Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Série Collège
Amérique du Nord - Session Juin 2011

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Durée de l'épreuve : 2 h 00       Coefficient : 1
L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur.
I - Activités numériques12 points
II - Activités géométriques12 points
III - Problème12 points
Qualité de rédaction et de présentation4 points
12 points

Activités numériques

exercice 1

Le professeur choisit trois nombres entiers relatifs consécutifs rangés dans l'ordre croissant. Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier.
Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu.

1. Leslie a écrit le calcul suivant : 11 \times  (2 \times 9)
Jonathan a écrit le calcul suivant : 10^2 + 2
    a) Effectuer les calculs précédents.
    b) Quels sont les trois entiers choisis par le professeur ?

2. Le professeur choisit maintenant trois nouveaux entiers. Leslie et Jonathan obtiennent alors tous les deux le même résultat.
    a) Le professeur a-t-il choisi 6 comme deuxième nombre ?
    b) Le professeur a-t-il choisi -7 comme deuxième nombre ?
    c) Arthur prétend qu'en prenant pour inconnue le deuxième nombre entier (qu'il appelle n), l'équation n^2 = 4 permet de retrouver le ou les nombres choisis par le professeur.
A-t-il raison ? Expliquer votre réponse en expliquant comment il a trouvé cette équation, puis donner les valeurs possibles des entiers choisis.




exercice 2


La vitesse de la lumière est 300 000 km/s.

1. La lumière met \dfrac{1}{75} de seconde pour aller d'un satellite à la Terre.
Calculer la distance séparant le satellite de la Terre.

2. La lumière met environ 8 minutes et 30 secondes pour nous parvenir du soleil. Calculer la distance nous séparant du Soleil. Donner le résultat en écriture scientifique.




exercice 3

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse correcte rapporte 1 point. L'absence de réponse ou une réponse fausse ne retire aucun point. Indiquer sur la copie, le numéro de la question et la réponse.
  Réponse ARéponse BRéponse C
1.Quelle est la forme factorisée de (x+ 1)^2 - 9 ?(x - 2)(x + 4)x^2 + 2x - 8(x - 8)(x + 10)
2.Que vaut 5^n \times 5^m ?5^{nm}5^{n+m}25^{n+m}
3.À quelle autre expression le nombre \dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} \div \dfrac{5}{2} est-il égal ?\dfrac{3}{3} \div \dfrac{5}{2} \dfrac{7}{3} - \dfrac{3}{4} \times  \dfrac{2}{5} \dfrac{27}{15}
4.Quels sont les nombres premiers entre eux ?774 et 33863 et 441 035 et 774
5.Quel nombre est en écriture scientifique ?17,3\times 10^{-3}0,97\times10^71,52\times10^3



12 points

Activités géométriques

exercice 1

On a empilé et collé 6 cubes de 4 cm d'arête et un prisme droit de façon à obtenir le solide représenté ci-dessous. La hauteur du prisme est égale à la moitié de l'arête des cubes.
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2011 - troisième : image 1

1. Dessiner en vraie grandeur une vue de l'arrière du solide.

2. Calculer le volume en cm3 du solide.

3. Étude du prisme droit.
    a) On nomme ce prisme ABCDEF, comme sur la figure ci-dessous.
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2011 - troisième : image 2
Quelle est la nature de la base de ce prisme droit ? Justifier la réponse.
    b) Vérifier par des calculs que la longueur AC = 4\sqrt{2} cm.
    c) En déduire la valeur exacte de l'aire de la face ACFD. Donner l'arrondi au mm2 près.




exercice 2

Dans cet exercice, on n'attend aucune justification, mais toutes les étapes du calcul devront apparaître.

On considère la figure suivante où les points B, C et D sont alignés. La figure n'est pas à l'échelle.
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2011 - troisième : image 3

1. Calculer la valeur exacte de la distance BC.

2. Calculer l'arrondi de la distance BD au millimètre près.




exercice 3

Dans la configuration ci-dessous, les droites (SA) et (OK) sont parallèles. On sait que SA = 5 cm, OA = 3,8 cm, OR = 6,84 cm, et KR = 7,2 cm
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2011 - troisième : image 4

Les questions de cet exercice ont été effacées, mais il reste ci-dessous des calculs effectués par un élève, en réponse aux questions manquantes.

