Fiche de mathématiques

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Bac Général 2007 - Pondichéry
Série Economique et Social

Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 5

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Dans cet exercice, on ne demande aucune justification.
Barème : Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. Une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

Partie A

Dans cette partie, pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et préciser en toutes lettres, sans justifier votre choix, VRAI ou FAUX ou ON NE PEUT PAS REPONDRE.
On connaît le tableau de variation d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathcal{D}_{f} = ]- \infty \: ; \: 1[ \cup ]1 \, ; \, + \infty[$ :

$\begin{array}{|c|lcccccccr|} \hline x & -\infty &&&1&&&3&&+\infty \\ \hline \hspace{1pt}&&&+\infty&||&&&5&& \\ f(x)&&\nearrow&&||&&\nearrow&&\searrow& \\ \hspace{1pt}&-2&&&||&-\infty&&&&1 \\ \hline \end{array}$

1. La droite d'équation $x = -2$ est asymptote à la représentation graphique de $f$ .
2. L'équation $f(x) = 2$ admet exactement deux solutions dans $\mathcal{D}_{f}$ .
3. Pour tout $x$ appartenant à ]1 ; 3 [, $f'(x) > 0$ ( $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $\mathcal{D}_{f}$ ).
4. Toute primitive de $f$ sur [3 ; 8] est décroissante.
5. La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{f(x)}$ est décroissante sur [3 ; + $\infty$ [.

Partie B

Dans cette partie, pour chaque question, trois propositions sont formulées. Une seule d'entre elles convient. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la proposition qui vous semble exacte, sans justifier votre choix.
Soit la fonction g définie par $g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x - 1}$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

1. L'ensemble de définition D_g de g est égal à :
a) ]0 ; + $\infty$ [ b) $\mathbb{R} \backslash {0}$ c) $\mathbb{R} \backslash \lbrace 1\rbrace$

2. L'équation $g(x) = 3$ admet pour solution :
a) $\text{e}^3$ b) $\ln 3$ c) Aucune solution

3. La limite de $g$ en $+\infty$ est :
a) -1 b) + $\infty$ c) 2

5 points

exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise de services d'une ville cherche à modéliser la consommation des ménages sur les dernières années.
Le rang $x_{1} = 1$ est donné pour l'année 1998. La consommation est exprimée en milliers d'euros.

Année	1998	2000	2001	2002	2004
Rang de l'année $x_{i}$	1	3	4	5	7
Consommation en milliers d'euros y_i	28,5	35	52	70,5	100,5

1. Représenter le nuage de points P_i( $x_{i}$ ; y_i) dans un repère orthogonal du plan (on prendra 1 cm comme unité en abscisses et 1 cm pour 10 000 € en ordonnées).

2. Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage ; le placer dans le repère précédent.

3. On réalise un ajustement affine de ce nuage par la droite D d'équation $y = 12,5x + b$ qui passe par le point G.
    a) Déterminer la valeur de b.
    b) Tracer la droite D dans le repère précédent.

4. Déterminer, à l'aide de l'ajustement précédent, la consommation estimée des ménages de cette ville en 2005.

5. En réalité, un relevé récent a permis de constater qu'en 2005 la consommation réelle des ménages de cette ville était de y₈ = 140 000 €.
Déterminer, en pourcentage, l'erreur commise par l'estimation précédente par rapport à la valeur exacte (on donnera un résultat à l'aide d'un nombre entier en effectuant un arrondi).

6. Un nouvel ajustement de type exponentiel semble alors plus adapté.
    a) Recopier et compléter le tableau suivant sachant que z = ln y. Les résultats seront arrondis au centième.

$x_{i}$	1	3	4	5	7	8
z_i = ln y_i	3,35	...	...	...	...	4,94

    b) Déterminer l'équation réduite de la droite de régression de z en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés à l'aide de la calculatrice ; cette équation est de la forme $z = cx + d$ ; on donnera les arrondis des coefficients c et d à 10^-2.
    c) En déduire que : $y = 20,49 \text{e}^{0,23x}$ .
    d) Estimer alors, à l'aide de ce nouvel ajustement, la consommation des ménages de cette ville en 2007 à 100 € près.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Madame Boulard fait un très grand élevage de chats de races. Elle possède des Siamois, des Birmans et des Abyssins. Le printemps dernier, pratiquement toutes ses femelles ont eu des bébés et Madame Boulard a mis une annonce pour signaler qu'elle avait une très grande quantité de petits chatons à vendre.
On sait que :
32% des chatons sont des Siamois, 54% des chatons sont des Abyssins et le reste est constitué de Birmans.
Parmi les Siamois, 54% sont des mâles.
66% des Abyssins sont des femelles.
Il y a au total 40,96% de chatons mâles.

Un petit garçon, Pierre, vient acheter un chaton avec sa mère. Comme ils sont tous adorables et qu'il n'arrive pas à choisir, Pierre décide de le prendre au hasard.
On désigne par S, B, A, M et F les évènements suivants :
S : " Pierre achète un chaton Siamois ".
B : " Pierre achète un chaton Birman ".
A : " Pierre achète un chaton Abyssin ".
M : " Pierre achète un chaton mâle ".
F : " Pierre achète un chaton femelle".

1. a) Traduire les données de l'énoncé en langage de probabilités.
    b) Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur chaque branche les probabilités données dans l'énoncé. Les probabilités manquantes seront calculées dans les questions ultérieures.

2. a) Déterminer la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois.
    b) Calculer p(M $\cap$ A) et interpréter ce résultat à l'aide d'une phrase.
    c) En déduire que la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Birman est égale à 0,0532.
    d) Le chaton acheté par Pierre est un Birman. Quelle est la probabilité que ce soit un mâle ?

3. Finalement, Pierre est tellement séduit par ces chatons qu'il décide d'en acheter trois, toujours au hasard. On assimilera ces achats à des tirages successifs avec remise.
Quelle est la probabilité qu'il y ait, parmi ces trois chatons, exactement deux mâles Birmans (le résultat sera arrondi à 10^-3) ?

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = 5 \dfrac{\ln x}{x} + 3$ .

On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
1. a) Déterminer la limite de $f$ en 0 ; en donner une interprétation graphique.
    b) Déterminer la limite de $f$ en + $\infty$ ; en donner une interprétation graphique.

2. a) Calculer $f'(x)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ , puis étudier son signe.
    b) En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ . On y indiquera les limites aux bornes de l'intervalle de définition de $f$ ainsi que la valeur exacte de $f(\text{e})$ .

3. a) Déterminer une primitive de $f$ sur ]0 ; + $\infty$ [.
On pourra remarquer que $f(x) = 5u'(x) \times u(x) + 3$ avec $u(x)$ à préciser.
    b) En déduire la valeur exacte de $\text{I} = \displaystyle \int_{2}^4 f(t)\:\text{d}t$ sous la forme $a(\ln 2)^2+b$ avec a et b deux réels à déterminer.

4. a) Préciser le signe de $f$ sur l'intervalle [2 ; 4].
    b) Donner une interprétation graphique de I.

5. On admet que le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise une entreprise lorsqu'elle fabrique $x$ milliers de pièces est égal à $f(x)$ .
En utilisant les résultats précédents, déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre 2 000 et 4 000 pièces. On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100 euros près.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. FAUX : les éventuelles asymptotes verticales (d'équation du type $x = x_0$ ) existent aux bornes de l'intervalle de définition de la fonction. Or -2 n'est pas une borne de $\mathcal{D}_f = ]-\infty ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$ .

2. FAUX : $f(x) = 2$ admet exactement 3 solutions sur $\mathcal{D}_f = ]-\infty ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$
Sur $]-\infty ; 1[$ , $f$ est continue et strictement strictement croissante de -2 à $+\infty$ . Or 2 $\in ]-2 ; +\infty[$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f(x) = 2$ admet une unique solution sur $]-\infty ; 1[$ .
Sur ]1 ; 3], $f$ est continue et strictement strictement croissante de $-\infty$ à 5. Or 2 $\in ]-\infty ; 5]$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f(x) = 2$ admet une unique solution sur ]1 ; 3].
Sur $[3 ; +\infty[$ , $f$ est continue et strictement strictement décroissante de 5 à 1. Or 2 $\in ]1 ; 5]$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, $f(x) = 2$ admet une unique solution sur $[3 ; +\infty[$ .

