Fiche de mathématiques
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Bac Technologique
Sciences et Technologies Tertiaires
Comptabilité et Gestion - Informatique et Gestion
Session 2005

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La clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
L'usage des calculatrices et du formulaire officiel est autorisé.
Coefficient : 4     Durée : 3 heures
5 points

exercice 1

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}).
On considère la figure représentée en annexe 1 et on appelle \Delta la partie hachurée, bords compris.
On admettra que : la droite (CD) a pour équation y = 40 - x, et que la droite (AD) a pour équation y = -\dfrac53 x + 50.

Une entreprise veut faire transporter par bateaux au moins 300 véhicules et 400 tonnes de matériel.
Le transporteur maritime auquel elle s'adresse dispose :
de 30 bateaux de type A, susceptibles chacun de transporter 10 véhicules et 10 tonnes de matériel;
de 35 bateaux de type B, susceptibles chacun de transporter 6 véhicules et 10 tonnes de matériel.

On note x le nombre de bateaux de type A et y le nombre de bateaux de type B à affréter pour effectuer ce transport.

1. a) Traduire les informations ci-dessus par un système d'inéquations.
    b) Montrer que ce système caractérise la partie \Delta.

2. Le coût d'affrètement d'un bateau de type A est de 10 000 ? et celui d'un bateau de type B de 7 500 ?.
Soit C le coût total d'affrètement de x bateaux A et y bateaux B.
    a) Exprimer C en fonction de x et de y.
    b) Déterminer une équation de la droite (d) correspondant à un coût total de 450 000 ? et représenter (d) dans la figure tracée sur l'annexe 1.
    c) Déterminer graphiquement le couple d'entiers (x; y) qui permet d'assurer le transport pour un coût minimum et calculer ce coût. On justifiera la démarche.

Les points A, B, C, D ont pour coordonnées : A(9; 35) ; B(30; 35) ; C(30; 10) et D(15; 25)

Bac STT Comptabilité et Gestion, Informatique et Gestion Métropole juin 2005 : image 1

Annexe 1



5 points

exercice 2

Dans un pays tropical, une région agricole compte 100 000 agriculteurs qui produisent soit du coton, soit du café, soit des fruits et légumes selon la répartition suivante :
42% des agriculteurs produisent du coton,
19% produisent du café,
39% produisent des fruits et légumes.

De plus :
75% des agriculteurs travaillent pour l'exportation, les autres pour la consommation locale.
86% des producteurs de coton et tous les producteurs de café travaillent pour l'exportation.

1. Recopier et compléter le tableau suivant :
Destination \ Production Coton Café Fruits et légumes Total
Exportation        
Consommation locale        
Total       100 000


Les probabilités seront données sous forme décimale, arrondies si nécessaire à 10-4.

2. On choisit au hasard un agriculteur de cette région et on considère les évènements :
C : "il produit du coton";
E : "il travaille pour l'exportation".
    a) Traduire par une phrase les événements \text{C} \cap \text{E}, \text{C} \cup \text{E} \text{ et } \text{A} = \overline{\text{C} \cup \text{E}}.
    b) Calculer les probabilités P(C), P(E), \text{P}(\text{C} \cap \text{E}), \text{P}(\text{C } \cup \text{E}) et P(A).

3. On choisit au hasard un agriculteur travaillant pour l'exportation.
Quelle est la probabilité qu'il produise du café ?


10 points

probleme

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}) d'unité 2 cm sur chaque axe.
La courbe (C) donnée en annexe 2 représente une fonction f définie sur ]0; +\infty[.
Le point A a pour coordonnées (1; 2).
La droite (T) est tangente en A à (C); elle passe par le point de coordonnées (0; 6).
Le point B a pour abscisse e².
La tangente à (C) en B est parallèle à (Ox), cette tangente n'est pas tracée sur le dessin.

Partie A : Étude de la fonction f

La fonction f représentée par (C) est définie sur ]0 ; +\infty[ par : f(x) = \dfrac{2 - 2\ln x}{x}.

