Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Mai 2012 - Liban

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats.

Partie A

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par: $g(x)=2x^3-1+2\ln x$
1. étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ .

2. Justifier qu'il existe un unique réel $\alpha$ tel que $g(\alpha)=0$ . Donner une valeur approchée de $\alpha$ , arrondie au centième.

3. En déduire le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ .

Partie B

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0\,;\,+\infty[$ par: $f(x)=2x-\dfrac{\ln x}{x^2}$
On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan, muni d'un repère orthogonal $(O ; \vec{\imath} ; \vec{\jmath})$ .

1. Déterminer les limites de la fonction $f$ en 0 et en $+\infty$ .

2. Démontrer que la courbe $\mathcal C$ admet pour asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y=2x$ .
Étudier la position relative de la courbe $\mathcal C$ et de la droite $\Delta$ .

3. Justifier que $f'(x)$ a même signe que $g(x)$ .

4. En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ .

5. Tracer la courbe $\mathcal C$ dans le repère $(O ; \vec{\imath} ; \vec{\jmath})$ . On prendra comme unités: 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées.

Partie C

Soit $n$ un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine $\mathcal D$ du plan compris entre la courbe $\mathcal C$ , la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x=1$ et $x=n$ .

1. Justifier que cette aire, exprimée en cm², est donnée par: $\displaystyle \text{I}_n=2\int_1^n\dfrac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x$ .
a) Calculer l'intégrale $\displaystyle \int_1^n\frac{\ln x}{x^2}\,\text{d}x$ à l'aide d'une intégration par parties.
b) En déduire l'expression de $\text{I}_n$ en fonction de $n$ .

2. Calculer la limite de l'aire $\text{I}_n$ du domaine $\mathcal{D}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats.

Les quatre questions sont indépendantes.
Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d'indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.

1. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{\imath} ; \vec{\jmath} ; \vec{k})$ , on considère les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ de représentations paramétriques respectives: $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x &= & 4+t \\ y &= & 6+2t \\ z &= & 4-t \end{array}\right.$ , $t\in\mathbb{R}$ , et $\left\lbrace\begin{array}{rcl} x &= & 8+5t' \\ y &= & 2-2t' \\ z &= & 6+t' \end{array}\right.$ , $t'\in\mathbb{R}$ .
Affirmation: les droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont coplanaires.

2. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{\imath} ; \vec{\jmath} ; \vec{k})$ , on considère les points A(12;7;-13) et B(3;1;2) ainsi que le plan $\mathcal{P}$ d'équation $3x+2y-5z=1$ .

Affirmation: le point $B$ est le projeté orthogonal du point $A$ sur le plan $\mathcal{P}$ .

3. On considère les suites $u$ et $v$ définies, pour tout entier naturel $n$ , par: $u_n=\dfrac{n+1}{n+2}$ et $v_n=2+\dfrac{1}{n+2}$
Affirmation: ces deux suites sont adjacentes.

4. On considère la suite $u$ définie par son premier terme $u_0=1$ et la relation de récurrence: $u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2$ , pour tout entier naturel $n$ .
Affirmation: cette suite est majorée par 3.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats.

On dispose de deux urnes $U_1$ et $U_2$ .
L'urne $U_1$ contient 4 jetons numérotés de 1 à 4.
L'urne $U_2$ contient 4 boules blanches et 6 boules noires.
Un jeu consiste à tirer un jeton de l'urne $U_1$ , à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l'urne $U_2$ le nombre de boules indiqué par le jeton.
On considère les événements suivants:
$J_1$ «le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 1»
$J_2$ «le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 2»
$J_3$ «le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 3»
$J_4$ «le jeton tiré de l'urne $U_1$ porte le numéro 4»
$B$ «toutes les boules tirées de l'urne $U_2$ sont blanches»

On donnera tous les résultats sous la forme d'une fraction irréductible sauf dans la question 4. b) où une valeur arrondie à 10^-2 suffit.

1. Calculer $P_{J_1}(B)$ , probabilité de l'événement $B$ sachant que l'événement $J_1$ est réalisé.
Calculer de même la probabilité $P_{J_2}(B)$ .
On admet dans la suite les résultats suivants: $P_{J_3}(B)=\dfrac{1}{30}$     et     $P_{J_4}(B)=\dfrac{1}{210}$
2. Montrer que $P(B)$ , probabilité de l'événement $B$ , vaut $\dfrac{1}{7}$ . On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.

