Fiche de mathématiques

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Bac Technologique
Sciences et Technologies Tertiaires
Comptabilité et Gestion - Informatique et Gestion
Session 2005

La clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices et du formulaire officiel est autorisé.
Coefficient : 4 Durée : 3 heures

5 points

exercice 1

Le plan est muni d'un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ .
On considère la figure représentée en annexe 1 et on appelle $\Delta$ la partie hachurée, bords compris.
On admettra que : la droite (CD) a pour équation y = 40 - x, et que la droite (AD) a pour équation $y = -\dfrac53 x + 50$ .

Une entreprise veut faire transporter par bateaux au moins 300 véhicules et 400 tonnes de matériel.
Le transporteur maritime auquel elle s'adresse dispose :
de 30 bateaux de type A, susceptibles chacun de transporter 10 véhicules et 10 tonnes de matériel;
de 35 bateaux de type B, susceptibles chacun de transporter 6 véhicules et 10 tonnes de matériel.

On note $x$ le nombre de bateaux de type A et $y$ le nombre de bateaux de type B à affréter pour effectuer ce transport.

1. a) Traduire les informations ci-dessus par un système d'inéquations.
    b) Montrer que ce système caractérise la partie $\Delta$ .

2. Le coût d'affrètement d'un bateau de type A est de 10 000 ? et celui d'un bateau de type B de 7 500 ?.
Soit C le coût total d'affrètement de x bateaux A et y bateaux B.
    a) Exprimer C en fonction de $x$ et de $y$ .
    b) Déterminer une équation de la droite $(d)$ correspondant à un coût total de 450 000 ? et représenter $(d)$ dans la figure tracée sur l'annexe 1.
    c) Déterminer graphiquement le couple d'entiers $(x; y)$ qui permet d'assurer le transport pour un coût minimum et calculer ce coût. On justifiera la démarche.

Les points A, B, C, D ont pour coordonnées : A(9; 35) ; B(30; 35) ; C(30; 10) et D(15; 25)

Bac STT Comptabilité et Gestion, Informatique et Gestion Métropole juin 2005 : image 1

Annexe 1

5 points

exercice 2

Dans un pays tropical, une région agricole compte 100 000 agriculteurs qui produisent soit du coton, soit du café, soit des fruits et légumes selon la répartition suivante :
42% des agriculteurs produisent du coton,
19% produisent du café,
39% produisent des fruits et légumes.

De plus :
75% des agriculteurs travaillent pour l'exportation, les autres pour la consommation locale.
86% des producteurs de coton et tous les producteurs de café travaillent pour l'exportation.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :

Destination \ Production	Coton	Café	Fruits et légumes	Total
Exportation
Consommation locale
Total				100 000

Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies si nécessaire à 10^-4.

2. On choisit au hasard un agriculteur de cette région et on considère les évènements :
C : "il produit du coton";
E : "il travaille pour l'exportation".
a) Traduire par une phrase les événements $\text{C} \cap \text{E}, \text{C} \cup \text{E} \text{ et } \text{A} = \overline{\text{C} \cup \text{E}}$ .
b) Calculer les probabilités P(C), P(E), $\text{P}(\text{C} \cap \text{E}), \text{P}(\text{C } \cup \text{E})$ et P(A).

3. On choisit au hasard un agriculteur travaillant pour l'exportation.
Quelle est la probabilité qu'il produise du café ?

10 points

probleme

Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ d'unité 2 cm sur chaque axe.
La courbe (C) donnée en annexe 2 représente une fonction f définie sur ]0; + $\infty$ [.
Le point A a pour coordonnées (1; 2).
La droite (T) est tangente en A à (C); elle passe par le point de coordonnées (0; 6).
Le point B a pour abscisse e².
La tangente à (C) en B est parallèle à (Ox), cette tangente n'est pas tracée sur le dessin.

Partie A : Étude de la fonction f

La fonction $f$ représentée par (C) est définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = \dfrac{2 - 2\ln x}{x}$ .

1. Calculer l'abscisse du point d'intersection de (C) avec (Ox).

2. a) En remarquant que $f(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} - 2 \times \dfrac{\ln x}{x}$ , calculer la limite de $f$ en + $\infty$ .
Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?
    b) En remarquant que $f(x) = \dfrac{1}{x}(2 - 2\ln x)$ , calculer la limite de $f$ en 0.
Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?

