Fiche de mathématiques

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Bac Economique et Social
Antilles Guyane - Session Juin 2007

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7

L'usage d'une calculatrice est autorisée.

Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Un commerçant vendant des produits biologiques propose quotidiennement des paniers de légumes frais contenant 2 kg de légumes ou des paniers contenant 5 kg de légumes.
35 % des clients qui achètent ces paniers ont au moins un enfant.
Parmi ceux qui n'ont pas d'enfant, 40% choisissent les paniers de 5 kg de légumes et les autres choisissent les paniers de 2 kg de légumes.
On interroge au hasard un client qui achète un panier de légumes.

On note E l'évènement : le client interrogé a au moins un enfant ; on note C l'évènement : le client interrogé a choisi un panier de 5 kg de légumes.
Pour tout événement A, on note $\bar{\text{A}}$ l'événement contraire.
Tous les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au millième.

1. Quelle est la probabilité que le client interrogé n'ait pas d'enfant ?

2. Sachant que le client interrogé n'a pas d'enfant, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un panier contenant 5 kg de légumes ?

3. Décrire l'événement $\bar{\text{E}} \cap \text{C}$ et montrer que $p(\bar{\text{E}} \cap \text{C}) = 0,26$ .

4. On sait de plus que 36% des clients qui achètent des paniers choisissent des paniers de 5 kg.
a) Calculer $p(\text{E} \cap \text{C})$ .
b) En déduire la probabilité de C sachant que E est réalisé.

5 points

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

La courbe $\scr{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle I = ]0 ; + $\infty$ [. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle I.
Les axes $(Ox)$ et $(Oy)$ sont asymptotes à $\scr{C}$ .
La courbe $\scr{C}$ passe par les points A(1 ; -1) et $\text{B} \left(\dfrac{1}{e} \: ; \: 0\right)$ et admet une tangente parallèle à $(Ox)$ au point A.

bac ES énoncé et corrigé obligatoire et spécialité Antilles Guyane 2007 - terminale : image 1

1. En utilisant les données ci-dessus, déterminer sans justification :
    a) $f(1)$ et $f' (1)$ .
    b) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \: f(x) \text{ et } \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \: f(x)$ .
    c) Les solutions de l'inéquation $f(x) \geq 0$ et les solutions de l'inéquation $f' (x) \geq 0$ .

2. On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle I, $f(x) = \dfrac{a + b \ln x}{x}$ où a et b sont deux nombres réels.
    a) Exprimer $f' (x)$ en fonction des réels a et b.
    b) Utiliser les résultats de la question 1. a) pour montrer que a = -1 et b = -1.
    c) Retrouver les résultats de la question 1. c) par le calcul.

5 points

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Dans un pays, un organisme étudie l'évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on a constaté que la population a un taux d'accroissement naturel et annuel de 14 pour mille.
De plus, chaque année, 12 000 personnes arrivent dans ce pays et 5 000 personnes le quittent. En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d'habitants. On suppose que l'évolution ultérieure obéit au modèle décrit ci-dessus.
On note P_n la population de l'année 2005 + n exprimée en milliers d'habitants.

1. Déterminer P₀, P₁ et P₂. La suite de terme général P_n est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier la réponse.

2. Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel n, P_n+1 = 1,014P_n + 7.

3. Démontrer que la suite (U_n) définie par U_n = P_n + 500 pour tout entier naturel n est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme.

4. Exprimer U_n puis P_n en fonction de n.

5. a) Combien d'habitants peut-on prévoir en 2010 ?
b) Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé par rapport à l'année 2005 ?

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne une estimation du montant des achats en ligne des ménages français, en millions d'euros, de 1998 à 2004.

Année	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Rang de l'année : $x_i$	0	1	2	3	4	5	6
Montant en millions d'euros : yi	75	260	820	1650	2300	4000	5300

1. Calculer l'augmentation relative entre 2001 et 2002 du montant de ces achats.

2. Représenter le nuage de points associé à la série statistique $(x_i \: ; \: y_i)$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm pour une année sur l'axe des abscisses, 2 cm pour 1 000 millions d'euros sur l'axe des ordonnées).

3. Dans cette question, les calculs, effectués à la machine, ne seront pas justifiés et seront arrondis à l'unité.
Donner une équation de la droite d'ajustement affine D de y en $x$ , obtenue par la méthode des moindres carrés.
Représenter cette droite dans le repère précédent.

4. On propose un deuxième ajustement de cette série statistique par la fonction $f$ définie, pour tout réel positif $x$ , par : $f(x) = 130x^2 + 100x + 68$ .
Compléter le tableau de valeurs suivant :

$x$	0	1	2	3	4	5	6
$f(x)$

Construire la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère précédent.

5 Le montant des achats en ligne en 2005 a été de 7 700 millions d'euros. Lequel de ces deux ajustements vous paraît le plus conforme à la réalité ? Justifier votre réponse.

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = xe^x - 1$ .
Le tableau suivant est le tableau de variations de la fonction g.

bac ES énoncé et corrigé obligatoire et spécialité Antilles Guyane 2007 - terminale : image 2

1. On admet que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution a strictement positive. En déduire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$ .

2. On note $f$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = e^x - \ln x$ .
    a) Etudier la limite de $f$ en 0. Donner une interprétation graphique du résultat.
    b) Vérifier que, pour tout réel $x > 0$ , $f' (x) = \dfrac{g(x)}{x}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ .
    c) Etudier les variations de $f$ puis établir son tableau de variations en admettant que la limite de $f$ en + $\infty$ est + $\infty$ .

3. Soit $\cr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
Tracer la courbe $\scr{C}$ , en prenant 0,57 comme valeur approchée de a.
(Prendre 4 cm pour unité sur l'axe des abscisses et 2 cm sur l'axe des ordonnées.)

4. On note $\scr{D}$ l'ensemble des points $\text{M}(x \: ; \: y)$ du plan muni du repère ci-dessus tels que $1 \leq x \leq 2 \text{ et } 0 \leq y \leq f(x)$ .
    a) Hachurer le domaine $\scr{D}$ .
    b) Vérifier que la fonction H définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $\text{H}(x) = x\ln x - x$ est une primitive de la fonction h définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $h(x) = \ln x$ .
    c) En déduire une primitive F de $f$ sur ]0 ; + $\infty$ [.
    d) Calculer l'aire du domaine $\scr{D}$ , en unités d'aire, puis en donner une valeur en cm², arrondie au dixième.

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. E = "le client interrogé a au moins un enfant" donc $\bar E$ = "le client interrogé n'a pas d'enfant".
On cherche donc $p(\bar E)$ : $p(\bar E) = 1 - p(E) = 1 - 35\% = 0,65$
La probabilité que le client interrogé n'ait pas d'enfant est donc de 0,650.

2. On cherche la probabilité que le client ait acheté un panier de 5 kg sachant qu'il n'a pas d'enfant, notée $p_{\bar E}(C)$ .
C'est une donnée de l'énoncé : $p_{\bar E} (C) = 40\% = 0,4$ .
La probabilité qu'un client n'ayant pas d'enfant choisisse un panier de 5 kg est de 0,400.

3. $\bar E\cap C$ = "le client interrogé n'a pas d'enfant et achète un panier de 5 kg"
On utilise la formule des probabilités conditionnelles : $p(\bar E \cap C) = p(\bar E) p_{\bar E} (C) =0,65 \times 0,4 = \boxed{0,260}$

4. On a de plus $p(C) = 36\% = 0,36$

4. a) Par construction, $(E\cap C)\cu(\bar E\cap C)=C$ et $(E\cap C)\cap(\bar E \cap C) = \emptyset$
Donc $p(C) = p((E \cap C) \cup (\bar E \cap C )) = p(E \cap C) + p(\bar E \cap C)$ d'où $p(E \cap C) = p(C) - p(\bar E \cap C) = 0,36 - 0,26 = \boxed{0,100}$

4. b) Formule des probabilités conditionnelles : $p_E(C) = \dfrac{p(E \cap C)}{p(E)} = \dfrac{0,1}{0,35} = \boxed{0,286}$

exercice 2 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) $\mathscr{C}_f$ passe par A(1 ; -1), donc $\boxed{f(1) = -1}$
$\mathscr{C}_f$ admet une tangente horizontale en son point A d'abscisse 1 donc $\boxed{f'(1) = 0}$

1. b) L'axe $(Oy)$ est une asymptote de $\mathscr{C}_f$ donc $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty$
L'axe $(Ox)$ est une asymptote de $\mathscr{C}_f$ donc $\displaystyle \lim_{x\to +\infty}f(x)=0$

1. c) $f(x) \ge 0 \Longleftrightarrow 0 < x \le \dfrac{1}{e}$
$f'(x) \ge 0 \Longleftrightarrow f \text{ est croissante } \Longleftrightarrow x \ge 1$

2. a) Si $f(x) = \dfrac{a+b\lnx}{x}$ , on pose $u(x) = a+b\lnx$ et $v(x)=x$ alors $u'(x)=\dfrac{b}{x}$ et $v'(x)=1$
On a alors $f = \dfrac{u}{v}$ donc $f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ , c'est-à-dire : $f'(x) = \dfrac{\dfrac{b}{x}x-(a+b\lnx)\times 1}{x^2} = \dfrac{b-a-b \lnx}{x^2}$

2. b) On sait que $f(1) = -1$ . Or $f(1) = \dfrac{a+b \ln 1}{1} = a$ donc $a = -1$ .
On sait que $f'(1) = 0$ . Or $f'(1) = \dfrac{b - a - b \ln 1}{1^2} = b - a = b + 1$ donc $b+1=0 \Rightarrow b = -1$

2. c) On a donc $f(x) = \dfrac{-1 - \ln x}{x} = -\dfrac{1+\ln x}{x}$ et $f'(x)=\dfrac{b-a-b \ln x}{x} = \dfrac{-1-(-1)-(-1) \ln x}{x} = \dfrac{\ln x}{x}$
$f(x)\ge 0 \Longleftrightarrow -\dfrac{1+ \ln x}{x} \ge 0 \Longleftrightarrow \dfrac{1+\ln x}{x} \le 0 \Longleftrightarrow 1 + \ln x \le 0$ (car $x > 0$ sur I) $\Longleftrightarrow \ln x \le -1 \Longleftrightarrow x \le e^{-1} \Longleftrightarrow x \le \dfrac{1}{e}$
Or $x > 0$ sur I donc $f(x) \ge 0 \Longleftrightarrow 0 < x \le \dfrac{1}{e}$
$f'(x) \ge 0 \Longleftrightarrow \dfrac{\ln x}{x} \ge 0 \Longleftrightarrow \ln x \ge 0$ (car $x > 0$ sur I) $\Longleftrightarrow x \ge 1$

exercice 2 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. P₀ est la population en 2005, donc P₀ =75 000 milliers d'habitants.
Entre 2005 et 2006, le taux d'accroissement naturel est de 14 pour mille, 12 000 personnes sont arrivées et 5 000 sont parties, donc :
$P_1 = P_0 + \dfrac{14}{1000}P_0 + 12-5=75 000+1 050+7=76057$ milliers d'habitants.
Entre 2006 et 2007, idem :
$P_2=P_1+\dfrac{14}{1000}P_1+12-5=76057+1064,8+7=77128,8$ milliers d'habitants.
$P_1 - P_0=76057-75000=1057$ et $P_2-P_1=77128,8-76057=1071,8$ donc (P_n) n'est pas arithmétique.
$\dfrac{P_1}{P_0} = \dfrac{76057}{75000} = 1,014093$ et $\dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{77128,8}{76057}=1,014092$ donc (P_n) n'est pas géométrique.

2. Entre l'année 2005 + n et l'année 2005 + n + 1, l'accroissement naturel a été de 14 pour mille, le nombre d'arrivées de 12 000 et le nombre de départs de 5 000, donc :
P_n+1 = P_n + 0,014 P_n (accroissement naturel) + 12 (arrivées) - 5 (départs) = 1,014 P_n + 7

3. Pour tout entier naturel n, on a U_n = P_n+500 donc
U_n+1 = P_n+1+ 500 = 1,014P_n + 7 + 500 = 1,014P_n + 507 = 1,014P_n + 1,014.(500) = 1,014(P_n + 500) = 1,014 U_n
La suite (U_n) est donc géométrique de raison 1,014.

