Fiche de mathématiques
> >

Diplôme National du Brevet
Amérique du Nord - Session 2009

Partager :
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.

I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points


Durée de l'épreuve : 2 heures
12 points

I - Activités numériques


exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule d'entre elles est exacte.
Chaque réponse donne un point, une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlève aucun point.
Pour chacune des 5 questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.

    Réponse 1 Réponse 2 Réponse 3
1 6 - 4(x - 2) est égal à 2x - 4 14 - 4x -2 - 4x
2 Quelle est l'expression factorisée de : 4x^2 - 12x + 9 (2x + 3)(2x - 3) (2x + 3)^2 (2x - 3)^2
3 Pour x=-2, l'expression 5x^2+2x-3 est égale à 13 -27 17
4 Le nombre 1 est solution de l'inéquation : 4x - 3 > 7 -2x + 1 \leq -3 5x + 3 < 9
5 \dfrac{4 \times 10^{-3}}{5 \times 10^2} est égal à 0,000 000 8 8 × 10-6 0,8 × 10-6




exercice 2

On donne le programme de calcul suivant :
\fbox{\begin{array}{l} \text{Choisir un nombre}\\ \text{Multiplier ce nombre par 4}\\ \text{Ajouter 6}\\ \text{Écrire le résultat}\\ \end{array}}


1. Calculer la valeur exacte du résultat obtenu lorsque :
    a) le nombre choisi est 1,2
    b) le nombre choisi est x

2. Quel nombre doit-on choisir pour que le résultat soit égal à 15 ?



exercice 3

1. Déterminer le PGCD de 186 et 155 en expliquant la méthode utilisée (faire apparaître les calculs intermédiaires).

2. Un chocolatier a fabriqué 186 pralines et 155 chocolats.
Les colis sont constitués ainsi :
Le nombre de pralines est le même dans chaque colis.
Le nombre de chocolats est le même dans chaque colis.
Tous les chocolats et toutes les pralines sont utilisés.
    a) Quel nombre maximal de colis pourra-t-il réaliser ?
    b) Combien y aura-t-il de chocolats et de pralines dans chaque colis ?


12 points

II - Activités géométriques


exercice 1

Les longueurs sont données en centimètres.
On sait que les droites (BD) et (CE) sont parallèles.
On donne OB = 7,2 ; OC = 10,8 ; OD = 6 et CE = 5,1.

Diplôme national du brevet Amérique du Nord -  Juin 2009 - troisième : image 1

On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur.


1. Calculer OE puis BD.
2. On donne OG = 2,4 et OF = 2.
Démontrer que (GF) et (BD) sont parallèles.



exercice 2

On donne BD = 4 cm ; BA = 6 cm et \widehat{\text{DBC}} = 60^\circ.
Diplôme national du brevet Amérique du Nord -  Juin 2009 - troisième : image 2

On ne demande pas de faire une figure en vraie grandeur.


1. Montrer que BC = 8 cm.
2. Calculer CD. Donner la valeur arrondie au dixième.
3. Calculer AC.
4. Quelle est la valeur de \tan\widehat{\text{BAC}} ?
5. En déduire la valeur arrondie au dixième de \widehat{\text{BAC}} ?


12 points

III - Problème

On considère la figure ci-dessous où les dimensions sont données en cm et les aires en cm².
ABCD est un rectangle.
Le triangle DCF est rectangle en D.

Diplôme national du brevet Amérique du Nord -  Juin 2009 - troisième : image 3


Partie A

1. Dans cette question on a AB = 4 ; AF = 6 et DF = 2.
    a) Calculer l'aire du rectangle ABCD.
    b) Calculer l'aire du triangle DCF.

2. Dans la suite du problème AB = 4 ; AF = 6 ; DF = x et AD = 6 - x
    a) Montrer que l'aire du rectangle ABCD est 24 - 4x.
    b) Montrer que l'aire du triangle DCF est 2x.
    c) Résoudre l'équation 24 - 4x = 2x.
Pour quelle valeur de x, l'aire du rectangle ABCD est-elle égale à l'aire du triangle DCF ?

Partie B

1. On note f la fonction définie par : f(x) = 24 - 4x et g la fonction définie par : g(x) = 2x.
Compléter le tableau ci-dessous, puis représenter graphiquement la fonction f sur le graphique sur lequel figure la représentation graphique (\mathcal{G}) de la fonction g.

x015
f(x) = 24 - 4x   

Diplôme national du brevet Amérique du Nord -  Juin 2009 - troisième : image 4


2. Par lecture graphique, déterminer pour quelle valeur de x l'aire de DCF est égale à 6 cm².

3. Par lecture graphique, déterminer l'aire de ABCD pour x = 2,5 \text{cm}.

4. Par lecture graphique, retrouver le résultat de la question 2. c) de la partie A.

Pour les question 2., 3. et 4. on laissera apparents les traits nécessaires sur le graphique.