3. On dit à un joueur que toutes les boules qu'il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ?

4. On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note $N$ la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.
    a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $N$ ?
    b) Calculer la probabilité de l'événement $(N=3)$ .

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O\,;\,\vec{u}\,;\,\vec{v})$ .

1. Un triangle
    a) On considère les points $A$ , $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=2$ , $b=3+\text{i}\sqrt{3}$ et $c=2\text{i}\sqrt{3}$ .
Déterminer une mesure de l'angle $\widehat{ABC}$ .
    b) En déduire que l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ est $1+\text{i}\sqrt{3}$ .

2. Une transformation du plan
On note $(z_n)$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_O=0$ , et telle que: $z_{n+1}=\dfrac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}z_n+2$ ,    pour tout entier naturel $n$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ .
    a) Montrer que les points $A_2$ , $A_3$ et $A_4$ ont pour affixes respectives: $3+\text{i}\sqrt{3},\quad \quad 2+2\text{i}\sqrt{3} \quad \quad \text{et}\quad \quad 2\text{i}\sqrt{3}$
On remarquera que: $A_1=1$ , $A_2=B$ et $A_4=C$ .
    b) Comparer les longueurs des segments $[A_1A_2]$ , $[A_2A_3]$ et $[A_3A_4]$ .
    c) établir que pour tout entier naturel $n$ , on a: $z_{n+1}-\omega = \dfrac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}(z_n-\omega)$ , où $\omega$ désigne le nombre complexe défini à la question 1. b).
    d) En déduire que le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par une transformation dont on précisera les éléments caractéristiques.
    e) Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a: $A_{n+6}=A_n$ . Déterminer l'affixe du point $A_{2012}$ .

3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Déterminer, pour tout entier naturel $n$ , la longueur du segment $\left[A_nA_{n+1}\right]$ .

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.

On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u} ; \vec{v})$ .
On note $z_n$ la suite de nombres complexes, de terme initiale $z_0=0$ , et telle que: $z_{n+1}=\dfrac{1+\text{i}}{2}z_n+1$ ,    pour tout entier naturel $n$ .
Pour tout entier naturel $n$ , on note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ .

1. Calculer les affixes des points $A_1$ , $A_2$ et $A_3$ . Placer ces points dans le plan muni du repère $(O ; \vec{u} ; \vec{v})$ .

2. a) Montrer que le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par une similitude directe $s$ , dont on définira le rapport, l'angle et le centre $\Omega$ , d'affixe $\omega$ .
    b) Démontrer que le triangle $\Omega A_nA_{n+1}$ est isocèle rectangle.

3. a) Établir que, pour tout entier naturel $n$ , on a: $\Omega A_n={\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}$ .
    b) À partir de quelle valeur de $n$ les points $A_n$ sont-ils situés à l'intérieur du disque de centre $\Omega$ et de rayon 0,001?

4. Pour tout entier naturel $n$ , on note $a_n$ la longueur $A_nA_{n+1}$ et $L_n$ la somme $\displaystyle \sum_{k=0}^na_k$ .
$L_n$ est ainsi la longueur de la ligne polygonal $A_0A_1\cdots A_nA_{n+1}$ .
Déterminer la limite de $L_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ .

5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ , les points $A_n$ , $\Omega$ et $A_{n+4}$ sont alignés.

Correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. $g$ est la somme de fonction dérivables sur $]0 ; +\infty[$ donc est dérivable sur $]0 ; +\infty[$ .
$g'(x) = 6x^2 + \dfrac{2}{x}, \, x > 0$ donc $g'(x)$ est la somme de termes strictement positifs donc $g'(x) > 0$ sur $]0 ; +\infty[$ .
$g$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ .

2. $\displaystyle \lim_{x \to 0} \ln x = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0} 2x^3 - 1 = - 1$ donc $\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = -\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} ln x = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 2x^3 - 1 = +\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ .
$g$ est continue strictement croissante sur $]0 ; +\infty[$ , $\displaystyle \lim_{x \to 0} g(x) = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty$ donc il existe un unique réel $\alpha$ tel que
$g(\alpha) = 0\\ g(0,86) \approx - 0,03\\ g(0,87) \approx 0,04 \text{ donc } 0,86 < \alpha < 0,87\\ \alpha = 0,87 \text{ à } 10^{-2} \text{ près par excès}$

3. $g$ est strictement croissante sur $]0 ; +\infty[, \, g(\alpha) = 0$ donc :
si $0 < x < \alpha$ alors $g(x) < 0$ ;
$g(\alpha) = 0$
si $x > \alpha$ alors $g(x) > 0$

