Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Techniques de la Musique et de la Danse
Métropole - Session Juin 2012

Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.
Durée : 2 heures

LE CANDIDAT TRAITERA TROIS EXERCICES :
    OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1
    OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 2
    AU CHOIX L'EXERCICE 3 OU L'EXERCICE 4
LE CANDIDAT INDIQUERA CLAIREMENT SON CHOIX SUR LA COPIE.

6 points

exercice 1

On note I l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2} ; 10\right]$ . On désigne par ln la fonction logarithme népérien.
On note e le nombre réel vérifiant $\ln (\text{e}) = 1$ .

Partie A

Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle I par $g(x) = \ln x - 1$ .

1. Résoudre, sur l'intervalle I, l'équation $g(x) = 0$ .

2. Résoudre, sur l'intervalle I, l'inéquation $g(x) \ge 0$ et en déduire le tableau de signe de $g(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle I.

Partie B

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle I par $f(x) = x(\ln x - 2)$ .

1. Calculer la valeur exacte de $f(\text{e})$ .

2. On désigne par $f^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle I.
Calculer $f^{\prime}(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle I, et vérifier que l'on a $f^{\prime}(x) = g(x)$ .

3. En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ , pour tout réel $x$ de l'intervalle I, puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$ .

4. On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentant la fonction $f$ dans un repère orthonormé $(O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ d'unités graphiques 1 cm.
a) Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs au dixième).

$x$	0,5	1	2	e	3,5	4	5	6	7	8	9	10
$f(x)$

b) Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère $(O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ .

7 points

exercice 2

Pour attirer la clientèle, un supermarché organise un jeu : pour tout passage en caisse, chaque client se voit remettre un ticket. Il gagne soit un paquet de bonbons soit un bon d'achat de 150 €, selon les modalités suivantes :
    1^ère étape : un grattage du ticket révèle soit une marque verte, soit une marque rouge.
    La marque est verte dans 35% des cas.
    2^ème étape : le ticket est passé dans une borne qui indique le gain du client.
        - Si le ticket porte une marque verte, le client remporte un paquet de bonbons dans 90% des cas et un bon d'achat de 150 € dans tous les autres cas.
        - Si le ticket porte une marque rouge, le client remporte un paquet de bonbons dans 98% des cas et un bon d'achat de 150 € dans tous les autres cas.
Tous les tickets ont été distribués.
À la sortie du magasin, on interroge un client au hasard. Chaque client a la même probabilité d'être choisi.
On note
$V$ l'évènement «le client a eu un ticket avec une marque verte»;
$R$ l’événement «le client a eu un ticket avec une marque rouge»;
$A$ l’événement «le client a gagné un bon d'achat de 150 €»;
$B$ l’événement «le client a gagné un paquet de bonbons».

1. D'après l'énoncé :
    a) Parmi les événements $V$ , $R$ , $A$ et $B$ , lequel a 0,35 pour probabilité ?
    b) Donner $p_R(B)$ , la probabilité que le client gagne des bonbons sachant que son ticket est rouge.

2. a) Calculer $p_V(A)$ , la probabilité de l’événement $A$ sachant que l’événement $V$ est réalisé.
    b) Reproduire et compléter l'arbre de probabilités modélisant la situation étudiée :

bac TMD Métropole Juin 2012 - terminale : image 1

3. Traduire l’événement noté $V \cap A$ par une phrase. Calculer sa probabilité.

4. Montrer que la probabilité $p(A)$ de l’événement $A$ est égale à 0,048.

5. On sait que le client a gagné un bon d'achat de 150 €. Quelle est la probabilité qu'il ait eu un ticket portant une marge rouge ?

