du rectangle PRSC.

Partie 2


On déplace le point P sur le segment [BC] et on souhaite savoir quelle est la position du point P pour laquelle l'aire du rectangle PRSC est maximale.

1. L'utilisation d'un tableur a conduit au tableau de valeurs suivant :
Longueur BP en cm01358101214
Aire de PRSC en cm²09,7524,75 36 180

Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes du tableau.
Justifier par un calcul la valeur trouvée pour BP = 10 cm.

2. Un logiciel a permis d'obtenir la représentation graphique suivante :
Aire du rectangle PRSC en fonction de la longueur BP
Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2009 - troisième : image 4

À l'aide d'une lecture graphique, donner :
    a) Les valeurs de BP pour lesquelles le rectangle PRSC a une aire de 18 cm².
    b) La valeur de BP pour laquelle l'aire du rectangle semble maximale.
    c) Un encadrement à 1cm² près de l'aire maximale du rectangle PRSC.

Partie 3

1. Exprimer PC en fonction de BP.
2. Démontrer que PR est égal à 0,75 × BP.
3. Pour quelles valeurs de BP le rectangle PRSC est-il un carré ?



Activités numériques

exercice 1

1. A=\dfrac{8+3\times 4}{1+2\times1,5}=\dfrac{20}{4}=5.

2. L'élève aurait dû mettre des parenthèses pour indiquer le numérateur et le dénominateur. À cause des priorités opératoires (priorité de la multiplication et de la division sur l'addition), la calculatrice a calculé 8+\dfrac{3\times 4}{1}+(2\times 1,5), et a donné 23 comme résultat.




exercice 2

1. On note R l'événément : "la bille tirée est rouge".
On a : p(R) = \dfrac{\text{nombre de billes rouges}}{\text{nombre total de billes}}.
  Pour Aline : son sac contient 5 billes rouges parmi 5 billes au total, donc p(R) = \dfrac{5}{5} = 1
  Pour Bertrand : son sac contient 10 billes rouges parmi 40 au total, donc : p(R) = \dfrac{10}{40} = \dfrac{1}{4}
  Pour Claude : son sac contient 100 billes rouges parmi 103 au total, donc : p(R) = \dfrac{100}{103}.
On a \dfrac{1}{4} < \dfrac{100}{103} < 1, donc Aline a la plus grande probabilité de tirer une bille rouge dans son sac.

2. Soit x le nombre de billes noires à ajouter dans le sac d'Aline. On veut que la probabilité de tirer une bille rouge soit égale à celle de Bertrand, c'est-à-dire \dfrac{1}{4}.
p(R) = \dfrac{5}{x + 5} = \dfrac{1}{4} ce qui équivaut à 5 \times 4 = 1 \times (x + 5)
Donc : x + 5 = 20, soit x = 15
D'où : il faut ajouter 15 billes noires dans le sac d'Aline pour qu'elle ait la même probabilité que Bertrand de tirer une bille rouge.




exercice 3

1. Le point B a pour coordonnées (-4;4,6).

2. Les points d'intersection de C_3 avec l'axe des abscisses ont pour coordonnées :
(-1;0)
(2;0)
(4;0)
Donc, les abscisses des points d'intersection de la courbe C_3 avec l'axe des abscisses sont : -1 , 2 et 4.

3. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine. La fonction linéaire correspond donc à C_1.

4. La fonction f est une fonction affine, sa représentation graphique est donc une droite : c'est C_2.

5. On résout l'équation f(x)=1. On obtient successivement : -0,4x+3=1, -0,4x=-2, puis x=\dfrac{-2}{-0,4}=5. L'antécédent de 1 par f est 5.

6. On a vu que C_2 est la représentation graphique de f. Or on a f(4,6)=-0,4\times 4,6+3=1,16 : ainsi f(4,6) n'est pas égal à 1,2. Donc A n'appartient pas à C_2.


Activités géométriques

exercice 1

1. a)
Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2009 - troisième : image 5


1. b) On a \text{AB}^2=16^2=256 et \text{AC}^2+\text{BC}^2=14^2+8^2=196+64=260 : le triangle ABC n'est donc pas rectangle.
2. Le périmètre du triangle ABC vaut p=16+14+8=38 cm. Son aire vaut donc \mathcal{A}=\sqrt{19\times (19-16)\times (19-14)\times (19-8)}=\sqrt{19\times 3\times 5\times 11}=\sqrt{3135}\approx 56 cm².




exercice 2

Partie 1

1.
Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte Juin 2009 - troisième : image 6


2. Le centre du cercle circonscrit \text{C} au triangle BCE est le point A, et c'est aussi le milieu du côté [BE] du triangle. Donc BCE est rectangle en C.

3. On sait que \widehat{ABC}=\widehat{ACB}=43° car ABC est isocèle en A. On en déduit que \widehat{BAC}=180-2\times 43=94°, puis que \widehat{EAC}=180-\widehat{BAC}=86°.

Partie 2

Jean a raison : puisque ABC est isocèle, on a \widehat{ACB}=\widehat{ABC}, d'où \widehat{BAC}=180-2\widehat{ABC}, puis finalement \widehat{EAC}=180-\widehat{BAC}=180-(180-2\widehat{ABC})=2\widehat{ABC}.


Problème

Partie 1

1. On a \text{AB}^2=17,5^2=306,25 et \text{AC}^2+\text{BC}^2=10,5^2+14^2=110,25+196=306,25. Ainsi, \text{AB}^2=\text{AC}^2+\text{BC}^2 ; d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.

2. PRSC est un parallélogramme (par construction) qui a un angle droit (l'angle \widehat{PCS}) : c'est donc un rectangle.

3. a) Les droites (PR) et (AC) sont parallèles, on peut donc appliquer le théorème de Thalès : \dfrac{\text{BP}}{\text{BC}}=\dfrac{\text{PR}}{\text{AC}}. On en déduit \text{PR}=\dfrac{\text{AC}\times\text{BP}}{\text{BC}}=\dfrac{10,5\times 5}{14}=3,75.

3. b) L'aire du rectangle PRSC vaut \text{PR}\times\text{PC}=3,75\times 9=33,75 cm².

Partie 2

1.
Lorsque \text{BP}=5, on vient de montrer que l'aire de PRSC vaut 33,75 cm².
Lorsque \text{BP}=10, on a \text{PC}=4 ; d'après le théorème de Thalès, \text{PR}=\dfrac{\text{AC}\times\text{BP}}{\text{BC}}=\dfrac{10,5\times 10}{14}=7,5, et l'aire de PRSC vaut 7,5\times 4=30 cm².

2. a) L'aire de PRSC vaut 18 cm² pour \text{BP}=2 et pour \text{BP}=12.

2. b) L'aire du rectangle semble être maximale pour \text{BP}=7.

2. c) L'aire maximale semble être comprise entre 36 et 37 cm².

Partie 3

1. On a \text{PC}=14-\text{BP}.

2. Les droites (PR) et (AC) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, \text{PR}=\dfrac{\text{AC}}{\text{BC}}\times\text{BP}=\dfrac{10,5}{14}\times\text{BP}=0,75\times\text{BP}.

3. Le rectangle PRSC est un carré lorsque \text{PR}=\text{PC}. En remplaçant par les expressions obtenues ci-dessus, on obtient 0,75\times\text{BP}=14-\text{BP}, puis 1,75\times \text{BP}=14 et finalement \text{BP}=8 cm.
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