3. a) Montrer que $f'(x) = \dfrac{2\ln x - 4}{x^2}$ .
    b) Résoudre : $2 \ln x - 4 \geq 0$ .
En déduire le signe de f'(x) sur ]0; + $\infty$ [ et le tableau de variation de $f$ .
    c) Donner l'ordonnée exacte du point B (détailler les calculs).

Partie B : Calcul d'aire

1. On considère les fonctions G et g définies respectivement sur ]0; + $\infty$ [ par $G(x) = (\ln x)^2 \text{ et } g(x) = \dfrac{2 \ln x}{x}$ .
   a) Montrer que G est une primitive de g sur ]0 ; + $\infty$ [.
   b) Vérifier que $f(x) = \dfrac{2}{x} - g(x)$ ; en déduire une primitive $F$ de $f$ sur ]0; + $\infty$ [.

2. On pose : $\mathcal{A} = \displaystyle \int_1^e f(x) dx$ .
    a) $\mathcal{A}$ est l'aire, en unités d'aire, d'un domaine ( $\mathcal{D}$ ) : hachurer ( $\mathcal{D}$ ) sur le graphique.
    b) Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$ .
    c) En déduire l'aire en cm² du domaine ( $\mathcal{D}$ ).

Bac STT Comptabilité et Gestion, Informatique et Gestion Métropole juin 2005 : image 2

Annexe 2

Correction

exercice 1

1. a) Une organisation possible de cet énoncé peut être réalisée à travers un tableau comme suit :

	Véhicules	Tonnage	Nombre de bateaux	Contrainte
Type A	10	10	$x$	$\leq 30$
Type B	6	10	$y$	$\leq 35$
Objectif	$\geq 300$	$\geq 400$

Ce qui donne :
$\begin{cases}10x+6y\geq 300\\10x+10y\geq 400\\0\leq x\leq 30\\ 0\leq y\leq 35\end{cases}$

1. b) Il est aisé de montrer que ce système équivaut à :
$\begin{cases}y\geq -\dfrac{5}{3}x+50\\y\geq -x+40\\0\leq x\leq 30\\ 0\leq y\leq 35\end{cases}$
Les deux dernières conditions du système montrent qu'on travaille bien dans le rectangle situé dans le premier quart de plan, correspondant aux $x$ dans [0 ; 30] et aux $y$ dans [0 ; 35].
Quant aux deux premières conditions du système, il suffit de tracer les droites d'équation $y=-\dfrac{5}{3}x+50$ c'est-à-dire (AD) et celle d'équation $y=-x+40$ c'est-à-dire (CD). On prend ensuite un point quelconque du plan pour déterminer les demi-plans solutions, et on montre que le système caractérise bien $\Delta.$

2. a) Puisque le coût d'affrètement d'un bateau de type $A$ est de 10 000 euros et celui d'un bateau de type $B$ de 7 500 euros,
Le coût d'affrètement total est : $\boxed{C=10000x+7500y}$

2. b) On a dans ce cas : C =450 000 euros, donc :
$450000=10000x+7500y \Longleftrightarrow 7500y=-10000x+450000 \Longleftrightarrow y=-\dfrac{10000}{7500}+\dfrac{450000}{7500}$ $\Longleftrightarrow \boxed{y=-\dfrac{4}{3}x+60}$
La droite (d) correspondant à un coût de 450000 euros est représenté en rouge sur le dessin suivant.

