Fiche de mathématiques
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Diplôme National du Brevet
Série Générale
Pondichéry - Session Avril 2014

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Durée de l'épreuve : 2 h00       Coefficient : 2
L'utilisation de la calculatrice est autorisée (circulaire n°99-186 du 16 novembre 199)
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Maîtrise de la langue : 4 points


6 points

exercice 1

Emma et Arthur ont acheté pour leur mariage 3 003 dragées au chocolat et 3 731 dragées aux amandes.

1. Arthur propose de répartir ces dragées de façon identique dans 20 corbeilles.
Chaque corbeille doit avoir la même composition.
Combien lui reste-t-il de dragées non utilisées ?

2. Emma et Arthur changent d'avis et décident de proposer des petits ballotins* dont la composition est identique. Ils souhaitent qu'il ne leur reste pas de dragées.
    a) Emma propose d'en faire 90. Ceci convient-il ? Justifier.
    b) Ils se mettent d'accord pour faire un maximum de ballotins.
Combien en feront-ils et quelle sera leur composition ?

* Un ballotin est un emballage pour confiseries, une boîte par exemple.


5 points

exercice 2

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sont proposées, mais une seule est exacte.
Toute réponse exacte vaut 1 point.
Toute réponse inexacte ou toute absence de réponse n'enlève pas de point.


Indiquez sur votre copie le numéro de la question et, sans justifier, recopier la réponse exacte (A ou B ou C).

1. \sqrt{(- 5)^2}
a) n'existe pasb) est égal à -5c) est égal à 5


2. Si deux surfaces ont la même aire alors
a) elles sont superposablesb) elles ont le même périmètrec) leurs périmètres ne sont pas forcément égaux.


3. Soit f la fonction définie par: {f(x) = 3x - (2x + 7) + (3x + 5)}
a) f est une fonction affineb) f est une fonction linéairec) f n'est pas une fonction affine.


4. Hicham a récupéré les résultats d'une enquête sur les numéros qui sont sortis ces dernières années au loto. Il souhaite jouer lors du prochain tirage.
a) Il vaut mieux qu'il joue les numéros qui sont souvent sortisb) Il vaut mieux qu'il joue les numéros qui ne sont pas souvent sortisc) L'enquête ne peut pas l'aider.


5. Une expression factorisée de (x - 1)^2 - 16 est ...
a) (x + 3)(x - 5)b) (x - 4)(x + 4)c) x^2 - 2x - 15



3 points

exercice 3

«Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 3 et je multiplie le résultat par 7. J'ajoute le triple du nombre de départ au résultat et j'enlève 21. J'obtiens toujours un multiple de 10.»

Est-ce vrai ? Justifier.

Si travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans l'évaluation.


7 points

exercice 4

Une commune souhaite aménager des parcours de santé sur son territoire. On fait deux propositions au conseil municipal, schématisées ci-dessous :
    le parcours ACDA
    le parcours AEFA
Ils souhaitent faire un parcours dont la longueur s'approche le plus possible de 4 km.
Peux-tu les aider à choisir le parcours ? Justifie.

Attention : la figure proposée au conseil municipal n'est pas à l'échelle, mais les codages et les dimensions données sont correctes.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2014 - troisième : image 1

L'angle \widehat{A} dans le triangle AEF vaut 30°
AC = 1,4 km
CD = 1,05 km
AE' = 0,5 km
AE = 1,3 km
AF = 1,6 km
E'F' = 0,4 km



8 points

exercice 5

Pense-bête :
Toutes les formules données ci-dessous correspondent bien à des formules d'aires ou de volumes. On ne sait pas à quoi elles correspondent, mais elles peuvent quand même être utiles pour résoudre l'exercice ci-dessous.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2014 - troisième : image 2


Voici une bouteille constituée d'un cylindre et d'un tronc de cône surmonté par un goulot cylindrique. La bouteille est pleine lorsqu'elle est remplie jusqu'au goulot.
Les dimensions sont notées sur le schéma.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2014 - troisième : image 3

1. Calculer le volume exact de la partie cylindrique de la bouteille puis en donner un arrondi au cm3.

2. Pour obtenir le tronc de cône, on a coupé un cône par un plan parallèle à la base passant par O'. La hauteur SO du grand cône est de 6 cm et la hauteur SO' du petit est égale à 2 cm. Le rayon de la base du grand cône est de 5 cm.
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2014 - troisième : image 4

    a) Calculer le volume V_{1} du grand cône de hauteur SO (donner la valeur exacte).
    b) Montrer que le volume V_{2} du tronc de cône est égal à \dfrac{1300}{27} \pi cm3. En donner une valeur arrondie au cm3.

