Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Juin 2005
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7 points
exercice
Sur le schéma 1, est la courbe représentative dans le repère d'une fonction définie et dérivable sur [-1 ; 5].
On précise que la courbe passe par les points O(0 ; 0), A (1 ; 1) et B (3 ; 0).
Schéma 1
1. L'un des trois schémas suivants, 2, 3 ou 4, correspond à la courbe représentative de la dérivée de . Préciser lequel, en justifiant la réponse.
Schéma 2
Schéma 3
Schéma 4
2. Soit un réel quelconque. Préciser graphiquement (à l'aide du schéma 1), le nombre de solutions de l'équation , suivant la valeur de .
3. On admet que où et sont des nombres réels.
a) Calculer et en fonction de et b) En déduire les nombres réels et .
c) À l'aide de l'expression de la fonction , retrouver les valeurs de et .
13 points
probleme
Soit la fonction, définie sur , par .
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthogonal
d'unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.
1. a) En justifiant que , déterminer la limite de la fonction en b) Déterminer la limite de en ; en déduire l'existence d'une asymptote D au voisinage de , dont on précisera une équation.
c) On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
Calculer pour tout réel .
d) Étudier le signe de pour tout réel .
e) Dresser le tableau de variations de la fonction . On précisera la valeur de .
2. Soit T la tangente à la courbe au point A d'abscisse . Calculer les valeurs exactes de l'ordonnée de A et du coefficient directeur de la droite T.
3. a) Résoudre dans l'équation .
b) En déduire la résolution de l'équation .
4. Reproduire le tableau suivant et le compléter avec les valeurs décimales arrondies à 10-1 près.
-5
-4
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
1,6
5. Construire dans le repère l'asymptote D, la tangente T puis la courbe en tenant compte des résultats obtenus aux questions 3. et 4.
6. a) Déterminer une primitive de la fonction sur .
b) Calculer l'intégrale (on donnera la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à 10-2 près).
1. L'allure de nous montre que la fonction admet deux extremums et ceci aux points et .
Donc la dérivée doit nécessairement être nulle en ces points : et . De plus, la fonction étant croissante, puis décroissante et à nouveau croissante, la dérivée doit être successivement positive, négative et positive. Cette configuration correspond au schéma 2.
est représenté dans le schéma 2.
2. On sait que le nombre de solutions de l'équation correspond au nombres de points d'intersections de avec la droite "horizontale" d'équation Si , il n'y a pas d' intersection, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 0 solution.
Si , il y a une intersection, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 1 solution.
Si , il y a deux intersections, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 2 solutions.
Si , il y a trois intersections, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 3 solutions.
Si , il y a deux intersections, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 2 solutions.
Si , il y a une intersection,ce qui veut dire l'équation proposée admet 1 solution.
Si , il n'y a pas d'intersection,ce qui veut dire que l'équation proposée admet 0 solution.
3. a)
3. b) D'après le schéma 1 : Soit :
3. c) Pour , on a l'expression de
Calculons à présent la dérivée : On obtient : et
D'où la vérification avec la lecture sur le dessin.
probleme
1. a) Pour tout réel on a : Calcul de la limite : En sachant que : , on a :
1. b) En sachant que : , on a alors : Interprétation géométrique :
1. c) Pour tout réel , on a :
1. d) Puisque est strictement positif sur , le signe de est celui de On a : On en déduit que :
1. e)Tableau de variations :
2. Soit la tangente à en A.
Son coefficient directeur est : L'ordonnée de A est :
3. a) A défaut de voir immédiatement que est solution, donc que la seconde solution est 4, il est possible de calculer le discriminant.
L'équation admet donc deux solutions : et Conclusion :
3. b) Chercher les points d'intersection de avec l'axe des abscisses revient à déterminer les abscisses telles que Résolvons dans l'équation soit En posant , cela donne dont on a vu à la question précédente que ses solutions étaient ou Soit ; soit On en déduit que :
Il y a deux points d'intersection entre l'axe des abscisses et qui sont O(0 ; 0) et P(ln 4 ; 0)
4. Calcul :
-5
-4
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
1,6
4,0
3,9
3,3
2,9
2,3
1,3
0
-1,5
-2,2
1,7
3,8
5. Le schéma :
6. a) On sait que a pour primitive elle-même, que a pour primitive et que a pour primitive Donc :
6.b) Le calcul de l'intégrale demandé est :
Publié par TP/dandave
le
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