Fiche de mathématiques

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Exercices maison

exercice 1

1. Résoudre le système :
$\left \lbrace \begin{array}{l} 3x-y+5=0 \\ x+3y-5=0 \\ \end{array} \right.$
2. Dans un repère orthonormal, construire les droites D₁ et D₂ d'équation respectives $y = 3x + 5$ et $y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$ .
Quelles sont les coordonnées du point A d'intersection? On fera seulement une lecture graphique. Pouvait-on prévoir ce résultat ?
3. Les droites D₁ et D₂ coupent l'axe des abscisses respectivement en E et F. Prouver que le triangle AEF est rectangle.

exercice 2

Soit le nombre C = $7\sqrt{10}\sqrt{\dfrac{12}{5}}$ .
Mettre C sous la forme $a\sqrt{b}$ ( $a$ et $b$ étant des nombres entiers et $b$ le plus petit possible).

exercice 3

Calculer A = $3\sqrt{3}+3\sqrt{12}-2\sqrt{75}$ .

exercice 4

Soit E = (2x + 5)² - 5(2x + 5)
a) Développer et réduire E.
b) Mettre E sous la forme d'un produit de facteurs.
c) Résoudre l'équation : 2x(2x + 5) = 0.

exercice 5

Ce dessin représente deux terrains rectangulaires:

activités numériques - troisième : image 6

a) Ecrire en fonction de x les aires S₁ et S₂ dans chaque parcelle.
b) Calculer x pour que les aires S₁ et S₂ soient égales.

exercice 6

Compléter le tableau suivant.

Questions	Rép. 1 proposée	Rép. 2 proposée	Rép. 3 proposée	Choix
$\sqrt{8}+\sqrt{18}$ peut s'écrire:	$\sqrt{26}$	$5\sqrt{2}$	$\pm5\sqrt{2}$
L'équation: 3x²-27 = 0 admet pour solution	x=+3 et x=-3	x=+3 seulement	x=+9 et x=-9
L'inéquation: -3x+1 < -2x-3 est vérifiée si	x < 4	-4 < x < 4	x > 4
$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}$ est égal à:	$\dfrac{15}{8}$	$\dfrac{4}{15}$	1,87
3²+3^-2 est égal à:	3⁰	$\dfrac{82}{9}$	0

Voir la correction

exercice 1

1. Résolution du système (les lignes 1 et 2 seront notées respectivement L₁ et L₂)
$\left \lbrace \begin{array}{l} 3x-y+5=0 \\ x+3y-5=0 \\ \end{array} \right.$
On multiplie la L₁ par 3
$\left \lbrace \begin{array}{l} 9x-3y+15=0 \\ x+3y-5=0 \\ \end{array} \right.$
On remplace la ligne 1 par L₁ + L₂
$\left \lbrace \begin{array}{l} 10x+10=0 \\ x+3y-5=0 \\ \end{array} \right.$
Et on résout
$\left \lbrace \begin{array}{l} 10x=-10 \\ x+3y-5=0 \\ \end{array} \right.$
$\left \lbrace \begin{array}{l} x=-1 \\ x+3y-5=0 \\ \end{array} \right.$
Maintenant qu'on a trouvé x, on le remplace par sa valeur dans L₂
$\left \lbrace \begin{array}{l} x=-1 \\ -1+3y-5=0 \\ \end{array} \right.$
Et on résout
$\left \lbrace \begin{array}{l} x=-1 \\ 3y=6 \\ \end{array} \right.$
$\left \lbrace \begin{array}{l} x=-1 \\ y=2 \\ \end{array} \right.$
Le couple solution est donc : (-1 ; 2)

2.La lecture graphique donne comme point d'intersection des deux droites le point A(-1 ;2)

3. La droite D₁ : $y = 3x + 5$ coupe l'axe des abscisses en E.
Le point E a donc pour ordonnée $y_E = 0$ .
Pour trouver son abscisse, utilisons l'équation de la droite D₁. E appartient à D₁ donc ses coordonnées vérifient l'équation de D₁. Ainsi :
$y_E = 3x_E + 5$

Comme $y_E = 0$ , on obtient $0 = 3x_E + 5$
soit $3x_E=-5 \Longrightarrow x_E=\dfrac{-5}{3}$
Donc E( $-\dfrac{5}{3}$ ; 0)

La droite D₂ : $y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}$ coupe l'axe des abscisses en F.
Le point F a donc pour ordonnée $y_F = 0$ .
Pour trouver son abscisse, utilisons l'équation de la droite D₂. F appartient à D₂ donc ses coordonnées vérifient l'équation de D₂. Ainsi :
$y_F = -\dfrac{1}{3}x_F + \dfrac{5}{3}$

Comme $y_F = 0$ , on obtient $1 = -\dfrac{1}{3}x_F + \dfrac{5}{3}$
soit $\dfrac{1}{3}x_F=\drac{5}{3} \Longrightarrow x_F=5$
Donc F(5 ; 0)

Calculons à présent les distances AE, AF et EF : La distance entre deux points A( $x_A;y_A$ ) et B( $x_B;y_B$ ) du plan dont les coordonnées sont connues est donnée par :
AB = $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Calcul de AE² : A(-1 ;2) et E( $-\dfrac{5}{3}$ ; 0)

AE² = $(x_E-x_A)^2+(y_E-y_A)^2$
AE² = $\left(-\dfrac{5}{3}-(-1)\right)^2+(0-2)^2$
AE² = $\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+4$
AE² = $\dfrac{40}{9}$