1. 6,84 - 3,8 = 3,04

2. \dfrac{5 \times 6,84}{3,04} = 11,25

3. 7,2 + 6,84 + 11,25 = 25,29
En utilisant tous les calculs précédents, écrire les questions auxquelles l'élève a répondu, et rédiger précisément ses réponses.


12 points

Problème

Le directeur d'un théâtre sait qu'il reçoit environ 500 spectateurs quand le prix d'une place est de 20 €. Il a constaté que chaque réduction de 1 euro du prix d'une place attire 50 spectateurs de plus.
Toutes les parties sont indépendantes.

Partie 1

1. Compléter le tableau 1 suivant :
Réduction en €Prix de la place en €Nombre de spectateursRecette du spectacle
02050020 × 500 = 10 000
119...... = ...
......600... = ...
 16...... = ...

2. On appelle x le montant de la réduction (en €). Compléter le tableau 2 suivant :
Réduction en €Prix de la place en €Nombre de spectateursRecette du spectacle
x.........

3. Développer l'expression de la recette obtenue à la question 2.

Partie 2

Le directeur de la salle souhaite déterminer le prix d'une place lui assurant la meilleure recette. Il utilise la fonction R donnant la recette (en €) en fonction du montant x de la réduction (en €).
Sa courbe représentative est donnée ci-dessous.
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2011 - troisième : image 5

Par lecture graphique, répondre aux questions ci-dessous (on attend des valeurs approchées avec la précision permise par le graphique et on fera apparaître sur le graphique les tracés nécessaires à la lecture) :

1. Quelle est la recette pour une réduction de 2 € ?

2. Quel est le montant de la réduction pour une recette de 4 050 € ? Quel est alors le prix d'une place ?

3. Quelle est l'image de 8 par la fonction R ? Interpréter ce résultat pour le problème.

4. Quelle est la recette maximale ? Quel est alors le prix de la place ?

Partie 3

Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.

La salle de spectacle a la forme ci-dessous:
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2011 - troisième : image 6
Les sièges sont disposés dans quatre zones : deux quarts de disques et deux trapèzes, séparées par des allées ayant une largeur de 2 m.
On peut placer en moyenne 1,8 sièges par m2 dans la zone des sièges.
Calculer le nombre de places disponibles dans ce théâtre.



Activités numériques

exercice 1

1. a) Calcul de Leslie : 11 × (2 × 9) = 11 × 18 = 198
      Calcul de Jonathan : 10² + 2 = 100 + 2 = 100

1. b) Leslie calcule le produit du troisième nombre par le double du premier, le troisième nombre est 11 et le premier est 9.
Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu. Le deuxième nombre est 10.
D'où : Le professeur a choisi comme entiers : 9, 10 et 11.

2. a) Si le professeur a choisi 6 comme deuxième entier, on a :
Leslie : 7 × (2 × 5) = 7 × 10 = 70
Jonanthan : 6² + 2 = 36 + 2 = 38
Les résultats sont différents, le professeur n'a donc pas choisi 6 comme deuxième entier.

2. b) Si le professeur a choisi 7 comme deuxième entier, on a :
Leslie : 8 × (2 × 6) = 8 × 12 = 96
Jonathan : 7² + 2 = 49 + 2 = 51
Les résultats sont différents, le professeur n'a donc pas choisi 7 comme deuxième entier.

2. c) Soit n le deuxième entier,
le premier entier est n - 1, le troisième entier est n + 1.
Leslie calcule le produit du troisième nombre (n+1) par le double du premier (2 \times (n-1)). On obtient : (n + 1) \times [2 \times (n - 1)]
Jonathan calcule le carré du deuxième nombre puis il ajoute 2 au résultat obtenu, on obtient : n^2 + 2
De plus, les résultats de Leslie et Jonathan doivent être égaux.
D'où : (n + 1) \times [2 \times (n - 1)] = n^2 + 2
Résolvons cette équation :
(n + 1) \times (2n - 2) = n^2 + 2 \\ 2n^2 - 2n + 2n - 2 = n^2 + 2 \\ 2 n^2 - 2 - n^2 - 2 = 0\\ \boxed{n^2 = 4}
Arthur a donc raison.
Cette équation admet deux solutions : -2 et 2.
Pour \boxed{n = -2}, les trois entiers sont : -3 ; -2 et -1.
Pour \boxed{n = 2}, les trois entiers sont : 1 ; 2 et 3.