Activités numériques

exercice 1

1. 6-4(x-2)=14-4x.

2. L'expression factorisée de 4x^2-12x+9 est (2x-3)^2.

3. Pour x=-2, l'expression 5x^2+2x-3 est égale à 13.

4. 1 est solution de l'inéquation 5x+3<9.

5. \dfrac{4\times 10^{-3}}{5\times 10^{2}}=8\times 10^{-6}




exercice 2.

1. a) Lorsqu'on choisit 1,2, le résultat donné par le programme est 10,8.

1. b) Si x est le nombre choisi, le résultat est 4x+6.

2. On résout l'équation 4x+6=15 : on obtient 4x=9, puis x=\dfrac{9}{4}=2,25. Pour obtenir 15 comme résultat, il faut choisir 2,25 comme nombre de départ.




exercice 3.

1. On utilise l'algorithme d'Euclide :
186=1\times 155+31
155=5\times 31+0
Le PGCD de 186 et 155 est le dernier reste non nul, c'est donc 31.

2. a) Le nombre maximal de colis réalisables est le plus grand diviseur commun à 186 et 155 : on peut donc réaliser au maximum 31 colis.

2. b) Comme 186=31\times 6 et 155=31\times 5, il y aura alors 6 pralines et 5 chocolats dans chaque colis.


Activités géométriques

exercice 1

1. Les droites (BD) et (CE) étant parallèles, on obtient, d'après le théorème de Thalès, l'égalité des rapports : \dfrac{\text{OD}}{\text{OE}}=\dfrac{\text{OB}}{\text{OC}}=\dfrac{\text{BD}}{\text{CE}}. On en déduit :
que \text{OE}=\dfrac{\text{OD}\times\text{OC}}{\text{OB}}=\dfrac{6\times 10,8}{7,2}=9 cm.
que \text{BD}=\dfrac{\text{OB}\times\text{CE}}{\text{OC}}=\dfrac{7,2\times 5,1}{10,8}=3,4 cm.

2. Les points F, O, D d'une part, et G, O, B d'autre part, sont alignés dans cet ordre. De plus, \dfrac{\text{OF}}{\text{OD}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} et \dfrac{\text{OG}}{\text{OB}}=\dfrac{2,4}{7,2}=\dfrac{1}{3} : ainsi, \dfrac{\text{OF}}{\text{OD}}=\dfrac{\text{OG}}{\text{OB}}. D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BD) et (FG) sont parallèles.




exercice 2

1. Le triangle BDC est rectangle en D ; on a donc \cos(\widehat{DBC})=\dfrac{\text{BD}}{\text{BC}}, d'où \text{BC}=\dfrac{\text{BD}}{\cos(\widehat{DBC})}=\dfrac{4}{\cos(60°)}=8 cm.

2. Dans le triangle BDC rectangle en D, on applique le théorème de Pythagore :
BC² = CD² + DB²
Donc : CD² = BC² - DB²
CD² = 8² - 4²
CD² = 64 - 16
CD² = 48
CD^2 = \sqrt{48} \approx 6,9
D'où : CD \approx 6,9 \text{ cm } (à 0,1 près).

3. On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en B : \text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2=36+64=100, donc \text{AC}=10 cm.

4. \tan(\widehat{BAC})=\dfrac{\text{BC}}{\text{BA}}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}.

5. On en déduit que \widehat{BAC}=\tan^{-1}(\dfrac{4}{3})\approx 53,1°.


Problème

Partie A

1. a) On a \text{AB}=4 et \text{AD}=\text{AF}-\text{FD}=6-2=4, donc l'aire du rectangle ABCD est \text{AD}\times\text{AB}=4\times 4=16 cm².

1. b) L'aire du triangle DCF est \dfrac{\text{DC}\times\text{DF}}{2}=\dfrac{4\times 2}{2}=4 cm².

2. a) L'aire du rectangle ABCD est \text{AD}\times\text{AB}=4(6-x)=24-4x.

2. b) L'aire du triangle DCF est \dfrac{\text{DC}\times\text{DF}}{2}=\dfrac{4x}{2}=2x.

2. c) Résolvons l'équation 24-4x=2x :
24-4x=2x
6x=24
x=4
Le triangle DCF et le rectangle ABCD ont la même aire pour x=4 cm.

Partie B

1.
x015
f(x)=24-4x24204

Diplôme national du brevet Amérique du Nord -  Juin 2009 - troisième : image 5


2. L'aire de DCF est égale à 6 cm² pour x=3 cm.

3. Pour x=2,5 cm, l'aire de ABCD vaut 14 cm².

4. On retrouve graphiquement que DCF et ABCD ont la même aire pour x=4 (abscisse du point d'intersection des deux droites).
Publié le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Merci à
critou
/
Porcepic
pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche


Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1293 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !