Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Juin 2005

7 points

exercice

Sur le schéma 1, $\mathcal{C}$ est la courbe représentative dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur [-1 ; 5].
On précise que la courbe passe par les points O(0 ; 0), A (1 ; 1) et B (3 ; 0).

bac TMD Métropole Juin 2005 - terminale : image 1

Schéma 1 1. L'un des trois schémas suivants, 2, 3 ou 4, correspond à la courbe représentative de la dérivée $f'$ de $f$ . Préciser lequel, en justifiant la réponse.


Schéma 2	Schéma 3	Schéma 4

2. Soit $m$ un réel quelconque. Préciser graphiquement (à l'aide du schéma 1), le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$ , suivant la valeur de $m$ .

3. On admet que $f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 + ax^2 + bx$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.
    a) Calculer $f(1)$ et $f(3)$ en fonction de $a$ et $b.$
    b) En déduire les nombres réels $a$ et $b$ .
    c) À l'aide de l'expression de la fonction $f$ , retrouver les valeurs de $f'(1)$ et $f'(3)$ .

13 points

probleme

Soit $f$ la fonction, définie sur $\mathbb{R}$ , par $f(x) = \text{e}^{2x} - 5\text{e}^x +4$ .
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ d'unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

1. a) En justifiant que $f(x)= \text{e}^x\left(\text{e}^x - 5\right) + 4$ , déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty.$
    b) Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$ ; en déduire l'existence d'une asymptote D au voisinage de $- \infty$ , dont on précisera une équation.
    c) On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ .
    d) Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout réel $x$ .
    e) Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ . On précisera la valeur de $f\left[\ln \left(\dfrac{5}{2}\right)\right]$ .

2. Soit T la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $\ln \left( \dfrac{1}{2}\right)$ . Calculer les valeurs exactes de l'ordonnée de A et du coefficient directeur de la droite T.

3. a) Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $X^2 - 5X + 4 = 0$ .
    b) En déduire la résolution de l'équation $f(x) = 0$ .

4. Reproduire le tableau suivant et le compléter avec les valeurs décimales arrondies à 10^-1 près.

$x$	-5	-4	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	1,6
$f(x)$

5. Construire dans le repère $(O ; \vec{i},\vec{j})$ l'asymptote D, la tangente T puis la courbe $\mathcal{C}$ en tenant compte des résultats obtenus aux questions 3. et 4.

6. a) Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ .
b) Calculer l'intégrale $\text{I} = \displaystyle \int_{0}^{\ln (4)} f(x)\:\text{d}x$ (on donnera la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à 10^-2 près).

Correction

exercice 1

1. L'allure de $\mathcal{C}$ nous montre que la fonction $f$ admet deux extremums et ceci aux points $A(1 ; 1)$ et $B(3 ; 0)$ .
Donc la dérivée doit nécessairement être nulle en ces points : $f'(1)=0$ et $f'(3)=0$ . De plus, la fonction $f$ étant croissante, puis décroissante et à nouveau croissante, la dérivée doit être successivement positive, négative et positive. Cette configuration correspond au schéma 2.
$f'$ est représenté dans le schéma 2.

2. On sait que le nombre de solutions de l'équation $f(x)=m$ correspond au nombres de points d'intersections de $\mathcal{C}$ avec la droite "horizontale" d'équation $y=m$
Si $m<-4$ , il n'y a pas d' intersection, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 0 solution.
Si $m\in[-4;0[$ , il y a une intersection, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 1 solution.
Si $m=0$ , il y a deux intersections, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 2 solutions.
Si $m\in]0;1[$ , il y a trois intersections, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 3 solutions.
Si $m=1$ , il y a deux intersections, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 2 solutions.
Si $m\in]1;5]$ , il y a une intersection,ce qui veut dire l'équation proposée admet 1 solution.
Si $m>5$ , il n'y a pas d'intersection,ce qui veut dire que l'équation proposée admet 0 solution.

3. a) $f(1) = \dfrac{1}{4}\times 1^3 + a\times 1^2 + b\times 1=\boxed{\dfrac{1}{4}+a+b}$
$f(3) = \dfrac{1}{4}\times 3^3 + a\times 3^2 + 3b=\boxed{\dfrac{27}{4}+9a+3b}$

3. b) D'après le schéma 1 : $\begin{cases} f(1)=1\\f(3)=0\end{cases}$
Soit : $\begin{cases} \dfrac{1}{4}+a+b=1\\\dfrac{27}{4}+9a+3b=0\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a+b=\dfrac{3}{4} \text{ (I)}\\3a+b=-\dfrac{9}{4}\text{ (II)}\end{cases}$ $\Longleftrightarrow \begin{cases} a+b=\dfrac{3}{4} \text{ (I)}\\-2a=\dfrac{12}{4}\text{ (I)-(II)}\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} b=\dfrac{3}{4}-a \\a=-\dfrac{3}{2}\end{cases}\Longleftrightarrow \boxed{\begin{cases} b=\dfrac{9}{4}\\a=-\dfrac{3}{2}\end{cases}}$

3. c) Pour $a=-\dfrac{3}{2} \text{ et } b=\dfrac{9}{4}$ , on a l'expression de $f(x)$
$\text{Pour tout réel } x\text{ de } [-1;5]\text{ : } f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{9}{4}x$
Calculons à présent la dérivée : $f'(x)= \dfrac{3}{4}x^2-3x+\dfrac{9}{4}$
On obtient : $f'(1)=\dfrac{3}{4}-3+\dfrac{9}{4}=0$ et $f'(3)=\dfrac{27}{4}-9+\dfrac{9}{4}=\dfrac{36}{4}-9=9-9=0$
D'où la vérification avec la lecture sur le dessin.

probleme

1. a) Pour tout réel $x$ on a : $f(x)=e^{2x}-5e^x+4=e^xe^x-5e^x+4=\boxed{e^x(e^x-5)+4}$
Calcul de la limite : En sachant que : $\displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ , on a : $\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}e^x(e^x-5)+4=\boxed{+\infty}$

1. b) En sachant que : $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x=0$ , on a alors : $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)= \displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x(e^x-5)+4=0\times(0-5)+4=\boxed{4}$
Interprétation géométrique : $\boxed{\text{Il existe une asymptote D d'équation } y=4\text{ au voisinage de }-\infty}$

1. c) Pour tout réel $x$ , on a : $f'(x)=2e^{2x}-5e^x=\boxed{e^x(2e^x-5)}$

1. d) Puisque $e^x$ est strictement positif sur $\mathbb{R}$ , le signe de $f'(x)$ est celui de $2e^x-5$
On a : $\begin{cases} 2e^x-5\leq 0\Longleftrightarrow 2e^x\leq 5\Longleftrightarrow e^x\leq\dfrac{5}{2}\Longleftrightarrow x\leq \ln\left(\dfrac{5}{2}\right)\\ 2e^x-5\geq 0\Longleftrightarrow 2e^x\geq 5\Longleftrightarrow e^x\geq\dfrac{5}{2}\Longleftrightarrow x\geq \ln\left(\dfrac{5}{2}\right)\end{cases}$
On en déduit que : $\boxed{f'(x)\leq 0 \text{ sur } \left]-\infty,\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)\right] \text{ et } f'(x)\geq 0 \text{ sur } \left[\ln\left(\dfrac{5}{2}\right),+\infty\right[ }$

1. e) Tableau de variations :
$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}\hline x& -\infty&&\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)&&+\infty\\\hline f'(x)&&-&\barre{0}&+&\\\hline\niveau{2}{3}f&4&\decroit&-\dfrac{9}{4}&\croit& +\infty \\\hline\end{tabvar}$
$f\left(\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)\right)=e^{2\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)}-5e^{\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)}+4=e^{\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)^2}-5e^{\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)}+4=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-5\dfrac{5}{2}+4=\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+4=\dfrac{25-50+16}{4}=-\dfrac{9}{4}$

2. Soit $T$ la tangente à $\mathcal{C}$ en A.
Son coefficient directeur est : $f'\left(\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)=e^{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}(2e^{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}-5)=\dfrac{1}{2}\left(2\dfrac{1}{2}-5\right)=\boxed{-2}$
L'ordonnée de A est : $f\left(\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)=e^{2\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}-5e^{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}+4=\dfrac{1}{4}-5\dfrac{1}{2}+4=\dfrac{1-10+16}{4}=\boxed{\dfrac{7}{4}}$

3. a) A défaut de voir immédiatement que $x=1$ est solution, donc que la seconde solution est 4, il est possible de calculer le discriminant.
$\Delta= (-5)^2-4\times 4\times 1=25-16=9=3^2>0$
L'équation admet donc deux solutions : $X_1=\dfrac{5-3}{2}=1$ et $X_2=\dfrac{5+3}{2}=4$
Conclusion : $\boxed{S=\lbrace 1 ; 4\rbrace}$

3. b) Chercher les points d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses revient à déterminer les abscisses $x$ telles que $f(x)=0$
Résolvons dans $\mathbb{R}$ l'équation $f(x)=0$ soit $e^{2x}-5e^x+4=0$
En posant $X=e^x$ , cela donne $X^2-5X+4=0$ dont on a vu à la question précédente que ses solutions étaient $X=1$ ou $X=4$
Soit $e^x=1 \text{ ou } e^x=4$ ; soit $x=0 \text{ ou } x=\ln4$
On en déduit que : Il y a deux points d'intersection entre l'axe des abscisses et $\mathcal{C}$ qui sont O(0 ; 0) et P(ln 4 ; 0)

4. Calcul :

$x$	-5	-4	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	1,6
$f(x)$	4,0	3,9	3,3	2,9	2,3	1,3	0	-1,5	-2,2	1,7	3,8

5. Le schéma :

bac TMD Métropole Juin 2005 - terminale : image 5

6. a) On sait que $x\mapsto e^x$ a pour primitive elle-même, que $x\mapsto e^{2x}$ a pour primitive $x\mapsto \dfrac{e^{2x}}{2}$ et que $x\mapsto 4$ a pour primitive $x\mapsto 4x$
Donc : $\boxed{ F(x)=\dfrac{e^{2x}}{2}-5e^x+4x}$

6.b) Le calcul de l'intégrale demandé est :
$\begin{matrix}\mathcal{A}&=&\displaystyle\int_{0}^{\ln 4}f(x)\text{d}x &=& \left[\dfrac{e^{2x}}{2}-5e^x+4x\right]_{0}^{\ln 4}\\ &=&\left[\dfrac{e^{2\ln 4}}{2}-5e^{\ln 4}+4\ln 4 -\left(\dfrac{e^{2\times 0}}{2}-5e^0+4\times 0\right)\right]&=& \left(\dfrac{4^2}{2}-5\times 4+4\ln 4-\dfrac{1}{2}+5-0 \right) \\ &=&-\dfrac{15}{2}+4\ln 4 \\ &\approx& \boxed{ -1,95 }\end{matrix}$

Publié par TP/dandave le 14-02-2014

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