$\begin{tabvar}{|C|LCCCR|} \hline x & 0 & & \alpha & & +\infty \\ \hline \ln x & \dbarre{ } & - & 0 & + & \\ \hline \end{tabvar}$

Partie B

1. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^2} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$
$\dfrac{\ln x}{x^2} = \dfrac{1}{x^2} \times \ln x$ or $\displaystyle \lim_{x \to 0} \ln x = -\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} = +\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\ln x}{x^2} = -\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} 2x = 0$ donc $\displaystyle \lim_{x \to 0} f(x) = +\infty$

2. $f(x) - 2x = - \dfrac{\ln x}{x^2}$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) - 2x = 0$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) - 2 x = 0$ donc la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote oblique la droite $\Delta$ d'équation $y = 2 x$ .
$f(x) - 2x = -\dfrac{\ln x}{x^2}$

$\begin{tabvar}{|C|LCCCR|} \hline x & 0&&1&&+\infty \\ \hline \ln x & \dbarre{} &-&0&+& \\ \hline f(x) - 2x & \dbarre{} & + & 0 & - & \\ \hline \end{tabvar}$
La courbe $\mathcal{C}$ ] est au dessus de $\Delta$ sur ]0 ; 1[ ; la courbe $\mathcal{C}$ coupe $\Delta$ au point d'abscisse 1 ; la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de $\Delta$ sur $]1 ; + \infty[$

3. $f'(x) = 2 - \dfrac{\dfrac{1}{x} \times x^2 - 2 x \ln x}{x^4} = 2 - \dfrac{x(1 - 2 \ln x)}{x^4} = \dfrac{2 x^3 - 1 + 2 \ln x}{x^3}$
$f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^3}, \, x> 0$ donc $x^3 > 0$ donc $f'(x)$ a le même signe que $g(x)$ .

4.
$\begin{tabvar}{|C|LCCCCR|} \hline x & 0 && & \alpha & & +\infty \\ \hline g(x)&\dbarre{}&&-&0&+& \\ \hline f'(x)&\dbarre{}&&-&0&+& \\ \hline \niveau{2}{3} f& \dbarre{}& +\infty & \decroit & f(\alpha) & \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

5.

Bac scientifique Liban Mai 2012 - terminale : image 1

Partie C

1. L'aire du domaine $\mathcal{D}$ du plan compris entre la courbe $\mathcal{C}$ , la droite $\Delta$ et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = n$ a pour mesure $\displaystyle \int_1^n \dfrac{\ln x}{x^2} dx$ en unités d'aire.
L'unité d'aire a pour mesure 2 × 1 cm² donc cette aire, exprimée en cm², est donnée par : $2 \displaystyle \int_1^n \dfrac{\ln x}{x^2} dx$ .

2. a) Soit $\left \lbrace \begin{array}{lcl} u'(x) = \dfrac{1}{x^2} & \hspace{15pt} & u(x) = - \dfrac{1}{x} \\ v(x) = \ln x && v'(x) = \dfrac{1}{x} \\ \end{array}$
donc $\displaystyle \int_1^n \dfrac{\ln x}{x^2} dx = \left[ - \dfrac{1}{x} \ln x \right]_1^n - \displaystyle \int_1^n - \dfrac{1}{x} \times \dfrac{1}{x} dx =$ $\left[-\dfrac{1}{x} \ln x \right]_1^n - \left[ \dfrac{1}{x} \right]_1^n$
$\displaystyle \int_1^n \dfrac{\ln x}{x^2} dx = -\dfrac{\ln n}{n} - \left( \dfrac{1}{n} - 1 \right)$ donc $\displaystyle \int_1^n \dfrac{\ln x}{x^2} dx = 1 - \dfrac{\ln n}{n} - \dfrac{1}{n}$

2. b) $I_n = 2 \left( 1 - \dfrac{\ln n}{n} - \dfrac{1}{n}\right)$

3. $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{\ln n}{n} = 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \lim I_n = 2$

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. Affirmation : VRAIE
La droite $D_1$ a pour vecteur directeur $\vec{u}(1;2;-1)$
La droite $D_2$ a pour vecteur directeur $\vec{v}(5;-2;1)$
Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc $D_1$ et $D_2$ ne sont pas parallèles.
Cherchons si $D_1$ et $D_2$ sont sécantes donc cherchons si le système en $t$ et $t'$ admet une solution.
$\left \lbrace \begin{array}{l} 4t + t = 8 + 5 t'\\ 6 + 2t = 2 - 2t' \\ 4 - t = 6 + t'\\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} 4 + t = 8 + 5t'\\ 4 - t = 6 + t' \\ 6 + 2t = 2 - 2t' \\ \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{ll} t - 5t' = 4 & L_1 \\ t + t' = -2 & L_2 \\ 2t + 2t' = -4 & L_3 \\ \end{array}$
$\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{ll} 6t' = -6 & L_2 - L_1 \\ t + t' = -2 & L_2 \\ t + t' = -2 & L_3 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} t' = -1 \\ t + t'= - 2\\ t + t' = -2 \\ \end{array} \right.$ $\Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} t' = -1\\ t - 1= -2\\ t + t' = -2 \\ \end{array} \right. \Longleftrightarrow \left \lbrace \begin{array}{l} t' = -1\\ t = -1\\ t + t' = -2 \\ \end{array} \right.$
La relation $t + t ' = - 2$ est vérifiée quand $t = t' = - 1$ donc les deux droites $D_1$ et $D_2$ sont sécantes donc les droites $D_1$ et $D_2$ sont coplanaires.

2. Affirmation : VRAIE
$\vec{n}(3 ; 2 ; -5)$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ .
$\overrightarrow{BA}$ a pour coordonnées (9 ; 6 ; - 15) donc $\overrightarrow{BA} = 3\vec{n}$
La droite (AB) est orthogonale au plan $\mathcal{P}$ .
$3 x_B + 2 y_B - 5 z_B = 3 \times 3 + 2 - 5 \times 2 = 1$ donc $B \in \mathcal{P}$ donc le point B est le projeté orthogonal du point A sur le plan $\mathcal{P}$ .

3. Affirmation : FAUSSE
$u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$ donc $u_{n+1} - u_n = 1 - \dfrac{1}{n+3} - \left( 1 - \dfrac{1}{n+2} \right) = \dfrac{1}{n+2} - \dfrac{1}{n+3}$
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+2)(n+3)}$ donc $u_{n + 1} - u_n > 0$
La suite $u$ est croissante.
$v_n = 2 + \dfrac{1}{n + 2}$ donc $v_{n + 1} - v'n = 2 + \dfrac{1}{n+3} - \left(2 + \dfrac{1}{n+2} \right) = \dfrac{1}{n+3} - \dfrac{1}{n+1}$
$v_{n+1} - v_n = \dfrac{-1}{(n+2)(n+3)}$ donc $v_{n + 1} - v_n < 0$
La suite $v$ est décroissante.
$v_n - u_n = 2 + \dfrac{1}{n+2} - \left(1 - \dfrac{1}{n+2}\right) = 1+\dfrac{2}{n+2}$ donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n - u_n \neq 0$ , ces deux suites ne sont pas adjacentes.

4. Affirmation : VRAIE
Montrons par récurrence que la suite $(u_n)$ est majorée par 3.
Vérification : $u_0 = 1$ donc $u_0 \leq 3$ . La propriété est vraie pour $n = 0$
Hérédité : montrons que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , la propriété est héréditaire :
c'est-à-dire que si $u_n \leq 3$ alors $u_{n+1} \leq 3$
$u_n \leq 3$ donc $\dfrac{1}{3} u_n + 2 \leq \dfrac{1}{3} \times 3 + 2$ soit $u_{n + 1} \leq 3$
pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ , la propriété est héréditaire donc est vraie pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ .
Conclusion : $(u_n)$ est une suite majorée par 3.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. $P_{J_1}}(B)$ est la probabilité, sachant qu'on a tiré le jeton numéroté 1, d'obtenir une boule blanche.
Cas possibles : on choisit donc une boule parmi les 10 donc 10 cas possibles
Cas favorables : on choisit donc une boule parmi les 4 boules blanches donc 4 cas favorables donc $P_{J_1}(B) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}$
$P_{J_2}(B)$ est la probabilité, sachant qu'on a tiré le jeton numéroté 2, d'obtenir deux boules blanches.
Cas possibles : on choisit donc deux boules parmi les 10 donc $\left( \begin{array}{c} 10\\2 \end{array} \right) = 45$ cas possibles
Cas favorables : on choisit donc deux boules parmi les 4 boules blanches donc $\left( \begin{array}{c} 4\\2 \end{array} \right) = 6$ cas favorables donc $P_{J_2}(B) = \dfrac{6}{45} = \dfrac{2}{15}$

