Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Techniques de la Musique et de la Danse
France - Session Juin 2005

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7 points

exercice

Sur le schéma 1, \mathcal{C} est la courbe représentative dans le repère (O ; \vec{i},\vec{j}) d'une fonction f définie et dérivable sur [-1 ; 5].
On précise que la courbe passe par les points O(0 ; 0), A (1 ; 1) et B (3 ; 0).

bac TMD Métropole Juin 2005 - terminale : image 1

Schéma 1
1. L'un des trois schémas suivants, 2, 3 ou 4, correspond à la courbe représentative de la dérivée f' de f. Préciser lequel, en justifiant la réponse.
bac TMD Métropole Juin 2005 - terminale : image 2
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Schéma 2Schéma 3Schéma 4

2. Soit m un réel quelconque. Préciser graphiquement (à l'aide du schéma 1), le nombre de solutions de l'équation f(x) = m, suivant la valeur de m.

3. On admet que f(x) = \dfrac{1}{4}x^3 + ax^2  + bxa et b sont des nombres réels.
    a) Calculer f(1) et f(3) en fonction de a et b.
    b) En déduire les nombres réels a et b.
    c) À l'aide de l'expression de la fonction f, retrouver les valeurs de f'(1) et f'(3).


13 points

probleme

Soit f la fonction, définie sur \mathbb{R}, par     f(x) =  \text{e}^{2x} - 5\text{e}^x +4.
On note \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal (O ; \vec{i},\vec{j}) d'unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

1. a) En justifiant que f(x)= \text{e}^x\left(\text{e}^x  - 5\right) + 4, déterminer la limite de la fonction f en + \infty.
    b) Déterminer la limite de f en - \infty ; en déduire l'existence d'une asymptote D au voisinage de - \infty, dont on précisera une équation.
    c) On désigne par f' la fonction dérivée de la fonction f.
Calculer f'(x) pour tout réel x.
    d) Étudier le signe de f'(x) pour tout réel x.
    e) Dresser le tableau de variations de la fonction f. On précisera la valeur de f\left[\ln \left(\dfrac{5}{2}\right)\right].

2. Soit T la tangente à la courbe \mathcal{C} au point A d'abscisse \ln \left( \dfrac{1}{2}\right). Calculer les valeurs exactes de l'ordonnée de A et du coefficient directeur de la droite T.

3. a) Résoudre dans \mathbb{R} l'équation X^2 - 5X + 4 = 0.
    b) En déduire la résolution de l'équation f(x) = 0.

4. Reproduire le tableau suivant et le compléter avec les valeurs décimales arrondies à 10-1 près.
x-5-4-2-1,5-1-0,500,511,51,6
f(x)           

5. Construire dans le repère (O ; \vec{i},\vec{j}) l'asymptote D, la tangente T puis la courbe \mathcal{C} en tenant compte des résultats obtenus aux questions 3. et 4.

6. a) Déterminer une primitive F de la fonction f sur \mathbb{R}.
    b) Calculer l'intégrale \text{I} = \displaystyle \int_{0}^{\ln (4)} f(x)\:\text{d}x (on donnera la valeur exacte puis la valeur décimale arrondie à 10-2 près).



exercice 1

1. L'allure de \mathcal{C} nous montre que la fonction f admet deux extremums et ceci aux points A(1 ; 1) et B(3 ; 0).
Donc la dérivée doit nécessairement être nulle en ces points : f'(1)=0 et f'(3)=0. De plus, la fonction f étant croissante, puis décroissante et à nouveau croissante, la dérivée doit être successivement positive, négative et positive. Cette configuration correspond au schéma 2.
f' est représenté dans le schéma 2.


2. On sait que le nombre de solutions de l'équation f(x)=m correspond au nombres de points d'intersections de \mathcal{C} avec la droite "horizontale" d'équation y=m
Si m<-4 , il n'y a pas d' intersection, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 0 solution.
Si m\in[-4;0[ , il y a une intersection, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 1 solution.
Si m=0 , il y a deux intersections, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 2 solutions.
Si m\in]0;1[ , il y a trois intersections, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 3 solutions.
Si m=1 , il y a deux intersections, ce qui veut dire que l'équation proposée admet 2 solutions.
Si m\in]1;5] , il y a une intersection,ce qui veut dire l'équation proposée admet 1 solution.
Si m>5 , il n'y a pas d'intersection,ce qui veut dire que l'équation proposée admet 0 solution.

3. a) f(1) = \dfrac{1}{4}\times 1^3 + a\times 1^2  + b\times 1=\boxed{\dfrac{1}{4}+a+b}
f(3) = \dfrac{1}{4}\times 3^3 + a\times 3^2  + 3b=\boxed{\dfrac{27}{4}+9a+3b}

3. b) D'après le schéma 1 : \begin{cases} f(1)=1\\f(3)=0\end{cases}
Soit : \begin{cases} \dfrac{1}{4}+a+b=1\\\dfrac{27}{4}+9a+3b=0\end{cases}  \Longleftrightarrow \begin{cases} a+b=\dfrac{3}{4} \text{ (I)}\\3a+b=-\dfrac{9}{4}\text{ (II)}\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a+b=\dfrac{3}{4} \text{ (I)}\\-2a=\dfrac{12}{4}\text{ (I)-(II)}\end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} b=\dfrac{3}{4}-a \\a=-\dfrac{3}{2}\end{cases}\Longleftrightarrow \boxed{\begin{cases} b=\dfrac{9}{4}\\a=-\dfrac{3}{2}\end{cases}}

3. c) Pour a=-\dfrac{3}{2} \text{ et } b=\dfrac{9}{4}, on a l'expression de f(x)
\text{Pour tout réel } x\text{ de } [-1;5]\text{ : } f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-\dfrac{3}{2}x^2+\dfrac{9}{4}x

