Fiche de mathématiques
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Géométrie

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exercice 1

1. Tracer un segment [AB] de longueur 10 cm.
Soit H le point de ce segment tel que AH = 3 cm.
Sur la perpendiculaire à la droite (AB) passant par le point H, placer C tel que AC = 6 cm.

2. Calculer CH. En donner l'arrondi au centième.
Calculer le cosinus de l'angle CÂH . En déduire la mesure en degrés de l'angle CÂH.

3. Par le point H, on mène la parallèle à la droite (BC) qui coupe (AC) en M.
Calculer AM.



exercice 2

On considère le parallélépipède rectangle ci-dessous.
trois activités géométriques - troisième : image 1

AB = 3cm; AD = 8cm; AE = 6cm.
M est le milieu du segment [BC] et N le milieu du segment [BF].

1. Calculer AM et MN. En déduire la nature du triangle AMN.

2. On découpe dans le pavé la pyramide ABMN. Calculer le volume de la partie restante.



exercice 3

Le solide représenté ci-dessous est une pyramide dont la base est un triangle équilatéral ABC de côté 4 cm; la hauteur [SA] de cette pyramide mesure 5 cm; les triangles SAB et SAC sont rectangles en A.
trois activités géométriques - troisième : image 2

1. Soit H le milieu de [BC]. Calculer la valeur exacte de AH.

2. Prouver que le triangle SAH est rectangle. En déduire SH.

3. Calculer la valeur exacte du volume de cette pyramide.



exercice 1

1. Figure :
trois activités géométriques - troisième : image 3


2. Calcul de CH
Le triangle AHC est rectangle en H (par hypothèse (AB) \perp (CH)). On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

AC² = AH² + CH²
CH² = AC² - AH²
CH² = 6² - 3²
CH² = 36 - 9
CH² = 27
CH = \sqrt{27} \\CH = \sqrt{9\times3} \\CH = 3\sqrt{3}
CH \approx 5,20 \text{ cm}
\cos(\widehat{\text{CAH}})=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\dfrac{\text{AH}}{\text{AC}}\\\cos(\widehat{\text{CAH}})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}\\\widehat{\text{CAH}}=60°

3. Calcul de AM:
Les triangles AMH et ABC forment une figure de Thalès. Par hypothèse (MH) // (BC) donc on peut appliquer le Théorème de Thalès :
\dfrac{\text{AM}}{\text{AC}}=\dfrac{\text{AH}}{\text{AB}}

Ce qui nous donne :
\text{AM}=\dfrac{\text{AH}\times\text{AC}}{\text{AB}}\\\text{AM}=\dfrac{3\times6}{10}\\\text{AM}\approx1,8 \text{ cm}




exercice 2

trois activités géométriques - troisième : image 9

1.
Le quadrilatère ABCD est un rectangle donc (AB) \perp (BC). Donc le triangle ABM est rectangle en B. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :

AM² = AB² + BM²

AB = 3 cm
BM = 0,5 × 8 = 4 cm (car M est le milieu de [BC])

AM² = 3² + 4²
AM² = 9 + 16
AM² = 25
AM = 5 (car les longueurs sont toujours positives)

De même, MNB est un triangle rectangle en B :

MN² = BM² + BN²

BM = 4 cm
BN = 0,5 × 6 = 3 cm (car N est le milieu de [BF])

MN² = 4² + 3²
MN² = 16 + 9
MN² = 25
MN = 5

Le triangle AMN est donc isocèle en M puisque AM = MN.

2.
Volume Restant = Volume Parallélépipède - Volume Pyramide

Volume Parallélépipède = (L\timesl\timesh)=\text{AD}\times\text{AB}\times\text{AE}=8\times3\times6=144 \text{ cm}^3
Volume Pyramide = \dfrac{1}{3}\text{Base}\times\text{h}
Base = Aire du triangle MNB = \dfrac{1}{2}\text{BM}\times\text{BN}
\text{h}=\text{AB}
Volume Pyramide = \dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{2}\times\text{BM}\times\text{BN}\times\text{AB} = \dfrac{1}{6}\times4\times3\times3 = 6 \text{ cm}^3

Volume Restant = 144 - 6

Volume Restant = 138 cm³



exercice 3

1. H est le milieu de BC donc [AH] est une médiane du triangle ABC. Comme dans un triangle équilatéral hauteur et médiane sont confondues, [AH] est aussi une hauteur. Donc (AH) et (BC) sont perpendiculaires. Le triangle ABH est donc rectangle en H. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :
AB^2=AH^2+BH^2\\AH^2=AB^2-BH^2\\AH^2=4^2-2^2\\AH^2=16-4
AH^2=12\\AH=\sqrt{12}\\AH=\sqrt{4\times3}\\AH=2\sqrt{3}

2. Par hypothèse, les triangles SAB et SAC sont rectangles en A, donc (SA) \perp (AB) et (SA) \perp (AC). Or si une droite est perpendiculaire à deux droites sécantes, alors elle est perpendiculaire au plan qu'elles forment. (SA) est donc perpendiculaire au plan (ABC). Or si une droite est perpendiculaire à un plan, alors elle est perpendiculaire à toute droite de ce plan. (AH) appartient à (ABC) donc (SA) \perp (AH). Donc le triangle SAH est rectangle en A. On peut donc appliquer le théorème de Pythagore :
SH^2=SA^2+AH^2\\SH^2=5^2+(2\sqrt{3})^2\\SH^2=25+4\times3\\SH^2=37\\SH=\sqrt{37}

3. Volume de la pyramide :
V=\dfrac{1}{3}\text{Base}\times\text{Hauteur}
V=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}\times BC\times AH\right)\times SA
V=\dfrac{1}{6}\times BC\times AH\times SA
V=\dfrac{1}{6}\times4\times2\sqrt{3}\times5
V=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}
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