Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Métropole - La Réunion - Session Juin 2012
Partager :
Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
10 points
exercice 1
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
L'association «Arts martiaux et Self-défense» d'une municipalité propose à ses adhérents plusieurs activités dont le judo et la self-défense.
60% des adhérents sont inscrits au cours de judo, 36% au cours de self-défense et 5% aux deux.
On interroge un adhérent au hasard.
On note J l'évènement : «l'adhérent interrogé pratique le judo» et S l'évènement: «l'adhérent interrogé est inscrit au cours de self-défense».
Pour tout évènement D, on note l'évènement contraire de D.
J
total
S
36%
total
100%
1. Recopier et compléter le tableau des fréquences en pourcentages ci-dessus.
2. Définir par une phrase les évènements suivants et calculer les probabilités de ces évènements :
a) ;
b) ;
c).
Partie B
Pour promouvoir leur association, ses dirigeants ont demandé qu'on leur réalise un logo.
Il est conçu à partir d'un cercle (C) contenu dans une ellipse (E).
Le nom de l'association s'inscrira dans la partie grisée (en bleue clair ici) limitée par le cercle et l'ellipse comme indiqué ci-dessous.
On a représenté en annexe (à joindre à la copie) l'ellipse (E) dans un repère orthonormé du plan d'origine O.
1. Les sommets A, A', B et B' ont des coordonnées entières.
Préciser les coordonnées de ces sommets.
2. Déterminer une équation de (E) et calculer les coordonnées de ses foyers F et F'.
3. Le cercle (C) a pour diamètre [FF']. Tracer ce cercle et vérifier que l'aire du disque de diamètre [FF'] est égale à .
4. Les dirigeants souhaitent que la partie du logo dans laquelle s'inscrira le nom de l'association occupe plus de la moitié de la surface délimitée par l'ellipse (E). Est-ce bien le cas ?
On admettra que l'aire de l'ellipse (E) est égale à .
10 points
exercice 2
La courbe (C) représentée ci-dessous est celle d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [-1 ; 1]. On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
Les points E, F et H sont des points de la courbe (C) à coordonnées entières.
Partie A
1. Par lecture graphique, préciser , et .
2. Déterminer une équation de la droite (EF).
Marine pense que la droite (EF) est tangente à la courbe (C) au point F. Si Marine a raison, conjecturer alors la valeur de .
3. Julien affirme que la tangente au point d'abscisse 0,4 est parallèle à l'axe des abscisses. Si Julien a raison, que peut-on en déduire pour ?
Partie B
La fonction représentée dans la partie A est la fonction définie sur l'intervalle [-1 ; 1] par :
.
1. Comparer les valeurs de et obtenues par le calcul avec celles obtenues par lecture graphique.
2. On admet que est dérivable sur l'intervalle [-1 ; 1].
a) Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle [-1 ; 1], .
b) En déduire la valeur exacte de et de .
3. La conjecture de Marine est-elle validée ? Et celle de Julien ?
a) Étudier le signe de .
b) En déduire le sens de variations de la fonction sur l'intervalle [-1 ; 1].
Partie C
1. Pour tout réel de l'intervalle [-1 ; 1], on pose .
Montrer que la fonction est une primitive de la fonction sur l'intervalle [-1 ; 1].
2. Calculer l'aire exacte, en unité d'aire, de la surface comprise entre l'axe des abscisses, la courbe (C), les droites d'équations et .
L'association «Arts martiaux et Self-défense» d'une municipalité propose à ses adhérents plusieurs activités dont le judo et la self-défense.
60% des adhérents sont inscrits au cours de judo, 36% au cours de self-défense et 5% aux deux.
On interroge un adhérent au hasard.
On note J l'évènement : «l'adhérent interrogé pratique le judo» et S l'évènement: «l'adhérent interrogé est inscrit au cours de self-défense».
Pour tout évènement , on note l'évènement contraire de .
1. Recopier et compléter le tableau des fréquences en pourcentages ci-dessus.
2. Définir par une phrase les évènements suivants et calculer les probabilités de ces évènements :
a)
Evénement "l'adhérent est inscrit au cours de self-défense et ne pratique pas le judo" :
b)
Evénement "l'adhérent n'est pas inscrit au cours de self-défense et pratique le judo" :
b)
Evénement "l'adhérent n'est pas inscrit au cours de self-défense et ne pratique pas le judo" :
Partie B
Partager :
Pour promouvoir leur association, ses dirigeants ont demandé qu'on leur réalise un logo.
Il est conçu à partir d'un cercle (C) contenu dans une ellipse (E).
Le nom de l'association s'inscrira dans la partie grisée (en bleue clair ici) limitée par le cercle et l'ellipse comme indiqué ci-dessous.
1. Les sommets A, A', B et B' ont des coordonnées entières.
Préciser les coordonnées de ces sommets.