Bac STT Comptabilité et Gestion, Informatique et Gestion Métropole juin 2005 : image 3

2. c) On déplace la droite $(d)$ vers le bas, en la laissant parallèle, jusqu'au dernier point appartenant à la partie $\Gamma$ (en tenant compte du fait que les contours sont inclus).
Le dernier point qu'on peut atteindre avec cette droite $(d)$ est le point D(15 ; 25).
Conclusion : Le couple qui assurera un coût minimal est : (15 ; 25)

Le coût minimal sera alors obtenu en remplaçant dans $C=10000x+7500y$ le couple $(x;y)$ par (15 ; 25).
Le coût minimal est donc : $10000\times15+7500\times25=\boxed{33750\text{ euros.}}}$

exercice 2

1. Complétons le tableau :

Destination \ Production	Coton	Café	Fruits et légumes	Total
Exportation	36 120	19 000	19 880	75 000
Consommation locale	5 880	0	19 120	25 000
Total	42 000	19 000	39 000	100 000

Nombre total d'agriculteurs produisant du coton :
$\dfrac{42}{100} \times 100\hspace{1pt}000$ = 42 000

Nombre total d'agriculteurs produisant du café :
$\dfrac{19}{100} \times 100\hspace{1pt}000$ = 19 000

Nombre total d'agriculteurs produisant des fruits et légumes :
$\dfrac{39}{100} \times 100\hspace{1pt}000$ = 39 000

Nombre total d'agriculteurs travaillant pour l'exportation :
$\dfrac{75}{100} \times 100\hspace{1pt}000$ = 75 000

Nombre total d'agriculteurs travaillant pour la consommation locale :
100 000 - 75 000 = 25 000

Nombre de producteurs de coton travaillant pour l'exportation :
$\dfrac{86}{100} \times 42\hspace{1pt}000$ = 36 120

Nombre d'agriculteurs produisant du coton travaillant pour la consommation locale :
42 000 - 36 120 = 5 880

Tous les producteurs de café travaillent pour l'exportation, donc aucun ne travaille pour la consommation locale.

Nombre de producteurs de fruits et légumes travaillant pour l'exportation :
75 000 - (36 120 + 19 000) = 75 000 - 55 120 = 19 880

Nombre de producteurs de fruits et légumes travaillant pour la consommation locale :
25 000 - 5 880 = 19 120

2. On choisit au hasard un agriculteur de la région. On a une situation d'équiprobabilité.
a) Traduisons par une phrase les événements $\text{C} \cap \text{E}, \text{C} \cup \text{E} \text{ et } \text{A} = \bar{\text{C} \cup \text{E}}$ :
$\text{C} \cap \text{E}$ : " il produit du coton et travaille pour l'exportation ";
$\text{C} \cup \text{E}$ : "il produit du coton ou travaille pour l'exportation",
$\text{A} = \overline{\text{C} \cup \text{E}}$ : "il ne produit pas de coton et ne travaille pas pour l'exportation".

2. b) Calculons les probabilités :
$\text{P(C)} = \dfrac{\text{nombre de producteurs de coton}}{\text{nombre total d'agriculteurs}} = \dfrac{42\hspace{1pt}000}{100\hspace{1pt}000} = 0,42 \\ P(E) = \dfrac{\text{nombre de producteurs travaillant pour l'exportation}}{\text{nombre total d'agriculteurs}} = \dfrac{75\hspace{1pt}}{100\hspace{1pt}000} = 0,75 \\ \text{P}(\text{C} \cap \text{E}) = \dfrac{\text{nombre de producteurs produisant du coton et travaillant pour l'exportation}}{\text{nombre total d'agriculteurs}} = \dfrac{36\hspace{1pt}120}{100\hspace{1pt}000} = 0,3612 \\ \text{P}(\text{C } \cup \text{E}) = \dfrac{\text{nombre de producteurs produisant du coton ou travaillant pour l'exportation}}{\text{nombre total d'agriculteurs}} = \text{P(C) + P(E)} - \text{P}(\text{C} \cap \text{E})$
$\text{P}(\text{C } \cup \text{E})$ = 0,42 + 0,75 - 0,3612 = 0,8088
P(A) = P( $\overline{\text{C} \cup \text{E}}$ ) = 1 - 0,8088 = 0,1912

3. On choisit au hasard un agriculteur travaillant pour l'exportation. La probabilité pour qu'il produise du café est $\dfrac{19\hspace{1pt}000}{75\hspace{1pt}000}$ = 0,2533.

probleme

Partie A : Etude de la fonction f

1. Il s'agit de résoudre l'équation : $f(x)=0$
$f(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac{2-2\ln x}{x}=0\Longleftrightarrow 2-2\ln x=0\Longleftrightarrow 2\ln x=2$ $\Longleftrightarrow \ln x=1\Longleftrightarrow \boxed{x=e}$

