Fiche de mathématiques

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Ile mathématiques > maths 5^ème > Fractions

Révisions

exercice 1

Effectuer les calculs en commençant par simplifier les fractions :

$A = \dfrac{15}{20} - \dfrac{2}{8}$

$B = \dfrac{49}{35} + \dfrac{9}{15}$

$C = \dfrac{25}{8} - \dfrac{27}{24} + \dfrac{11}{11}$

exercice 2

Effectuer les calculs en commençant par simplifier les fractions :

$D = \dfrac{26}{48} + \dfrac{11}{24}$

$E = \dfrac{14}{12} - \dfrac{25}{30}$

$F = \dfrac{12}{12} - \dfrac{15}{30} + \dfrac{9}{6}$

exercice 3

Calculer les expressions suivantes :
a) $\dfrac{6}{4+3}\times\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{7-1}\times\dfrac{3}{8+6}$
b) $\dfrac{1}{2}\times\dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{16}\times\dfrac{5}{3}$

exercice 4

Calculer les expressions suivantes :
a) $\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{6}\right)\times\left(1-\dfrac{1}{12}\right)$
b) $1-\dfrac{1}{3}\times1-\dfrac{1}{6}\times1-\dfrac{1}{12}$

exercice 5

1.
a) Calculer les quatre nombres suivants en donnant les résultats sous la forme d'une fraction.

$A = 1 + \dfrac{2}{3}$	$B = 2 + \dfrac{1}{3}$
$C = 3 + \dfrac{10}{7}$	$D = 1 - \dfrac{3}{7}$

b) À l'aide des résultats obtenus au a), calculer $A+B$ et $C+D$ .

2. Quelle méthode plus rapide pouvait-on employer pour calculer $A+B$ et $C+D$ ?

exercice 6

Soit $E=\left(\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{15}\right)\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$ .

1. Calculer $E$ pour $x=\dfrac{1}{3}$ ; $x=\dfrac{1}{9}$ ; $x=\dfrac{1}{27}$ .

2. Que remarque-t-on ? Justifier.

exercice 7

Pour acheter une nouvelle photocopieuse, le collège décide de payer les $\dfrac{3}{4}$ du prix et les parents d'élèves $\dfrac{1}{5}$ de ce qui reste. Le foyer avait prévu de participer pour 20 % du prix.
Tout cela suffira-t-il pour faire cet achat ?

exercice 8

La Sécurité sociale rembourse 55 % des frais médicaux et une mutuelle complète ce remboursement par les $\dfrac{4}{11}$ de ce que rembourse la Sécurité sociale.

1. Quelle fraction des frais médicaux est remboursée par la mutuelle.

2. Finalement, quelle fraction des frais médicaux n'est pas remboursée ?

exercice 9

Sur la route, Brice s'est arrêté deux fois pour prendre de l'essence ; à chaque fois, il a noté le prix au litre : 1,2 ?. Au premier arrêt, il a pris 32 litres, au second 18 litres.

1. Calculer la dépense totale (on écrira la suite des calculs à l'aide d'une seule expression).

2. Contrôler le résultat en calculant cette dépense par une autre méthode.

exercice 10

Pour les revendre dans son magasin, Camille a acheté autant de tee-shirts imprimés que de casquettes.
Elle a payé en tout 552 $\text{\euro}$ . Sachant qu'un tee-shirt coûte 17,7 $\text{\euro}$ et une casquette 5,3 $\text{\euro}$ , combien de casquettes a-t-elle achetées ?

exercice 11

1. Sans effectuer les divisions, comparer en expliquant :

a) $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{2}{3}$

b) $\dfrac{18}{17}$ et $\dfrac{8}{9}$

c) $\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{8}{9}$

2. Sans refaire aucun calcul, ranger par ordre décroissant : $\dfrac{2}{3}$ ; $\dfrac{18}{17}$ et $\dfrac{8}{9}$ .

3. Simplifier chaque fois que cela est possible puis, calculer :

a) $\dfrac{7}{21}+\dfrac{13}{3}$

b) $4-\dfrac{1}{6}$

c) $\dfrac{3}{8}\times\dfrac{4}{15}$

exercice 12

1. Calculer, puis simplifier chaque résultat :

a) $\dfrac{11}{3}+\dfrac{4}{3}$

b) $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}$

c) $\dfrac{5}{24}+\dfrac{5}{12}$

2. Remplacer l'étoile livre-or

par le signe d'opération qui convient. Justifier en effectuant les calculs.

