Fiche de mathématiques
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Les parallélogrammes

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Fiche relue en 2016
Prérequis :
Tu auras besoin, dans ce chapitre de savoir correctement utiliser les outils de géométrie : compas, rapporteur, équerre. Tu seras, en effet, amené à tracer des figures possédant des longueurs ou des angles particuliers. Tu pourras également avoir besoin des propriétés vues en sixième pour faire des démonstrations.

Enjeu :
Ce chapitre te fournit des éléments caractéristiques sur les parallélogrammes dont tu auras besoin dans toute ta scolarité. C'est également le moment où tu construis tes premières démonstrations. Il faudra donc que tu sois particulièrement attentif à tes enchaînements logiques.

I Définition d'un parallélogramme

Définition :
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 12

ABCD est un parallélogramme : (AB)//(CD) et (AD)//(BC)

Comment tracer un parallélogramme à l'aide des droites parallèles?
Par exemple, sur la figure précédente, on veut placer le point C tel que ABCD soit un parallélogramme.
On identifie les 2 côtés connus : ici les côtés (AB) et (AD);
On trace la parallèle à (AB) passant par D;
On trace la parallèle à (AD) passant par B;
Le point d'intersection des deux droites est le point C.

Remarque : Il est très important de vérifier que le parallélogramme qu'on obtient correspond bien à celui qui est demandé. Il est très fréquent de voir, par exemple, un parallélogramme ABDC alors qu'on demandait le parallélogramme ABCD.

II Propriétés d'un parallélogramme

On va voir dans cette partie une série de propriétés que possède un parallélogramme. La partie suivante sera consacrée aux propriétés qui montrent qu'un quadrilatère est un parallélogramme.
Propriété (longueurs) :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 5
Utilisation
On sait que ABCD est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur.
Donc AB=CD et AD=BC.


Comment tracer un parallélogramme avec un compas?
On connaît les sommets A, B et C du parallélogramme ABCD.
A l'aide du compas, on reporte la longueur AB à partir du point C.
A l'aide du compas, on reporte la longueur BC à partir du point A.
Le point D est le point d'intersection des deux arcs de cercle.
Parallélogrammes - cours 5ème : image 11
Propriété (diagonales) :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 2
Utilisation
On sait que ABCD est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu.
Donc O est le milieu de [AC] et de [BD].
Propriété (symétrie) :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors le point d'intersection de ses diagonales est son centre de symétrie.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 2
Utilisation
On sait que ABCD est un parallélogramme. Ses diagonales se coupent en O.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors le point d'intersection de ses diagonales est son centre de symétrie.
Donc O est le centre de symétrie du parallélogramme ABCD.
Propriété (angles) :
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 1
Utilisation
On sait que ABCD est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses angles opposés ont la même mesure.
Donc \widehat{BAD}=\widehat{BCD} et \widehat{ABC}=\widehat{ADC}.


III Propriétés caractéristiques

On va voir dans cette partie, des propriétés qui vont nous permettre de montrer qu'un quadrilatère est en fait un parallélogramme.
Propriété (longueurs) :
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à deux de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 5
Utilisation
On sait que dans le quadrilatère ABCD on a AB=CD et AD=BC.
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à deux de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Propriété (diagonales) :
Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 2
Utilisation
On sait que les diagonales [AC] et [BD] du quadrilatère ABCD se coupent en leur milieu.
Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Propriété (angles) :
Si les angles opposés d'un quadrilatère sont deux à deux égaux alors ce quadrilatère est un parallélogramme.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 1
Utilisation
On sait que dans le quadrilatère on a ABCD on a \widehat{BAD}=\widehat{BCD} et \widehat{ABC}=\widehat{ADC}.
Si les angles opposés d'un quadrilatère sont deux à deux égaux alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Propriété (parallélisme) :
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à deux parallèles alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 12
Utilisation
On sait que dans le quadrilatère ABCD (AB) est parallèle à (CD) et (AD) est parallèle à (BC).
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont deux à deux parallèles alors le quadrilatère est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.
Propriété (longueur et parallélisme) :
Si deux côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles et de même longueur alors le quadrilatère est un parallélogramme.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 6
Utilisation
On sait que dans le quadrilatère ABCD :
\bullet (AB) est parallèle à (CD) ;
\bullet AB=CD.
Si deux côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles et de même longueur alors le quadrilatère est un parallélogramme.
Donc ABCD est un parallélogramme.


IV Les parallélogrammes particuliers

Voici quelques propriétés qui permettront de montrer qu'un parallélogramme est un losange, un rectangle ou un carré.
Propriété (losange) :
Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 14
Utilisation
On sait que dans le parallélogramme ABCD, AB=AD.
Si un parallélogramme possède deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.
Donc ABCD est un losange.
Propriété (losange) :
Si les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires alors c'est un losange.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 10
Utilisation
On sait que dans le parallélogramme ABCD, (AC) et (BD) sont perpendiculaires.
Si les diagonales d'un parallélogramme sont perpendiculaires alors c'est un losange.
Donc ABCD est un losange.
Propriété (rectangle) :
Si un parallélogramme possède deux côtés perpendiculaires alors c'est un rectangle.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 15
Utilisation
On sait que dans le parallélogramme ABCD, (AB) et (AD) sont perpendiculaires.
Si un parallélogramme possède deux côtés perpendiculaires alors c'est un rectangle.
Donc ABCD est un rectangle.
Propriété (rectangle) :
Si les diagonales d'un parallélogramme sont de même longueur alors c'est un rectangle.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 9
Utilisation
On sait que dans le parallélogramme ABCD on a AC=BD.
Si les diagonales d'un parallélogramme sont de même longueur alors c'est un rectangle.
Donc ABCD est un rectangle.
Propriété (carré) :
Si un parallélogramme est à la fois un losange et un rectangle alors c'est un carré.

Parallélogrammes - cours 5ème : image 13

V Aires

Propriété (parallélogramme) :
L'aire d'un parallélogramme est base \times hauteur

Parallélogrammes - cours 5ème : image 4
Propriété (losange) :
L'aire d'un losange est \dfrac{D \times d}{2}

Parallélogrammes - cours 5ème : image 16
Propriété (rectangle) :
L'aire d'un rectangle est L \times \ell

Parallélogrammes - cours 5ème : image 8
Propriété (carré) :
L'aire d'un carré est c \times c = c^2

Parallélogrammes - cours 5ème : image 3
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