Fiche de mathématiques
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Révisions

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INÉQUATIONS

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exercice 1

Les nombres a et b sont multipliés, dans chaque cas, par le nombre entouré.
Compléter l'étoile.
quinze exercices de révision - troisième : image 1




exercice 2

Résoudre les systèmes d'inéquations suivants : (représenter l'ensemble des solutions)
\left \lbrace \begin{array}{l} 0 < 4x + 8 \\ 3x + 2 > 5 \\ \end{array} \right. \left \lbrace \begin{array}{l} 2x - 8 > 5x - 17 \\ 3x + 17 < -3x -7 \\ \end{array} \right. \left \lbrace \begin{array}{l} 6 + x \ge 2x + 1 \\ 2 \le 7x + 2 \\ \end{array} \right. \left \lbrace \begin{array}{l} 7x - 11 \ge 9(x - 1) \\ -x + 1 \le 3 \\ \end{array} \right.


ÉQUATIONS

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exercice 3

Trouver la ou les racine(s) des polynômes suivants :
  P1(x)= 4x + 2
  P2(x)= (3x+5)×(2x-5)
  P3(x)= x² + x - 6
  P4(x)= x² + 2x + 1

EQUATIONS DE DROITES

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exercice 4

Les points suivants sont-ils sur la droite d'équation y = 2x - 3. Justifier.
A(2; 1)
B(3; 4)
C(-1; -5)



exercice 5

Les équations de droites suivantes sont-elles des équations de la droite passant par A(2 ; 1) et B(5 ; 3). Justifier.
(1) y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}
(2) y = \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3}

STATISTIQUES

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exercice 6

Un radar a relevé la vitesse de 117 voitures .
Vitesse Effectifs
[ 0 ; 30 [ 40
[ 30 ; 45 [ 30
[ 45 ; 60 [ 35
[ 60 ; 120 [ 12

Représenter l'histogramme de cette série statistique .



exercice 7

Une bibliothèque vient de dépenser 11 960 F pour l'acquisition de 400 livres .
On établit une répartition de ces livres d'après leurs prix .
a) Compléter le tableau suivant :
Prix d'un livre ( F ) Nombre de livres Fréquences ( % ) Effectifs cumulés croissants
[ 5 ; 10 [ 16    
[ 10 ; 20 [ 96    
[ 20 ; 30 [ 128    
[ 30 ; 50 [      
[50; 80[ 32    

b) Tracer l'histogramme des effectifs .
1 cm représente 10 F ; 1 cm représente 10 livres .

GEOMETRIE

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exercice 8 Le triangle 3-4-5

quinze exercices de révision - troisième : image 5

a) Vérifier que ABC est rectangle en C.
b) Calculer sin Â.
En déduire la mesure de  puis celle de B (à 0,01° près)



exercice 9 Le triangle 13-14-15

quinze exercices de révision - troisième : image 6

a) En utilisant la propriété de Pythagore dans deux triangles différents, calculer x, puis h.
b) Calculer les angles du triangle B, C et  (à 0,01° près)



exercice 10 Sans connaître l'angle Â

On donne sin  = 0,352. Sans déterminer la mesure de Â, calculer :
 cos  ( à 10-3 ° près. )
 tan  ( à 0,000 001 ° près. )



exercice 11 Les trois lingots

Un vieil avare possède les trois lingots d'or suivants : l'un est cylindrique, l'autre sphérique et l'autre biconique.
quinze exercices de révision - troisième : image 7

Il lègue le lingot cylindrique à son fils et les deux autres à sa fille. Qui est avantagé ?

VECTEURS

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exercice 12 Chasse au trésor

(vecteurs hors programme)
On a trois points de repère dans la forêt : une chapelle A, un pic B, un arbre C.
L'?uf de Pâques est au centre de gravité du triangle MNP dont les sommets sont définis par :
\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \dfrac{3}{2}\overrightarrow{AC}
\overrightarrow{BN} = 2\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} - \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}
\overrightarrow{CP} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}
quinze exercices de révision - troisième : image 8

1. Trouver l'oeuf sur le dessin.

2. Calculer les coordonnées des points A,B,C,M,N,P et de l'oeuf dans le repère (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}).



exercice 13

(hors programme)
1. ABCD est un parallélogramme. Faire une figure.
Est - ce que :
   \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} ?
   \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} ?
   \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{DB} ?

