Fiche de mathématiques

Ile mathématiques > maths 3^ème > Calcul numérique

Calcul Numérique

exercice 1

Ecrire chacun des nombres suivants sous la forme d'une fraction irréductible :

$A = \left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{7}{6}\right) : \left(\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2}\right)$	$B = \dfrac{1 - \dfrac{1}{2}}{1 + \dfrac{1}{2}}$	$C = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{4}\right)^2$
$D = \dfrac{5 - 8}{7 + 5}$	$E = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5}\right) \times \left(\dfrac{2}{7}\right)^2$	$\text{F} = \dfrac{\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{15}\right)^2}{\dfrac{4}{9}}$

exercice 2

Calculer les expressions et écrire les résultats sous la forme de fractions irréductibles.

$A = \dfrac{2}{4} + \dfrac{5}{6}$	$B = \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{4}$	$C = \dfrac{5}{18} - \dfrac{7}{9}$	$D = \dfrac{4}{15} + \dfrac{2}{5}$
$E = \dfrac{1}{3} + 1$	$F = \dfrac{-3}{7} - \dfrac{1}{14}$	$G = 2 - \dfrac{-3}{1}$	$H = \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{6}$
$I = \dfrac{9}{15} - \dfrac{-7}{10}$	$J = -8 + \dfrac{1}{4}$	$K = \dfrac{5}{30} + \dfrac{2}{15}$	$L = \dfrac{-1}{14} + \dfrac{-2}{21}$
$M = \dfrac{3}{14} - \dfrac{2}{21}$	$N = \dfrac{5}{18} + \dfrac{1}{27}$	$O = \dfrac{1}{24} - \dfrac{-1}{30}$	$P = \dfrac{-1}{9} + \dfrac{1}{-15}$
$Q = \dfrac{19}{42} + \dfrac{2}{21} - \dfrac{1}{3}$	$R = \dfrac{17}{42} + \dfrac{2}{21} - \dfrac{1}{3}$	$S = \dfrac{8}{35} - \dfrac{-2}{35}$	$T = \dfrac{3}{8} - 2 - \dfrac{-1}{8}$
$U = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{27}{14}$	$V = \dfrac{-8}{5} \times \dfrac{-15}{16}$	$W = \dfrac{3}{-4} : \dfrac{-9}{40}$	$X = \dfrac{16}{9} \times \dfrac{3}{14} \times \dfrac{5}{8}$

exercice 3

Calculer les expressions et écrire les résultats sous la forme de fractions irréductibles.

$A = \dfrac{10}{3} : \dfrac{4}{9}$	$B = -14 \times \dfrac{-2}{21}$	$C = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{16}{9}$	$D = \dfrac{35}{6} : \dfrac{14}{15}$
$E = \dfrac{8}{45} \times \dfrac{-3}{2} \times \dfrac{25}{-24}$	$F = 3 \times \dfrac{8}{9}$	$G = 15 : \dfrac{25}{3}$	$H = \dfrac{9}{-25} \times \dfrac{75}{-36}$
$I = \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\right) \times \dfrac{16}{9}$	$J = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} \times \dfrac{16}{9}$	$K = \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{10} \times \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2}$	$L = \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{10}\right) \times \left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} \right)$
$M = \left(\dfrac{3}{4} \right)^2$	$N = \dfrac{3^2}{4}$	$O = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{10} \times \dfrac{35}{9}$	$P = \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{10} \right) \times \dfrac{35}{9}$
$Q = \left(1 - \dfrac{1}{2} \right) : \left(2 - \dfrac{1}{4} \right)$	$R = 1 - \dfrac{1}{2} : 2 - \dfrac{1}{4}$	$S = \dfrac{\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{2}}{7}$	$T = \left(\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{3}\right)^2 \times \dfrac{9}{2}$
$U = \dfrac{\dfrac{5}{3} - \dfrac{7}{9}}{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}}$	$V = \dfrac{1 - 5^2}{(1 - 5)^2}$	$W = \left(\dfrac{6}{-7}\right)^2$	$X = \dfrac{5^2}{-3}$
$Y = \left(\dfrac{1}{10} - \dfrac{7}{15}\right) : \left(\dfrac{7}{6} + \dfrac{7}{16}\right)$	$Z = \dfrac{1}{8} - \dfrac{7}{12} : \left(\dfrac{7}{6} + \dfrac{7}{16}\right)$	$A' = \dfrac{\dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{12}}{\dfrac{5}{6} - \dfrac{4}{15}}$	$B' = \left(\dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{12}\right) \times \left(\dfrac{6}{5} - \dfrac{15}{4}\right)$

exercice 4

Une préparation culinaire est composée de farine, de sucre, de lait et d'oeufs.
La masse de farine représente le quart de la masse de la préparation.
La masse de sucre représente les deux tiers de la masse de farine.
La masse de lait représente les neuf quarts de la masse de sucre.
1.Quelle fraction de la masse de la préparation représente la masse d'oeufs ?
2.Chaque oeuf pèse environ 30 grammes, il y a environ 300 grammes de pâte. Combien y a-t-il d'oeufs dans cette préparation ?

exercice 5

1. Écrire chacun des nombres suivants sous la forme d'une fraction irréductible :
$\text{A} = \displaystyle{\frac{1}{5+3}} \hspace{25pt} \text{B} = \displaystyle{\frac{1}{6} + \frac{1}{2}} \hspace{25pt} \text{C} = \displaystyle{\frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \hspace{25pt} \text{D} = \displaystyle{\frac{1}{\frac{1}{3}}-\frac{1}{\frac{1}{5}}$
2. a) La somme des inverses de deux nombres est-elle égale à l'inverse de la somme de ces deux nombres ? (Justifier)
b) La différence des inverses de deux nombres est-elle égale à l'inverse de la différence de ces deux nombres ? (Justifier)

Correction

exercice 1

$A = \left(\dfrac{5}{4} - \dfrac{7}{6}\right) : \left(\dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{2}\right) = \left(\dfrac{5 \times 3}{4 \times 3} - \dfrac{7 \times 2}{6 \times 2}\right) : \left(\dfrac{1}{6} - \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} \right)$
$A = \left(\dfrac{15}{12} - \dfrac{14}{12}\right) : \left(\dfrac{1}{6} - \dfrac{3}{6} \right) = \dfrac{1}{12} : \left(-\dfrac{2}{6}\right)$
$A = \dfrac{1}{12} : \left(-\dfrac{2}{2 \times 3}\right) = \dfrac{1}{12} : \left(-\dfrac{1}{3}\right)$
$A = \dfrac{1}{12} \times \left(-\dfrac{3}{1}\right) = -\dfrac{3}{12}$
$A = -\dfrac{3}{3 \times 4} = -\dfrac{1}{4}$

$B = \dfrac{1 - \dfrac{1}{2}}{1 + \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{2}{2} - \dfrac{1}{2}}{\dfrac{2}{2} + \dfrac{1}{2}}$
$B = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3}$
$B = \dfrac{1 \times 2}{2 \times 3} = \dfrac{1}{3}$

$C = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1 \times 2}{2 \times 2}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{8} - \dfrac{1 \times 2}{4 \times 2}\right)^2 = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{8} - \dfrac{2}{8}\right)^2$
$C = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{8}\right)^2 = \dfrac{1^2}{4^2} + \dfrac{1^2}{8^2}$
$C = \dfrac{1}{16} + \dfrac{1}{64} = \dfrac{1 \times 4}{16 \times 4} + \dfrac{1}{64}$
$C = \dfrac{4}{64} + \dfrac{1}{64} = \dfrac{5}{64}$

$D = \dfrac{5 - 8}{7 + 5} = \dfrac{-3}{12}$
$D = -\dfrac{3}{3 \times 4} = -\dfrac{1}{4}$

$E = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5}\right) \times \left(\dfrac{2}{7}\right)^2 = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1 \times 2}{2 \times 5}\right) \times \dfrac{2^2}{7^2}$
$E = \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{5}\right) \times \dfrac{4}{49} = \left(\dfrac{3 \times 5}{4 \times 5} - \dfrac{1 \times 4}{5 \times 4}\right) \times \dfrac{4}{49}$
$E = \left(\dfrac{15}{20} - \dfrac{4}{20}\right) \times \dfrac{4}{49} = \dfrac{11}{20} \times \dfrac{4}{49}$
$E = \dfrac{11 \times 4}{20 \times 49} = \dfrac{11 \times 4}{5 \times 4 \times 49}$
$E = \dfrac{11}{5 \times 49} = \dfrac{11}{245}$

$\text{F} = \displaystyle{ \dfrac{\left(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{15}\right)^2}{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{\left(\dfrac{2 \times 5}{3 \times 5} - \dfrac{1}{15}\right)^2}{\dfrac{4}{9}}} \\ \text{F} = \displaystyle{ \dfrac{\left(\dfrac{10}{15} - \dfrac{1}{15}\right)^2}{\dfrac{4}{9}} = \dfrac{\left(\dfrac{9}{15}\right)^2}{\dfrac{4}{9}}} \\ \text{F} = \dfrac{9^2}{15^2} \times \dfrac{9}{4} \\ \text{F} = \dfrac{9 \times 9 \times 3 \times 3}{5 \times 3 \times 5 \times 3 \times 4} \\ \text{F} = \boxed{\dfrac{81}{100}}$

exercice 2

$A = \dfrac{2}{4} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6}$
$A = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{5}{6}$
$A = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$

$B = \dfrac{5}{12} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12} - \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3}$
$B = \dfrac{5}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{2}{12}$
$B = \dfrac{1}{6}$

$C = \dfrac{5}{18} - \dfrac{7}{9} = \dfrac{5}{18} - \dfrac{7 \times 2}{9 \times 2}$
$C = \dfrac{5}{18} - \dfrac{14}{18} = -\dfrac{9}{18}$
$C = -\dfrac{1}{2}$

$D = \dfrac{4}{15} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{15} + \dfrac{2 \times 3}{5 \times 3}$
$D = \dfrac{4}{15} + \dfrac{6}{15} = \dfrac{10}{15}$
$D = \dfrac{2}{3}$

$E = \dfrac{1}{3} + 1 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{3}$
$E = \dfrac{4}{3}$

$F = \dfrac{-3}{7} - \dfrac{1}{14} = \dfrac{-3 \times 2}{7 \times 2} - \dfrac{1}{14}$
$F = \dfrac{-6}{14} - \dfrac{1}{14} = \dfrac{-7}{14}$
$F = -\dfrac{1}{2}$

$G = 2 - \dfrac{-3}{1} = 2 + 3 = 5$

$H = \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2 \times 2}{9 \times 2} + \dfrac{1 \times 3}{6 \times 3}$
$H = \dfrac{4}{18} + \dfrac{3}{18} = \dfrac{7}{18}$

$I = \dfrac{9}{15} - \dfrac{-7}{10} = \dfrac{9 \times 2}{15 \times 2} - \dfrac{-7 \times 3}{10 \times 3}$
$I = \dfrac{18}{30} + \dfrac{21}{30} = \dfrac{39}{30}$
$I = \dfrac{13}{10}$

$J = -8 + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{8 \times 4}{4} + \dfrac{1}{4}$
$J = -\dfrac{32}{4} + \dfrac{1}{4} = -\dfrac{31}{4}$

$K = \dfrac{5}{30} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{5}{30} + \dfrac{2 \times 2}{15 \times 2}$
$K = \dfrac{5}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{9}{30} = \dfrac{3}{10}$

$L = \dfrac{-1}{14} + \dfrac{-2}{21} = \dfrac{-1 \times 3}{14 \times 3} + \dfrac{-2 \times 2}{21 \times 2}$
$L = \dfrac{-3}{42} + \dfrac{-4}{42} = \dfrac{-7}{42}$
$L = -\dfrac{1}{6}$

$M = \dfrac{3}{14} - \dfrac{2}{21} = \dfrac{3 \times 3}{14 \times 3} - \dfrac{2 \times 2}{21 \times 2}$
$M = \dfrac{9}{42} - \dfrac{4}{42} = \dfrac{5}{42}$

$N = \dfrac{5}{18} + \dfrac{1}{27} = \dfrac{5 \times 3}{18 \times 3} + \dfrac{1 \times 2}{27 \times 2}$
$N = \dfrac{15}{54} + \dfrac{2}{54} = \dfrac{17}{54}$

$O = \dfrac{1}{24} - \dfrac{-1}{30} = \dfrac{1 \times 5}{24 \times 5} - \dfrac{-1 \times 4}{30 \times 4}$
$O = \dfrac{5}{120} + \dfrac{4}{120} = \dfrac{9}{120}$
$O = \dfrac{3}{40}$

$P = \dfrac{-1}{9} + \dfrac{1}{-15} = \dfrac{-1 \times 5}{9 \times 5} + \dfrac{1 \times 3}{-15 \times 3}$
$P = -\dfrac{5}{45} - \dfrac{3}{45} = -\dfrac{8}{45}$

$Q = \dfrac{19}{42} + \dfrac{2}{21} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{19}{42} + \dfrac{2 \times 2}{21 \times 2} - \dfrac{1 \times 14}{3 \times 14}$
$Q = \dfrac{19}{42} + \dfrac{4}{42} - \dfrac{14}{42} = \dfrac{9}{42}$
$Q = \dfrac{3}{14}$

$R = \dfrac{17}{42} + \dfrac{2}{21} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{17}{42} + \dfrac{4}{42} - \dfrac{14}{42}$
$R = \dfrac{7}{42} = \dfrac{1}{6}$

$S = \dfrac{8}{35} - \dfrac{-2}{35} = \dfrac{8}{35} + \dfrac{2}{35}$
$S = \dfrac{10}{35} = \dfrac{2}{7}$

$T = \dfrac{3}{8} - 2 - \dfrac{-1}{8} = \dfrac{3}{8} - \dfrac{2 \times 8}{8} + \dfrac{1}{8}$
$T = \dfrac{3}{8} - \dfrac{16}{8} + \dfrac{1}{8} = -\dfrac{12}{8}$
$T = -\dfrac{4 \times 3}{4 \times 2} = -\dfrac{3}{2}$

$U = \dfrac{7}{3} \times \dfrac{27}{14} = \dfrac{7 \times 9 \times 3}{3 \times 7 \times 2} = \dfrac{9}{2}$

$V = \dfrac{-8}{5} \times \dfrac{-15}{16} = \dfrac{-8 \times (-15)}{5 \times 16}$
$V = \dfrac{2 \times 4 \times 5 \times 3}{5 \times 4 \times 2 \times 2} = \dfrac{3}{2}$

$W = \dfrac{3}{-4} : \dfrac{-9}{40} = \dfrac{3}{-4} \times \dfrac{40}{-9}$
$W = \dfrac{3 \times 4 \times 10}{4 \times 3 \times 3} = \dfrac{10}{3}$

$X = \dfrac{16}{9} \times \dfrac{3}{14} \times \dfrac{5}{8} = \dfrac{16 \times 3 \times 5}{9 \times 14 \times 8}$
$X = \dfrac{2 \times 2 \times 4 \times 3 \times 5}{3 \times 3 \times 7 \times 2 \times 4 \times 2} = \dfrac{5}{3 \times 7}$
$X = \dfrac{5}{21}$

exercice 3

$A = \dfrac{10}{3} : \dfrac{4}{9} = \dfrac{10}{3} \times \dfrac{9}{4}$
$A = \dfrac{2 \times 5 \times 3 \times 3}{3 \times 2 \times 2} = \dfrac{5 \times 3}{2}$
$A = \dfrac{15}{2}$

$B = -14 \times \dfrac{-2}{21} = \dfrac{7 \times 2 \times 2}{7 \times 3}$
$B = \dfrac{2 \times 2}{3} = \dfrac{4}{3}$

$C = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{16}{9} = \dfrac{3 \times 4 \times 4}{4 \times 3 \times 3}$
$C = \dfrac{4}{3}$

$D = \dfrac{35}{6} : \dfrac{14}{15} = \dfrac{35}{6} \times \dfrac{15}{14}$
$D = \dfrac{7 \times 5 \times 3 \times 5}{3 \times 2 \times 7 \times 2} = \dfrac{5 \times 5}{2 \times 2}$
$D = \dfrac{25}{4}$

$E = \dfrac{8}{45} \times \dfrac{-3}{2} \times \dfrac{25}{-24} = \dfrac{8 \times 3 \times 25}{45 \times 2 \times 24}$
$E = \dfrac{8 \times 3 \times 5 \times 5}{5 \times 9 \times 2 \times 3 \times 8} = \dfrac{5 }{9 \times 2}$
$E = \dfrac{5 }{18}$

$F = 3 \times \dfrac{8}{9} = \dfrac{3 \times 8}{3 \times 3}$
$F = \dfrac{8}{3}$

$G = 15 : \dfrac{25}{3} = 15 \times \dfrac{3}{25}$
$G = \dfrac{5 \times 3 \times 3}{5 \times 5} = \dfrac{9}{5}$

$H = \dfrac{9}{-25} \times \dfrac{75}{-36} = \dfrac{3 \times 3 \times 3 \times 25}{25 \times 3 \times 3 \times 4}$
$H = \dfrac{3}{4}$

$I = \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\right) \times \dfrac{16}{9} = \left(\dfrac{1 \times 2}{2 \times 2} - \dfrac{3}{4}\right) \times \dfrac{16}{9}$
$I = \left(\dfrac{2}{4} - \dfrac{3}{4}\right) \times \dfrac{16}{9} = -\dfrac{1}{4} \times \dfrac{16}{9}$
$I = -\dfrac{1 \times 4 \times 4}{4 \times 9} = -\dfrac{4}{9}$

$J = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} \times \dfrac{16}{9} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3 \times 4 \times 4}{4 \times 3 \times 3}$
$J = \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{8}{6}$
$J = -\dfrac{5}{6}$

$K = \dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{10} \times \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{5} - \dfrac{3 \times 1}{10 \times 2 \times 3} + \dfrac{1}{2}$
$K = \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{20} - \dfrac{1}{20} + \dfrac{10}{20}$
$K = \dfrac{13}{20}$

$L = \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{10}\right) \times \left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{2} \right) = \left(\dfrac{2}{10} - \dfrac{3}{10}\right) \times \left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{6} \right)$
$L = -\dfrac{1}{10} \times \dfrac{4}{6} = -\dfrac{1}{10} \times \dfrac{2}{3}$
$L = -\dfrac{1 \times 2}{2 \times 5 \times 3} = -\dfrac{1}{5 \times 3}$
$L = -\dfrac{1}{15}$

$M = \left(\dfrac{3}{4} \right)^2 = \dfrac{3^2}{4^2}$
$M = \dfrac{9}{16}$

$N = \dfrac{3^2}{4} = \dfrac{9}{4}$

$O = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{10} \times \dfrac{35}{9} = \dfrac{2}{3} + \dfrac{3 \times 35}{10 \times 3 \times 3}$
$O = \dfrac{2}{3} + \dfrac{35}{30} = \dfrac{20}{30} + \dfrac{35}{30}$
$O = \dfrac{55}{30} = \dfrac{5 \times 11}{5 \times 6}$
$O = \dfrac{11}{6}$

$P = \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{10} \right) \times \dfrac{35}{9} = \left(\dfrac{20}{30} + \dfrac{9}{30} \right) \times \dfrac{35}{9}$
$P = \dfrac{29}{30} \times \dfrac{35}{9} = \dfrac{29 \times 7 \times 5}{6 \times 5 \times 9}$
$P = \dfrac{203}{54}$

$Q = \left(1 - \dfrac{1}{2} \right) : \left(2 - \dfrac{1}{4} \right) = \left(\dfrac{2}{2} - \dfrac{1}{2} \right) : \left(\dfrac{8}{4} - \dfrac{1}{4} \right)$
$Q = \dfrac{1}{2} : \dfrac{7}{4} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{7}$
$Q = \dfrac{1 \times 4}{2 \times 7} = \dfrac{2}{7}$

$R = 1 - \dfrac{1}{2} : 2 - \dfrac{1}{4} = 1 - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}$
$R = 1 - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4}$
$R = \dfrac{2}{4} = \dfrac{2}{2 \times 2}$
$R = \dfrac{1}{2}$

$S = \dfrac{\dfrac{3}{4} - \dfrac{5}{2}}{7} = \dfrac{\dfrac{3}{4} - \dfrac{10}{4}}{7}$
$S = \dfrac{-\dfrac{7}{4}}{7} = -\dfrac{7}{4} \times \dfrac{1}{7}$
$S = -\dfrac{7 \times 1}{4 \times 7} = -\dfrac{1}{4}$

$T = \left(\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{3}\right)^2 \times \dfrac{9}{2} = \left(\dfrac{1}{9} - \dfrac{3}{9}\right)^2 \times \dfrac{9}{2}$
$T = \left(-\dfrac{2}{9}\right)^2 \times \dfrac{9}{2} = \dfrac{4}{81} \times \dfrac{9}{2}$
$T = \dfrac{2 \times 2 \times 9}{9 \times 9 \times 2} = \dfrac{2}{9}$

$U = \dfrac{\dfrac{5}{3} - \dfrac{7}{9}}{\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{15}{9} - \dfrac{7}{9}}{\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{4}}$
$U = \dfrac{\dfrac{8}{9}}{-\dfrac{1}{4}} = -\dfrac{8}{9} \times 4$
$U = -\dfrac{32}{9}$

$V = \dfrac{1 - 5^2}{(1 - 5)^2} = \dfrac{1 - 25}{(-4)^2}$
$V = \dfrac{- 24}{16} = \dfrac{- 3 \times 8}{2 \times 8}$
$V = \dfrac{- 3}{2}$

$W = \left(\dfrac{6}{-7}\right)^2 = \dfrac{6^2}{(-7)^2}$
$W = \dfrac{36}{49}$

$X = \dfrac{5^2}{-3} = -\dfrac{25}{3}$

$Y = \left(\dfrac{1}{10} - \dfrac{7}{15}\right) : \left(\dfrac{7}{6} + \dfrac{7}{16}\right) = \left(\dfrac{3}{30} - \dfrac{14}{30}\right) : \left(\dfrac{56}{48} + \dfrac{21}{48}\right)$
$Y = -\dfrac{11}{30} : \dfrac{77}{48} = -\dfrac{11}{30} \times \dfrac{48}{77}$
$Y = -\dfrac{11 \times 2 \times 3 \times 8}{2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11} = -\dfrac{8}{5 \times 7}$
$Y = -\dfrac{8}{35}$

$Z = \dfrac{1}{8} - \dfrac{7}{12} : \left(\dfrac{7}{6} + \dfrac{7}{16}\right) = \dfrac{1}{8} - \dfrac{7}{12} : \left(\dfrac{56}{48} + \dfrac{21}{48}\right)$
$Z = \dfrac{1}{8} - \dfrac{7}{12} : \dfrac{77}{48} = \dfrac{1}{8} - \dfrac{7}{12} \times \dfrac{48}{77}$
$Z = \dfrac{1}{8} - \dfrac{7 \times 12 \times 4}{12 \times 7 \times 11} = \dfrac{1}{8} - \dfrac{4}{11}$
$Z = \dfrac{11}{88} - \dfrac{32}{88} = -\dfrac{21}{88}$

$A' = \dfrac{\dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{12}}{\dfrac{5}{6} - \dfrac{4}{15}} = \dfrac{\dfrac{3}{24} + \dfrac{14}{24}}{\dfrac{25}{30} - \dfrac{8}{30}}$
$A' = \dfrac{\dfrac{17}{24}}{\dfrac{17}{30}} = \dfrac{17}{24} \times \dfrac{30}{17}$
$A' = \dfrac{17 \times 2 \times 3 \times 5}{2 \times 4 \times 3 \times 17} = \dfrac{5}{4}$

$B' = \left(\dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{12}\right) \times \left(\dfrac{6}{5} - \dfrac{15}{4}\right) = \left(\dfrac{3}{24} + \dfrac{14}{24}\right) \times \left(\dfrac{24}{20} - \dfrac{75}{20}\right)$
$B' = \dfrac{17}{24} \times \left(-\dfrac{51}{20}\right) = -\dfrac{17 \times 51}{24 \times 20}$
$B' = -\dfrac{17 \times 3 \times 17}{3 \times 8 \times 20} = -\dfrac{289}{160}$

exercice 4

1. Déterminons la fraction de la masse de la préparation représentant la masse d'oeufs :
$\displaystyle{1 - \frac{1}{4} - \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} - \frac{9}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}} \\ = \displaystyle{1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} - \frac{3}{4} \times \frac{1}{1} \times \frac{1}{2}} \\ = \displaystyle{1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \frac{3}{8}} \\ = \displaystyle{\frac{24}{24} - \frac{6}{24} - \frac{4}{24} - \frac{9}{24}} \\ = \displaystyle{\frac{24-6-4-9}{24}} \\ = \displaystyle{\frac{5}{24}}$
La masse d'oeufs représente les $\displaystyle \frac{5}{24}}$ de la masse de la préparation.
Explications :
Masse de la farine : la masse de farine représente le quart de la masse de la préparation, soit $\displaystyle \frac{1}{4}$
Masse du sucre : la masse de sucre représente les deux tiers de la masse de farine, soit $\displaystyle{\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}}$
Masse de lait : la masse de lait représente les neuf quarts de la masse de sucre, soit $\displaystyle{\frac{9}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}}$

2.Sachant qu'il y a environ 300 grammes de pâte, la masse des oeufs est :
$\frac{5}{24} \times 300 = 62,5$ .
Il y a environ 62,5 g d'oeuf dans cette préparation.
Sachant qu'un oeuf pèse environ 30 grammes, nous pouvons en conclure qu'il y a deux oeufs dans cette préparation.

exercice 5

1.
$\text{A} = \displaystyle{\frac{1}{5+3} = \boxed{\frac{1}{8}}} \\ \text{B} = \displaystyle{\frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{4}{6} = \boxed{\frac{2}{3}}} \\ \text{C} = \displaystyle{\frac{1}{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = \boxed{6}} \\ \text{D} = \displaystyle{\frac{1}{\frac{1}{3}}-\frac{1}{\frac{1}{5}} = 3 - 5 = \boxed{- 2}}$

2. a) Prenons deux nombres : 2 et 3.
La somme des inverses de ces deux nombres est : $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$
L'inverse de la somme de ces deux nombres est : $\displaystyle{\frac{1}{2 + 3} = \frac{1}{5}}$
Et $\displaystyle \frac{5}{6} \neq \frac{1}{5}$ , donc $\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{1}{2 + 3}$
Conclusion : La somme des inverses de deux nombres n'est pas égale à l'inverse de la somme de ces deux nombres.

2. b) Prenons deux nombres : 2 et 3.
La différence des inverses de ces deux nombres est : $\displaystyle{\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}}$
L'inverse de la différence ces deux nombres est : $\displaystyle{\frac{1}{2-3}} = -1$
Et $\displaystyle \frac{1}{6} \neq -1$ , donc $\displaystyle{\frac{1}{2} - \frac{1}{3} \neq \frac{1}{2-3}$
Conclusion : La différence des inverses de deux nombres n'est pas égale à l'inverse de la différence de ces deux nombres.

Publié par Tom_Pascal le 08-11-2022

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