7 points

exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

    On considère la gamme tempérée : l'octave est divisée en 12 demi-tons (DO, DO#, RÉ, RÉ#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI). Quand on monte d'un demi-ton, la fréquence de la note est multipliée par $q =2^{\frac{1}{12}}$ ; une quinte correspond à 7 demi-tons.
    À chaque octave est associé un indice $n$ entier, et les notes d'une octave portent l'indice de cette octave. Par exemple, la note LA₃ correspond à la note LA de l'octave d'indice 3, et la note LA₄ à la note LA de l'octave supérieure d'indice 4.
    log désigne la fonction logarithme décimal.
    Pour deux notes de fréquences respectives $f_{1}$ et $f_{2}$ exprimées en Hertz, avec $f_{2} > f_{1}$ ; , la différence de hauteur de ces notes exprimée en savarts est égale à $1000 \text{log}\left(\dfrac{f_{2}}{f_{1}}\right)$ .
    On rappelle que lorsque deux entiers $a$ et $b$ ont le même reste dans la division euclidienne par 12, on dit que $a$ est congru à $b$ modulo 12 et on note $a \equiv b \quad \text{modulo}\: 12$ .
Les fréquences demandées seront arrondies au dixième.
On considère le LA₃ de fréquence 440 Hz.

1. À partir du LA₃ on monte de 17 demi-tons.
    a) Quelle est la note obtenue ?
    b) Quelle est la fréquence de cette note ?
    c) De combien de savarts est-on monté? (on arrondira à l'unité).

2. À partir du LA₃, on monte de $n$ quintes, (où $n$ désigne un nombre entier) et on obtient la note DO. On cherche à déterminer la valeur de l'entier $n$ .
    a) Montrer que le problème revient à résoudre l'équation $7n \equiv 3\:\: (\text{modulo}\: 12)$ .
    b) Compléter le tableau suivant

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
$7n$ modulo 12						11

    c) En déduire la valeur de l'entier $n$ .

3. On joue une note dont la fréquence est 311,1 Hz.
On pose $q =2^{\frac{1}{12}}$ .
    a) Donner une valeur approchée, arrondie au millième, de $q^3$ , $q^6$ et $q^9$ .
    b) À partir du LA₃, de combien de demi-tons est-on descendu pour obtenir cette note ?
    c) Quelle est la note obtenue ?

7 points

exercice 3 - Enseignement renforcé (au choix)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ où l'unité graphique est de 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .

1. On considère le point M₁ d'affixe $z_{1} = 1 + \text{i}$ .
    a) Placer le point M₁ dans le repère $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ .
    b) Calculer le module du nombre complexe $z_{1}$ et déterminer un argument de $z_{1}$ .

2. On considère le nombre complexe $z_{2}$ de module 2 et d'argument $\dfrac{2\pi}{3}$ .
On désigne par M₂ le point d'affixe $z_{2}$ .
    a) Construire le point M₂ dans le repère $(O ; \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ . On laissera apparents les traits de construction.
    b) Écrire le nombre complexe $z_{2}$ sous la forme algébrique $a + \text{i}b$ , où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

3. a) Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe $z_{1} \times z_{2}$ .
    b) En utilisant le résultat de la question 1. b), démontrer que le nombre complexe $z_{1} \times z_{2}$ a pour module $2\sqrt{2}$ et pour argument $\dfrac{11\pi}{12}$ .
    c) Déduire des questions precédentes les valeurs exactes de $\cos \left(\dfrac{11\pi}{12} \right)$ et $\sin \left(\dfrac{11\pi}{12} \right)$ .

Correction

exercice 1

Partie A

1. Sur I, $g(x)=0$ pour $\ln x=1$ soit $x=\text{e}$
Remarque : $\text{e} \in I$ donc la solution de l'équation proposée est $\text{e}.$

2. Sur I, $g(x) \ge 0$ pour $\ln x \ge 1$ soit pour $x \ge \text{e}$ .
Conclusion : Sur I, l'intervalle solution de l'inéquation est $[\text{e} ; 10]$ .
Sur $\left[\dfrac{1}{2} ; \text{e} \right]$ , $g(x) \le 0$ ; de même, sur $[\text{e}~;~10]$ , $g(x) \ge 0$ et on en déduit :

