Fiche de mathématiques

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Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Métropole - La Réunion - Session Juin 2012

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.

10 points

exercice 1

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

	J	$\overline{\text{J}}$	total
S			36%
$\overline{\text{S}}$
total			100%

1. Recopier et compléter le tableau des fréquences en pourcentages ci-dessus.

2. Définir par une phrase les évènements suivants et calculer les probabilités de ces évènements :
    a) $\text{S} \cap \overline{\text{J}}$ ;
    b) $\overline{\text{S}} \cap \text{J}$ ;
    c) $\overline{\text{S}} \cap \overline{\text{J}}$ .

Partie B

bac STI arts appliqués, Métropole Juin 2012 - terminale : image 1

On a représenté en annexe (à joindre à la copie) l'ellipse (E) dans un repère orthonormé du plan d'origine O.

bac STI arts appliqués, Métropole Juin 2012 - terminale : image 3

1. Les sommets A, A', B et B' ont des coordonnées entières.
Préciser les coordonnées de ces sommets.

2. Déterminer une équation de (E) et calculer les coordonnées de ses foyers F et F'.

3. Le cercle (C) a pour diamètre [FF']. Tracer ce cercle et vérifier que l'aire du disque de diamètre [FF'] est égale à $9\pi$ .

4. Les dirigeants souhaitent que la partie du logo dans laquelle s'inscrira le nom de l'association occupe plus de la moitié de la surface délimitée par l'ellipse (E). Est-ce bien le cas ? On admettra que l'aire de l'ellipse (E) est égale à $\pi \times \text{OA} \times \text{OB}$ .

10 points

exercice 2

La courbe (C) représentée ci-dessous est celle d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [-1 ; 1]. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ .
Les points E, F et H sont des points de la courbe (C) à coordonnées entières.

bac STI arts appliqués, Métropole Juin 2012 - terminale : image 2

Partie A

1. Par lecture graphique, préciser $f(-1)$ , $f(0)$ et $f(1)$ .

2. Déterminer une équation de la droite (EF).
Marine pense que la droite (EF) est tangente à la courbe (C) au point F. Si Marine a raison, conjecturer alors la valeur de $f^{\prime}(0)$ .

3. Julien affirme que la tangente au point d'abscisse 0,4 est parallèle à l'axe des abscisses. Si Julien a raison, que peut-on en déduire pour $f^{\prime}(0,4)$ ?

Partie B

La fonction représentée dans la partie A est la fonction définie sur l'intervalle [-1 ; 1] par : $f(x) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^x$ .

1. Comparer les valeurs de $f(-1), f(0)$ et $f(1)$ obtenues par le calcul avec celles obtenues par lecture graphique.

2. On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle [-1 ; 1].
    a) Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [-1 ; 1], $f^{\prime}(x) = \left(- x^2 - 2x + 1)\text{e}^x$ .
    b) En déduire la valeur exacte de $f^{\prime}(0)$ et de $f^{\prime}(0,4)$ .

3. La conjecture de Marine est-elle validée ? Et celle de Julien ?
    a) Étudier le signe de $- x^2 - 2x + 1$ .
    b) En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [-1 ; 1].

Partie C

1. Pour tout réel $x$ de l'intervalle [-1 ; 1], on pose $F(x) = \left(- 1 + 2x - x^2\right)\text{e}^x$ .
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [-1 ; 1].

2. Calculer l'aire exacte, en unité d'aire, de la surface comprise entre l'axe des abscisses, la courbe (C), les droites d'équations $x = -1$ et $x = 1$ .

Correction

EXERCICE 1

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

L'association «Arts martiaux et Self-défense» d'une municipalité propose à ses adhérents plusieurs activités dont le judo et la self-défense.

60% des adhérents sont inscrits au cours de judo, 36% au cours de self-défense et 5% aux deux. On interroge un adhérent au hasard. On note J l'évènement : «l'adhérent interrogé pratique le judo» et S l'évènement: «l'adhérent interrogé est inscrit au cours de self-défense». Pour tout évènement $D$ , on note $\bar{D}$ l'évènement contraire de $D$ .

1. Recopier et compléter le tableau des fréquences en pourcentages ci-dessus.

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline &J&\overline{J}&\text{Total}\\ \hline S&5\%&31\%&36\%\\ \hline \overline{S}&55\%&9\%&64\%\\ \hline \text{Total}&60\%&40\%&100\%\\ \hline \end{tabular}$

2. Définir par une phrase les évènements suivants et calculer les probabilités de ces évènements :

a) $S\cap\bar{J}$

Evénement "l'adhérent est inscrit au cours de self-défense et ne pratique pas le judo" : $p(S\cap\bar{J})=0,31$

b) $\bar{S}\cap J$

Evénement "l'adhérent n'est pas inscrit au cours de self-défense et pratique le judo" : $p(\bar{S}\cap J)=0,55$

b) $\bar{S}\cap\bar{J}$

Evénement "l'adhérent n'est pas inscrit au cours de self-défense et ne pratique pas le judo" : $p(\bar{S}\cap\bar{J})=0,09$

Partie B

Pour promouvoir leur association, ses dirigeants ont demandé qu'on leur réalise un logo.
Il est conçu à partir d'un cercle (C) contenu dans une ellipse (E).
Le nom de l'association s'inscrira dans la partie grisée (en bleue clair ici) limitée par le cercle et l'ellipse comme indiqué ci-dessous.

1. Les sommets A, A', B et B' ont des coordonnées entières.
Préciser les coordonnées de ces sommets.

Par lecture graphique, on trouve : $A(5,0); A'(-5,0); B(0,4); B'(0,-4)$

2. Déterminer une équation de (E) et calculer les coordonnées de ses foyers F et F'.

Equation de (E)
On a le demi-grand axe $a$ tel que $a=5$
On a le demi-petit axe $b$ tel que $b=4$

L'équation d'une ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ s'écrit sous la forme : $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

Donc l'équation de l'ellipse (E) est : $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$

Foyers F et F'
L'ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ a pour foyers les points F et F' de coordonnées $F(c,0)$ et $F'(-c,0)$ avec $c=\sqrt{a^2-b^2}$

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3 \Longrightarrow \left\lbrace\begin{array}l F(c,0)=F(3,0) \\ F'(-c,0)=F'(-3,0) \end{array}$

3. Le cercle (C) a pour diamètre [FF']. Tracer ce cercle et vérifier que l'aire du disque de diamètre [FF'] est égale à $9\pi$ .

Représentation graphique

bac STI arts appliqués, Métropole Juin 2012 - terminale : image 6

Aire du disque

Le diamètre du disque étant le segment $[FF']=6$ , l'aire du disque est donc :

$\text{Aire disque}=\pi\frac{FF'^2}{4}=\pi\frac{6^2}{4}=\frac{36}{4}\pi=9\pi$

4. Les dirigeants souhaitent que la partie du logo dans laquelle s'inscrira le nom de l'association occupe plus de la moitié de la surface délimitée par l'ellipse (E). Est-ce bien le cas ?
On admettra que l'aire de l'ellipse (E) est égale à $\pi\times OA\times OB$ .

Calcul de la moitié de la surface délimitée par l'ellipse (E)

$\text{Moitié de la surface de l'ellipse}=\frac{1}{2}\times\text{Surface ellipse}=\frac{1}{2}\pi\times OA\times OB=\frac{1}{2}\pi\times a\times b=\frac{1}{2}\pi\times 5\times 4=\frac{20\pi}{2}=10\pi$

Surface de la partie du logo réservée au nom de l'association

$\text{Surface réservée au nom}=\text{Surface ellipse}-\text{Aire disque}=20\pi-9\pi=11\pi$

Conclusion

Nous avons bien $11\pi>10\pi$ , donc la partie du logo dans laquelle s'inscrira le nom de l'association occupe plus de la moitié de la surface délimitée par l'ellipse (E).

EXERCICE 2

La courbe (C) représentée ci-dessous est celle d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [-1 ; 1]. On désigne par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ . Les points E, F et H sont des points de la courbe (C) à coordonnées entières.