3. Parmi les quatre graphiques ci-dessous, l'un d'entre eux représente le volume V(h) de la bouteille en fonction de la hauteur h de remplissage du bidon.
Quel est ce graphique ? Pourquoi les autres ne sont-ils pas convenables ?
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2014 - troisième : image 5
 
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2014 - troisième : image 6

Graphique 1   Graphique 2
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2014 - troisième : image 7
 
Diplôme National du Brevet Pondichéry Avril 2014 - troisième : image 8

Graphique 3   Graphique 4



7 points

exercice 6

Voici le classement des médailles d'or reçues par les pays participant aux jeux olympiques pour le cyclisme masculin (Source : Wikipédia).

Bilan des médailles d'or de 1896 à 2008
NationOr
France40
Italie32
Royaume-Uni18
Pays-Bas15
États-Unis14
Australie13
Allemagne13
Union soviétique11
Belgique6
Danemark6
Allemagne de l'Ouest6
Espagne5
Allemagne de l'Est4
Russie4
Suisse3
Suède3
Tchécoslovaquie2
Norvège2
Canada1
Afrique du Sud1
Grèce1
Nouvelle-Zélande1
Autriche1
Estonie1
Lettonie1
Argentine1


1. Voici un extrait du tableur :
 ABCDEFGHIJKLMNO
1Nombre de médailles d'or12345611131415183240 
2Effectif822213121111126

Quelle formule a-t-on saisie dans la cellule O2 pour obtenir le nombre total de pays ayant eu une médaille d'or ?

2. a) Calculer la moyenne de cette série (arrondir à l'unité).
    b) Déterminer la médiane de cette série.
    c) En observant les valeurs prises par la série, donner un argument qui explique pourquoi les valeurs de la moyenne et de la médiane sont différentes.

3. Pour le cyclisme masculin, 70% des pays médaillés ont obtenu au moins une médaille d'or. Quel est le nombre de pays qui n'ont obtenu que des médailles d'argent ou de bronze (arrondir le résultat à l'unité) ?

Si la travail n'est pas terminé, laisser tout de même une trace de recherche.
Elle sera prise en compte dans l'évaluation.




exercice 1

1. Effectuons les divisions de 3003 et de 3731 par 20, cela donne :
3003 = 20 × 150 + 3 avec 0 < 3 < 20
3731 = 20 × 186 + 11 avec 0 < 11 < 20
Arthur pourra donc mettre dans chaque corbeille 150 dragées au chocolat, et 186 dragées aux amandes. Il lui restera alors 3 + 11 dragées soit 14 dragées au total.

2. a) 90 ne divise pas 3003 car 3003 = 90 × 33 + 33. Donc il ne peuvent pas décider de faire 90 ballotins car il leur resterait obligatoirement des dragées.

2. b) Ils souhaitent toujours qu'il ne leur reste pas de dragées. Mais ils souhaitent également avoir le maximum de ballotins.
Le nombre de ballotins est donc le plus grand commun diviseur des nombres 3003 et 3731.
3731 = 3003 × 1 + 728 avec 0 < 728 < 3003
3003 = 728 × 4 + 91 avec 0 < 91 < 728
728 = 91 × 8 + 0
Le dernier reste non nul est 91. Le pgcd de 3003 et de 3731 est 91.
Arthur et Emma pourront réaliser 91 ballotins (avec 33 dragées au chocolat et 41 dragées aux amandes dans chacun des ballotins).




exercice 2

Les justifications n'étaient pas demandées.

1. Réponse c)
\sqrt{(-5)^2} est le nombre positif, qui mis au carré vaut (-5)^2.
5 \ge 0 et 5^2=(-5)^2 donc \sqrt{(-5)^2}=5
Autre solution possible : \sqrt{(-5)^2}=\sqrt{25}=5 \text{ car } 5\ge 0 \text{ et } 5^2=25

2. Réponse c)
Pour le démontrer, prenons un contre exemple.
Soit un carré de côté 2 cm. Son aire vaut 4 cm² et son périmètre vaut 8 cm.
Soit un rectangle de côtés 1 cm et 4 cm. Le carré et le rectangle ne sont pas superposables. De plus, l'aire du rectangle vaut 4 cm² (donc identique à celle du carré), mais son périmètre vaut 10 cm.

3. Réponse a)
Soit f la fonction définie par : f(x) = 3x - (2x + 7) + (3x + 5)
f(x) = 3x - (2x + 7) + (3x + 5)= 3x -2x-7+3x+5=4x-2
La fonction f est donc affine.

4. Réponse c)
Pour le prochain tirage, la probabilité est indépendante des tirages précédents.

5. Réponse a)
(x - 1)^2 - 16=(x - 1)^2 - 4^2=\left[(x-1)-4)\right]\left[(x-1)+4)\right]=(x-1-4)(x-1+4)=(x-5)(x+3)




exercice 3

Soit n un nombre entier. J'ajoute 3, j'obtiens n+3.
Je multiplie le résultat par 7, j'obtiens 7(n+3).
J'ajoute le triple du nombre de départ au résultat et j'obtiens 7(n+3)+3n.
Enfin, j'enlève 21 et j'obtiens donc : 7(n+3)+3n-21=7n+21+3n-21=10n
Ce résultat est bien toujours un multiple de 10.




exercice 4

Évaluons le trajet ACDA.
Le triangle  ACD étant rectangle en C, le théorème de Pythagore permet d'écrire : AD^2=AC^2+CD^2=1,4^2+1,05^2=3,0625 donc AD =\sqrt{3,0625}=1,75
Le trajet ACDA a pour longueur : AC+CD+DA=1,4+1,05+1,75=4,2\text{ km}

Évaluons le trajet AEFA.
Dans le triangle AEF, on a une configuration de Thalès qui permet d'écrire : \dfrac{AE'}{AE}=\dfrac{AF'}{AF}=\dfrac{E'F'}{EF}
De \dfrac{AE'}{AE}=\dfrac{E'F'}{EF} on obtient : \dfrac{0,5}{1,3}=\dfrac{0,4}{EF} soit 0,5\times EF = 0,4\times 1,3 d'où EF=\dfrac{0,4\times 1,3}{0,5}=1,04\text{ km}
Le trajet AEFA a pour longueur : AE+EF+FA=1,3+1,04+1,6=3,94\text{ km}
4,2-4=0,2\qquad \text{ et} \qquad 4-3,94=0,06\qquad\text{mais}\qquad 0,06 < 0,2
Le parcours dont la longueur s'approche le plus possible de 4 km est le trajet AEFA.




exercice 5

1. Le rayon de la base de la partie cylindrique est égal à 5 cm.
L'aire de la base vaut : \pi\times 5^2=25~\pi\text{ cm}^2
La hauteur du cylindre vaut 15 cm. Le volume de la partie cylindrique vaut : V=25~\pi\times 15=375~\pi\text{ cm}^3

2. a) Le volume du grand cône est égal à : V_1=\dfrac{1}{3}\times \text{ aire de la base }\times \text{ hauteur }=\dfrac{1}{3}\times 25~\pi\times6=50~\pi\text{ cm}^2
Le petit cône de hauteur SO' est une réduction du grand cône de hauteur SO. Le coefficient de réduction est de \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.
Le volume du petit cône est donc : \left(\dfrac{1}{3}\right)^3\times V_1=\dfrac{1}{27}\times V_1
Le volume du tronc de cône est donc égal à : V_1-\dfrac{1}{27}\times V_1=\dfrac{26}{27}\times V_1=\dfrac{26}{27}\times 50~\pi = \dfrac{1300}{27}\pi \text{ cm}^3\approx 151\text{ cm}^3

3. Le graphique 4 ne peut pas convenir, car lorsque la hauteur h est nulle, le volume doit être nul, ce qui graphiquement implique que la représentation graphique doit passer par l'origine du repère, ce qui n'est pas le cas ici.
Le graphique 2 ne peut pas convenir, car plus la hauteur augmente, plus le volume augmente, et la fonction représentée doit être croissante ce qui n'est pas le cas ici.
Le graphique 3 ne peut pas convenir, car entre la hauteur 15 et la hauteur 21, on ne peut pas avoir un volume supérieur au volume de la partie cylindrique inférieure de la bouteille.
Le graphique correct est donc le 1




exercice 6

1. Dans O2, plusieurs formules peuvent convenir. On peut par exemple écrire "=SOMME(B2:N2)"

2. a) La moyenne de cette série est égale à : \dfrac{1\times 8+2\times 2+3\times2+4\times2+5\times1+6\times3+11\times1+13\times2+14\times1+15\times1+18\times1+32\times1+40\times1}{26}\approx 8

2. b) On divise l'effectif total par 2. La 13e et le 14e valeur étant 4, la médiane de cette série est égale à 4.

2. c) Les effectifs ne sont pas du tout répartis de manière symétrique par rapport aux valeurs extrêmes prises par la série.

3. Soit x le nombre de pays médaillés.
70 % des pays médaillés ont obtenu au moins une médaille d'or, donc : \dfrac{70}{100} \times x = 26 soit 0,7 x = 26 \\ x = \dfrac{26}{0,7} \approx 37
Les 30 % correspondant aux pays ayant reçu uniquement des médailles d'argent ou de bronze sont donc : 37 - 26 = 11.
D'où : 11 pays n'ont obtenu que des médailles d'argent ou de bronze.
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