a) $\dfrac{2}{3}$ livre-or

$\dfrac{6}{2} = 2$

b) $\dfrac{5}{4}$ livre-or

$\dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{6}$

exercice 13

Calculer chacune des expressions A et B de deux manières différentes :

a) $A=\dfrac{8}{5}\left(\dfrac{15}{4}+\dfrac{5}{2}\right)$

b) $B=\dfrac{6}{5}\left(5-\dfrac{5}{3}\right)$

exercice 14

Simplifier, calculer, puis ... simplifier !

a) $\dfrac{26}{12}-\dfrac{20}{24}$

b) $\dfrac{14}{18}-\dfrac{12}{27}$

c) $\dfrac{45}{40}-\dfrac{15}{24}$

exercice 15

Aurélie décide de dépenser le contenu de sa tirelire pour acheter des cadeaux de Noël.
Elle utilise $\dfrac{3}{7}$ de sa "fortune" pour acheter un cadeau à Jérôme et $\dfrac{4}{9}$ pour Charlotte.

1. Sans faire les divisions, trouver le cadeau qui coûte le plus cher.

2. Quelle fraction de ses économies reste-t-il à Aurélie pour un cadeau à son petit frère ?

exercice 16

Marie a dégusté $\dfrac{1}{6}$ des chocolats qu'on lui a offerts. Son petit frère Alexis, qui a repéré où elle cache la boîte, a mangé les $\dfrac{2}{3}$ du reste.
Quelle fraction de la boîte de chocolats reste-t-il après " l'intervention " d'Alexis ?

Voir la correction

Pour bien comprendre la correction des exercices, il est impératif d'avoir appris le cours sur les fractions.

exercice 1

$A=\dfrac{5\times3}{5\times4}-\dfrac{2\times1}{2\times4} \\ A=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4} \\ A=\dfrac{2}{4} \\ A=\dfrac{2\times1}{2\times2} \\ A=\dfrac{1}{2}$

$B=\dfrac{7\times7}{7\times5}+\dfrac{3\times3}{3\times5} \\ B=\dfrac{7}{5}+\dfrac{3}{5} \\ B=\dfrac{10}{5} \\ B=\dfrac{5\times2}{5\times1} \\ B=\dfrac{2}{1} \\ B=2$

$C=\dfrac{25}{8}-\dfrac{3\times9}{3\times8}+1 \\ C=\dfrac{25}{8}-\dfrac{9}{8}+\dfrac{8}{8} \\ C=\dfrac{24}{8} \\ C=\dfrac{8\times3}{8\times1} \\ C=\dfrac{3}{1} \\ C=3$

exercice 2

$D=\dfrac{2\times13}{2\times24}+\dfrac{11}{24} \\ D=\dfrac{13}{24}+\dfrac{11}{24} \\ D=\dfrac{24}{24} \\ D=1$

$E=\dfrac{2\times7}{2\times6}-\dfrac{5\times5}{6\times5} \\ E=\dfrac{7}{6}-\dfrac{5}{6} \\ E=\dfrac{2}{6} \\ E=\dfrac{2\times1}{2\times3} \\ E=\dfrac{1}{3}$

