Fiche de mathématiques
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Bac Technologique - Sciences et Techniques de Laboratoire
Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2009

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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4

L'usage de la calculatrice est autorisé.
Une feuille de papier millimétré sera distribuée aux candidats. Elle sera réservée pour le problème.
Un formulaire de mathématiques sera distribué aux candidats.
5 points

exercice 1

On considère l'équation différentielle 2y'+ y=0 \quad (E), où l'inconnue y est une fonction définie et dérivable sur \mathbb{R}.

1. Résoudre l'équation différentielle (E).
2. On note f la solution de l'équation différentielle (E) vérifiant f(0)=2. Montrer que la fonction f est définie sur \mathbb{R} par f(x)=2 \text{e}^{-\frac{x}{2}}.
3. On note M la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle [0;2]. Calculer M. On donnera la valeur exacte de M et son arrondi à 10-1 près.
4. La courbe représentative de f est donnée par l'un des trois graphiques suivants :
bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2009 - terminale : image 1

Quel est le graphique qui donne la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [0;2] ? On explicitera le raisonnement qui a conduit au choix de ce graphique.


6 points

exercice 2

On note \text{i} le nombre complexe de module 1 et dont un argument est \dfrac{\pi}{2}.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal (O\;;\;\vec{u},\,\vec{v}) (unité graphique : 2cm).
On considère les points A,\ B et C d'affixes respectives : \displaystyle z_A=3+\text{i}\sqrt3  ,\ z_B= \overline{z_A},\ z_C=2

1. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes z_A  ,\ z_B,\ z_C.
2. Écrire les nombres complexes z_A et z_B sous forme exponentielle.
3. Placer les points A,\ B,\ C sur une figure.
4. Déterminer l'affixe du point A' symétrique du point A par rapport au point C.
5. Montrer que les points A,\ B,\ A' et O appartiennent à un même cercle de centre C. On précisera le rayon de ce cercle.
6. Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.
Montrer que la droite (AC) est une médiane du triangle OAB.


9 points

probleme

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x+\text{e}^{-x}.
On note \mathcal{C} la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O\;;\;\vec{i},\,\vec{j}) (unité graphique : 2cm).

1. Déterminer la limite de la fonction f en +\infty.

2. Vérifier que, pour tout nombre réel x, f(x) = \text{e}^{-x}(x\text{e}^x+1). En déduire la limite de la fonction f en -\infty.

3. On note f' la fonction dérivée de la fonction f sur \mathbb{R}.
    a) Calculer f'(x).
    b) Résoudre l'équation f'(x) = 0. Que peut-on en déduire pour la courbe \mathcal{C} ?
    c) Étudier le signe de la fonction f' sur \mathbb{R}.
    d) Établir le tableau de variations de la fonction f (on indiquera les limites).

4. a) Montrer que la droite \Delta d'équation y=x est asymptote à la courbe \mathcal{C}.
    b) Déterminer la position relative de la courbe \mathcal{C} et de la droite \Delta.
    c) Tracer la courbe \mathcal{C} et la droite \Delta.

5. Calcul d'aire
    a) Déterminer une primitive F de la fonction f sur \mathbb{R}.
    b) Soit \mathcal{S} la partie du plan limitée par la courbe \mathcal{C}, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=2.
Soit \mathcal{A} l'aire, exprimée en unités d'aire, de la partie \mathcal{S}.
Calculer la valeur exacte de \mathcal{A}, puis son arrondi à 10^{-2} près.





exercice 1

1. L'équation peut s'écrire y' - \left(-\dfrac{1}{2} \right)y = 0.
D'après le formulaire les solutions sont les fonctions définies sur \mathbb{R} par : x \mapsto k \text{e}^{-\frac12 x} \, \, k désignant une constante réelle.

2. La fonction f est solution de (E) donc f(x)= k \text{e}^{-\frac12 x} pour une certaine valeur de k. C'est bien le cas de la fonction proposée : elle est solution de (E).
Il est facile de calculer f(0) et on trouve f(0)=2, la fonction proposée répond aux conditions demandées.

3. Par définition :
M  = \displaystyle \frac{1}{2-0} \int_0^2 f(x)\text{d}x
M  = \displaystyle \frac1{2}\int_0^2 2 \text{e}^{-\frac12 x}\text{d}x
M  = \displaystyle \int_0^2  \text{e}^{-\frac12 x}\text{d}x       car on peut sortir les constantes de l'intégrale
M  = \displaystyle \left[-2 \text{e}^{-\frac12 x}\right]_0^2       \dfrac1{a} \text{e}^{a x} est une primitive de \text{e}^{a x}
M  = \displaystyle \left(-2 \text{e}^{-2\frac12 }\right)-\left(-2 \text{e}^{-0\frac12 }\right)&
M  = \displaystyle 2-2\text{e}^{-1} \simeq 1,3

4. On calcule f(1)\simeq 1,2. Le seul graphique vérifiant cette propriété est le graphique 2.
Il y a d'autres méthodes possibles : calcul de f(2) ou de f'(0) ou ...




exercice 2

1.
Modules : Il faut savoir que |x+i y|=\sqrt{x^2+y^2}par définition. De plus, quelque soit z \in \mathbb{C} on a |z|=|\bar{z}|. On a donc
|z_B|=|z_A|=\sqrt{3^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3     et     |z_C|=\sqrt{2^2}=2
Arguments : Si \theta est un argument de z alors -\theta est un argument de \bar z. 0 est un argument des réels positifs et \pi un argument des réels négatifs
\displaystyle z_A=2\sqrt3\left(\dfrac{3}{2\sqrt3}+ i \dfrac{\sqrt3}{2\sqrt3}\right)= 2\sqrt3\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+ i \dfrac{1}{2}\right)=2\sqrt3\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+i \sin \dfrac{\pi}{6}\right). Le nombre \dfrac\pi 6 est un argument de z_A.
D'après la remarque ci-dessus -\dfrac\pi 6 est un argument de z_B
0 est un argument de 2.