2. On suppose \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{CB}. Faire une figure.
Est - ce que :
   ABCD est un parallélogramme ?
   BCAD est un parallélogramme ?
   \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{DB} ?



exercice 14

(hors programme)
Ecrire les sommes suivantes le plus simplement possible :
  \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB} - \overrightarrow{AC}
  \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{BA}
  \overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{AB}
  \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{CB}

FONCTIONS

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exercice 15 La boîte à malices

Dans chacun des angles d'une feuille rectangulaire de 20 cm sur 10 cm, on découpe un carré de x cm de côté (grisé sur le dessin). En pliant suivant les pointillés on fabrique alors une boîte parallélépipédique.
quinze exercices de révision - troisième : image 9


1. Écrire en fonction de x :
   l'aire A de cette boîte,
   le volume V de cette boîte.

2. Recopier et compléter les tableaux ci dessous qui donne le volume de la boîte V(x) en fonction de x
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
V(x)                      

x 2,1 2,2   2,11 2,12
V(x)          

3. Représenter graphiquement V en fonction de x.
En utilisant la représentation graphique, dire pour quelles valeurs de x le volume V(x) est il égal à 100 cm³ ?

Voir la correction


exercice 1

Rappel :
On change le signe de l'inégalité si on multiplie ou on divise par un nombre négatif.



quinze exercices de révision - troisième : image 10

Rq : une petite erreur s'est glissée dans cette image, lire : 6a<6b




exercice 2

\left \lbrace \begin{array}{l} 0 < 4x + 8 \\ 3x + 2 > 5 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} 4x > -8 \\ 3x > 5 - 2 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} x > -\dfrac{8}{4} \\ x > \dfrac{3}{3} \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} x > -2 \\ x > 1 \\ \end{array} \right.
S = \left]1 ; +\infty \right[.

\left \lbrace \begin{array}{l} 2x - 8 > 5x - 17 \\ 3x + 17 < -3x -7 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} 2x - 5x > -17 + 8 \\ 3x + 3x < -7 - 17\\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} -3x > -9 \\ 6x < -24\\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} x < \dfrac{-9}{-3} \\ x < -\dfrac{24}{6}\\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} x < 3 \\ x < -4\\ \end{array} \right.
S = \left]-\infty ; -4 \right[.

\left \lbrace \begin{array}{l} 6 + x \ge 2x + 1 \\ 2 \le 7x + 2 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} x - 2x \ge 1 - 6 \\ 7x \ge 2 - 2 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} -x \ge -5 \\ 7x \ge 0 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} x \le 5 \\ x \ge 0 \\ \end{array} \right.
S = \left[ 0 ; 5 \right].

\left \lbrace \begin{array}{l} 7x - 11 \ge 9(x - 1) \\ -x + 1 \le 3 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} 7x - 11 \ge 9x - 9 \\ -x + 1 \le 3 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} 7x - 9x \ge -9 + 11\\ -x \le 3 - 1 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} -2x \ge 2 \\ -x \le 2 \\ \end{array} \right.
\left \lbrace \begin{array}{l} x \le -1 \\ x \ge -2 \\ \end{array} \right.
S = \left[ -2 ; -1 \right].




exercice 3

Trouver les racines d'un polynôme c'est trouver l'ensemble des valeurs de x qui annulent ce polynôme


P1(x)=4x+2.
4x+2=0\\4x=-2\\x=-\dfrac{1}{2}

P2(x)=(3x+5)(2x-5).
Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul


3x+5 = 0\\3x=-5\\x=\dfrac{-5}{3} ou 2x-5=0\\2x=5\\x=\dfrac{5}{2}
Le polynôme P2 a donc deux racines: -5/3 et 5/2.

P3(x)=x²+x-6.
2 est une racine évidente: 2²+2-6=0. On peut donc factoriser P3 par (x-2): P3(x)=(x-2)(x+3)
Le polynôme P3 a donc deux racines: -3 et 2.

P4(x)=x²+2x+1.
On reconnait une identité remarquable
(a+b)²=a²+2ab+b².


Ainsi: P4(x)=(x+1)².
P4 est nul si (x+1)=0 , cad si x=-1. Le polynôme P4 a donc une seule racine (double) : -1.




exercice 4

Un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite.



2xA -3 = 2×2-3 = 1 = yA donc A appartient à (d).

2xB -3 = 2×3-3 = 3 \ne 4 = yB donc B n'apparient pas à (d).

2xC -3 = 2×(-1)-3 = -5 = yC donc C appartient à (d).




exercice 5

1. y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{3}x_A+\dfrac{1}{3} = 1 = y_A donc A appartient à cette droite.

\dfrac{1}{3}x_B+\dfrac{1}{3} = 2 \ne y_B donc B n'appartient à cette droite.
y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{3} n'est pas une équation de la droite (AB).