$F=1-\dfrac{15\times1}{15\times2}+\dfrac{3\times3}{2\times3} \\ F=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2} \\ F=\dfrac{4}{2} \\ F=2$

exercice 3

a) $\dfrac{6}{4+3}\times\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{7-1}\times\dfrac{3}{8+6}=\dfrac{6}{7}\times\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{14}=\dfrac{6\times1}{7\times8}+\dfrac{1\times3}{6\times14}=\dfrac{2\times3}{7\times2\times4}+\dfrac{1\times3}{2\times3\times14}=\dfrac{3}{7\times4}+\dfrac{1}{2\times14}$
$=\dfrac{3}{28}+\dfrac{1}{28}=\dfrac{4}{28}=\dfrac{4\times1}{4\times7}=\dfrac{1}{7}$
b) $\dfrac{1\times5\times3}{2\times6\times4}-\dfrac{2\times1\times3}{3\times4\times4}-\dfrac{1\times5}{16\times3}=\dfrac{15}{48}-\dfrac{6}{48}-\dfrac{5}{48}=\dfrac{4}{48}=\dfrac{4\times1}{4\times12}=\dfrac{1}{12}$

exercice 4

a) $\left(\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}\right)\times\left(\dfrac{6}{6}-\dfrac{1}{6}\right)\times\left(\dfrac{12}{12}-\dfrac{1}{12}\right)=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{5}{6}\times\dfrac{11}{12}=\dfrac{2\times5\times11}{3\times6\times12}=\dfrac{2\times5\times11}{3\times2\times3\times12}=\dfrac{5\times11}{3\times3\times12}=\dfrac{55}{108}$

b) $1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{12}{12}-\dfrac{1\times4}{3\times4}-\dfrac{1\times2}{6\times2}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{12}{12}-\dfrac{4}{12}-\dfrac{2}{12}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{12}$

exercice 5

1. a)

$A = 1 + \dfrac{2}{3} \\A = \dfrac{3}{3} + \dfrac{2}{3} \\A = \dfrac{5}{3}$

$B = 2 + \dfrac{1}{3} \\B = \dfrac{2\times3}{3} + \dfrac{1}{3} \\B = \dfrac{6}{3} + \dfrac{1}{3} \\B = \dfrac{7}{3}$

$C = 3 + \dfrac{10}{7} \\C = \dfrac{3\times7}{7} + \dfrac{10}{7} \\C = \dfrac{21}{7} + \dfrac{10}{7} \\C = \dfrac{31}{7}$

$D = 1 - \dfrac{3}{7} \\D = \dfrac{7}{7} - \dfrac{3}{7} \\D = \dfrac{4}{7}$

b) $A+B=\dfrac{5}{3}+\dfrac{7}{3}=\dfrac{12}{3}=4$
$C+D=\dfrac{31}{7}+\dfrac{4}{7}=\dfrac{35}{7}=5$

2. Etant donné que les fractions composant les expressions A et B ont même dénominateur, nous aurions pu calculer directement la somme sans connaître les valeurs de A et de B.
(même remarque pour les expressions C et D)

$A+B = 1+\dfrac{2}{3}+2+\dfrac{1}{3} = 1+2+\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{3} = 3+\dfrac{3}{3} = 3+1 = 4$

$C+D = 3+\dfrac{10}{7}+1-\dfrac{3}{7} = 3+1+\dfrac{10}{7}-\dfrac{3}{7} = 4+\dfrac{7}{7} = 4+1 = 5$

exercice 6

1. Pour $x=\dfrac{1}{3}$ ,
$E=\left(\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{15}\right)\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\left(\dfrac{3\times1}{5\times3}+\dfrac{1}{15}\right)\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\left(\dfrac{3}{15}+\dfrac{1}{15}\right)\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\dfrac{4}{15}\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\dfrac{4\times5}{15\times3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\dfrac{4\times5}{3\times5\times3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\dfrac{4}{9}-\dfrac{1}{9}$
$E=\dfrac{3}{9}$
$E=\dfrac{3\times1}{3\times3}$
$E=\dfrac{1}{3}$

Pour $x=\dfrac{1}{9}$ ,
$E=\left(\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{15}\right)\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\left(\dfrac{3\times1}{5\times9}+\dfrac{1\times3}{15\times3}\right)\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\left(\dfrac{3}{45}+\dfrac{3}{45}\right)\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\dfrac{6}{45}\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\dfrac{2\times3\times5}{9\times5\times3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\dfrac{2\times5}{9\times5}-\dfrac{1\times5}{9\times5}$
$E=\dfrac{10}{45}-\dfrac{5}{45}$
$E=\dfrac{5}{45}$
$E=\dfrac{1}{9}$