exercice 2

1. v = \dfrac{d}{t} avec v = 300 000 km/s et t = \dfrac{1}{75} s.
Donc : 300 000 =\dfrac{d}{\dfrac{1}{75}}
d = 300 000 \times \dfrac{1}{75} = 4 000
La distance séparant le satellite de la Terre est de : 4 000 km.

2. Convertissons le temps parcouru en secondes : 8 minutes 30 secondes = (8 × 60) s + 30 s = (480 + 30) s = 510 s
v = \dfrac{d}{t} avec v = 300 000 km/s et t = 510 s.
300 000 = \dfrac{d}{510}
d = 300 000 \times 510 = 153 000 000 = 1,53 \times 10^8
La distance séparant la Terre du Soleil est de : 1,53 × 108 km




exercice 3

1. Réponse A
La forme factorisée de (x+1)^2 - 9 est (x - 2)(x + 4).
car : (x+1)^2 - 9 = (x+1)^2 - 3^2 = [(x+1)-3][(x+1)+3] = (x-2)(x+4)
Identité remarquable a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)a = x + 1 et b = 3

2. Réponse B
5^n \times 5^m = 5^{n+m}

3. Réponse C
\dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} \div \dfrac{5}{2} est aussi égal à \dfrac{27}{15}}
car : \dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} \div \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} \times \dfrac{2}{5} (pour diviser par une fraction, on multiplie par son inverse).
\dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} \div \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{3} - \dfrac{8}{15} (la multiplication est prioritaire)
\dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} \div \dfrac{5}{2} = \dfrac{35}{15} - \dfrac{8}{15} (on réduit les fractions au même dénominateur)
\dfrac{7}{3} - \dfrac{4}{3} \div \dfrac{5}{2} = \dfrac{27}{15}}

4. Réponse B
Les nombres premiers entre eux sont 63 et 44.
car : 774 et 338 sont deux nombres pairs, ils ne sont donc pas premiers entre eux.
1 035 et 774 sont tous les deux divisibles par 9, ils ne sont donc pas premiers entre eux.
Les deux nombres premiers entre eux sont donc : 63 et 44.
Remarque : on peut vérifier que les nombres 63 et 44 admettent comme seul diviseur commun 1 en utilisant l'algorithme d'Euclide :
63 = 44 × 1 + 19
44 = 19 × 2 + 6
19 = 6 × 3 + 1
6 = 1 × 6 + 0
Le dernier reste non nul est 1, donc : PGCD(63 ; 44) = 1

5. Réponse C
Le nombre en écriture scientifique est 1,52 × 103


Activités géométriques

exercice 1

1.
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2011 - troisième : image 7

Échelle : 1 carreau représente 2 cm


2. Le solide est composé de 6 cubes (d'arête 4 cm) et d'un prisme droit de base (la base est un triangle rectangle, la hauteur est égale à 2 cm).
V = 6 \times (4^3) + \dfrac{4 \times 4}{2} \times 2 \\ V = 384 + 16 \\ V = 400
Le volume du solide est de 400 cm3.

3. a) Les segments [AB] et [BC] sont deux arêtes du cube. Elles sont donc perpendiculaires.
La base du prisme droit est un triangle rectangle.

3. b) Dans le triangle ABC rectangle en B, on applique le théorème de Pythagore :
AC² = AB² + BC²
AC² = 4² + 4²
AC² = 16 + 16
AC² = 32
AC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}
Donc : AC = 4 \sqrt{2} cm

3. c) Aire de la face ACFD :
La face ACFD est un rectangle.
A_{(ACFD)} = AC \times AD \\ A_{(ACFD)} = 4\sqrt{2} \times 2 A_{(ACFD)} = 8\sqrt{2} (valeur exacte)
L'aire de la face ACFD est d'environ 11,31 cm² (valeur arrondie au mm²).




exercice 2

1. Dans le triangle ABC rectangle en C, on applique le théorème de Pythagore :
AB² = AC² + BC²
BC² = AB² - AC²
BC² = 30² - 25²
BC² = 900 - 625
BC² = 275
BC = \sqrt{275} = \sqrt{25 \times 11} = 5 \sqrt{11}
Donc : BC = 5 \sqrt{11} cm (valeur exacte)

2. Déterminons CD :
Dans le triangle ACD rectangle en C, on a :
\tan \widehat{CAD} = \dfrac{CD}{AC}
Donc : CD = AC \times \tan \widehat{CAD} = 25 \times \tan 49° cm

     Déterminons BC :
Les points B, C et D sont alignés, donc :
BD = BC + CD = 5 \sqrt{11} + 25 \times \tan 49° \approx 45,3
La distance BD est environ égale à 45,3 cm (valeur arrondie au millimètre).




exercice 3

1. Question : Calculer la distance AR.
Réponse : les points O, A et R sont alignés, donc AR = OR - OA = 6,84 - 3,8 = 3,04
La distance AR est de 3,04 cm.

2. Question : Calculer la distance OK.
Réponse : les droites (OA) et (SK) sont sécantes en R, les droites (AS) et (OK) sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès, on a :
\dfrac{RA}{RO} = \dfrac{RS}{RK} = \dfrac{AS}{OK}
Donc : \dfrac{3,04}{6,84} = \dfrac{RS}{7,2} = \dfrac{5}{OK}
De \dfrac{3,04}{6,84} = \dfrac{5}{OK}, on déduit OK = \dfrac{6,84 \times 5}{3,04} = 11,25
La distance OK est égale à 11,25 cm.

3. Question : Calculer le périmètre du triangle ORK.
Réponse : Le périmètre est égal à :
RK + KO + OR = 7,2 + 11,25 + 6,84 = 25,29
Le périmètre du triangle ORK est égal à 25,29 cm.



Problème

Partie 1

1. Complétons le tableau :
Réduction en €Prix de la place en €Nombre de spectateursRecette du spectacle
02050020 × 500 = 10 000
11955019 × 550 = 10 450
21860018 × 600 = 10 800
41670016 × 700 = 11 200


2. Complétons le tableau :
Réduction en €Prix de la place en €Nombre de spectateursRecette du spectacle
x20 - x500 + 50 x(20 - x)(500 + 50 x)


3. Développons l'expression obtenue :
(20 - x)(500 + 50 x) = 20 \times 500 + 20 \times 50 x - x \times 500 - x \times 50 x \\ (20 - x)(500 + 50 x) = 10 000 + 1000 x - 500 x - 50 x^2 \\ \boxed{(20 - x)(500 + 50 x) = - 50 x^2 + 500 x + 10 000}

Partie 2

1. Pour une réduction 2 €, la recette est de : 10 800 € (cf pointillés rouges).

2. Pour une recette de 4 050 €, le montant de la réduction est de : 16,80 € (cf pointillés roses).
Le prix de la place est alors de : 20 - 16,80 €, soit 3,20 €.

3. L'image de 8 par la fonction R : R(8) = 10 800 (cf pointillés verts)
Pour une réduction de 8 € (la place coûte alors 12 €), la recette est de 10 800 €.

4. La recette maximale est de : 11 250 € (cf pontillés jaunes).
Le prix de la place est alors de : 20 - 5 €, soit 15 €.
Diplôme National du Brevet Amérique du Nord Juin 2011 - troisième : image 8


Partie 3

Déterminons l'aire des deux quarts de disque : A_1 = 2 \times \dfrac{\pi \times R^2}{4} = \dfrac{\pi \times 13^2}{2} = \dfrac{169 \pi}{2}
Déterminons l'aire des deux trapèzes : A_2 = 2 \times \dfrac{(B + b) \times h}{2} = \left(13 + \dfrac{16 -2}{2}\right) \times 10 = (13 + 7) \times 10 = 200
Déterminons l'aire totale de la salle : A_1 + A_2 = \dfrac{169 \pi}{2} + 200 \approx 465
Calculons le nombre de places disponibles dans ce théâtre : 465 × 1,8 = 837
Le théâtre dispose de 837 places.
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