2. a) En sachant que $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 \text{ et } \lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$
On a : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}2 \times \dfrac{1}{x} - 2 \times \dfrac{\ln x}{x}=2\ties 0-2\times 0=\boxed{0}$
Interprétation géométrique :
La droite d'équation $y=0$ est asmptote à la courbe $(C)$ en $+\infty$

2. b) On sait que pour $x>0 \text{ : } \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x}=+\infty \text{ et } \lim_{x\to 0} \ln x=-\infty$
Donc : $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}(2 - 2\ln x)=+\infty \times (2-2\times(-\infty))=+\infty\times +\infty=\boxed{+\infty}$
Interprétation géométrique:
La droite d'équation $x=0$ est asmptote à la courbe $(C)$ .

3. a) Pour tout $x$ strictement positif :
$f'(x) = \left(\dfrac{2 - 2\ln x}{x}\right)'=\dfrac{(2-2\ln x)'\times x -(2-2\ln x)\times x'}{x^2}$ $=\dfrac{-\dfrac{2}{x}\times x -(2-2\ln x)}{x^2}=\dfrac{-2-2+2\ln x}{x^2}=\boxed{\dfrac{2\ln x-4}{x^2}}$

3.b) Directement : $2\ln x-4\geq 0\Longleftrightarrow \ln x\geq\dfrac{4}{2}\Longleftrightarrow \boxed{x\geq e^2}$
Donc : $\boxed{S=[e^2,+\infty[}}$
Signe de $f'(x)$ :
$x^2$ étant toujours positif, le signe de $f'(x)$ est celui de $2\ln x-4$
On déduit alors d'après ce qui précède : $\boxed{f'(x) \text{ est positif sur } [e^2,+\infty[ \text{ et négatif sur } ]0,e^2]}$
Table de variations :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 & & e^2 & & +\infty \\ \hline g'(x) & \dbarre & - & \barre{0} & + & \\ \hline \niveau{2}{3} g & +\infty & \decroit & f(e^2) & \croit & 0 \\ \hline \end{tabvar}$

3. c) Il s'agit de calculer l'image de $e^2$ .
Calcul direct : $f(e^2)=\dfrac{2-2\ln e^2}{e^2}=\dfrac{2-4\ln e}{e^2}=\dfrac{-2}{e^2}=\boxed{-2e^{-2}}$

Partie B : Calcul d'aire

1. a) Pour tout $x$ de $]0, +\infty[$ : $G'(x)=\left((\ln x)^2\right)'=2(\ln x)'(\ln x)=2\dfrac{1}{x}\ln x=\dfrac{2\ln x}{x}=\boxed{g(x)}$
On en déduit que : $\boxed{\text{G est une primitive de g sur } ]0 ,+\infty[}$

1. b) Pour tout $x$ strictement positif : $\dfrac{2}{x}-g(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2\ln x}{x}=\dfrac{2-2\ln x}{x}=\boxed{f(x)}$
Déduction d'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]0,+\infty[$ :
On sait que $x\mapsto 2\ln x$ est une primitive de $x\mapsto \dfrac{2}{x}$ sur $]0,+\infty[$ , donc une primitive de $f$ peut être définie par :
$\text{Pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[~,~F(x)=2\ln x-G(x)=2\ln x - (\ln x)^2=\boxed{\ln x(2-\ln x)}$

2. a)

Bac STT Comptabilité et Gestion, Informatique et Gestion Métropole juin 2005 : image 4

2. b) Calcul d'intégrale : $\mathcal{A}=\displaystyle \int_1^e f(x)dx=\left[F(x)\right]_1^e=F(e)-F(1)=\ln e(2-\ln e)-\ln 1 (2-\ln 1)= 1-0=\boxed{1}$

2. c) Puisque l'unité graphique est de 2 cm sur chaque axe, on a : 1 u.a = 4 cm².
De plus sur [1 ; e], la courbe est toujours au dessus de l'axe des abscisses (voir variations et point d'intersection avec l'axe des abscisses),
donc $\mathcal{A} = 1u. a= \boxed{4\text{ cm}^2}$

Publié par /dandave le 05-02-2016

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