1. Calculer l'abscisse du point d'intersection de (C) avec (Ox).

2. a) En remarquant que f(x) = 2 \times \dfrac{1}{x} - 2 \times \dfrac{\ln x}{x}, calculer la limite de f en +\infty.
Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?
    b) En remarquant que f(x) = \dfrac{1}{x}(2 - 2\ln x), calculer la limite de f en 0.
Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?

3. a) Montrer que f'(x) = \dfrac{2\ln x - 4}{x^2}.
    b) Résoudre : 2 \ln x - 4 \geq 0.
En déduire le signe de f'(x) sur ]0; +\infty[ et le tableau de variation de f.
    c) Donner l'ordonnée exacte du point B (détailler les calculs).

Partie B : Calcul d'aire

1. On considère les fonctions G et g définies respectivement sur ]0; +\infty[ par G(x) = (\ln x)^2 \text{ et } g(x) = \dfrac{2 \ln x}{x}.
   a) Montrer que G est une primitive de g sur ]0 ; +\infty[.
   b) Vérifier que f(x) = \dfrac{2}{x} - g(x); en déduire une primitive F de f sur ]0; +\infty[.

2. On pose : \mathcal{A} = \displaystyle \int_1^e f(x) dx.
    a) \mathcal{A} est l'aire, en unités d'aire, d'un domaine (\mathcal{D}) : hachurer (\mathcal{D}) sur le graphique.
    b) Calculer la valeur exacte de \mathcal{A}.
    c) En déduire l'aire en cm² du domaine (\mathcal{D}).

Bac STT Comptabilité et Gestion, Informatique et Gestion Métropole juin 2005 : image 2

Annexe 2




exercice 1

1. a) Une organisation possible de cet énoncé peut être réalisée à travers un tableau comme suit :

 VéhiculesTonnageNombre de bateauxContrainte
Type A1010x\leq 30
Type B610y\leq 35
Objectif\geq 300\geq 400  

Ce qui donne :
\begin{cases}10x+6y\geq 300\\10x+10y\geq 400\\0\leq x\leq 30\\ 0\leq y\leq 35\end{cases}


1. b) Il est aisé de montrer que ce système équivaut à :
\begin{cases}y\geq -\dfrac{5}{3}x+50\\y\geq -x+40\\0\leq x\leq 30\\ 0\leq y\leq 35\end{cases}

Les deux dernières conditions du système montrent qu'on travaille bien dans le rectangle situé dans le premier quart de plan, correspondant aux x dans [0 ; 30] et aux y dans [0 ; 35].
Quant aux deux premières conditions du système, il suffit de tracer les droites d'équation y=-\dfrac{5}{3}x+50 c'est-à-dire (AD) et celle d'équation y=-x+40 c'est-à-dire (CD). On prend ensuite un point quelconque du plan pour déterminer les demi-plans solutions, et on montre que le système caractérise bien \Delta.

2. a) Puisque le coût d'affrètement d'un bateau de type A est de 10 000 euros et celui d'un bateau de type B de 7 500 euros,
Le coût d'affrètement total est :
\boxed{C=10000x+7500y}


2. b) On a dans ce cas : C =450 000 euros, donc :
450000=10000x+7500y \Longleftrightarrow 7500y=-10000x+450000 \Longleftrightarrow y=-\dfrac{10000}{7500}+\dfrac{450000}{7500}\Longleftrightarrow \boxed{y=-\dfrac{4}{3}x+60}
La droite (d) correspondant à un coût de 450000 euros est représenté en rouge sur le dessin suivant.
Bac STT Comptabilité et Gestion, Informatique et Gestion Métropole juin 2005 : image 3


2. c) On déplace la droite (d) vers le bas, en la laissant parallèle, jusqu'au dernier point appartenant à la partie \Gamma (en tenant compte du fait que les contours sont inclus).
Le dernier point qu'on peut atteindre avec cette droite (d) est le point D(15 ; 25).
Conclusion :
Le couple qui assurera un coût minimal est : (15 ; 25)