Calculons à présent la dérivée : f'(x)= \dfrac{3}{4}x^2-3x+\dfrac{9}{4}
On obtient : f'(1)=\dfrac{3}{4}-3+\dfrac{9}{4}=0     et     f'(3)=\dfrac{27}{4}-9+\dfrac{9}{4}=\dfrac{36}{4}-9=9-9=0
D'où la vérification avec la lecture sur le dessin.





probleme

1. a) Pour tout réel x on a : f(x)=e^{2x}-5e^x+4=e^xe^x-5e^x+4=\boxed{e^x(e^x-5)+4}
Calcul de la limite : En sachant que : \displaystyle \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty, on a : \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}e^x(e^x-5)+4=\boxed{+\infty}

1. b) En sachant que : \displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x=0, on a alors : \displaystyle \lim_{x\to-\infty}f(x)= \displaystyle \lim_{x\to-\infty}e^x(e^x-5)+4=0\times(0-5)+4=\boxed{4}
Interprétation géométrique :
\boxed{\text{Il existe une asymptote D d'équation } y=4\text{ au voisinage de }-\infty}


1. c) Pour tout réel x, on a : f'(x)=2e^{2x}-5e^x=\boxed{e^x(2e^x-5)}

1. d) Puisque e^x est strictement positif sur \mathbb{R}, le signe de f'(x) est celui de 2e^x-5
On a : \begin{cases} 2e^x-5\leq 0\Longleftrightarrow 2e^x\leq 5\Longleftrightarrow e^x\leq\dfrac{5}{2}\Longleftrightarrow x\leq \ln\left(\dfrac{5}{2}\right)\\ 2e^x-5\geq 0\Longleftrightarrow 2e^x\geq 5\Longleftrightarrow e^x\geq\dfrac{5}{2}\Longleftrightarrow x\geq \ln\left(\dfrac{5}{2}\right)\end{cases}
On en déduit que :
\boxed{f'(x)\leq 0 \text{ sur } \left]-\infty,\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)\right] \text{ et } f'(x)\geq 0 \text{ sur } \left[\ln\left(\dfrac{5}{2}\right),+\infty\right[ }


1. e) Tableau de variations :
\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}\hline x& -\infty&&\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)&&+\infty\\\hline f'(x)&&-&\barre{0}&+&\\\hline\niveau{2}{3}f&4&\decroit&-\dfrac{9}{4}&\croit& +\infty \\\hline\end{tabvar}

f\left(\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)\right)=e^{2\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)}-5e^{\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)}+4=e^{\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)^2}-5e^{\ln\left(\dfrac{5}{2}\right)}+4=\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-5\dfrac{5}{2}+4=\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+4=\dfrac{25-50+16}{4}=-\dfrac{9}{4}

2. Soit T la tangente à \mathcal{C} en A.
Son coefficient directeur est : f'\left(\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)=e^{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}(2e^{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}-5)=\dfrac{1}{2}\left(2\dfrac{1}{2}-5\right)=\boxed{-2}
L'ordonnée de A est : f\left(\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)=e^{2\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}-5e^{\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)}+4=\dfrac{1}{4}-5\dfrac{1}{2}+4=\dfrac{1-10+16}{4}=\boxed{\dfrac{7}{4}}

3. a) A défaut de voir immédiatement que x=1 est solution, donc que la seconde solution est 4, il est possible de calculer le discriminant.
\Delta= (-5)^2-4\times 4\times 1=25-16=9=3^2>0
L'équation admet donc deux solutions : X_1=\dfrac{5-3}{2}=1   et   X_2=\dfrac{5+3}{2}=4
Conclusion :
\boxed{S=\lbrace 1 ; 4\rbrace}


3. b) Chercher les points d'intersection de \mathcal{C} avec l'axe des abscisses revient à déterminer les abscisses x telles que f(x)=0
Résolvons dans \mathbb{R} l'équation f(x)=0 soit e^{2x}-5e^x+4=0
En posant X=e^x, cela donne X^2-5X+4=0 dont on a vu à la question précédente que ses solutions étaient X=1 ou X=4
Soit e^x=1 \text{ ou } e^x=4; soit x=0 \text{ ou } x=\ln4
On en déduit que :
Il y a deux points d'intersection entre l'axe des abscisses et \mathcal{C} qui sont O(0 ; 0) et P(ln 4 ; 0)


4. Calcul :
x -5 -4 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 1,6
f(x) 4,0 3,9 3,3 2,9 2,3 1,3 0 -1,5 -2,2 1,7 3,8


5. Le schéma :
bac TMD Métropole Juin 2005 - terminale : image 5


6. a) On sait que x\mapsto e^x a pour primitive elle-même, que x\mapsto e^{2x} a pour primitive x\mapsto \dfrac{e^{2x}}{2} et que x\mapsto 4 a pour primitive x\mapsto 4x
Donc :
\boxed{ F(x)=\dfrac{e^{2x}}{2}-5e^x+4x}


6.b) Le calcul de l'intégrale demandé est :
\begin{matrix}\mathcal{A}&=&\displaystyle\int_{0}^{\ln 4}f(x)\text{d}x &=& \left[\dfrac{e^{2x}}{2}-5e^x+4x\right]_{0}^{\ln 4}\\ &=&\left[\dfrac{e^{2\ln 4}}{2}-5e^{\ln 4}+4\ln 4 -\left(\dfrac{e^{2\times 0}}{2}-5e^0+4\times 0\right)\right]&=& \left(\dfrac{4^2}{2}-5\times 4+4\ln 4-\dfrac{1}{2}+5-0 \right) \\ &=&-\dfrac{15}{2}+4\ln 4 \\ &\approx& \boxed{ -1,95 }\end{matrix}
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