4. Comme (U_n) est géométrique de raison 1,014 , on a : pour tout entier n, $U_n = 1,014^nU_0$
avec U₀ = P₀ + 500 = 75 500 donc pour tout entier naturel n, $U_n=75500.1,014^n$
Or U_n = P_n + 500 donc P_n = U_n - 500 d'où : pour tout entier naturel n, $P_n=75500.1,014^n-500$

5. a) 2010 = 2005 + 5 donc la population correspondante est $P_5=75500.1,014^5-500=75500 \times 1,072-500=80935,1-500=80435,1$ milliers d'habitants.

5. b) On cherche n tel que $P_n \ge 2P_0$
$P_n \ge 2P_0 \Longleftrightarrow 75500.1,014^n-500\ge 150000 \\ \Longleftrightarrow 75500.1,014^n\ge 150500 \\ \Longleftrightarrow 1,014^n\ge \dfrac{150500}{75500} \\ \Longleftrightarrow 1,014^n\ge 1,993 \\ \Longleftrightarrow \ln(1,014^n)\ge \ln 1,993 \\ \Longleftrightarrow n. \ln 1,014 \ge \ln 1,993 \\ \Longleftrightarrow 0,0139n \ge 0,690 \\ \Longleftrightarrow n \ge 49,61$
La population aura donc doublé au bout de 50 ans.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. L'augmentation relative entre 2001 et 2002 est donnée par :
$\Delta_{2002/2001}=\dfrac{\text{valeur}_{2002}-\text{valeur}_{2001}}{\text{valeur}_{2001}}=\dfrac{2300-1650}{1650}=\dfrac{650}{1650}=39,39\%$

2. Le nuage de points apparait sur ce graphique :

bac ES énoncé et corrigé obligatoire et spécialité Antilles Guyane 2007 - terminale : image 3

3. La droite d'ajustement obtenue par la méthode des moindres carrés est la droite passant par le point moyen G et ayant pour coefficient directeur :
$a = \dfrac{(x_0-\bar x)(y_0-\bar y)+(x_1-\bar x)(y_1-\bar y)+(x_2-\bar x)(y_2-\bar y)+(x_3-\bar x)(y_3-\bar y)+(x_4-\bar x)(y_4-\bar y)+(x_5-\bar x)(y_5-\bar y)+(x_6-\bar x)(y_6-\bar y)}{(x_0-\bar x)^2+(x_1-\bar x)^2+(x_2-\bar x)^2+(x_3-\bar x)^2+(x_4-\bar x)^2+(x_5-\bar x)^2+(x_6-\bar x)^2}$
et pour équation $y = ax + b$ avec $\bar y = a \bar x +b$ donc $b=\bar y - a \bar x$ .
On calcule (à l'aide de la calculatrice) les moyennes $\bar x$ & et $\bar y$ : on trouve $\bar x = 3$ et $\bar y =2057,9$ .
On peut alors calculer $a$ . On trouve $a = 879,8$ et alors $b = 2057,9-879,8\times3=-581,6$
La droite $\mathscr{D}$ a donc pour équation $y=879,8x-581,6$ .
La droite est tracée dans le repère de la question 2.

4. Tableau complété :

$x$	0	1	2	3	4	5	6
$f(x)$	68	298	788	1538	2548	3818	5348

La courbe est tracée dans le repère de la question 2..

5. En 2005, $x = 7$ .
Par la droite d'ajustement $D$ : $y = 879,8 \times 7 - 581,6 = 5577$ millions d'euros.
Par la fonction d'ajustement $f$ : $f(x) = 130 \times 7^2 + 100 \times 7 + 68 = 7138$ millions d'euros.
La fonction $f$ paraît donc plus conforme à la réalité que la droite $D$ .