Le coût minimal sera alors obtenu en remplaçant dans C=10000x+7500y le couple (x;y) par (15 ; 25).
Le coût minimal est donc : 10000\times15+7500\times25=\boxed{33750\text{ euros.}}}

exercice 2

1. Complétons le tableau :
Destination \ Production Coton Café Fruits et légumes Total
Exportation 36 120 19 000 19 880 75 000
Consommation locale 5 880 0 19 120 25 000
Total 42 000 19 000 39 000 100 000


Nombre total d'agriculteurs produisant du coton :
\dfrac{42}{100} \times 100\hspace{1pt}000 = 42 000

Nombre total d'agriculteurs produisant du café :
\dfrac{19}{100} \times 100\hspace{1pt}000 = 19 000

Nombre total d'agriculteurs produisant des fruits et légumes :
\dfrac{39}{100} \times 100\hspace{1pt}000 = 39 000

Nombre total d'agriculteurs travaillant pour l'exportation :
\dfrac{75}{100} \times 100\hspace{1pt}000 = 75 000

Nombre total d'agriculteurs travaillant pour la consommation locale :
100 000 - 75 000 = 25 000

Nombre de producteurs de coton travaillant pour l'exportation :
\dfrac{86}{100} \times 42\hspace{1pt}000 = 36 120

Nombre d'agriculteurs produisant du coton travaillant pour la consommation locale :
42 000 - 36 120 = 5 880

Tous les producteurs de café travaillent pour l'exportation, donc aucun ne travaille pour la consommation locale.

Nombre de producteurs de fruits et légumes travaillant pour l'exportation :
75 000 - (36 120 + 19 000) = 75 000 - 55 120 = 19 880

Nombre de producteurs de fruits et légumes travaillant pour la consommation locale :
25 000 - 5 880 = 19 120

2. On choisit au hasard un agriculteur de la région. On a une situation d'équiprobabilité.
    a) Traduisons par une phrase les événements \text{C} \cap \text{E}, \text{C} \cup \text{E} \text{ et } \text{A} = \bar{\text{C} \cup \text{E}} :
\text{C} \cap \text{E} : " il produit du coton et travaille pour l'exportation ";
\text{C} \cup \text{E} : "il produit du coton ou travaille pour l'exportation",
\text{A} = \overline{\text{C} \cup \text{E}} : "il ne produit pas de coton et ne travaille pas pour l'exportation".

2. b) Calculons les probabilités :
\text{P(C)} = \dfrac{\text{nombre de producteurs de coton}}{\text{nombre total d'agriculteurs}} = \dfrac{42\hspace{1pt}000}{100\hspace{1pt}000} = 0,42 \\ P(E) = \dfrac{\text{nombre de producteurs travaillant pour l'exportation}}{\text{nombre total d'agriculteurs}} = \dfrac{75\hspace{1pt}}{100\hspace{1pt}000} = 0,75 \\ \text{P}(\text{C} \cap \text{E}) = \dfrac{\text{nombre de producteurs produisant du coton et travaillant pour l'exportation}}{\text{nombre total d'agriculteurs}} = \dfrac{36\hspace{1pt}120}{100\hspace{1pt}000} = 0,3612 \\ \text{P}(\text{C } \cup \text{E}) = \dfrac{\text{nombre de producteurs produisant du coton ou travaillant pour l'exportation}}{\text{nombre total d'agriculteurs}} = \text{P(C) + P(E)} - \text{P}(\text{C} \cap \text{E})
\text{P}(\text{C } \cup \text{E}) = 0,42 + 0,75 - 0,3612 = 0,8088
P(A) = P(\overline{\text{C} \cup \text{E}}) = 1 - 0,8088 = 0,1912

3. On choisit au hasard un agriculteur travaillant pour l'exportation. La probabilité pour qu'il produise du café est \dfrac{19\hspace{1pt}000}{75\hspace{1pt}000} = 0,2533.




probleme

Partie A : Etude de la fonction f

1. Il s'agit de résoudre l'équation : f(x)=0
f(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac{2-2\ln x}{x}=0\Longleftrightarrow 2-2\ln x=0\Longleftrightarrow 2\ln x=2 \Longleftrightarrow \ln x=1\Longleftrightarrow \boxed{x=e}

