Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Mai 2012 - Liban
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
6 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats.
Partie A
On considère la fonction définie sur l'intervalle par:
1. étudier les variations de la fonction sur l'intervalle .
2. Justifier qu'il existe un unique réel tel que . Donner une valeur approchée de , arrondie au centième.
3. En déduire le signe de la fonction sur l'intervalle .
Partie B
On considère la fonction définie sur l'intervalle par:
On note la courbe représentative de la fonction dans le plan, muni d'un repère orthogonal .
1. Déterminer les limites de la fonction en 0 et en .
2. Démontrer que la courbe admet pour asymptote oblique la droite d'équation .
Étudier la position relative de la courbe et de la droite .
3. Justifier que a même signe que .
4. En déduire le tableau de variation de la fonction .
5. Tracer la courbe dans le repère . On prendra comme unités: 2 cm sur l'axe des abscisses, 1 cm sur l'axe des ordonnées.
Partie C
Soit un entier naturel non nul. On considère l'aire du domaine du plan compris entre la courbe , la droite et les droites d'équations respectives et .
1. Justifier que cette aire, exprimée en cm2, est donnée par:
.
a) Calculer l'intégrale à l'aide d'une intégration par parties.
b) En déduire l'expression de en fonction de .
2. Calculer la limite de l'aire du domaine quand tend vers .
4 points
exercice 2 - Commun à tous les candidats.
Les quatre questions sont indépendantes.
Dans cet exercice, pour chaque question, une affirmation est proposée. On demande d'indiquer sur la copie si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte, mais toute trace de recherche sera valorisée.
1. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal , on considère les droites et de représentations paramétriques respectives:
, , et , .
Affirmation: les droites et sont coplanaires.
2. Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal , on considère les points A(12;7;-13) et B(3;1;2) ainsi que le plan d'équation .
Affirmation: le point est le projeté orthogonal du point sur le plan .
3. On considère les suites et définies, pour tout entier naturel , par:
et
Affirmation: ces deux suites sont adjacentes.
4. On considère la suite définie par son premier terme et la relation de récurrence:
, pour tout entier naturel .
Affirmation: cette suite est majorée par 3.
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats.
On dispose de deux urnes et .
L'urne contient 4 jetons numérotés de 1 à 4.
L'urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires.
Un jeu consiste à tirer un jeton de l'urne , à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l'urne le nombre de boules indiqué par le jeton.
On considère les événements suivants:
«le jeton tiré de l'urne porte le numéro 1»
«le jeton tiré de l'urne porte le numéro 2»
«le jeton tiré de l'urne porte le numéro 3»
«le jeton tiré de l'urne porte le numéro 4»
«toutes les boules tirées de l'urne sont blanches»
On donnera tous les résultats sous la forme d'une fraction irréductible sauf dans la question 4. b) où une valeur arrondie à 10-2 suffit.
1. Calculer , probabilité de l'événement sachant que l'événement est réalisé.
Calculer de même la probabilité .
On admet dans la suite les résultats suivants:
et
2. Montrer que , probabilité de l'événement , vaut . On pourra s'aider d'un arbre de probabilités.
3. On dit à un joueur que toutes les boules qu'il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 ?
4. On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note la variable aléatoire prenant comme valeur le nombre de partie où toutes les boules tirées sont blanches.
a) Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire ?
b) Calculer la probabilité de l'événement .
5 points
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité.
On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct .
1. Un triangle a) On considère les points , et d'affixes respectives , et .
Déterminer une mesure de l'angle .
b) En déduire que l'affixe du centre du cercle circonscrit au triangle est .
2. Une transformation du plan On note la suite de nombres complexes, de terme initiale , et telle que:
, pour tout entier naturel .
Pour tout entier naturel , on note le point d'affixe .
a) Montrer que les points , et ont pour affixes respectives:
On remarquera que: , et .
b) Comparer les longueurs des segments , et .
c) établir que pour tout entier naturel , on a:
,
où désigne le nombre complexe défini à la question 1. b).
d) En déduire que le point est l'image du point par une transformation dont on précisera les éléments caractéristiques.
e) Justifier que, pour tout entier naturel , on a: . Déterminer l'affixe du point .
3.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Déterminer, pour tout entier naturel , la longueur du segment .
5 points
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité.
On se place dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct .
On note la suite de nombres complexes, de terme initiale , et telle que:
, pour tout entier naturel .
Pour tout entier naturel , on note le point d'affixe .
1. Calculer les affixes des points , et . Placer ces points dans le plan muni du repère .
2. a) Montrer que le point est l'image du point par une similitude directe , dont on définira le rapport, l'angle et le centre , d'affixe .
b) Démontrer que le triangle est isocèle rectangle.
3. a) Établir que, pour tout entier naturel , on a: .
b) À partir de quelle valeur de les points sont-ils situés à l'intérieur du disque de centre et de rayon 0,001?
4. Pour tout entier naturel , on note la longueur et la somme .
est ainsi la longueur de la ligne polygonal .
Déterminer la limite de quand tend vers .
5.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Démontrer que, pour tout entier naturel , les points , et sont alignés.
1. est la somme de fonction dérivables sur donc est dérivable sur .
donc est la somme de termes strictement positifs donc sur .
est strictement croissante sur .
2. et donc et donc .
est continue strictement croissante sur , et donc il existe un unique réel tel que
3. est strictement croissante sur donc :
si alors ;
si alors
Partie B
1. donc or et donc donc
2. donc donc donc la courbe admet pour asymptote oblique la droite d'équation .
La courbe ] est au dessus de sur ]0 ; 1[ ; la courbe coupe au point d'abscisse 1 ; la courbe est en dessous de sur
3. donc donc a le même signe que .
4.
5.
Partie C
1. L'aire du domaine du plan compris entre la courbe , la droite et les droites d'équations respectives et a pour mesure en unités d'aire.
L'unité d'aire a pour mesure 2 × 1 cm² donc cette aire, exprimée en cm², est donnée par : .
2. a) Soit donc donc
2. b)
3. et donc
exercice 2 - Commun à tous les candidats
1.Affirmation : VRAIE La droite a pour vecteur directeur La droite a pour vecteur directeur Les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc et ne sont pas parallèles.
Cherchons si et sont sécantes donc cherchons si le système en et admet une solution.
La relation est vérifiée quand donc les deux droites et sont sécantes donc les droites et sont coplanaires.
2.Affirmation : VRAIE est un vecteur normal au plan .
a pour coordonnées (9 ; 6 ; - 15) donc La droite (AB) est orthogonale au plan .
donc donc le point B est le projeté orthogonal du point A sur le plan .
3.Affirmation : FAUSSE donc donc La suite est croissante.
donc donc La suite est décroissante.
donc , ces deux suites ne sont pas adjacentes.
4.Affirmation : VRAIE Montrons par récurrence que la suite est majorée par 3.
Vérification : donc . La propriété est vraie pour Hérédité : montrons que pour tout de , la propriété est héréditaire :
c'est-à-dire que si alors donc soit pour tout de , la propriété est héréditaire donc est vraie pour tout de .
Conclusion : est une suite majorée par 3.
exercice 3 - Commun à tous les candidats
1. est la probabilité, sachant qu'on a tiré le jeton numéroté 1, d'obtenir une boule blanche.
Cas possibles : on choisit donc une boule parmi les 10 donc 10 cas possibles
Cas favorables : on choisit donc une boule parmi les 4 boules blanches donc 4 cas favorables donc est la probabilité, sachant qu'on a tiré le jeton numéroté 2, d'obtenir deux boules blanches.
Cas possibles : on choisit donc deux boules parmi les 10 donc cas possibles
Cas favorables : on choisit donc deux boules parmi les 4 boules blanches donc cas favorables donc
2. D'après la formule des probabilités totales :
soit donc
3. Sachant qu'on dit à un joueur que toutes les boules qu'il a tirées sont blanches, la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 3 est
4. a) On a une succession de 10 expériences aléatoires identiques et indépendantes, chacune d'elles a deux issues :
succès : toutes les boules tirées sont blanches échec : toutes les boules tirées ne sont pas blanches donc la variable aléatoire qui compte le nombre de parties où toutes les boules tirées sont blanches suit une loi binomiale de paramètres
4. b)
exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. Un triangle 1. a) Trois démonstrations possibles :
Cas 1 : puisque l'énoncé demande un angle géométrique (donc non orienté) on peut calculer le produit scalaire .
a pour affixe donc a pour coordonnées a pour affixe donc a pour coordonnées donc Les vecteurs et sont orthogonaux donc
Cas 2 : on évalue une mesure de l'angle or donc
Cas 3 : d'après la figure le triangle ABC semble être rectangle en B
et donc le triangle ABC est rectangle en B donc
1. b) Le triangle ABC est rectangle en B donc le centre du cercle circonscrit au triangle ABC est le milieu de l'hypoténuse [AC] donc
donc l'affixe du centre du cercle circonscrit au triangle ABC est .
2. Une transformation du plan 2. a) donc ;
Les points , et ont pour affixes respectives : ; et
2. b) donc les longueurs des segments , et sont égales.
2. c) donc pour tout entier naturel , on a :
2. d) Soit la transformation d'écriture complexe donc la transformation est une rotation de centre d'angle
pour tout entier naturel , on a : donc le point est l'image du point par la rotation de centre d'angle .
2. e) et donc donc donc donc, pour tout entier naturel , on a : .
On aurait pu utiliser la transformation mais la composée de rotations est un déplacement (pas forcément une rotation) donc est un déplacement d'angle la somme des angles des différentes rotations soit donc est soit une translation soit l'identité du plan.
donc admet un point invariant donc est l'identité du plan.
donc pour tout entier naturel , on a : .
donc pour tout .
2012 = 6 × 335 + 2 donc .
3. et donc par différence membre à membre :
donc la suite est une suite géométrique de raison , de premier terme ;
donc donc or donc donc pour tout entier naturel , la longueur du segment est 2.
exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. donc Les points , et ont pour affixes respectives : 1 ; et
2. a) Soit la transformation d'écriture complexe a une écriture complexe de la forme avec donc est une similitude directe de rapport d'angle .
donc la transformation est une similitude directe d'angle de rapport .
Le centre de est le point invariant donc son affixe est solution de soit
donc le centre de est le point d'affixe .
2. b) donc et donc donc de plus donc le triangle est isocèle rectangle en .
Autre démonstration : On pouvait aussi appeler la projection orthogonale de sur donc le triangle est isocèle rectangle en et donc est le milieu de donc ,
est le centre du cercle circonscrit au triangle , est un diamètre du cercle donc le triangle est rectangle en .
donc le triangle est isocèle rectangle en
3. a) et donc La suite est une suite géométrique de raison , de premier terme donc donc or et .
donc pour tout entier naturel , on a :
3. b) Les points sont situés à l'intérieur du disque de centre et de rayon 0,001 quand soit donc à partir de , les points sont situés à l'intérieur du disque de centre et de rayon 0,001.
4. Pour tout entier naturel est une suite géométrique de premier terme et de raison donc donc donc
5. et donc soit donc soit donc pour tout entier naturel , les points , et sont alignés.
Publié par TP/Cherchell
le
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