3. VRAI : sur ]1 ; 3[, $f$ est strictement croissante, donc $f' (x) > 0$

4. FAUX : Pour toute primitive F de $f$ , on a $F' = f$ . Or sur [3 ; 8], $f(x) > 0$ donc $F' (x) > 0$ donc F est strictement croissante.

5. FAUX : Sur $[3 ; +\infty[$ , $f$ est strictement décroissante, donc la fonction $x \mapsto \dfrac{1}{f(x)}$ est strictement croissante,
car si $f(3) > f(a) > f(b) > 1$ et par suite $\dfrac{1}{f(3)} < \dfrac{1}{f(a)} < \dfrac{1}{f(b)} < 1$

Partie B

1 Réponse b)
L'ensemble de définition D_g de g est égal à $\mathbb{R}$ \{0} car : g est définie uniquement si $e^x$ est définie et si le dénominateur est non nul :
$e^x$ est définie sur $\mathbb{R}$
Le dénominateur est non nul $\Longleftrightarrow \: e^x - 1 \neq 0 \: \Longleftrightarrow \: e^x \neq 1 \: \Longleftrightarrow \: x \neq 0$

2. Réponse b)
L'équation $g(x) = 3$ admet pour solution ln 3, car :
$g(x) = 3 \: \Longleftrightarrow \: \dfrac{2e^x}{e^x-1} = 3 \: \Longleftrightarrow \: 2e^x = 3(e^x-1) \: \Longleftrightarrow \: 2e^x = 3e^x-3 \: \Longleftrightarrow \: e^x=3 \: \Longleftrightarrow \: x = \ln 3$

3. Réponse c)
La limite de $g$ en $+\infty$ est 2, car :
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty}g(x) = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2e^x}{e^x-1} = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{1 - \dfrac{1}{e^x}} = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} 2 = 2$

exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Représentation du nuage de points :

sujet du bac ES Economique et Social Pondichéry 2007 - terminale : image 1

2. Les coordonnées du point moyen sont données par $(\bar x ; \bar y)$ :
$\bar x = \dfrac{1+3+4+5+7}{5} = \dfrac{20}{5} = 4$ et $\bar y = \dfrac{28,5+35+52+70,5+100,5}{5} = \dfrac{286,5}{5}=57,3$

3. a) La droite d'ajustement affine doit passer par G, donc $\bar y = 12,5\bar x + b$
d'où : $b = \bar y - 12,5\bar x = 57,3 - 12,5\times4 = 57,3-50 = 7,3$

3. b) cf graphique

4. 2005 correspond au rang 8 donc la consommation estimée en 2005 est : $y_8 = 12,5x_8 + 7,3=12,5 \times 8 + 7,3=107,3$ milliers d'euros.

5. L'erreur commise est donnée par la relation : $\Delta = \dfrac{\text{valeur}_{\text{réelle}} - \text{valeur}_{\text{estimée}}}{\text{valeur}_{\text{réelle}}} = \dfrac{140-107,3}{140} \approx 0,234 \approx \boxed{23 \%}$

6. a) Tableau des $(x_i;z_i=lny_i)$ :

$x_{i}$	1	3	4	5	7	8
z_i = ln y_i	3,35	3,56	3,95	4,26	4,61	4,94

6. b) La droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés est la droite passant par le point moyen G et ayant pour coefficient directeur :
$c = \dfrac{(x_1-\bar x)(z_1 -\bar z)+(x_3-\bar x)(z_3 -\bar z)+(x_4-\bar x)(z_4 -\bar z)+(x_5-\bar x)(z_5 -\bar z)+(x_7-\bar x)(z_7 -\bar z)+(x_8-\bar x)(z_8 -\bar z)}{(x_1-\bar x)^2+(x_3-\bar x)^2+(x_4-\bar x)^2+(x_5-\bar x)^2+(x_7-\bar x)^2+(x_8-\bar x)^2}$
et pour équation $z = cx+d$ avec $\bar z = c\bar x+d$ donc $d = \bar z - c \bar x$ .
On a : $\bar x = \dfrac{1+3+4+5+7+8}{6} = \dfrac{28}{6} = \dfrac{14}{3} = 4,67$ et $\bar z = \dfrac{3,35 + 3,56 + 3,95 + 4,26 + 4,61 + 4,94}{6} = 4,11$
Le tableau ci-dessous résume les calculs :