2. a) En sachant que \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 \text{ et } \lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0
On a : \displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}2 \times \dfrac{1}{x} - 2 \times \dfrac{\ln x}{x}=2\ties 0-2\times 0=\boxed{0}
Interprétation géométrique :
La droite d'équation y=0 est asmptote à la courbe (C) en +\infty


2. b) On sait que pour x>0 \text{ : } \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x}=+\infty \text{ et } \lim_{x\to 0} \ln x=-\infty
Donc : \displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}(2 - 2\ln x)=+\infty \times (2-2\times(-\infty))=+\infty\times +\infty=\boxed{+\infty}
Interprétation géométrique:
La droite d'équation x=0 est asmptote à la courbe (C).


3. a) Pour tout x strictement positif :
f'(x) = \left(\dfrac{2 - 2\ln x}{x}\right)'=\dfrac{(2-2\ln x)'\times x -(2-2\ln x)\times x'}{x^2}=\dfrac{-\dfrac{2}{x}\times x -(2-2\ln x)}{x^2}=\dfrac{-2-2+2\ln x}{x^2}=\boxed{\dfrac{2\ln x-4}{x^2}}

3.b) Directement : 2\ln x-4\geq 0\Longleftrightarrow \ln x\geq\dfrac{4}{2}\Longleftrightarrow \boxed{x\geq e^2}
Donc :
\boxed{S=[e^2,+\infty[}}

Signe de f'(x) :
x^2 étant toujours positif, le signe de f'(x) est celui de 2\ln x-4
On déduit alors d'après ce qui précède :
\boxed{f'(x) \text{ est positif sur } [e^2,+\infty[ \text{ et négatif sur } ]0,e^2]}

Table de variations :
\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x                     & 0       &          & e^2               &        & +\infty   \\ \hline g'(x)                 & \dbarre & -       & \barre{0}            &  +     &           \\ \hline \niveau{2}{3} g      & +\infty & \decroit &    f(e^2)                  & \croit &  0  \\ \hline \end{tabvar}


3. c) Il s'agit de calculer l'image de e^2.
Calcul direct : f(e^2)=\dfrac{2-2\ln e^2}{e^2}=\dfrac{2-4\ln e}{e^2}=\dfrac{-2}{e^2}=\boxed{-2e^{-2}}

Partie B : Calcul d'aire

1. a) Pour tout x de ]0, +\infty[ : G'(x)=\left((\ln x)^2\right)'=2(\ln x)'(\ln x)=2\dfrac{1}{x}\ln x=\dfrac{2\ln x}{x}=\boxed{g(x)}
On en déduit que :
\boxed{\text{G est une primitive de g sur } ]0 ,+\infty[}


1. b) Pour tout x strictement positif : \dfrac{2}{x}-g(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{2\ln x}{x}=\dfrac{2-2\ln x}{x}=\boxed{f(x)}
Déduction d'une primitive F de la fonction f sur ]0,+\infty[:
On sait que x\mapsto 2\ln x est une primitive de x\mapsto \dfrac{2}{x} sur ]0,+\infty[, donc une primitive de f peut être définie par :
\text{Pour tout }x\text{ de }]0;+\infty[~,~F(x)=2\ln x-G(x)=2\ln x - (\ln x)^2=\boxed{\ln x(2-\ln x)}


2. a)
Bac STT Comptabilité et Gestion, Informatique et Gestion Métropole juin 2005 : image 4


2. b) Calcul d'intégrale : \mathcal{A}=\displaystyle \int_1^e f(x)dx=\left[F(x)\right]_1^e=F(e)-F(1)=\ln e(2-\ln e)-\ln 1 (2-\ln 1)= 1-0=\boxed{1}

2. c) Puisque l'unité graphique est de 2 cm sur chaque axe, on a : 1 u.a = 4 cm².
De plus sur [1 ; e], la courbe est toujours au dessus de l'axe des abscisses (voir variations et point d'intersection avec l'axe des abscisses),
donc \mathcal{A} = 1u. a= \boxed{4\text{ cm}^2}
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