Calcul de AF² : A(-1 ;2) et F(5 ; 0)

AF² = $(x_F-x_A)^2+(y_F-y_A)^2$
AF² = $(5-(-1))^2 + (0-2)^2$
AF² = $6^2 + 2^2$
AF² = $40$

Calcul de EF² : E( $-\dfrac{5}{3}$ ; 0) et F(5 ; 0)

EF² = $(x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2$
EF² = $\left(5-\left(-\dfrac{5}{3}\right)\right)^2+(0-0)^2$
EF² = $\left(\dfrac{20}{3}\right)^2$
EF² = $\dfrac{400}{9}$

Calculons AE² + AF² :

AE² + AF² = $\dfrac{40}{9} + 40 = \dfrac{40}{9} + \dfrac{360}{9}$
AE² + AF² = $\dfrac{400}{9}$ = EF²
On a alors AE² + AF² = EF²
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AEF est rectangle.

exercice 2

C = $7\sqrt{10}\sqrt{\dfrac{12}{5}}$
C = $7\sqrt{10\times\dfrac{12}{5}}$
C = $7\sqrt{24}$
C = $7\sqrt{6\times4}$
C = $7\times2\sqrt{6}$
C = $14\sqrt{6}$

exercice 3

A = $3\sqrt{3}+3\sqrt{12}-2\sqrt{75}$
A = $3\sqrt{3}+3\sqrt{4\times3}-2\sqrt{25\times3}$
A = $3\sqrt{3}+3\times2\sqrt{3}-2\times5\sqrt{3}$
A = $3\sqrt{3}+6\sqrt{3}-10\sqrt{3}$
A = $-\sqrt{3}$

exercice 4

a) Développons E :
E = (2x + 5)² - 5(2x + 5)
E = (2x)² + 2×5×2x + 5² - 5×2x - 5×5
E = 4x² + 20x + 25 - 10x - 25
E = 4x² + 10x

b) Factorisons E :
E = (2x + 5)² - 5(2x + 5)
E = (2x +5)[(2x + 5) -5]
E = 2x(2x + 5)

c) Résolvons E = 0 :
E = 0
$\Longleftrightarrow$ 2x(2x + 5) = 0
$\Longleftrightarrow$ 2x = 0     ou     2x + 5 = 0
$\Longleftrightarrow$ x = 0     ou     2x = -5
$\Longleftrightarrow$ x = 0     ou     x = $-\dfrac{5}{2}$

Les solutions de l'équation sont 0 et $-\dfrac{5}{2}$ .

exercice 5

a) On rappelle que l'aire d'un rectangle est :
A = L × l
Avec L = Longueur et l = largeur

Rectangle 1
Longueur : x
Largeur : 25 - 4 = 21 m
Aire = Longueur x largeur = 21x
S₁ = 21x

Rectangle 2
Longueur : 92 - x
Largeur : 25
Aire = Longueur x largeur = 25(92 - x) = 2300 - 25x
S₂ = 2300 - 25x

b) On cherche x tel que les aires soient égales
Ceci revient à écrire que :
S₁ = S₂
21x = 2300 - 25x
21x + 25x = 2300
46x = 2300
x = 50
Donc pour que les aires S1 et S2 soient égales, il faut que x = 50.

exercice 6

Questions	Réponse 1 proposée	Réponse 2 proposée	Réponse 3 proposée	Réponse choisie
$\sqrt{8}+\sqrt{18}$ peut s'écrire:	$\sqrt{26}$	$5\sqrt{2}$	$\pm5\sqrt{2}$	$5\sqrt{2}$
L'équation: 3x²-27 = 0 admet pour solution	x=+3 et x=-3	x=+3 seulement	x=+9 et x=-9	x=+3 et x=-3
L'inéquation: -3x+1 < -2x-3 est vérifiée si	x < 4	-4 < x < 4	x > 4	x > 4
$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}$ est égal à:	$\dfrac{15}{8}$	$\dfrac{4}{15}$	1,87	$\dfrac{15}{8}$
3²+3^-2 est égal à:	3⁰	$\dfrac{82}{9}$	0	$\dfrac{82}{9}$

Détail des calculs:
1. $\sqrt{8}+\sqrt{18} = \sqrt{4\times2}+\sqrt{9\times2} = 2\sqrt{2}+3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

2. 3x² - 27 = 0
$\Longleftrightarrow$ x² - 9 = 0 (on a divisé par 3 les deux membres de l'équation)
$\Longleftrightarrow$ (x - 3)(x + 3) = 0 (identité remarquable ; a²-b² = (a + b)(a - b))
$\Longleftrightarrow$ x - 3 = 0 ou x + 3 = 0
$\Longleftrightarrow$ x = 3 ou x = -3

3. -3x + 1 < -2x -3
$\Longleftrightarrow$ -3x + 2x < -3 -1
$\Longleftrightarrow$ -x < -4
$\Longleftrightarrow$ x > 4

4. $1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8}+\dfrac{4}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8} = \dfrac{15}{8}$

5. $3^2 + 3^{-2} = 3^2 + \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{3^2\times3^2}{3^2}+\dfrac{1}{3^2} = \dfrac{3^4+1}{3^2} = \dfrac{82}{9}$

Publié par Tom_Pascal le 20-09-2019

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