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Sur $]-\infty;-1]$ , $g$ est strictement décroissante de -1 à $-\dfrac{1}{e}-1$ , $0 \not \in [-\dfrac{1}{e}-1 ;-1[$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x) = 0$ n'admet aucune solution sur cet intervalle.
Sur $[1 ; +\infty[$ , $g$ est strictement croissante de $-\dfrac{1}{e}-1$ à $+\infty$ et $0 \in [-\dfrac{1}{e}-1 ; +\infty[$ donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution sur cet intervalle, notée $a$ .
On complète le tableau de variations et on en déduit le signe de $g$ :
$\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x&-\infty&&-1&&a&&+\infty \\ \hline & & & & & & & +\infty \\ & -1 & & & & & \nearrow & \\ g(x) & & \searrow & & & 0 & & \\ & & & & \nearrow & & & \\ & & & -\dfrac{1}{e}-1 & & & & \\ \hline g(x) & &-&&-&0&+&\\ \hline \end{array}$
On a donc : $g(x) > 0 \text{ si } x > a$ ; $g(x) = 0 \text{ si } x = a$ ; $g(x) < 0 \text{ si } x < a$

2. a) $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x) = \displaystyle \lim_{x\to 0} e^x - \ln x = ''1 - (-\infty)'' = +\infty$
La courbe représentative de $f$ admet donc l'axe des ordonnées pour asymptote verticale.

2. b) Sur $I = ]0;+\infty[$ , $f$ est dérivable et $f'(x) = e^x - \dfrac{1}{x} = \dfrac{xe^x-1}{x} = \dfrac{g(x)}{x}$

2. c) Sur $I$ , $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}$ , du signe de $g(x)$ car $x > 0$ . On en déduit le tableau de variations de $f$ :
$\begin{array}{|c|ccccc|} \hline x&-\infty&&a=0,57&&+\infty \\ \hline g(x) & &-&0&+ & \\ \hline &+\infty& & & & +\infty\\ f(x) & & \searrow & & \nearrow & \\ & & & \dfrac{1}{a} + a = 2,33 & & \\ \hline \end{array}$
Pour $x = a$ , on sait que $g(a) = 0$ donc $ae^a - 1 = 0$ donc $e^a = \dfrac{1}{a}$ et $\ln(e^a) = \ln \left(\dfrac{1}{a}\right) \Longleftrightarrow a = -\ln a$
D'où $f(a) = e^a - \ln a = \dfrac{1}{a}+a$

3.

bac ES énoncé et corrigé obligatoire et spécialité Antilles Guyane 2007 - terminale : image 4

4. a) Le domaine $D$ est hachuré sur le graphe ci-dessus.

4. b) Soit la fonction $H$ définie sur I par $H(x) = x \ln x - x$ .
On va se servir de la formule $(uv)'=u'v+uv'$ en posant $u(x)=x$ et $v(x) = \ln x$ donc $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$ .
$H$ est dérivable sur $I$ et $H'(x) = 1 \times \ln x + x\dfrac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x$ donc $H$ est une primitive de $h(x) = \ln x$ sur $I$ .

4. c) $f(x)=e^x - \ln x$
On va se servir de la propriété : soient 3 fonctions $u,~v,~w$ telles que $w = u - v$ . Si $U$ et $V$ sont des primitives de $u$ et $v$ , alors $W = U - V$ est une primitive de $w$ .
Or la fonction $x \mapsto e^x$ est une primitive de $e^x$ et d'après la question précédente $H(x)$ est une primitive de $\ln x$ , donc :
$F(x) = e^x - (x \ln x - x) = e^x - x \ln x + x$ est une primitive de $f$ sur $I$ .

4. d) L'aire du domaine $D$ est donnée par :
$D = \displaystyle \int_1^2f(x)dx = [F(x)]_1^2=F(2)-F(1)=(e^2-2 \ln 2 + 2)-(e-\ln 1 + 1) \\ =e^2-2 \ln 2 + 1 - e \approx 4,3 \text{ unités d'aire}$
Or, 1 u.a. = 2 cm × 4 cm = 8cm² d'où $D = 8(e^2 - 2 \ln 2 + 1 - e) \approx 34,3 \text{ cm}^2.$

Publié par Cel/Aurélien le 23-03-2009

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