sujet du bac ES Economique et Social Pondichéry 2007 - terminale : image 2

On trouve donc $z = 0,23x + 3,02$

6. c) Or $z = \ln y$ donc $y = e^z = e^{0,23x+3,02} = e^{3,02}e^{0,23x} = 20,49e^{0,23x}$

6. d) 2007 correspond au rang 10 :
$y_{10} = 20,19 e^{0,23 x_{10}} = 20,19 e^{0,23 \times 10} \approx 204,37$ milliers d'euros $\approx$ 204 400 € .

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. a) 32% des chatons sont des Siamois : $p(\text{S}) = 32\%$
54% des chatons sont des Abyssins : $p(\text{A})=54\%$
Le reste des chatons sont des Birmans : $p(\text{B}) = 1 - p(S) - p(A) = 14\%$
Parmi les Siamois, 54% sont des mâles : $p_{\text{S}}(\text{M}) = 54\%$
66% des Abyssins sont des femelles : $p_{\text{A}}(\text{F}) = 66\%$
Il y a au total 40,96% de chatons mâles : $p(\text{M}) = 40,96\%$

1. b)

sujet du bac ES Economique et Social Pondichéry 2007 - terminale : image 3

2. a) La probabilité que Pierre achète un Siamois mâle est donnée par :
$p(\text{S} \cap \text{M}) = p(\text{S}) p_{\text{S}}(\text{M}) = 32\% \times 54\% = 17,28\%$

2. b) $p(\text{M} \cap \text{A}) = p(\text{A}) p_{\text{A}}(\text{M}) = p(\text{A})(1 - p_{\text{A}}(\text{F})) = 54\% \times (1 - 66\%) = 54\% \times 34\% = 18,36\%$
La probabilité que Pierre achète un Abyssin mâle est de 18,36%.

2. c) La probabilité que Pierre achète un Birman mâle est donnée par $p(\text{B} \cap \text{M})$
Or $p(\text{M}) = p(\text{S} \cap \text{M}) + p(\text{A} \cap \text{M}) + p(\text{B} \cap \text{M})$ donc
$p(\text{B} \cap \text{M}) = p(\text{M}) - p(\text{S} \cap \text{M}) - p(\text{A} \cap \text{M}) = 40,96\% - 17,28\% - 18,36\% = 5,32\% = 0,0532$

2. d) La probabilité que le chaton de Pierre est un mâle, en sachant que c'est un Birman, est donnée par $p_{\text{B}}(\text{M})$ .
Or $p(\text{B} \cap \text{M}) = p(\text{B})p_{\text{B}}(\text{M})$ donc $p_{\text{B}}(\text{M}) = \dfrac{p(\text{B} \cap \text{M})}{p(\text{B})} = \dfrac{5,32\%}{14\%} = 38\%$

3. Trois possibilités de combinaison (en considérant l'ordre de tirage) : soit le premier chat n'est pas un mâle Birman et les 2 autres le sont, soit c'est le deuxième qui ne l'est pas, soit c'est le troisième qui ne l'est pas.
Pour la combinaison "1er chat non mâle Birman, 2e et 3e mâles Birmans" :
$p = p(\bar {\text{B} \cap \text{M}})(p(\text{B} \cap \text{M}))^2 = (1 - p(\text{B} \cap \text{M}))(p(\text{B} \cap \text{M}))^2 = (1 - 0,0532)0,0532^2 = 0,0027 = 0,27\%$
De même pour les 2 autres combinaisons possibles. Au final, on a : $p = 3 \times 0,0027 = 0,0081 = 0.81\%$

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. a) $\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to 0}5\frac{\ln x}{x}+3$
Or $\displaystyle \lim_{x\to 0} \ln x = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to 0} x = 0^+$ (donc $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} = +\infty$ ) donc $\displaystyle \lim_{x\to 0} 5\frac{\ln x}{x} + 3 = '' 5(-\infty) \times (+\infty) + 3'' = -\infty$
$\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x) = -\infty$
Donc : la courbe $\mathcal{C}_f$ admet alors une asymptote verticale d'équation $x = 0$ .