2. D'après la formule des probabilités totales :
$P(B) = P(B \cap J_1) + P(B \cap J_2) + P(B \cap J_3) + P(B \cap J_4)\\ P(B) = P(J_ 1) \times P_{J_1}(B) + P(J_2) \times P_{J_2}(B) + P(J_3) \times P_{J_3}(B) + P(J_4) \times P_{J_4}(B)\\ P(B) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{2}{15} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{210}$
$P(B) = \dfrac{1}{4} \times \left( \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{15} + \dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{210} \right)$ soit $P(B) = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{4}{7}$ donc $P(B) = \dfrac{1}{7}$

Bac scientifique Liban Mai 2012 - terminale : image 2

3. Sachant qu'on dit à un joueur que toutes les boules qu'il a tirées sont blanches, la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 est $P_B(J_3) = \dfrac{P(B \cap J_3)}{P(B)} = \dfrac{\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{30}}{\dfrac{1}{7}} = \dfrac{7}{120}$

4. a) On a une succession de 10 expériences aléatoires identiques et indépendantes, chacune d'elles a deux issues :
succès : toutes les boules tirées sont blanches $p = \dfrac{1}{7}$
échec : toutes les boules tirées ne sont pas blanches $q = 1 - p = \dfrac{6}{7}$
donc la variable aléatoire $N$ qui compte le nombre de parties où toutes les boules tirées sont blanches suit une loi binomiale de paramètres $\left(10 ; \dfrac{1}{7} \right)$

4. b) $p(N = 3) = \left( \begin{array}{c} 10\\3 \end{array} \right) \times \left(\dfrac{1}{7}\right)^3 \times \left(\dfrac{6}{7}\right)^7 \approx 0,12$

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Un triangle
1. a) Trois démonstrations possibles :
Cas 1 : puisque l'énoncé demande un angle géométrique (donc non orienté) on peut calculer le produit scalaire $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ .
$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = BA \times BC \cos \widehat{ABC}$
$\overrightarrow{BA}$ a pour affixe $- 1 - i\sqrt{3}$ donc a pour coordonnées $(- 1 ; -\sqrt{3})$
$\overrightarrow{BC}$ a pour affixe $- 3 + i\sqrt{3}$ donc a pour coordonnées $(- 3 ; \sqrt{3})$ donc $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1) \times (-3) + (-\sqrt{3}) \times \sqrt{3} = 0$
Les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont orthogonaux donc $\widehat{ABC} = \dfrac{\pi}{2}$

Cas 2 : on évalue une mesure de l'angle $(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$
$(\overrightarrow{BA} , \overrightarrow{BC}) = \arg \left( \dfrac{c-b}{a-b} \right)$ or $\dfrac{c-b}{a-b} = \dfrac{-3+i\sqrt{3}}{-1-i\sqrt{3}} = -i\sqrt{3}$
$(\overrightarrow{BA} , \overrightarrow{BC}) = \arg (-i \sqrt{3})$ donc $(\overrightarrow{BA} , \overrightarrow{BC}) = - \dfrac{\pi}{2} + 2 k \pi \, (k \in \mathbb{Z})$

Cas 3 : d'après la figure le triangle ABC semble être rectangle en B
$AB^2 = |1 + i\sqrt{3}|^2 = 4\\ BC^2 = |-3 + i\sqrt{3}|^2 = 12$ et $AC^2 = |2 + 2 i\sqrt{3}| = 16$
donc $AB^2 + BC^2 = AC^2$ le triangle ABC est rectangle en B donc $\widehat{ABC} = \dfrac{\pi}{2}$

1. b) Le triangle ABC est rectangle en B donc le centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de l'hypoténuse [AC] donc $\omega = \dfrac{a + c}{2}$ donc l'affixe $\omega$ du centre $\Omega$ du cercle circonscrit au triangle ABC est $1 + i\sqrt{3}$ .

2. Une transformation du plan
2. a) $z_0 = 0$ donc $z_1 = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2} z_0 + 2 = 2$
$z_2 = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2} z_1 + 2 = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2} \times 2 + 2 = 1 + i\sqrt{3} + 2 = 3 + i\sqrt{3}$ ;
$z_3 = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2} z_2 + 2 = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2} \times (3 + i\sqrt{3}) + 2 = \dfrac{3 + i\sqrt{3} + 3i\sqrt{3} - 3}{2} = 2i\sqrt{3} + 2$
$z_4 = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2}z_3 + 2 = \dfrac{1 + i\sqrt{3}}{2} \times (2 + 2i\sqrt{3}) + 2\\ z_4 = (1 + i\sqrt{3}) \times (1 + i\sqrt{3}) + 2 = 1 + 2 i\sqrt{3} - 3 + 2\\ z_4 = 2 i\sqrt{3}$
Les points $A_2$ , $A_3$ et $A_4$ ont pour affixes respectives : $3 + i\sqrt{3}$ ; $2 + 2 i\sqrt{3}$ et $2 i\sqrt{3}$

2. b) $A_1 A_2^2 = |3 + i\sqrt{3} - 2|^2 = |1 + i\sqrt{3}|^2 = 4$
$A_2 A_3^2 = |2 + 2 i\sqrt{3} - (3 + i\sqrt{3})^2| = |- 1 + i\sqrt{3}|^2 = 4\\ A_3 A_4^2 = |2 i\sqrt{3} - (2 + 2 i\sqrt{3})|^2 = |-2|^2 = 4$
donc les longueurs des segments $[A_1A_2 ]$ , $[A_2A_3]$ et $[A_3A_4]$ sont égales.

2. c) $\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}(z_n - \omega) = \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} z_n - \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} \omega$
$\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} (z_n - \omega) = \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} z_n - \dfrac{(1+i\sqrt{3})^2}{2} \\ \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}(z_n - \omega) = \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} z_n - \dfrac{-2+2i\sqrt{3}}{2}\\ \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}(z_n - \omega) = \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} z_n + 1 - i\sqrt{3} \\ z_{n + 1} - \omega = z_{n + 1} = \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} z_n + 2 - (1 + i\sqrt{3}) = \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} z_n + 1 - i\sqrt{3}$
donc pour tout entier naturel $n$ , on a : $z_{n + 1} - \omega = \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}(z_n - \omega)$

2. d) Soit $r$ la transformation d'écriture complexe $z' - \omega = \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}(z - \omega)$
$\dfrac{1+i\sqrt{3}}{2} = e^{i\dfrac{\pi}{3}}$ donc la transformation $r$ est une rotation de centre $\Omega$ d'angle $\dfrac{\pi}{3}$

Bac scientifique Liban Mai 2012 - terminale : image 3

pour tout entier naturel $n$ , on a : $z_{n + 1} - \omega = \dfrac{1+i\sqrt{3}}{2}(z_n - \omega)$ donc le point $A_{n+1}$ est l'image du point $A_n$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ d'angle $\dfrac{\pi}{3}$ .

2. e) $z_{n+1} - \omega = e^{i\dfrac{\pi}{3}}(z_n - \omega)$ et $z_{n+2} - \omega = e^{i\dfrac{\pi}{3}} (z_{n+1} - \omega)$
donc $z_{n+2} - \omega = e^{i\dfrac{\pi}{3}} \times e^{i\dfrac{\pi}{3}}(z_n - \omega)$
$z_{n+2} - \omega = e^{i\dfrac{2\pi}{3}}(z_n - \omega)$ donc $z_{n+4} - \omega = e^{i\dfrac{2\pi}{3}}(z_{n+2} - \omega) = e^{i\dfrac{2\pi}{3}} \times e^{i\dfrac{2\pi}{3}}(z_n - \omega)$
$z_{n+4} - \omega = e^{i\dfrac{4\pi}{3}}(z_n - \omega)\\ z_{n+6} - \omega = e^{i\dfrac{\pi}{3}}(z_{n+4} - \omega) = e^{i\dfrac{2\pi}{3}} \times e^{i\dfrac{4\pi}{3}}(z_n - \omega)\\ z_{n+6} - \omega = e^{i2\pi}(z_n - \omega) = z_n - \omega$
donc $z_{n+6} = z_n$ donc, pour tout entier naturel $n$ , on a : $A_{n+6} = A'n$ .

On aurait pu utiliser la transformation $f = r \circ r \circ r \circ r \circ r \circ r$ mais la composée de rotations est un déplacement (pas forcément une rotation) donc $f$ est un déplacement d'angle la somme des angles des différentes rotations soit $2\pi$ donc est soit une translation soit l'identité du plan.
$f(\Omega) = \Omega$ donc $f$ admet un point invariant donc $f$ est l'identité du plan.
$f(A_n) = r \circ r \circ r \circ r \circ r \circ r(A_n) = r \circ r \circ r \circ r \circ r(A_{n+1}) = \cdots = A_{n+6}$
$f(A_n) = A_n$ donc pour tout entier naturel $n$ , on a : $A_{n+6} = A_n$ .
$A_{n+6} = A_n$ donc $A_{n+6k} = A_n$ pour tout $k \in \mathbb{N}$ .
2012 = 6 × 335 + 2 donc $A_{2012} = A_2$ .

3. $z_{n+1} - \omega = e^{i\dfrac{\pi}{3}}(z_n - \omega)$ et $z_{n+2} - \omega = e^{i \dfrac{\pi}{3}}(z_{n+1} - \omega)$ donc par différence membre à membre :
$z_{n+2} - \omega - (z_{n+1} - \omega) = e^{i\dfrac{\pi}{3}}(z_{n+1} - \omega) - e^{i\dfrac{\pi}{3}}(z_n - \omega) \\ z_{n+2} - z_{n+1} = e^{i\dfrac{\pi}{3}}(z_{n+1} - z_n)$
donc la suite $u_n = z_{n+1} - z_n$ est une suite géométrique de raison $q = e^{i\dfrac{\pi}{3}}$ , de premier terme $u_0 = z_1 - z_0 = 1 + i\sqrt{3}$ ;
donc $u_n = q^n u_0$ donc $|u_n| = |q^n| |u_0|$ or $|q| = 1$ donc $|u_n| = |u_0| = 2$ donc pour tout entier naturel $n$ , la longueur du segment $[A_n A_{n+1}]$ est 2.

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. $z_0 = 0$ donc $z_1 = \dfrac{1+i}{2}z_0 + 1 = 1$
$z_2 = \dfrac{1+i}{2}z_1 + 1 = \dfrac{1+i}{2} + 1 = \dfrac{3+i}{2} \\ z_3 = \dfrac{1 + i}{2} z_2 + 1 = \dfrac{1+i}{2} \times \dfrac{3+i}{2} + 1 = \dfrac{3+i+3i-1}{4}+1=\dfrac{3+2i}{2}$
Les points $A_1$ , $A_2$ et $A_3$ ont pour affixes respectives : 1 ; $\dfrac{3+i}{2}$ et $\dfrac{3+2i}{2}$

2. a) Soit $s$ la transformation d'écriture complexe $z' = \dfrac{1+i}{2} z + 1$
$s$ a une écriture complexe de la forme $z' = a z + b$ avec $a \neq 0$ donc $s$ est une similitude directe de rapport $|a|$ d'angle $\arg a$ .
$\dfrac{1+i}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}e^{i\dfrac{\pi}{4}}$ donc la transformation $s$ est une similitude directe d'angle $\dfrac{\pi}{4}$ de rapport $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ .
Le centre de $s$ est le point invariant donc son affixe est solution de $z' = z$ soit $z = \dfrac{1+i}{2} z + 1 \Longleftrightarrow 2z = (1+i)z + 2 \Longleftrightarrow z(1-i) = 2$ $\Longleftrightarrow z = \dfrac{2}'1-i} = 1 + i$ donc le centre de $s$ est le point $\Omega$ d'affixe $\omega = 1 + i$ .

2. b) $s(A_n) = A_{n + 1}$
donc $\Omega A_{n+1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Omega A_n$ et $(\overrightarrow{\Omega A_n} ,\overrightarrow{\Omega A_{n+1}}) = \dfrac{\pi}{4} + 2 k \pi$
$\overrightarrow{A_n A_{n+1}} = \overrightarrow{\Omega A_{n+1}} - \overrightarrow{\Omega A_n}$
donc $A_n A_{n + 1}^2 = \Omega A_{n+1}^2 + \Omega A_n^2 - 2 \overrightarrow{\Omega A_{n+1}} \cdot \overrightarrow{\Omega A_n}$
$A_n A_{n+1}^2 = \dfrac{1}{2} \Omega A_n^2 + \Omega A_n^2 - 2 \Omega A_{n+1} \times \Omega A_n \cos (\overrightarrow{\Omega A_{n+1}}, \overrightarrow{\Omega A_n})\\ A_n A_{n+1}^2 = \dfrac{3}{2}\Omega A_n^2 - 2 \times \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Omega A_n^2 \times \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ A_n A_{n+1}^2 = \dfrac{3}{2}\Omega A_n^2 - \Omega A_n^2 = \dfrac{1}{2}\Omega A_n^2$
donc $\Omega A_{n+1} = A_n A_{n+1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Omega A_n$ de plus $\Omega A_{n+1}^2 + A_n A_{n+1}^2 = \Omega A_n^2$ donc le triangle $\Omega A_n A_{n + 1}$ est isocèle rectangle en $A_{n + 1}$ .

