Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2009
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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4
L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.
5 points
exercice 1
On considère l'équation différentielle , où l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur .
1. Résoudre l'équation différentielle .
2. On note la solution de l'équation différentielle vérifiant . Montrer que la fonction est définie sur par .
3. On note M la valeur moyenne de la fonction sur l'intervalle [0;2]. Calculer M. On donnera la valeur exacte de M et son arrondi à 10-1 près.
4. La courbe représentative de est donnée par l'un des trois graphiques suivants :
Quel est le graphique qui donne la courbe représentative de la fonction sur l'intervalle [0;2] ? On explicitera le raisonnement qui a conduit au choix de ce graphique.
6 points
exercice 2
On note le nombre complexe de module 1 et dont un argument est .
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (unité graphique : 2cm).
On considère les points et d'affixes respectives :
1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes .
2. Écrire les nombres complexes et sous forme exponentielle.
3. Placer les points sur une figure.
4. Déterminer l'affixe du point symétrique du point par rapport au point .
5. Montrer que les points et appartiennent à un même cercle de centre . On précisera le rayon de ce cercle.
6.Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation. Montrer que la droite est une médiane du triangle .
9 points
probleme
Soit la fonction définie sur par .
On note la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormal (unité graphique : 2cm).
1. Déterminer la limite de la fonction en .
2. Vérifier que, pour tout nombre réel , . En déduire la limite de la fonction en .
3. On note la fonction dérivée de la fonction sur .
a) Calculer .
b) Résoudre l'équation . Que peut-on en déduire pour la courbe ?
c) Étudier le signe de la fonction sur .
d) Établir le tableau de variations de la fonction (on indiquera les limites).
4. a) Montrer que la droite d'équation est asymptote à la courbe .
b) Déterminer la position relative de la courbe et de la droite .
c) Tracer la courbe et la droite .
5. Calcul d'aire
a) Déterminer une primitive de la fonction sur .
b) Soit la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
Soit l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie .
Calculer la valeur exacte de , puis son arrondi à près.
1. L'équation peut s'écrire .
D'après le formulaire les solutions sont les fonctions définies sur par : désignant une constante réelle.
2. La fonction est solution de (E) donc pour une certaine valeur de . C'est bien le cas de la fonction proposée : elle est solution de (E).
Il est facile de calculer et on trouve , la fonction proposée répond aux conditions demandées.
3. Par définition :
car on peut sortir les constantes de l'intégrale
est une primitive de
4. On calcule . Le seul graphique vérifiant cette propriété est le graphique 2.
Il y a d'autres méthodes possibles : calcul de ou de ou ...
exercice 2
1.
Modules : Il faut savoir que par définition. De plus, quelque soit
on a . On a donc
et
Arguments : Si est un argument de alors est un argument de .
0 est un argument des réels positifs et un argument des réels négatifs
.
Le nombre est un argument de .
D'après la remarque ci-dessus est un argument de
0 est un argument de 2.
2. Par définition :
3. La figure, complétée avec les questions suivantes.
4. En désignant par l'affixe de on a , car C est le milieu de (AA') par définition.
On en tire
5. On a déjà .
On calcule
Remarque : on peut aussi utiliser la symétrie par rapport à l'axe des abscisses est évident
Les points A, B, A' et O sont sur le cercle de centre C et de rayon 2.
6. On a vu que . Le point C est à égale distance de O et B, il est donc sur la médiatrice du segment [OB]
On a, de plus, (question 1) et .
Le point A est sur la médiatrice de [OB].
La droite (AC) est la médiatrice de [OB] donc elle passe par le milieu de [OB], c'est une médiane du triangle (OAB).
Remarque : il y a de nombreuses méthodes différentes pour démontrer ce résultat.
probleme
1.
et .
On a donc
2. On sait (voir le formulaire) que
On a donc
D'autre part,
On a donc
3. a)
3. b)
On peut en déduire que la courbe a une tangente horizontale au point d'abscisse 0.
3. c)
3. d)
4. a) On a .
La droite est bien aymptote à la courbe en
4. b) or une exponentielle réelle est toujours strictement positive.
La courbe est toujours au-dessus de la droite
4. c)
5. a) La fonction est une primitive de la fonction
La fonction est une primitive de la fonction
La fonction est une primitive de la fonction .
5. b) La fonction est positive sur l'intervalle [0;2] (voir le tableau de variation de ).
Remarque : le domaine est hachuré dans la figure ci-dessus. On a donc :
Publié par verdurin/verdurin
le
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