Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Pondichéry - Session Avril 2011

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Durée de l'épreuve : 2 h00       Coefficient : 1
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points
12 points

Activités numériques

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte 1 point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point.

Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.

1. Les diviseurs communs à 30 et 42 sont :
   a) 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 et 7.
   b) 1 ; 2 ; 3 et 6.
   c) 1 ; 2 ; 3 ; 5 et 7

2. Un sac contient 10 boules blanches et 5 boules noires. On tire une boule au hasard. La probabilité de tirer une boule noire est égale à :
   a) \dfrac{1}{3}
   b) \dfrac{1}{2}
   c) \dfrac{1}{5}

3. La représentation graphique des solutions de l'inéquation 7x - 5 < 4x + 1 est :
   a)
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2011 - troisième : image 1

   b)
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   c)
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4. \dfrac{\left(10^{-3}\right)^2 \times  10^4}{10^{-5}} est égal à
   a) 10-7
   b) 10-15
   c) 103




exercice 2

On donne l'expression : A = (2x + 1)(x - 5).

1. Développer et réduire A.

2. Calculer A pour x = -3.

3. Résoudre l'équation: A = 0.




exercice 3

Sur le graphique ci-dessous, on a reporté les résultats obtenus en mathématiques par Mathieu tout au long de l'année scolaire.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2011 - troisième : image 4

1. À quel devoir Mathieu a-t-il obtenu sa meilleure note ?

2. Calculer la moyenne des notes de Mathieu sur l'ensemble de l'année.

3. Déterminer l'étendue de la série de notes de Mathieu.

4. a) Combien Mathieu a-t-il eu de notes strictement inférieures à 10 sur 20 ?
    b) Exprimer ce résultat en pourcentage du nombre total de devoirs.



12 points

Activités géométriques

exercice 1

On considère la figure ci-dessous qui n'est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de refaire la figure.
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    ABD est un triangle isocèle en A tel que \widehat{\text{ABD}} = 75° ;
    \mathcal{C} est le cercle circonscrit au triangle ABD ;
    O est le centre du cercle \mathcal{C}
    [BM] est un diamètre de \mathcal{C}.

1. Quelle est la nature du triangle BMD ?
Justifier la réponse

2. a) Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{BAD}}.
    b) Citer un angle inscrit qui intercepte le même arc que l'angle \widehat{\text{BMD}}.
    c) Justifier que l'angle \widehat{\text{BMD}} mesure 30 degres.

3. On donne : BD = 5,6 cm et BM = 11,2 cm. Calculer DM. On arrondira le résultat au dixième près.




exercice 2

Dans cet exercice, les parties I et II sont indépendantes
Un silo à grains a la forme d'un cône surmonté d'un cylindre de même axe. A, I, O et S sont des points de cet axe.

On donne :
SA = 1,60 m,
AI = 2,40 m,
AB = 1,20 m.

Partie 1 :

On considère la figure 1 ci-dessous.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2011 - troisième : image 6

figure 1

1. On rappelle que le volume d'un cône est donné par la formule : \dfrac{1}{3}\times \pi \times r^2 \times h et que 1 dm3 = 1 litre.
    a) Montrer que le volume du cône, arrondi au millième près, est de 2,413 m3.
    b) Sachant que le volume du cylindre, arrondi au millième près, est de 10,857 m3, donner la contenance totale du silo en litres.

2. Actuellement, le silo à grains est rempli jusqu'à une hauteur SO = 1,20 m.
Le volume de grains prend ainsi la forme d'un petit cône de sommet S et de hauteur [SO].
On admet que ce petit cône est une réduction du grand cône de sommet S et de hauteur [SA].
    a) Calculer le coefficient de réduction.
    b) En déduire le volume de grains contenu dans le silo.
On exprimera le résultat en m3 et on en donnera la valeur arrondie au millième près.

Partie 2 :

on considère la figure 2 ci-dessous.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2011 - troisième : image 7

figure 2
Pour réaliser des travaux, deux échelles représentées par les segments [BM] et [CN] ont été posées contre le silo.

On donne : HM = 0,80 m et HN = 2 m.

Les deux échelles sont-elles parallèles ? Justifier la réponse.}



12 points

Problème

Monsieur Duchêne veut barder (recouvrir) de bois le pignon nord de son atelier.
Ce pignon ne comporte pas d'ouverture.
On donne : AD = 6 m ; AB = 2,20 m et \mbox{SM = 1,80 m.}
M est le milieu de [BC].}\hfill
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2011 - troisième : image 8
Les parties I, II et III sont indépendantes

Partie 1

1. Montrer que l'aire du pignon ABSCD de l'atelier est de 18,6 m2.

2. Les planches de bois qui serviront à barder le pignon sont conditionnées par lot.
Un lot permet de couvrir une surface de 1,2 m2.
    a) Combien de lots monsieur Duchêne doit-il acheter au minimum ?
    b) Pour être sûr de ne pas manquer de bois, monsieur Duchêne décide d'acheter 18 lots.
Un lot est vendu au prix de 49 €.
Combien monsieur Duchêne devrait-il payer ?
    c) Monsieur Duchêne a bénéficié d'une remise de 12% sur la somme à payer.
Finalement, combien Monsieur Duchêne a-t-il payé ?

Partie 2

Dans un premier temps, Monsieur Duchêne va devoir fixer des tasseaux de bois sur le mur. Ensuite, il placera les planches du bardage sur les tasseaux, comme indiqué sur la figure ci-dessous.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2011 - troisième : image 9
Les tasseaux seront placés parallèlement au côté [AB].
Cette partie a pour but de déterminer la longueur de chaque tasseau en fonction de la distance qui le sépare du côté [AB].

Soit E un point du segment [AD]. La parallèle à (AB) passant par E coupe [BS] en F, et [BM] en H. On admet que la droite (FH) est parallèle à la droite (SM).
Le segment [EF] représente un tasseau à fixer.


1. Sachant que M est le milieu de [BC], calculer BM.

2. Dans cette question, on suppose que le tasseau [EF] est placé à 0,50 m du côté [AB].
On a donc : AE = BH = 0,50 m.
    a) En se plaçant dans le triangle SBM et en utilisant le théorème de Thalès, calculer FH.
    b) En déduire la longueur EF du tasseau
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3. Dans cette question, on généralise le problème et on suppose que le tasseau [EF] est placé à une distance x du côté [AB]. On a donc : AE = BH = x (avec x variant entre 0 et 3 m)
    a) Montrer que FH = 0,6 x.
    b) En déduire l'expression de EF en fonction de x.
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4. Dans cette question, on utilisera le graphique de l'annexe qui donne la longueur d'un tasseau en fonction de la distance x qui le sépare du côté [AB]. On laissera apparents les tracés ayant permis les lectures graphiques.
    a) Quelle est la longueur d'un tasseau sachant qu'il a été placé à 1,50 m du côté [AB] ?
    b) On dispose d'un tasseau de 2,80 m de long que l'on ne veut pas couper.
À quelle distance du côté [AB] doit-il être placé ?
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Partie 3

Monsieur Duchêne a besoin de connaître la mesure de l'angle \widehat{\text{SBM}} pour effectuer certaines découpes.
On rappelle que : SM = 1,80 m et BC = 6 m.
Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\text{SBM}}.
On arrondira le résultat au degré près.
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Activités numériques

exercice 1

1. b)
Les diviseurs de 30 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30.
Les diviseurs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42.
Les diviseurs communs à 30 et 42 sont alors : 1 ; 2 ; 3 ; 6.
(on pouvait également procéder par élimination : 5 ne divise pas 42 donc a) et c) sont fausses)

2. a)
La probabilité de tirer une boule noire est : \dfrac{5}{10+5}=\cfrac{1}{3}.

3. a)
Résolvons l'inéquation 7x - 5 < 4x + 1.
3x - 5 < 1
3x < 6
x < 2
Les solutions de l'inéquation sont donc tous les nombres strictement inférieurs à 2 (2 est exclu).
Sur la représentation graphique, on colorie la partie "à gauche" de 2, et le crochet est tourné vers l'extérieur de la partie coloriée.

4. c)
En utilisant les règles de calcul sur les puissances,
\dfrac{(10^{-3})^2 \times 10^4}{10^{-5}} = \dfrac{10^{(-3)\times 2} \times 10^4}{10^{-5}} = \dfrac{10^{-6} \times 10^4}{10^{-5}} = \dfrac{10^{-6 + 4}}{10^{-5}} = \dfrac{10^{-2}}{10^{-5}} = 10^{-2 - (-5)} = 10^{-2 + 5} = 10^3




exercice 2

1.
\begin{array}{rcl} A&=&(2x+1)(x-5)\\ &=&2x\times x+2x\times(-5)+1\times x+1\times(-5)\\ &=&2x^{2}-10x+x-5\\ &=&2x^{2}-9x-5 \end{array}

2. Pour x=-3,\ \ A=(2\times(-3)+1)\times(-3-5)=-5\times(-8)=40

3. Pour résoudre l'équation A=0, on sait qu'un produit de facteurs est nul, si et seulement si l'un des facteurs est nul. Soit :
 2x+1=0\ \ \ \ \ \mathrm{ou}\ \ \ \ \ x-5=0\\ 2x=-1\ \ \ \ \ \mathrm{ou}\ \ \ \ \ x=5\\ x=\dfrac{-1}{2}\ \ \ \ \ \mathrm{ou}\ \ \ \ \ x=5
Les solutions de l'équation A=0 sont -\dfrac{1}{2} et 5.




exercice 3

1. On lit sur le graphique que Matthieu a eu sa meilleure note au devoir numéro 9.
2. Les notes de Matthieu sont : 13 ; 12 ; 9 ; 11 ; 6 ; 11 ; 11 ; 17 ; 19 ; 14 ; 3 ; 12.
Il y a 12 notes dans la série des notes de Matthieu.
La moyenne de Mathieu sur l'ensemble de l'année est donc :
La moyenne \dfrac{13+12+9+11+6+11+11+17+19+14+3+12}{12}=\dfrac{138}{12}=11,5.

3. La meilleure note de Matthieu est 19. Sa pire note est 3.
L'étendue de la série de note de Mathieu est 19-3=16.

4. a) Mathieu a eu trois notes strictement inférieures à 10,
4. b) ce qui représente \dfrac{3}{12}\times100=25, soit 25 % de ses notes.



Activités géométriques

exercice 1

1. \mathcal{C} est le cercle circonscrit au triangle ABD donc D appartient au cercle. [BM] est un diamètre de \mathcal{C}.
Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle. Le diamètre est son hypoténuse.
Donc le triangle BDM est rectangle en D.

2. a) On sait que ABD est isocèle en A, donc \widehat{ABD}=\widehat{ADB}=75°.
Or la somme des angles d'un triangle est égale à 180°, donc \widehat{BAD}=180-\widehat{ABD}-\widehat{ADB}=180-2\times75=30°.
2. b) \widehat{BAD} est un angle inscrit qui intercepte le même arc que l'angle \widehat{BMD}.
2. c) Les deux angles inscrits \widehat{BAD} et \widehat{BMD} interceptent le même arc donc ils sont égaux, donc \widehat{BMD}=30°.

3. méthode 1 : BDM est rectangle en D donc \tan(\widehat{BMD})=\cfrac{BD}{DM} donc DM=\cfrac{BD}{\tan(\widehat{BMD})}=\dfrac{5,6}{\tan30}\approx9,7 cm.
méthode 2 : BMD est un triangle rectangle en D (démontré en 1.). Donc, d'après le théorème de Pythagore, \text{DM}^2 + \text{BD}^2 = \text{BM}^2.
Donc \text{DM} = \sqrt{\text{BM}^2 - \text{BD}^2}, \text{DM} = \sqrt{11,2^2 - 5,6^2} d'où \text{DM} = \sqrt{94,08} \approx 9,7 cm




exercice 2

Partie 1

1. a)
\begin{array}{rcl} V_{\mathrm{cône}&=&\dfrac{\pi r^{2}\times h}{3}\ \ \ \ \mahtrm{où}\ r\ \mathrm{est\ le\ rayon\ d'un\ cercle\ appartenant\ au\ cône\ et}\ h\ \mathrm{la\ distance\ entre\ le\ sommet\ du\ cône\ et\ le\ centre\ du\ cercle\ choisi}\\\\ &=&\dfrac{\pi\times AB^{2}\times SA}{3}\\\\ &=&\dfrac{\pi\times1,20^{2}\times1,60}{3}\\\\ &=&2,413\ \mathrm{m}^{3} \end{array}
1. b) Sachant que le volume du cylindre, arrondi au dixième près, est de 10,857 m3, le volume total du silo, arrondi au millième près, est de 2,413 + 10,857 = 13,270 m3 soit 13,270 \times 1000 = 13 270 dm3.
Sachant que : 1 dm3 = 1 L, le volume total du silo est donc 13 270 L.

2. a) On cherche le coefficient de réduction qui a transformé la distance SA=1,60\ \mathrm{m} en SO=1,20\ \mathrm{m}.
Ce coefficient est égal à \dfrac{SO}{SA}=\dfrac{1,20}{1,60}=\dfrac{3}{4}=0,75.
2.b) Le volume du cône réduit est donc 0,753 fois le volume du cône.
donc le volume de grains est 0,75^{3}\times2,413=1,018 m3.

Partie 2

ABHS étant un rectangle, nous avons \text{HB}=\text{SA}=1,60 m.
ICBA est également un rectangle, donc \text{CB}=\text{IA}=2,40 m.

Les points H, M, N d'une part et H, B, C d'autre part sont alignés dans le même ordre.

\dfrac{\text{HB}}{\text{HC}}=\dfrac{1,60}{1,60+2,40}=\dfrac{1,6}{4}
\dfrac{\text{HM}}{\text{HN}}=\dfrac{0,8}{2}

On constate donc que \dfrac{HB}{HC}=\dfrac{HM}{HN}
donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, (BM)//(CN).



Problème

Partie 1


1. \mathcal{A}_{ABSCD}=\mathcal{A}_{ABCD}+\mathcal{A}_{BSC}.
\mathcal{A}_{ABCD}=AB\times AD=2,20\times6=13,2\ \mathrm{m}^{2}.
\mathcal{A}_{BSC}=\dfrac{BC\times SM}{2}=\dfrac{6\times 1,80}{2}=5,4\ \mathrm{m}^{2}.
donc \mathcal{A}_{ABSCD}=13,2+5,4=18,6\ \mathrm{m}^{2}.

2. a) \dfrac{18,6}{1,2}=15,5 donc Monsieur Duchêne doit acheter au moins 16 lots.
2 .b) Monsieur Duchêne devra payer 18\times49=882 euros.
2. c) Avec sa remise de 12%, Monsieur Duchêne aura finalement payé 882-882\times\dfrac{12}{100}=776,16 euros.

Partie 2

1. BM=\dfrac{1}{2}\times BC=\dfrac{6}{2}=3\ \mathrm{m}.

2. a) Les droites (FS) et (HC) sont sécantes en B. Les droites (FH) et (SM) sont parallèles. Donc d'après le théorème de Thalès, \dfrac{BH}{BM}=\dfrac{FH}{SM}
d'où FH=\dfrac{BH\times SM}{BM}=\dfrac{0,5\times 1,80}{3}=0,3\ \mathrm{m}.
2. b) EF=FH+HE=0,30+2,20=2,50\ \mathrm{m}.

3. a) On a : FH=\dfrac{BH\times SM}{BM}=\dfrac{x\times1,8}{3}=0,6x.
3. b) donc EF=0,6x+2,20.

4.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2011 - troisième : image 14

Taille du tasseau en fonction de la distance x au côté [AB]

4. a) Le tasseau mesure 3,1 m. (tracé en rouge sur le graphique)
4. b) Le tasseau doit être placé à 1 m du côté [AB]. (tracé en vert sur le graphique)

Partie 3

BMS est un triangle rectangle en M, donc \tan(\widehat{SBM})=\dfrac{SM}{BM}=\dfrac{1,8}{3}=0,6.
\widehat{SBM}=\tan^{-1}(0,6)\approx31°.
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