Fiche de mathématiques
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Les puissances

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Fiche relue en 2016.

1. Puissances d'un nombre relatif



a) Exposant positif


Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1 , et a un nombre relatif. On a :

\large a^n=\underbrace{a\times a\timesa\times\dots\times a}}_{n\text{ facteurs } a}


a^n se dit « a à la puissance n » ou « a puissance n » ou « a exposant n ».
n se nomme l'exposant.


Exemples :
5^3 = 5 x 5 x 5 = 125
(-2)^5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -(2 x 2 x 2 x 2 x 2)
           = -32

Remarques :
D'après la règle des signes, la puissance d'un nombre négatif est un nombre positif si l'exposant est pair, c'est un nombre négatif si l'exposant est impair.

Si l'exposant est 1 : a^1 = a
a puissance 2 se dit a au carré.
a puissance 3 se dit a au cube.



b) Exposant négatif


Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1, et a un nombre relatif.

a^{-n} est l'inverse de a^n

a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \frac{1}{a \times a \times ... \times a}

                       Avec n facteurs au dénominateur



Exemples :
3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{3 \times 3 \times 3 \times 3} = \frac{1}{81}

(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{(-2) \times (-2)} = \frac{1}{4}

c) Exposant nul


Soit a un nombre relatif différent de 0
a^0 = 1



On admet qu'un nombre non nul à la puissance 0 est toujours 1.
a^3 = a x a x a
a^2 = a x a
a^1 = a
Pour passer d'une ligne à l'autre et descendre les exposants, cela revient à diviser par a.

D'où : a^0 = \frac{a}{a} = 1

2. Opérations sur les puissances


Soit a et b des nombres relatifs différents de 0 et m et n des entiers relatifs.

Opération Propriété Exemples
Produit a^n \times a^m = a^{n+m} 5^3 \times 5^4 = 5^{(3+4)} = 5^7

3^2 \times 3^{-4} = 3^{(2-4)} = 3^{-2}
Quotient \frac{a^n}{a^m} = a^{(n-m)} \frac{6^4}{6^7} = 6^{(4-7)} = 6^{-3}

\frac{2^{-3}}{2^{-7}} = 2^{(-3-(-7))} = 2^4
Puissance de puissance (a^n)^m = a^{(n \times m)} (2^3)^4 = 2^{(2 \times 4)} = 2^{12}

(3^{-2})^5 = 3^{(-2 \times 5)} = 3^{-10}
Puissance d'un produit (ab)^n = a^n \times b^n (2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4

(3 \times 4)^{-3} = 3^{-3} \times 4^{-3}
Puissance d'un quotient (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} (\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4}

(\frac{3}{4})^{-3} = \frac{3^{-3}}{4^{-3}}


3. Les puissances de 10


Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1.
On a :
10^n = 10 × 10 × ... × 10 = 100...0
          n facteurs 10          1 suivi de n zéros.

10^{-n} = \frac{1}{10^n} = 0,00..01
                          0 virgule, (n-1) zéros suivis de 1



Exemples :
10^7 = 10 000 000
10^{-5} = 0,000 01

Les propriétés des opérations du précédent paragraphe s'appliquent pour a=10

Produit Quotient Puissance
10^n \times 10^m = 10^{(n+m)} \frac{10^n}{10^m} = 10^{(n-m)} (10^n)^m = 10^{(n \times m)}


4. Écriture scientifique d'un nombre relatif


L'écriture scientifique d'un nombre relatif a est une mise sous la forme :
a = b \times 10^n

Avec b nombre relatif dont la distance à 0 est supérieure ou égale à 1, et inférieure à 10. Le nombre n est un entier relatif.



Exemples :
L'écriture scientifique de 2 451 500 est 2,4515 \times 10^6
L'écriture scientifique de -0,000 15 est -1,5 \times 10^{-4}

L'écriture scientifique permet de voir rapidement l'ordre de grandeur d'un nombre sans avoir à compter les chiffres avant ou après la virgule. De plus, on peut vite se faire une idée du résultat d'un calcul grâce aux propriétés des opérations sur les puissances.

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