1. b) $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to +\infty} 5\frac{\ln x}{x} + 3$
Or $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ (théorème des croissances comparées) donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty} 5\frac{\ln x}{x} + 3 = 5 \times 0 + 3 = 3$
$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} f(x) = 3$
La courbe $\mathcal{C}_f$ admet alors une asymptote horizontale d'équation y = 3.

2. a) $f$ est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ .
Pour calculer $f'$ , on se sert de la formule $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ en posant $u(x) = \ln x \text{ et } v(x) = x$
$f'(x) = 5\dfrac{\frac{1}{x}x - \ln x}{x^2} = 5\dfrac{1 - \ln x}{x^2}$
$f'$ est donc du signe de $1 - \ln x$ .
$1 - \ln x > 0 \: \Longleftrightarrow \: 1 > \ln x \: \Longleftrightarrow \: e > x$ donc :
$f'(x) > 0$ sur $]0 ; e[$ ;
$f'(x) = 0$ pour $x = e$ ;
$f'(x) < 0$ sur $]e ; +\infty[$

2. b) Tableau de signe de $f'$ et de variations de $f$ :
$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & 0 & & & e & & & +\infty \\ \hline \text{signe} & | & + & & 0 & & - & \\ \hline \hspace{1pt} & & & & \frac{5}{e}+3 & & & \\ \text{variations} & & \nearrow & & & & \searrow & \\ \hspace{1pt} & -\infty & & & & & & 3 \\ \hline \end{array}$

3. a) Si on pose $u(x) = \ln x$ alors $u'(x) = \frac{1}{x}$ et $f(x) = 5u'(x) u(x) + 3$
Or la dérivée de u² est 2u'u donc une primitive de u'u est $\frac{u^2}{2}$ d'où une primitive de $f(x)$ sur $]0 ; +\infty[$ :
$F(x) = \frac{5}{2}(\ln x)^2 + 3x$

3. b) $I = \displaystyle \int_2^4 f(t) \text{d}t = [F(t)]_2^4 = F(4) - F(2) = \frac{5}{2}(\ln 4)^2+12 - \frac{5}{2}(\ln 2)^2-6 = \frac{5}{2}[(\ln 4)^2- (\ln 2)^2]+6$
Or $\ln 4 = \ln 2^2 = 2 \ln 2$ donc $I = \dfrac{5}{2}[(2 \ln 2)^2- (\ln 2)^2]+6 = \dfrac{5}{2} \times 3 (\ln 2)^2+6 = \dfrac{15}{2}(\ln 2)^2+6$
Donc $I = a \left(\ln 2\right)^2 + b$ avec $a = \dfrac{15}{2}$ et $b = 6$ .

4. a) Sur l'intervalle [2 ; 4], on a : $\ln x > 0$ et $x > 0$ donc $5 \dfrac{\ln x}{x} +3 > 0$ donc $f(x) > 0$ .

4. b) Comme $f$ est positive sur [2 ; 4], $I = \displaystyle \int_2^4f(t) \text{d}t$ représente l'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$ , l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 2 \text{ et } x = 4$ .

5. Par définition, la moyenne est donnée par $m = \frac{1}{4-2} \displaystyle \int_2^4 f(t) \text{d}t = \frac{1}{2} I = \frac{15}{4} (\ln 2)^2 + 3 \approx 4,802$
Le bénéfice moyen réalisé lorsque la production varie entre 2 000 et 4 000 pièces est donc de 4 800 €.

Publié par Cel/Aurélien le 30-11--0001

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