Partie A

1. Par lecture graphique, préciser $f(-1)$ , $f(0)$ et $f(1)$ .
On lit sur le graphique :
$f(-1)=0$
$f(0)=1$
$f(1)=0$

2. Déterminer une équation de la droite (EF).
Marine pense que la droite (EF) est tangente à la courbe (C) au point F. Si Marine a raison, conjecturer alors la valeur de $f'(0)$ .

Equation de la droite (EF)
L'équation d'une droite s'écrit sous la forme $y=ax+b$ où $a,b\in\R$ et $a$ représente le coefficient directeur de la droite.

La droite (EF) passe par le point $F$ de coordonnées $(x_F,y_F)=(0,1)$ , ses coordonnées vérifient donc l'équation de la droite $y=ax+b$ , on a donc :
$y_F=ax_F+b\Longleftrightarrow 1=a\times 0+b\Longleftrightarrow b=1$

L'équation de la droite (EF) peut donc s'écrire sous la forme $y=ax+1$

La droite (EF) passe par le point $E$ de coordonnées $(x_E,y_E)=E(-1,0)$ , ses coordonnées vérifient donc l'équation de la droite $y=ax+b$ , on a donc :
$y_E=ax_E+1\Longleftrightarrow 0=a\times (-1)+1\Longleftrightarrow a=1$

On a : $\left\lbrace\begin{array}l a=1 \\ b=1 \end{array}$ , l'équation de la droite (EF) est donc $y=x+1$

3. Julien affirme que la tangente au point d'abscisse 0,4 est parallèle à l'axe des abscisses. Si Julien a raison, que peut-on en déduire pour $f'(0,4)$ ?

Si Julien a raison, alors la tangente au point d'abscisse $x=0,4$ est parallèle à l'axe des abscisses, cela veut donc dire que le coefficient directeur de cette droite tangente est nul, et donc que la dérivée en ce point d'abscisse $x=0,4$ est égale à 0, donc que $f'(0,4)=0$ .

Partie B

La fonction représentée dans la partie A est la fonction définie sur l'intervalle [-1 ; 1] par :

$f(x)=(1-x^2)e^x$

1. Comparer les valeurs de $f(-1),f(0)$ et $f(1)$ obtenues par le calcul avec celles obtenues par lecture graphique.

On a : $D_f=[-1,1]$

On a : $\left\lbrace\begin{array}l f(-1)=[1-(-1)^2]e^{-1}=(1-1)e^{-1}=0\times e^{-1}=0 \\ f(0)=(1-0^2)e^0=1\times e^0=e^0=1\\f(1)=(1-1^2)e^1=0\times e=0 \end{array}$

On trouve donc des valeurs identiques à celles trouvées lors de la lecture graphique.

2. On admet que $f$ est dérivable sur l'intervalle [-1 ; 1].

a) Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [-1 ; 1], $f'(x)=(-x^2-2x+1)e^x$ .

$f$ est dérivable sur $[-1,1]$ comme produit de fonctions dérivables sur $[-1,1]$ et $f$ est de la forme $f=uv$ , donc $f'=u'v+uv'$

En posant $u=1-x^2\text{, on a : }u'=-2x$
En posant $v=e^x\text{, on a : }v'=e^x$

On a donc : $f'(x)=-2xe^x+(1-x^2)e^x=(-x^2-2x+1)e^x$

b) En déduire la valeur exacte de $f'(0)$ et de $f'(0,4)$ .

$f'(0)=(-0^2-2\times 0+1)e^0=1$

$f'(0,4)=f(\frac{4}{10})=f(\frac{2}{5})=[-(\frac{2}{5})^2-2(\frac{2}{5})+1]e^{\frac{2}{5}}=(-\frac{4}{25}-\frac{20}{25}+\frac{25}{25})e^{\frac{2}{5}}=\frac{1}{25}e^{\frac{2}{5}}\approx 0,06$

3 La conjecture de Marine est-elle validée ? Et celle de Julien ?
Les conjectures de Marine et de Julien sont toutes les deux vérifiées.