2. Par définition :
z_A = 2\sqrt{3}\text{e}^{i \frac\pi 6}\ ;\ z_B= 2\sqrt{3}\text{e}^{-i \frac\pi 6}\ ;\ z_C= 2 \text{e}^0


3. La figure, complétée avec les questions suivantes.
bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2009 - terminale : image 2


4. En désignant par z_A' l'affixe de A' on a \displaystyle \frac12(z_A+z_A')=z_C , car C est le milieu de (AA') par définition.
On en tire z_A'=2 z_C- z_A= 1- i\sqrt 3

5. On a déjà AC=CA'.
On calcule
AC=|z_A-z_C|=\sqrt{(3-2)^2+(\sqrt3-0)^2}=2 \\ BC=|z_B-z_C|=\sqrt{(1-2)^2+(-\sqrt3-0)^2}=2
Remarque : on peut aussi utiliser la symétrie par rapport à l'axe des abscisses
OC=2 est évident
Les points A, B, A' et O sont sur le cercle de centre C et de rayon 2.

6. On a vu que OC=BC. Le point C est à égale distance de O et B, il est donc sur la médiatrice du segment [OB]
On a, de plus, OA=|z_A|=2\sqrt3 (question 1) et  AB=|z_A-z_B|=|2 i \sqrt3|=2\sqrt3=OA.
Le point A est sur la médiatrice de [OB].
La droite (AC) est la médiatrice de [OB] donc elle passe par le milieu de [OB], c'est une médiane du triangle (OAB).
Remarque : il y a de nombreuses méthodes différentes pour démontrer ce résultat.




probleme

1. \displaystyle \lim_{x\to +\infty}\text{e}^{-x}=\lim_{u\to -\infty}\text{e}^{u}=0 et \displaystyle\lim_{x\to +\infty}x=\+\infty.
On a donc \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty+0=+\infty

2. \text{e}^{-x}\left( x \text{e}^{x}+1\right)=x\text{e}^{-x}\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}= x \times 1+\text{e}^{-x}=f(x)
On sait (voir le formulaire) que \displaystyle\lim_{x\to -\infty}x\text{e}^{x}=0
On a donc \displaystyle\lim_{x\to -\infty}\left(x\text{e}^{x}+1\right)=1
D'autre part, \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\text{e}^{-x}=\lim_{u\to +\infty}\text{e}^{u}=+\infty
On a donc \displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty \times 1=+\infty

3. a) f'(x)=1-\text{e}^{-x}

3. b) f'(x)= 0
1-\text{e}^{-x}=0\\ \text{e}^{-x}=1\\ -x=0\\ x=0
On peut en déduire que la courbe \mathcal{C} a une tangente horizontale au point d'abscisse 0.

3. c) f'(x)> 0
1-\text{e}^{-x}>0\\ \text{e}^{-x}<1\\ -x<0\\ x>0

3. d)
\begin{array}{c|lcccr}  x&-\infty&&0&&+\infty\\  \hline  f'(x)&&-&0&+&\\  \hline   &+\infty&&&&+\infty\\  f&&\searrow&&\nearrow&\\  &&&1&&  \end{array}

4. a) On a \displaystyle\lim_{x\to +\infty}(f(x)-x))=\lim_{x\to +\infty}\text{e}^{-x}=0.
La droite \delta est bien aymptote à la courbe \mathcal{C} en +\infty

4. b) f(x)-x=\text{e}^{-x} or une exponentielle réelle est toujours strictement positive.
La courbe \mathcal{C} est toujours au-dessus de la droite \delta

4. c)
bac STL chimie de laboratoire et de procédés industriels 2009 - terminale : image 3


5. a) La fonction \displaystyle x\mapsto \frac12 x^2 est une primitive de la fonction x \mapsto x
La fonction \displaystyle x\mapsto -\text{e}^{-x} est une primitive de la fonction \displaystyle x\mapsto \text{e}^{-x}
La fonction \displaystyle x\mapsto \frac12 x^2-\text{e}^{-x} est une primitive de la fonction f.

5. b) La fonction f est positive sur l'intervalle [0;2] (voir le tableau de variation de f).
Remarque : le domaine \mathcal{S} est hachuré dans la figure ci-dessus.
On a donc :
\displaystyle \mathcal{A}=\int_0^2 f(x) \text{d}x = \left[\frac12 x^2-\text{e}^{-x}\right]_0^2  =\left(2-\text{e}^{-2}\right)-\left(0-\text{e}^{0}\right)=3-\text{e}^{-2}\simeq 2,86
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