Pour $x=\dfrac{1}{27}$ ,
$E=\left(\dfrac{3}{5}\times\dfrac{1}{27}+\dfrac{1}{15}\right)\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\left(\dfrac{3\times1}{5\times9\times3}+\dfrac{1}{15}\right)\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\left(\dfrac{1}{45}+\dfrac{3}{45}\right)\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\dfrac{4}{45}\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\dfrac{4\times5}{5\times9\times3}-\dfrac{1}{9}$
$E=\dfrac{4}{27}-\dfrac{3}{27}$
$E=\dfrac{1}{27}$

2. On remarque que dans les trois cas, $E = x$ . Montrons le par le calcul :
$E=\left(\dfrac{3}{5}x+\dfrac{1}{15}\right)\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9} = \dfrac{3}{5}x\times\dfrac{5}{3}+\dfrac{1}{15}\times\dfrac{5}{3}-\dfrac{1}{9} = \dfrac{3\times5}{5\times3}x+\dfrac{1\times5}{15\times3}-\dfrac{1}{9} = x+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{9} = x$

exercice 7

Le collège paie les $\dfrac{3}{4}$ du prix. Il reste donc $\dfrac{1}{4}$ du prix à payer.
les parents d'élèves, $\dfrac{1}{5}$ du reste, soit $\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{20}$ ,
le foyer 20 % du prix, soit $\dfrac{20}{100} = \dfrac{20}{20\times5} = \dfrac{1}{5}$ .

$\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{15}{20} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{4}{20} = \dfrac{20}{20} = 1$
Le collège aura suffisamment d'argent pour l'achat de leur photocopieuse.

exercice 8

1. On a: $55\% = \dfrac{55}{100} = \dfrac{11}{20}$
La mutuelle rembourse seulement le $\dfrac{4}{11}$ de cette fraction.
Elle rembourse donc : $\dfrac{11}{20} \times \dfrac{4}{11} = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}$ des frais médicaux.

2. La somme de ces deux fractions nous donne la fraction totale des frais remboursés.
Ce qui nous fait : $\dfrac{1}{5}+\dfrac{11}{20}=\dfrac{4}{20}+\dfrac{11}{20}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}$ .
Ainsi, $\dfrac{3}{4}$ des soins médicaux sont remboursés, et donc $\dfrac{1}{4}$ est à la charge du patient.

exercice 9

1. Au premier arrêt, Brice a pris 32 litres, au second 18 litres. Il a donc pris au total : 32 + 18 = 50 litres d'essence.
Un litre coûtant 1,20 ?, sa dépense totale sera de : 50 × 1,20 = 60, soit 60 ?.

2. La première fois, il a pris 32 litres, il a donc payé 32 × 1,20, soit 38,40 ?.
La deuxième fois, il a pris 18 litres, il a donc payé 18 × 1,20, soit 21,60 ?.
Il a payé en tout, 38,40 + 21,60, soit 60 ?.

exercice 10

Soit x le nombre de tee-shirts imprimés achetés par Camille.
Comme Camille a acheté autant de tee-shirts imprimés que de casquettes, elle a aussi acheté x casquettes.
Un tee-shirt coûte 17,70 $\text{\euro}$ , donc x tee-shirts coûtent : 17,70 × x $\text{\euro}$ .
Une casquette coûte 5,30 $\text{\euro}$ , donc x casquettes coûtent : 5,30 × x $\text{\euro}$ .
Camille paie donc 17,70 × x + 5,30 × x = 23 × x $\text{\euro}$ .
D'où : 23 × x = 552
soit : x = $\dfrac{552}{23}$ = 24
Camille a donc acheté 24 casquettes.

exercice 11

1. a) $\dfrac{5}{6} > \dfrac{2}{3}$ car $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}$

    b) $\dfrac{18}{17} > 1$ et $\dfrac{8}{9} < 1$
Donc : $\dfrac{18}{17} > \dfrac{8}{9}$

    c) $\dfrac{5}{6}=\dfrac{15}{18}$ et $\dfrac{8}{9}=\dfrac{16}{18}$
$\dfrac{16}{18} > \dfrac{15}{18}$ donc $\dfrac{8}{9} > \dfrac{5}{6}$