Par lecture graphique, on trouve :
2. Déterminer une équation de (E) et calculer les coordonnées de ses foyers F et F'.
Equation de (E)
On a le demi-grand axe tel que On a le demi-petit axe tel que
L'équation d'une ellipse de demi-grand axe et de demi-petit axe s'écrit sous la forme :
Donc l'équation de l'ellipse (E) est :
Foyers F et F'
L'ellipse de demi-grand axe et de demi-petit axe a pour foyers les points F et F' de coordonnées et avec
3. Le cercle (C) a pour diamètre [FF']. Tracer ce cercle et vérifier que l'aire du disque de diamètre [FF'] est égale à .
Représentation graphique
Aire du disque
Le diamètre du disque étant le segment , l'aire du disque est donc :
4. Les dirigeants souhaitent que la partie du logo dans laquelle s'inscrira le nom de l'association occupe plus de la moitié de la surface délimitée par l'ellipse (E). Est-ce bien le cas ?
On admettra que l'aire de l'ellipse (E) est égale à .
Calcul de la moitié de la surface délimitée par l'ellipse (E)
Surface de la partie du logo réservée au nom de l'association
Conclusion
Nous avons bien , donc la partie du logo dans laquelle s'inscrira le nom de l'association occupe plus de la moitié de la surface délimitée par l'ellipse (E).
EXERCICE 2
La courbe (C) représentée ci-dessous est celle d'une fonction définie et dérivable sur l'intervalle [-1 ; 1]. On désigne par la fonction dérivée de la fonction .
Les points E, F et H sont des points de la courbe (C) à coordonnées entières.
Partie A
Partager :
1. Par lecture graphique, préciser , et .
On lit sur le graphique :
2. Déterminer une équation de la droite (EF).
Marine pense que la droite (EF) est tangente à la courbe (C) au point F. Si Marine a raison, conjecturer alors la valeur de .
Equation de la droite (EF)
L'équation d'une droite s'écrit sous la forme où et représente le coefficient directeur de la droite.
La droite (EF) passe par le point de coordonnées , ses coordonnées vérifient donc l'équation de la droite , on a donc :
L'équation de la droite (EF) peut donc s'écrire sous la forme
La droite (EF) passe par le point de coordonnées , ses coordonnées vérifient donc l'équation de la droite , on a donc :
On a : , l'équation de la droite (EF) est donc
3. Julien affirme que la tangente au point d'abscisse 0,4 est parallèle à l'axe des abscisses. Si Julien a raison, que peut-on en déduire pour ?
Si Julien a raison, alors la tangente au point d'abscisse est parallèle à l'axe des abscisses, cela veut donc dire que le coefficient directeur de cette droite tangente est nul, et donc que la dérivée en ce point d'abscisse est égale à 0, donc que .
Partie B
Partager :
La fonction représentée dans la partie A est la fonction définie sur l'intervalle [-1 ; 1] par :
1. Comparer les valeurs de et obtenues par le calcul avec celles obtenues par lecture graphique.
On a :
On a :
On trouve donc des valeurs identiques à celles trouvées lors de la lecture graphique.
2. On admet que est dérivable sur l'intervalle [-1 ; 1].
a) Démontrer que, pour tout réel de l'intervalle [-1 ; 1], .
est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables sur et est de la forme , donc
En posant En posant
On a donc :
b) En déduire la valeur exacte de et de .
3 La conjecture de Marine est-elle validée ? Et celle de Julien ?
Les conjectures de Marine et de Julien sont toutes les deux vérifiées.
La conjecture de Julien n'est pas validée, puisque l'on trouve , la tangente en ce point n'est donc pas parallèle à l'axe des abscisses.
On trouve , la conjecture de Marine est donc validée, la droite (EF) est bien tangente à la courbe (C) au point F.
a) Etudier le signe de
Résolution de
On a donc pour solutions :
Donc seule appartient au domaine de définition de la fonction , donc :
La solution est donc :
Signe de
b) En déduire le sens de variations de la fonction sur l'intervalle .
Sens de variation
On a vu ci-dessus que :
Or, pour tout
Donc pour tout
On a donc :
Tableau de variations (non demandé)
Partie C
Partager :
1. Pour tout réel de l'intervalle , on pose .
Montrer que la fonction est une primitive de la fonction sur l'intervalle .
Si la fonction est une primitive de , alors on a
est de la forme , soit
Donc
La fonction est bien une primitive de .
2. Calculez l'aire exacte, en unité d'aire, de la surface comprise entre l'axe des abscisses, la courbe (C),
les droites d'équations et .
L'aire demandée est donnée par l'intégrale suivante :
Représentation graphique (non demandé)
L'aire demandée est celle en vert sous la courbe dans la figure ci-dessous :
Publié par TP/
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Jedoniezh pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !