Fiche de mathématiques
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FRACTIONS : des calculs

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exercice 1


On donne :

A=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}+1\hspace{2cm}B=\dfrac{12}{25}\times \dfrac{20}{9}\hspace{2cm}C=\dfrac{8}{3}\div \dfrac{5}{2}

Montrer que A, B et C sont égaux.

exercice 2


Calculer A et B. Les résultats seront donnés sous forme de fractions aussi simplifiées que possible.

A=\dfrac{8}{7}\times\dfrac{21}{16}-\dfrac{4}{7}\hspace {4cm}B=3-2\times\dfrac{5}{3}

exercice 3


Soit S la fonction définie sur \textbf{R } par :
S(x)=-3x^2+8x-4


a) Calculer les images par S des valeurs suivantes :
x=0\;, x=1\;,x=-1\;, x=\dfrac{1}{3} \;, x=-\dfrac{1}{3} \;,x=2\;,  x=\dfrac{4}{3} \;,  x=\dfrac{8}{3} \;,x=3.5


b) On prend un repère orthogonal du plan (unités : 3 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée).
Placer dans ce repère les points de coordonnées (x;S(x)).
En reliant ces points à main levée, donner l'allure de la courbe représentant la fonction S.




exercice 1


A=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}+1
Il s'agit d'une addition. On réduit au même dénominateur, ici 15.

A=\dfrac{2}{3}-\dfrac{3}{5}+1=\dfrac{2\times 5}{15}-\dfrac{3_\times 3}{15}+\dfrac{15}{15}=\dfrac{10}{15}-\dfrac{9}{15}+\dfrac{15}{15}=\dfrac{10-9+15}{15}=\dfrac{16}{15}

B=\dfrac{12}{25}\times \dfrac{20}{9}
Il s'agit d'un produit. On multiplie les numérateurs entre-eux et les dénominateurs entre-eux.
B=\dfrac{12}{25}\times \dfrac{20}{9}= \dfrac{12\times 20}{25\times 9}= \dfrac{3\times 4\times 4\times 5}{5\times 5\times 3\times 3}=\dfrac{\cancel{3}\times 4\times 4\times \cancel{5}}{5\times \cancel{5}\times \cancel{3}\times 3}=\dfrac{16}{15}

C=\dfrac{8}{3}\div \dfrac{5}{2}
Pour diviser un nombre par une fraction, on multiplie ce nombre par l'inverse de la fraction.
C=\dfrac{8}{3}\div \dfrac{5}{2}=\dfrac{8}{3}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{8\times 2}{3\times 5}= \dfrac{16}{15}

Conclusion : A=B=C


exercice 2


A=\dfrac{8}{7}\times\dfrac{21}{16}-\dfrac{4}{7}
La multiplication est prioritaire.
A=\dfrac{8}{7}\times\dfrac{21}{16}-\dfrac{4}{7}=\dfrac{8\times 21}{7\times 16}-\dfrac{4}{7}=\dfrac{\cancel{8}\times 3\times \cancel{7}}{\cancel{7}\times 2\times \cancel{8}}-\dfrac{4}{7}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{7}=\dfrac{3\times 7}{2\times 7}-\dfrac{4\times 2}{7\times 2}}=\dfrac{21}{14}-\dfrac{8}{14}=\dfrac{13}{14}

B=3-2\times\dfrac{5}{3}
La multiplication est prioritaire.
B=3-2\times\dfrac{5}{3}=3-\dfrac{10}{3}=\dfrac{9}{3}-\dfrac{10}{3}=-\dfrac{1}{3}


exercice 3


On donne : S(x)=-3x^2+8x-4.

a) Calculer l'image de 0\text{ par }S.
Pour cela il suffit de calculer S(0) que l'on obtient en remplaçant x\text{ par } 0 dans l'expression S(x).
S(0)=-3\times 0^2+8\times 0-4=-4
L'image de 0 \text{ par S est } -4.
Calculer l'image de 1\text{ par }S.
S(1)=-3\times 1^2+8\times 1-4=1
L'image de 1 \text{ par S est }1.

On fait de même pour les images suivantes.

S(-1)=-3\times (-1)^2+8\times (-1)-4=-3\times 1 -8 -4= -3-8-4=-15
L'image de -1 \text{ par S est }-15.

S\left(\dfrac{1}{3}\right)=-3\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^2+8\times \left(\dfrac{1}{3}\right)-4=-3\times\left\dfrac{1}{9}+\dfrac{8}{3}-4=\dfrac{-1}{3}+\dfrac{8}{3}-\dfrac{12}{3}=-\dfrac{5}{3}
\text{L'image de }\dfrac{1}{3} \text{ par S est }-\dfrac{5}{3}.

S\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-3\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+8\times \left(-\dfrac{1}{3}\right)-4=-3\times\left\dfrac{1}{9}-\dfrac{8}{3}-4=\dfrac{-1}{3}-\dfrac{8}{3}-\dfrac{12}{3}=-\dfrac{21}{3}=-7
\text{L'image de }-\dfrac{1}{3} \text{ par S est }-7.

S(2)=-3\times 2^2+8\times 2-4=-3\times 4 +16 -4= -12+16-4=0
\text{L'image de }2 \text{ par S est }0.

S\left(\dfrac{4}{3}\right)=-3\times \left(\dfrac{4}{3}\right)^2+8\times \left(\dfrac{4}{3}\right)-4=-3\times\left\dfrac{16}{9}+\dfrac{32}{3}-4=\dfrac{-16}{3}+\dfrac{32}{3}-\dfrac{12}{3}=\dfrac{4}{3}
\text{L'image de }\dfrac{4}{3} \text{ par S est }\dfrac{4}{3}.

S\left(\dfrac{8}{3}\right)=-3\times \left(\dfrac{8}{3}\right)^2+8\times \left(\dfrac{8}{3}\right)-4=-3\times\left\dfrac{64}{9}+\dfrac{64}{3}-4=\dfrac{-64}{3}+\dfrac{64}{3}-4=-4
\text{L'image de }\dfrac{8}{3} \text{ par S est }-4.

S(3.5)=-3\times 3.5^2+8\times 3.5-4=-3\times12.25+\28-4=-36.75+24=-12.75
\text{L'image de }3.5\text{ par S est }-12.75.


b) Soit \mathcal{C}_S la courbe de la fonction S dans le repère choisi.

\textbf{\`A savoir :}
Dire que S(x)=y revient à dire que le point M(x\,;y) appartient à \mathcal{C}_S.


Donc dire que S(0)=-4 revient à dire que le point A(0\,;-4) appartient à \mathcal{ C}_S
De même, B(1\,;1)\;, C(-1\,;-15)\;,D\left(\dfrac{1}{3}\,;-\dfrac{5}{3}\right)\;,E\left(-\dfrac{1}{3}\,;-7\right)
F\left(2\,;0\right)\;,G\left(\dfrac{4}{3}\,;\dfrac{4}{3}\right)\;,H\left(\dfrac{8}{3}\,;-4\right)\;,K(3.5\,;-12.75) sont des points de la courbe \mathcal{C}_S.

On place les points A,B,C,D,E,F,G,H,K dans le repère du plan, et on trace l'allure de la courbe.

3 exercices sur les fractions et des calculs - troisième : image 34
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