Fiche de mathématiques
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Exercices maison

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exercice 1

1. Résoudre le système :
\left \lbrace \begin{array}{l} 3x-y+5=0 \\ x+3y-5=0 \\ \end{array} \right.
2. Dans un repère orthonormal, construire les droites D1 et D2 d'équation respectives y = 3x + 5 et y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3} .
Quelles sont les coordonnées du point A d'intersection? On fera seulement une lecture graphique. Pouvait-on prévoir ce résultat ?
3. Les droites D1 et D2 coupent l'axe des abscisses respectivement en E et F. Prouver que le triangle AEF est rectangle.



exercice 2

Soit le nombre C = 7\sqrt{10}\sqrt{\dfrac{12}{5}}.
Mettre C sous la forme a\sqrt{b} (a et b étant des nombres entiers et b le plus petit possible).



exercice 3

Calculer A = 3\sqrt{3}+3\sqrt{12}-2\sqrt{75}.



exercice 4

Soit E = (2x + 5)² - 5(2x + 5)
a) Développer et réduire E.
b) Mettre E sous la forme d'un produit de facteurs.
c) Résoudre l'équation : 2x(2x + 5) = 0.



exercice 5

Ce dessin représente deux terrains rectangulaires:
activités numériques - troisième : image 6

a) Ecrire en fonction de x les aires S1 et S2 dans chaque parcelle.
b) Calculer x pour que les aires S1 et S2 soient égales.



exercice 6

Compléter le tableau suivant.
Questions Rép. 1 proposée Rép. 2 proposée Rép. 3 proposée Choix
\sqrt{8}+\sqrt{18} peut s'écrire: \sqrt{26} 5\sqrt{2} \pm5\sqrt{2}  
L'équation: 3x²-27 = 0 admet pour solution x=+3 et x=-3 x=+3 seulement x=+9 et x=-9  
L'inéquation: -3x+1 < -2x-3 est vérifiée si x < 4 -4 < x < 4 x > 4  
1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8} est égal à: \dfrac{15}{8} \dfrac{4}{15} 1,87  
32+3-2 est égal à: 30 \dfrac{82}{9} 0  




exercice 1

1. Résolution du système (les lignes 1 et 2 seront notées respectivement L1 et L2)
\left \lbrace \begin{array}{l} 3x-y+5=0 \\ x+3y-5=0 \\ \end{array} \right.
On multiplie la L1 par 3
\left \lbrace \begin{array}{l} 9x-3y+15=0 \\ x+3y-5=0 \\ \end{array} \right.
On remplace la ligne 1 par L1 + L2
\left \lbrace \begin{array}{l} 10x+10=0 \\ x+3y-5=0 \\ \end{array} \right.
Et on résout
\left \lbrace \begin{array}{l} 10x=-10 \\ x+3y-5=0 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} x=-1 \\ x+3y-5=0 \\ \end{array} \right.
Maintenant qu'on a trouvé x, on le remplace par sa valeur dans L2
\left \lbrace \begin{array}{l} x=-1 \\ -1+3y-5=0 \\ \end{array} \right.
Et on résout
\left \lbrace \begin{array}{l} x=-1 \\ 3y=6 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} x=-1 \\ y=2 \\ \end{array} \right.
Le couple solution est donc : (-1 ; 2)

2.La lecture graphique donne comme point d'intersection des deux droites le point A(-1 ;2)

3. La droite D1 : y = 3x + 5 coupe l'axe des abscisses en E.
Le point E a donc pour ordonnée y_E = 0.
Pour trouver son abscisse, utilisons l'équation de la droite D1. E appartient à D1 donc ses coordonnées vérifient l'équation de D1. Ainsi :
y_E = 3x_E + 5

Comme y_E = 0, on obtient 0 = 3x_E + 5
soit 3x_E=-5 \Longrightarrow x_E=\dfrac{-5}{3}
Donc E(-\dfrac{5}{3} ; 0)

La droite D2 : y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3} coupe l'axe des abscisses en F.
Le point F a donc pour ordonnée y_F = 0.
Pour trouver son abscisse, utilisons l'équation de la droite D2. F appartient à D2 donc ses coordonnées vérifient l'équation de D2. Ainsi :
y_F = -\dfrac{1}{3}x_F + \dfrac{5}{3}

Comme y_F = 0, on obtient 1 = -\dfrac{1}{3}x_F + \dfrac{5}{3}
soit \dfrac{1}{3}x_F=\drac{5}{3} \Longrightarrow x_F=5
Donc F(5 ; 0)

Calculons à présent les distances AE, AF et EF :
La distance entre deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B) du plan dont les coordonnées sont connues est donnée par :
AB = \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}


Calcul de AE² : A(-1 ;2) et E(-\dfrac{5}{3} ; 0)

AE² = (x_E-x_A)^2+(y_E-y_A)^2
AE² = \left(-\dfrac{5}{3}-(-1)\right)^2+(0-2)^2
AE² = \left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+4
AE² = \dfrac{40}{9}

