Fiche de mathématiques
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Triangles semblables

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contribution en cours de rédaction.

Définition


Deux triangles semblables sont deux triangles qui ont leurs angles deux à deux de même mesure


Les triangles semblables : image 2

Montrons que ces deux triangles sont semblables.

\widehat{BAC} et \widehat{DE}F ont même mesure 45°
\widehat{ABC} et \widehat{FDE} ont même mesure 70°
On en déduit facilement que l'angle \hat C du triangle ABC a pour mesure 180°-(70°+45°)=65°
et que l'angle \hat F du triangle FDE a la même mesure 65° (même démonstration)
Les triangles ABC et EDF sont semblables.

On dit que les sommets A et E sont homologues, ainsi que les sommets B et D, et les sommets C et F.
De même, on dit que les angles A et E, B et D, C et F sont homologues.
Enfin, les côtés opposés à des angles homologues sont dits également homologues.

Sur cette figure, en face de l'angle de 70°, les côtés [AC] et [DF] sont homologues,
en face de l'angle de 45°, les côtés [BC] et [DF] sont homologues
et en face de l'angle de 65°, les côtés [AB]et [FE] sont homologues.

Conséquence


Si deux triangles ont deux angles deux à deux de même mesure, alors ces deux triangles sont semblables.


Propriétés (admises)


Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés sont proportionnelles


Les triangles ABC et EDF sont semblables. On en déduit que

\dfrac{AB}{ED}=\dfrac{AC}{EF}=\dfrac{BC}{DF}

Si les longueurs des côtés de deux triangles sont proportionnelles, alors ces triangles sont semblables




exercice d'application


Les droites (AB) et (CD) sont écantes en I.
Les triangles semblables : image 1

1. Quelles est la mesure de d'angle \widehat{BID} ?
2. Démontrer que les triangles CIA et BID sont semblables.
3. On sait que CI=3,2 cm ; BI=4,4 cm; IA= 2,8 cm
Calculer ID au centième près.




1. Les angles \widehat{BID} et \widehat{AIC} sont opposés par le sommet, donc ont même mesure 45°.

2. Dans le triangle AIC, les angles valent 74°, 45° et 180°-(74°+45°)=61°
Dans le triangle BID, les angles valent 45° pour \hat I, 61° pour \hat B et pour \hat D : 180°-(61°+45°)=74°
Les deux triangles CIA et BID ont donc leurs angles égaux deux à deux.
Les deux triangles CIA et BID sont semblables.

3. Les deux triangles CIA et BID étant semblables, les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles.

\dfrac{CI}{BI}=\dfrac{IA}{ID} ce qui donne ID\times CI=BI\times IA ou encore ID=\dfrac{BI\times IA}{CI}

On trouve ID=\dfrac{4,4\times 2,8}{3,2}=3,85 cm.
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