La conjecture de Julien n'est pas validée, puisque l'on trouve $f'(0,4)\approx 0,06\ne 0$ , la tangente en ce point n'est donc pas parallèle à l'axe des abscisses.
On trouve $f'(0)=1$ , la conjecture de Marine est donc validée, la droite (EF) est bien tangente à la courbe (C) au point F.

a) Etudier le signe de $-x^2-2x+1$

Résolution de $-x^2-2x+1=0$

$\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4(-1)\times 1=8=(2\sqrt{2})^2$

On a donc pour solutions : $\left\lbrace\begin{array}l x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)+2\sqrt{2}}{2\times(-1)}=\frac{2+2\sqrt{2}}{-2}=-1-\sqrt{2} \notin D_f=[-1,1]\\ x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-2)-2\sqrt{2}}{2\times(-1)}=\frac{2-2\sqrt{2}}{-2}=-1+\sqrt{2} \in D_f=[-1,1]\end{array}$

Donc seule $x_2=-1+\sqrt{2}$ appartient au domaine de définition de la fonction $f$ , donc :

La solution est donc : $-1+\sqrt{2}$

Signe de $-x^2-2x+1$

$\left\lbrace\begin{array}l \text{Si }x\in[-1,1-\sqrt{2}[\text{, on a }-x^2-2x+1>0\\ \text{Si }x=1-\sqrt{2}\text{, on a }-x^2-2x+1=0\\ \text{Si }x\in]1-\sqrt{2},1]\text{, on a }-x^2-2x+1<0\end{array}$

bac STI arts appliqués, Métropole Juin 2012 - terminale : image 5

b) En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1,1]$ .

Sens de variation

On a vu ci-dessus que : $f'(x)=(-x^2-2x+1)e^x$

Or, pour tout $x\in\R,e^x>0$

Donc pour tout $x\in[-1,1],f'(x)\text{ du signe de }-x^2-2x+1$

On a donc :

$\text{Si }x\in[-1,1-\sqrt{2}],f'(x)\geq 0\Longrightarrow\text{f croissante}$

$\text{Si }x\in [1-\sqrt{2},1],f'x)\leq 0\Longrightarrow\text{f décroissante}$

Tableau de variations (non demandé)

$\begin{array}{|c|ccccccc}x&-1&&1-\sqrt{2}&&+1 \\f'& &+&0&-& \\f(x)&_0&\nearrow&&\searrow&_0&&\end{array}$

Partie C

1. Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[-1,1]$ , on pose $F(x)=(-1+2x-x^2)e^x$ .
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1,1]$ .

Si la fonction $F$ est une primitive de $f$ , alors on a $F'(x)=f(x)$

$F$ est de la forme $F=uv$ , soit $F'=u'v+uv'$

$\left\lbrace\begin{array}l u=-1+2x-x^2\Longrightarrow u'=2-2x \\ v=e^x\Longrightarrow v'=e^x \end{array}$

Donc $F'(x)=(2-2x)e^x+(-1+2x-x^2)e^x=^(2-\cancel{2x}-1+\cancel{2x}-x^2)e^x=(1-x^2)e^x=f(x)$

La fonction $F$ est bien une primitive de $f$ .

2. Calculez l'aire exacte, en unité d'aire, de la surface comprise entre l'axe des abscisses, la courbe (C),
les droites d'équations $x=-1$ et $x=1$ .

L'aire demandée est donnée par l'intégrale $I$ suivante :

$I=\int_{-1}^1f(x)dx=[F(x)]_{-1}^1=F(1)-F(-1)=(-1+2\times 1-1^2)e^1-[(-1+2\times (-1)-(-1)^2)e^{-1}]=\underbrace{(-1+2-1)}_{=0}e-(\underbrace{-1-2-1}_{=-4})e^{-1}$
$=4\times e^{-1}=4\times \frac{1}{e}=\frac{4}{e}\approx 1,47\text{ unités d'aire}$

Représentation graphique (non demandé)

L'aire demandée est celle en vert sous la courbe dans la figure ci-dessous :

bac STI arts appliqués, Métropole Juin 2012 - terminale : image 4

Publié par TP/ le 11-06-2015

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