Calcul de AF² : A(-1 ;2) et F(5 ; 0)

AF² = (x_F-x_A)^2+(y_F-y_A)^2
AF² = (5-(-1))^2 + (0-2)^2
AF² = 6^2 + 2^2
AF² = 40

Calcul de EF² : E(-\dfrac{5}{3} ; 0) et F(5 ; 0)

EF² = (x_F-x_E)^2+(y_F-y_E)^2
EF² = \left(5-\left(-\dfrac{5}{3}\right)\right)^2+(0-0)^2
EF² = \left(\dfrac{20}{3}\right)^2
EF² = \dfrac{400}{9}


Calculons AE² + AF² :

AE² + AF² = \dfrac{40}{9} + 40  = \dfrac{40}{9} + \dfrac{360}{9}
AE² + AF² = \dfrac{400}{9} = EF²
On a alors AE² + AF² = EF²
Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle AEF est rectangle.



exercice 2

C = 7\sqrt{10}\sqrt{\dfrac{12}{5}}
C = 7\sqrt{10\times\dfrac{12}{5}}
C = 7\sqrt{24}
C = 7\sqrt{6\times4}
C = 7\times2\sqrt{6}
C = 14\sqrt{6}



exercice 3

A = 3\sqrt{3}+3\sqrt{12}-2\sqrt{75}
A = 3\sqrt{3}+3\sqrt{4\times3}-2\sqrt{25\times3}
A = 3\sqrt{3}+3\times2\sqrt{3}-2\times5\sqrt{3}
A = 3\sqrt{3}+6\sqrt{3}-10\sqrt{3}
A = -\sqrt{3}



exercice 4

a) Développons E :
E = (2x + 5)² - 5(2x + 5)
E = (2x)² + 2×5×2x + 5² - 5×2x - 5×5
E = 4x² + 20x + 25 - 10x - 25
E = 4x² + 10x

b) Factorisons E :
E = (2x + 5)² - 5(2x + 5)
E = (2x +5)[(2x + 5) -5]
E = 2x(2x + 5)

c) Résolvons E = 0 :
E = 0
\Longleftrightarrow2x(2x + 5) = 0
\Longleftrightarrow2x = 0     ou     2x + 5 = 0
\Longleftrightarrowx = 0     ou     2x = -5
\Longleftrightarrowx = 0     ou     x = -\dfrac{5}{2}

Les solutions de l'équation sont 0 et -\dfrac{5}{2}.



exercice 5

a) On rappelle que l'aire d'un rectangle est :
A = L × l
Avec L = Longueur et l = largeur

Rectangle 1
Longueur : x
Largeur : 25 - 4 = 21 m
Aire = Longueur x largeur = 21x
S1 = 21x

Rectangle 2
Longueur : 92 - x
Largeur : 25
Aire = Longueur x largeur = 25(92 - x) = 2300 - 25x
S2 = 2300 - 25x

b) On cherche x tel que les aires soient égales
Ceci revient à écrire que :
S1 = S2
21x = 2300 - 25x
21x + 25x = 2300
46x = 2300
x = 50
Donc pour que les aires S1 et S2 soient égales, il faut que x = 50.



exercice 6


Questions Réponse 1 proposée Réponse 2 proposée Réponse 3 proposée Réponse choisie
\sqrt{8}+\sqrt{18} peut s'écrire: \sqrt{26} 5\sqrt{2} \pm5\sqrt{2} 5\sqrt{2}
L'équation: 3x²-27 = 0 admet pour solution x=+3 et x=-3 x=+3 seulement x=+9 et x=-9 x=+3 et x=-3
L'inéquation: -3x+1 < -2x-3 est vérifiée si x < 4 -4 < x < 4 x > 4 x > 4
1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8} est égal à: \dfrac{15}{8} \dfrac{4}{15} 1,87 \dfrac{15}{8}
32+3-2 est égal à: 30 \dfrac{82}{9} 0 \dfrac{82}{9}


Détail des calculs:
1. \sqrt{8}+\sqrt{18} = \sqrt{4\times2}+\sqrt{9\times2} = 2\sqrt{2}+3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}

2. 3x² - 27 = 0
\Longleftrightarrow x² - 9 = 0 (on a divisé par 3 les deux membres de l'équation)
\Longleftrightarrow (x - 3)(x + 3) = 0 (identité remarquable ; a²-b² = (a + b)(a - b))
\Longleftrightarrow x - 3 = 0     ou     x + 3 = 0
\Longleftrightarrow x = 3     ou     x = -3

3. -3x + 1 < -2x -3
\Longleftrightarrow -3x + 2x < -3 -1
\Longleftrightarrow -x < -4
\Longleftrightarrow x > 4

4. 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8}+\dfrac{4}{8}+\dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{8} = \dfrac{15}{8}

5. 3^2 + 3^{-2} = 3^2 + \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{3^2\times3^2}{3^2}+\dfrac{1}{3^2} = \dfrac{3^4+1}{3^2} = \dfrac{82}{9}
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