2. Des résultats des questions précédentes, on peut déduire la relation suivante : $\dfrac{18}{17} > \dfrac{8}{9} > \dfrac{2}{3}$

3. a) $\dfrac{7}{21} + \dfrac{13}{3} = \dfrac{7 \times 1}{7 \times 3} + \dfrac{13}{3} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{13}{3} = \dfrac{14}{3}$

    b) $4 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{24}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{23}{6}$

    c) $\dfrac{3}{8} \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{3}{8} \times \dfrac{4}{15} = \dfrac{3\times4}{2\times4\times3\times5} = \dfrac{1}{10}$

exercice 12

a) $\dfrac{11}{3}+\dfrac{4}{3} = \dfrac{15}{3} = 5$

b) $\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12}-\dfrac{1}{12} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}$

c) $\dfrac{5}{24}+\dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{24}+\dfrac{10}{24} = \dfrac{15}{24} = \dfrac{5}{8}$

a) $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{6}{2} = 2$

b) $\dfrac{5}{4} - \dfrac{5}{12} = \dfrac{5}{6}$

exercice 13

a) $A=\dfrac{8}{5}\left(\dfrac{15}{4}+\dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{8}{5}\times\dfrac{15}{4}+\dfrac{8}{5}\times\dfrac{5}{2}=2\times3+4=10$
$A=\dfrac{8}{5}\left(\dfrac{15}{4}+\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{8}{5}\left(\dfrac{25}{4}\right)=2\times5=10$

b) $B=\dfrac{6}{5}\left(5-\dfrac{5}{3}\right)=6-\dfrac{6}{5}\times\dfrac{5}{3}=6-2=4$
$B=\dfrac{6}{5}\left(5-\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{6}{5}\left(\dfrac{10}{3}\right)=2\times2=4$

exercice 14

    a) $\dfrac{26}{12}-\dfrac{20}{24} = \dfrac{2\times13}{2\times6}-\dfrac{5\times4}{6\times4} = \dfrac{13}{6}-\dfrac{5}{6} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{2\times4}{2\times3} = \dfrac{4}{3}$
    b) $\dfrac{14}{18}-\dfrac{12}{27} = \dfrac{2\times7}{2\times9}-\dfrac{3\times4}{3\times9} = \dfrac{7}{9}-\dfrac{4}{9} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{3}{3\times3} = \dfrac{1}{3}$
    c) $\dfrac{45}{40}-\dfrac{15}{24} = \dfrac{9\times5}{8\times5}-\dfrac{3\times5}{3\times8} = \dfrac{9}{8}-\dfrac{5}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{4}{4\times2} = \dfrac{1}{2}$

exercice 15

1. $\dfrac{3}{7} = \dfrac{27}{63}$ et $\dfrac{4}{9} = \dfrac{28}{63}$
Comme $\dfrac{28}{63} > \dfrac{27}{63}$ , alors le cadeau qui coûte le plus cher est celui de Charlotte.

2. $\dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{55}{63}$ , donc il lui reste $\dfrac{8}{63}$ de sa fortune, pour le cadeau de son frère.

exercice 16

Marie a dégusté $\dfrac{1}{6}$ des chocolats qu'on lui a offerts. Il en reste donc $1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$ .
Alexis a mangé les $\dfrac{2}{3}$ du reste, c'est-à-dire les $\dfrac{2}{3}$ de $\dfrac{5}{6}$ , soit $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{2\times5}{3\times2\times3} = \dfrac{5}{9}$
Il reste donc : $1 - \dfrac{1}{6} - \dfrac{5}{9} = \dfrac{18}{18} - \dfrac{3}{18} - \dfrac{10}{18} = \dfrac{5}{18}$ .
Il reste les $\dfrac{5}{18}$ de la boîte de chocolats après "l'intervention" d'Alexis.

Publié par Tom_Pascal le 20-02-2023

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