Fiche de mathématiques
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Enchaînements d'opérations

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I. Priorités de calculs

Une expression est une suite d'opérations.

1. Calculs sans parenthèses

Règle
Dans une expression sans parenthèses, lorsqu'il n'y a que des additions et des soustractions, on effectue les calculs de la gauche vers la droite.


Exemple : Calculer l'expression suivante :
A = 15 - 3 + 7
A = 12 + 7
A = 19
Règle
Dans une expression sans parenthèses, on effectue d'abord les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.


Exemples : Calculer les expressions suivantes :
B = 2,4 + 3 × 5
B = 2,4 + 15
B = 17,4
C = 11 - 12 : 3
C = 11 - 4
C = 7
D = 10 + 25 × 2 × 9
D = 10 + 50 × 9
D = 10 + 450
D = 460


2. Calculs avec parenthèses

Règle
Dans une expression avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par ceux qui sont dans les parenthèses les plus intérieures.


Exemples : Calculer les expressions suivantes :
E = 15 - (8,2 + 4,8)
E = 15 - 13
E = 2
F = 5 × (3 + (12 - 10))
F = 5 × (3 + 2)
F = 5 × 5
F = 25


3. Expression avec quotient

C = 11 - 12 : 3 peut s'écrire C = 11 - \dfrac{12}{3}.
Règle
Calculer une expression avec quotient revient à calculer une expression avec parenthèses.


Exemples : Calculer les expressions suivantes :
I = \dfrac{29,5 + 6,5}{6} \\ I = (29,5 + 6,5) : 6 \\ I = 36 : 6 \\ I = 6 J = \dfrac{4500}{19+26}\\ J = 4500 : (19 + 26) \\ J = 4 500 : 45 \\ J = 100 K = \dfrac{36-24}{1+3}\\ K = (36 - 24) : (1 + 3) \\ K = 12 : 4 \\ K = 3



II. Identifier une expression

a) Le résultat d'une addition est une somme.
b) Le résultat d'une soustraction est une différence.
c) Le résultat d'une multiplication est un produit.
d) Le résultat d'une division est un quotient.
e) Quand j'ajoute (ou soustrais) deux nombres, chaque nombre est un terme de l'addition (ou de la soustraction).

4 + 2 = 6
4 + 2 est la somme de 4 et de 2.
4 et 2 sont les termes de la somme.
6 - 5 = 1
6 - 5 est la différence de 6 et de 5.
6 et 5 sont les termes de la différence.

f) Quand je multiplie deux nombres, chaque nombre est un facteur de la multiplication.
5 × 8 = 40
5 × 8 est le produit de 5 par 8.
5 et 8 sont les facteurs du produit.


III. Ecriture simplifiée

Quand il n'y a pas de confusion possible, le signe × peut être supprimé.
exemple :
7 × a peut s'écrire 7a
4 × (x - 5) peut s'écrire 4(x - 5). On lit "4 facteur de x moins 5".

remarque : 1 × a = a

Le produit a × a peut s'écrire a² (on lit : "a au carré").
exemple : 4 × 4 = 4² = 16

IV. Distributivité

Pour tous nombres a, b et k, on a :

k × (a + b) = k × a + k × b
et
k × a + k × b = k × (a + b)

On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition.

De même, pour tous nombres a, b et k, on a :

k × (a - b) = k × a - k × b
et
k × a - k × b = k × (a - b)


On dit que la multiplication est distributive par rapport à la soustraction.

On peut appliquer ces égalités :
- pour transformer un produit en une somme :
F = 12 × 110
F = 12 × (100 + 10)
F = 12 × 100 + 12 × 10
F = 1 200 + 120
F = 1 320

G = 25 × 900
G = 25 × (1 000 - 100)
G = 25 × 1 000 - 25 × 100
G = 25 000 - 2 500
G = 22 500

- pour transformer une somme en un produit :
H = 137 × 5,62 + 137 × 4,38
H = 137 × (5,62 + 4,38)
H = 137 × 10
H = 1 370

I = 125 × 8 - 125 × 7,99
I = 125 × (8 - 7,99)
I = 125 × 0,01
I = 1,25
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