2. y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3}

\dfrac{2}{3}x_A-\dfrac{1}{3} = 1 =y_A et \dfrac{2}{3}x_B-\dfrac{1}{3} = 3 = y_B donc A et B appartiennent à cette droite.
y=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{3} est une équation de la droite (AB).




exercice 6

Attention !
L'aire de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la classe, les classes n'étant pas régulières il faut faire attention !



quinze exercices de révision - troisième : image 11





exercice 7

a) Exemple de calcul de fréquence:
[5 ; 10[: 16 livres parmi 400, fréquence = 16/400*100 = 4%
Prix d'un livre ( F ) Nombre de livres Fréquences ( % ) Effectifs cumulés croissants
[ 5 ; 10 [ 16 4 16
[ 10 ; 20 [ 96 24 112
[ 20 ; 30 [ 128 32 240
[ 30 ; 50 [ 128 32 368
[50; 80[ 32 8 400

b)
quinze exercices de révision - troisième : image 12





exercice 8

a) Réciproque du théorème de Pythagore: 5² = 25 et 3²+4² = 9+16 = 25 ; donc ABC est rectangle en C.

b) Dans le triangle rectangle ABC: sin(\widehat{A}) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{5}.
On en déduit \widehat{A} \approx 36,87°.




exercice 9

a)Dans le triangle ABH, rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore: AB² = AH² + BH²; soit x² + h² = 169.     Dans le triangle ACH, rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore: AC² = AH² + CH²; soit (14-x)² + h² = 225.

(x,h) est donc solution du système de deux équations à deux inconnues:

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} x^2+h^2& 169 \\ x^2-28x+196 + h^2& 225 \\ \end{array} \right. ; soit encore: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} h^2&169-x^2 \\ x^2-28x+169-x^2&29 \\ \end{array} \right.

\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} h^2&169-x^2 \\ -28x&-140 \\ \end{array} \right. ; soit: \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} h^2&169-x^2 \\ x&5 \\ \end{array} \right..

Ainsi: x=5 et h = 12.

b) Dans le triangle ABH rectangle en H: cos(\widehat{B})=\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{5}{13}, \widehat{B} \approx 67,38°.

Dans le triangle ACH rectangle en H:cos(\widehat{C})=\dfrac{CH}{AB}=\dfrac{9}{15}, \widehat{C} \approx 53,13°.

Enfin: \widehat{A}=180-\widehat{B}-\widehat{C}=59,49°.




exercice 10

Rappel:
\cos^2\widehat{A}+\sin^2\widehat{A}=1



donc: \cos^2\widehat{A}=1-\sin^2\widehat{A}=0,876
et \tan\widehat{A}=\dfrac{\sin\widehat{A}}{\cos\widehat{A}}=0,401826.





exercice 11



Volume du cylindre:  base: disque de rayon 5cm et hauteur 10 cm: V = (\pi \times 5^2)\times 10 = 250\pi

Volume de la sphère: rayon 5cm: V' = \dfrac{4}{3}(\pi \times 5^3) = \dfrac{500\pi}{3}

Volume du bicône: deux cônes de base un disque de rayon 5 cm et de hauteur 5 cm: V''= \dfrac{250\pi}{3}.

Pour sa fille: V'+V''= \dfrac{750\pi}{3}.

Le partage est donc équitable.




exercice 12

1. O est l'oeuf de Pâques.
quinze exercices de révision - troisième : image 13


2. Dans le repère (A,\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}): A(0,0) ; B(1,0) ; C(0,1) et M(1/2,-3/2).
exprimons \overrightarrow{AN} et \overrightarrow{AP} en fonction de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} :

\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN} \\\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BA}+2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA} \\\overrightarrow{AN}=\dfrac{-1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}
D'ou N(-1/2;1)

De même: \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CP} \\\overrightarrow{AP}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{5}{3}\overrightarrow{AC}
D'ou P(3/4; 5/3).




exercice 13

1.
\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} : VRAI
\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} : VRAI
\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{DB} : FAUX

2. Erreur: ca doit être :"on suppose\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}"....
"ABCD paralèlogramme" : FAUX
"BCAD paralèlogramme" :VRAI
\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB} : VRAI




exercice 14

Relation de Chasles :
\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.



\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}

\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{BA}

\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{0}




exercice 15

1. A=20×10-4×x² = 200-4x²

Pour calculer le volume il nous faut l'aire de la base: rectangle de longueur (20-2x) et de largeur (10-2x); la hauteur de la boite est x. donc V = x(10-2x)(20-2x). Forme développée: V(x)=4x3-60x²+200x.

2.
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
V(x) 0 85,5 144 179 192 187,5 168 137 96 49,5 0

x 2,1 2,2   2,11 2,12
V(x) 192,4 192,2   192,4 192,4


3.
quinze exercices de révision - troisième : image 14


Il y a donc 3 valeurs de x pour lesquelles le volume de la boîte est 100 cm3: approximativement: 0,7 ; 3,9 et 10,4.
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