Fiche de mathématiques
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La symétrie - cours 5ème

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Cours de mathématiques niveau cinquième

1. Symétrie axiale


On donne ici quelques rappels sur la symétrie axiale vue en sixième. Ne pas hésiter à revoir la fiche complète correspondante de sixième !

a) Figures symétriques


Deux figures sont symétriques par rapport à la droite (d) si le pliage suivant la droite (d) les font se superposer.



Cours sur la symétrie - mathématiques 5ème : image 1


Ci-dessus F et F ' sont symétriques par rapport à la droite (d).
F ' est le symétrique de F par rapport à (d).
F est le symétrique de F ' par rapport à (d).

b) Construire le symétrique d'une droite


Pour construire le symétrique d'une droite ( d2 ) par rapport à la droite ( d ), on choisit deux points assez éloignés de ( d2 ) et on trace leurs symétriques. La droite symétrique est la droite qui relie les deux points symétriques. Si ( d2 ) et ( d ) sont sécantes, le point d'intersection est son propre symétrique, il suffit de ne choisir qu'un autre point.



Cours sur la symétrie - mathématiques 5ème : image 2


Pour construire le symétrique d'une droite ( d2 ) par rapport à la droite ( d ) , on choisit deux points assez éloignés de ( d2 ) et on trace leurs symétriques. La droite symétrique est la droite qui relie les deux points symétriques. Si ( d2 ) et ( d ) sont sécantes, le point d'intersection est son propre symétrique, il suffit de ne choisir qu'un autre point.

c) Médiatrice et symétrie axiale


Si M et M' sont symétriques par rapport à la droite ( d ), alors ( d ) est la médiatrice du segment [ MM' ].

La médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment.



2. Symétrie centrale ( par rapport à un point )


a) Figures symétriques


Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si en pivotant l'une d'elles d'un demi-tour ( 180° ) autour de O, elle se superpose sur l'autre.



Cours sur la symétrie - mathématiques 5ème : image 3


Ci-dessus F et F ' sont symétriques par rapport au point O.
F ' est le symétrique de F par rapport à O.
F est le symétrique de F ' par rapport à O.

b) Symétrique d'un point


Le symétrique d'un point M par rapport à un point O est le point M' tel que O est le milieu de [ MM' ].

Le point O est son propre symétrique par rapport à lui-même.



Cours sur la symétrie - mathématiques 5ème : image 4


Pour tracer le symétrique M' de M, on trace la droite ( OM ), puis avec le compas pointé en O, on reporte la distance OM de l'autre côté : M' est l'intersection de ( OM ) et du cercle de centre O et rayon OM.

c) Propriétés de la symétrie centrale


Les symétriques de trois points alignés sont trois points alignés : la symétrie centrale conserve l'alignement.

La symétrique d'une droite est une droite parallèle à la première : la symétrie centrale conserve la direction.



Cours sur la symétrie - mathématiques 5ème : image 5


Les symétriques A', B' et C' sont alignés. La droite ( A'B' ) symétrique de ( AB ) est parallèle à ( AB ).

Le symétrique d'un segment est un segment de même longueur : la symétrie centrale conserve les longueurs.

Une figure symétrique est superposable à la figure d'origine : la symétrie centrale conserve les aires.



Cours sur la symétrie - mathématiques 5ème : image 6


A'B' = AB

Le symétrique d'un angle est un angle de même mesure : la symétrie centrale conserve les mesures d'angles.



Cours sur la symétrie - mathématiques 5ème : image 7


\widehat{BAC}=\widehat{B'A'C'}

d) Centre de symétrie d'une figure


Un point est le centre de symétrie d'une figure, si le symétrique de cette figure par rapport à ce point est la figure de départ.



Cas des figures usuelles :
Les triangles n'ont pas de centre de symétrie.

Les parallélogrammes ( et donc les losanges, rectangles et carrés ) ont pour centre de symétrie le point d'intersection de leurs diagonales.

Si un quadrilatère a un centre de symétrie, c'est forcément un parallélogramme.
Le centre d'un cercle est centre de symétrie de ce cercle.

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