Fiche de mathématiques

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Les puissances

Fiche relue en 2016.

1. Puissances d'un nombre relatif

a) Exposant positif

Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1 , et a un nombre relatif. On a :

$\large a^n=\underbrace{a\times a\timesa\times\dots\times a}}_{n\text{ facteurs } a}$

$a^n$ se dit « a à la puissance n » ou « a puissance n » ou « a exposant n ».
n se nomme l'exposant.

Exemples :
$5^3$ = 5 x 5 x 5 = 125
$(-2)^5$ = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = -(2 x 2 x 2 x 2 x 2)
= -32

Remarques :
D'après la règle des signes, la puissance d'un nombre négatif est un nombre positif si l'exposant est pair, c'est un nombre négatif si l'exposant est impair.

Si l'exposant est 1 : $a^1$ = a
a puissance 2 se dit a au carré.
a puissance 3 se dit a au cube.

b) Exposant négatif

Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1, et a un nombre relatif.

$a^{-n}$ est l'inverse de $a^n$

$a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \frac{1}{a \times a \times ... \times a}$

Avec n facteurs au dénominateur

Exemples :
$3^{-4} = \frac{1}{3^4} = \frac{1}{3 \times 3 \times 3 \times 3} = \frac{1}{81}$

$(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{(-2) \times (-2)} = \frac{1}{4}$

c) Exposant nul

Soit a un nombre relatif différent de 0
$a^0 = 1$

On admet qu'un nombre non nul à la puissance 0 est toujours 1.
$a^3$ = a x a x a
$a^2$ = a x a
$a^1$ = a
Pour passer d'une ligne à l'autre et descendre les exposants, cela revient à diviser par a.

D'où : $a^0 = \frac{a}{a} = 1$

2. Opérations sur les puissances

Soit a et b des nombres relatifs différents de 0 et m et n des entiers relatifs.

Opération	Propriété	Exemples
Produit	$a^n \times a^m = a^{n+m}$	$5^3 \times 5^4 = 5^{(3+4)} = 5^7$ $3^2 \times 3^{-4} = 3^{(2-4)} = 3^{-2}$
Quotient	$\frac{a^n}{a^m} = a^{(n-m)}$	$\frac{6^4}{6^7} = 6^{(4-7)} = 6^{-3}$ $\frac{2^{-3}}{2^{-7}} = 2^{(-3-(-7))} = 2^4$
Puissance de puissance	$(a^n)^m = a^{(n \times m)}$	$(2^3)^4 = 2^{(2 \times 4)} = 2^{12}$ $(3^{-2})^5 = 3^{(-2 \times 5)} = 3^{-10}$
Puissance d'un produit	$(ab)^n = a^n \times b^n$	$(2 \times 3)^4 = 2^4 \times 3^4$ $(3 \times 4)^{-3} = 3^{-3} \times 4^{-3}$
Puissance d'un quotient	$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$	$(\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4}$ $(\frac{3}{4})^{-3} = \frac{3^{-3}}{4^{-3}}$

3. Les puissances de 10

Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 1.
On a :
$10^n$ = 10 × 10 × ... × 10 = 100...0
n facteurs 10 1 suivi de n zéros.

$10^{-n} = \frac{1}{10^n} = 0,00..01$
0 virgule, (n-1) zéros suivis de 1

Exemples :
$10^7 = 10 000 000$
$10^{-5} = 0,000 01$

Les propriétés des opérations du précédent paragraphe s'appliquent pour a=10

Produit	Quotient	Puissance
$10^n \times 10^m = 10^{(n+m)}$	$\frac{10^n}{10^m} = 10^{(n-m)}$	$(10^n)^m = 10^{(n \times m)}$

4. Écriture scientifique d'un nombre relatif

L'écriture scientifique d'un nombre relatif a est une mise sous la forme :
$a = b \times 10^n$

Avec b nombre relatif dont la distance à 0 est supérieure ou égale à 1, et inférieure à 10. Le nombre n est un entier relatif.

Exemples :
L'écriture scientifique de 2 451 500 est $2,4515 \times 10^6$
L'écriture scientifique de -0,000 15 est $-1,5 \times 10^{-4}$

L'écriture scientifique permet de voir rapidement l'ordre de grandeur d'un nombre sans avoir à compter les chiffres avant ou après la virgule. De plus, on peut vite se faire une idée du résultat d'un calcul grâce aux propriétés des opérations sur les puissances.

Publié par Prof digiSchool le 08-04-2021

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