Fiche de mathématiques
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Inéquations & Électroménager

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Un problème de programmation linéaire


indication : pour les échelles des différents graphiques, il est conseillé de prendre un centimètre pour dix unités.



exercice 1 - Introduction : Inéquations à deux inconnues

On donne les quatre points E, A, B, C caractérisés par leurs coordonnées :
E(20 ; 10) A(20 ; 50) B(40 ; 30) C(50 ; 10).

1. Placer ces points dans un repère puis tracer le polygone EABC.

2. Écrire les équations de droites (EA), (EC), (AB), (BC).

3. Écrire le système de quatre inéquations permettant de caractériser un point intérieur au polygone EABC.



probleme

Dans une usine, on assemble des téléviseurs et des machines à laver. Les pièces détachées sont fournies par un grossiste.
Étudions la production journalière de cette usine.

1. L'assemblage
Les dix ouvriers de l'usine travaillent chacun 7 heures par jour.
Un ouvrier met 1 heure pour assembler et régler un téléviseur. Il met également 1 heure pour assembler une machine à laver.
Si on appelle x le nombre de téléviseurs assemblés et y le nombre de machines à laver assemblées en un jour, traduire par une inéquation le fait qu'on ne dépasse pas la durée totale de travail journalier.

2. Le coût
Les pièces détachées nécessaires ont un coût respectif de 800 F pour un téléviseur et 400 F pour une machine à laver.
Les services financiers ne permettent pas de dépasser une dépense journalière de 44000 F.
    Quel est le prix de revient des pièces nécessaires à la fabrication de x téléviseurs et y machines à laver ?
    Traduire par une inéquation cette contrainte de budget.

3. Les stocks
On estime qu'afin de pouvoir satisfaire aux commandes inopinées, il faut au moins un stock de 20 téléviseurs et 10 machines à laver chaque jour.
Traduire par deux inéquations ces nouvelles exigences.

4. Résolution
Les inéquations écrites représentent simultanément le "système de contraintes" de la production.
    Résoudre graphiquement ce système d'inéquations, et constater que les points à coordonnées entières qui se trouvent à l'intérieur d'un polygone correspondent effectivement à un nombre de téléviseurs et de machines à laver qu'il est possible de produire en une journée.
    Indiquer toutes les solutions correspondant à x et y multiples de 10.

5. Les bénéfices
L'usine revend les téléviseurs et les machines à laver avec un bénéfice net de 600 F pour un téléviseur et de 400 F pour une machine à laver.
    Calculer le bénéfice net correspondant à la fabrication de 30 téléviseurs et 20 machines à laver.
    Si on a fabriqué x téléviseurs et y machines à laver, calculer le bénéfice B en fonction de x et y.
    Que faut-il produire pour avoir un bénéfice de 26 000 F ?
    Tracer sur le graphique précédent la droite correspondant à un bénéfice de 32 000 F et la droite correspondant à un bénéfice de 34 000 F.
Prouver que ces deux droites sont parallèles.
    Existe-t-il une production optimale pour laquelle le bénéfice est maximum ?
Quel est alors le nombre de téléviseurs et le nombre de machines à laver produits en une journée ?
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