Autre démonstration :
On pouvait aussi appeler $H$ la projection orthogonale de $A_{n+1}$ sur $[\Omega A_n]$
$(\overrightarrow{\Omega A_n}, \overrightarrow{\Omega A_{n+1}}) = \dfrac{\pi}{4} + 2 k \pi$ donc le triangle $\Omega H A_{n+1}$ est isocèle rectangle en $H$ et $\Omega H = HA_{n+1} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \Omega A_{n+1} = \dfrac{1}{2} \Omega A_n$ donc $H$ est le milieu de $[\Omega A_n]$ donc $\Omega H = HA_{n+1} = HA_n$ ,
$H$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $\Omega A_n A_{n + 1 }$ , $[\Omega A_n]$ est un diamètre du cercle donc le triangle $\omega A_n A_{n + 1}$ est rectangle en $A_{n+1}$ .
$(\overrightarrow{\Omega A_n}, \overrightarrow{\Omega A_{n+1}}) = \dfrac{\pi}{4} + 2 k \pi$ donc le triangle $\Omega A_n A_{n+1}$ est isocèle rectangle en $A_{n+1}$

3. a) $z_{n+1} = \dfrac{1+i}{2} z_n + 1$ et $\omega = \dfrac{1+i}{2} \omega + 1$ donc $z_{n + 1} - \omega = \dfrac{1+i}{2} (z_n - \omega)$
La suite $u_n = z_{n + 1} - \omega$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1+i}{2}$ , de premier terme $u_0 = z_0 - \omega = -\omega$
donc $u_n = q^n u_0$ donc $|u_n| = |q|^n |u_0|$ or $|q| = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et $|u_0| = |1 + i| = \sqrt{2}$ .
$|u_n| = \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^n \times \sqrt{2} = \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-1} = \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^{n-1}$ donc pour tout entier naturel $n$ , on a : $\Omega A_n = \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^{n-1}$

3. b) Les points $A_n$ sont situés à l'intérieur du disque de centre $\Omega$ et de rayon 0,001 quand $\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^{n-1} < 0,001$
soit $\left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^{n-1} < 0,001 \Longleftrightarrow \sqrt{2}^{n-1} > 1000 \Longleftrightarrow (n-1) \ln \sqrt{2} > \ln 1000$
$\Longleftrightarrow n > \dfrac{\ln 1000}{\ln \sqrt{2}} + 1$
$\dfrac{\ln 1000}{\ln \sqrt{2}} + 1 \approx 20,9$ donc à partir de $n = 21$ , les points $A_n$ sont situés à l'intérieur du disque de centre $\Omega$ et de rayon 0,001.

4. Pour tout entier naturel $n, \, a_n = \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^{n-1}$
$a_n$ est une suite géométrique de premier terme $a_0 = 1$ et de raison $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ donc $L_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n a_k = a_0 \dfrac{q^{n+1} - 1}{q - 1}$
$L_n = \dfrac{\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^n - 1}{\dfrac{1}{\sqrt{2}} - 1}$
$-1 < \dfrac{1}{\sqrt{2}} < 1$ donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)^n = 0$
donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} L_n = \dfrac{-1}{\dfrac{1}{\sqrt{2}} - 1} = \dfrac{-\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = 2+\sqrt{2}$

5. $z_{n+1} - \omega = \dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{i \dfrac{\pi}{4}} (z_n - \omega)$ et $z_{n+2} - \omega = \dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{i \dfrac{\pi}{4}} (z_{n+1} - \omega)$
donc $z_{n+2} - \omega = \left( \dfrac{1}{\sqrt{2}} e^{i \dfrac{\pi}{4}} \right)^2 (z_n - \omega)$ soit $z_{n+2} - \omega = \dfrac{1}{2} e^{i \dfrac{\pi}{2}}(z_n - \omega)$
$z_{n+4} - \omega = \dfrac{1}{2} e^{i \dfrac{\pi}{2}} (z_n - \omega)$ donc $z_{n+4} - \omega = \left( \dfrac{1}{2} e^{i \dfrac{\pi}{2}} \right)^2 (z_n - \omega)$
$z_{n+4} - \omega = -\dfrac{1}{4}(z_n - \omega)$ soit $\overrightarrow{\Omega A_{n+4}} = -\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\Omega A_n}$ donc pour tout entier naturel $n$ , les points $A_n$ , $\Omega$ et $A_{n+4}$ sont alignés.

Publié par TP/Cherchell le 07-12-2015

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