Fiche de mathématiques
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Les parallélogrammes

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exercice

ABCD est un parallélogramme.
La droite parallèle à (BD)passant par A coupe (CB) en E et (CD) en F.
1. Montrer que ABDF et ADBE sont des parallélogrammes.
2. Montrer que les segments [AE] et [AF] sont parallèles et de même longueur.
3. Que peut-on alors conclure pour le point A?





Exercice sur les Parallélogrammes : image 1
1. On sait que ABCD est un parallélogramme.
Les côtés opposés d'un parallélogramme sont parallèles.
Donc (AB) est parallèle à (CD) et (AD) est parallèle à (BC).
Puisque le point F appartient à la droite (CD), on peut donc dire que les droites (AB) et (FD) sont parallèles.
De même, le point E appartient à la droite (BC), on peut alors dire que les droites (EB) et (AD) sont parallèles.
Dans le quadrilatère ABDF on sait alors que :
\bullet \quad (AB)//(FD)
\bullet \quad (DB)//(AF) par définition du point  F
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles deux à deux alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc ABDF est un parallélogramme.

Dans le quadrilatère AEBD on sait alors que :
\bullet \quad (AD)//(EB)
\bullet \quad (DB)//(AE) par définition du point  E
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles deux à deux alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Donc AEBD est un parallélogramme.

2. On sait que AEBD est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur et parallèles
Donc AE=DB et (AE) est parallèle à (DB).

On sait que ABDF est un parallélogramme.
Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont de même longueur et parallèles
Donc AF=DB et (AF) est parallèle à (DB).

Ainsi AE=DB=AF et les droites (AF) et (AE) sont parallèles.

3. Les droites (AE) et (AF) sont parallèles et possèdent le point A en commun. Donc ces deux droites sont confondues et les points E, A et F sont alignés.
De plus AE=AF donc le point A est le milieu du segment [FE].
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