$\begin{tabvar}{|c|ccccccccc|} \hline x & \frac{1}{2}&&&& \text{e} &&&&10 \\ \hline \text{signe de }g(x)& &-&&&0&&&+&\\ \hline \end{tabvar}$

Partie B

Soit, pour $x\in I \qquad f(x)=x(\ln x - 2)$

1. $f(\text{e})=\text{e}(\ln \text{e} - 2)=\text{e}(1-2)=-\text{e}$

2. Pour tout $x\in I$ , $f$ est dérivable comme produit de fonctions dérivables sur $I$ et :
$f'(x)=1(\ln x -2)+x.\dfrac{1}{x}=\ln x - 1 = g(x)$

3. D'après la partie A, on peut donc affirmer que :
Sur $\left[\dfrac{1}{2};\text{e} \right]~,~f'(x) \le 0$ et $f$ est décroissante.
et sur $[\text{e}~ ; 10]~,~f'(x) \ge 0$ et $f$ est croissante,
d'où le tableau de variations de $f$ :

$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}\hline x& \frac{1}{2} & &\text{e} & &10 \\\hline f'(x) & &-&0&+ &\\\hline\niveau{2}{3} f& {f(\frac{1}{2})} & \decroit& {\text{-e}}& \croit &f(10)\\\hline\end{tabvar}$

4. a) Tableau de valeurs :

$x$	0,5	1	2	e	3,5	4	5	6	7	8	9	10
$f(x)$	-1,3	-2,0	-2,6	-2,7	-2,6	-2,5	-2,0	-1,2	-0,4	0,6	1,8	3,0

4. b)

bac TMD Métropole Juin 2012 - terminale : image 2

exercice 2

1. a) D'après l'énoncé, $p(V)=0,35$

1. b) $p_R(B)=0,98$

2. a) $p_V(A)=1-p_V(B)=1-0,90=0,10$

2. b ce qui donne pour l'arbre pondéré :

bac TMD Métropole Juin 2012 - terminale : image 3

3. L'événement $V\cap A$ est : "Le client a eu un ticket vert et a gagné un bon d'achat de 150 € ".
$p(V\cap A)=p(V)\times p_V(A)=0,35\times 0,1=0,035$

4. $V$ et $R$ formant une partition de l'univers, on a : $A=(A\cap V)\cup (A\cap R)$ donc :
$p(A)=p(A\cap V) + p(A\cap R)\\ p(A)=p(V)\times p_V(A)+p(R) \times p_R(A)\\ p(A)=0,35\times 0,1 + 0,65\times 0,02 = 0,048$

5. La probabilité demandée est : $p_A(R)=\dfrac{p(A\cap R)}{p(A)}=\dfrac{0,013}{0,048}\approx 0,27$

exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

1. a) À partir du LA₃, on monte de 17 demi-tons.
17 demi-tons = 1 octave + 5 demi-tons
On obtient le LA₄ augmenté d'une quarte soit le RÉ₅

1. b) La fréquence du FA₄ est : $440\times\left(2^{\frac{1}{12}\right)^{17}=440\times 2^{\frac{17}{12}}\approx 1174,7~ \text{Hz}$

1. c) On est monté de : $1000\text{log}\left(\dfrac{1174,7}{440}\right)\approx 426 \text{ savarts.}$

2. a) À partir du LA₃, on monte de n quintes et on obtient un DO.
Augmenter d'une quinte, c'est multiplier la fréquence par $q^7$ .
Augmenter de n quintes, c'est multiplier la fréquence par $q^{_7n}$ .
L'intervalle LA-DO correspond à 3 demi-tons, c'est donc multiplier la fréquence par $q^3$ .
Augmenter de x octaves justes (avec x entier), c'est multiplier la fréquence par $q^{12x}$ .
On désire donc : $q^{7n}=q^3 \times q^{12x}$ soit $7n=3+12x$ ou encore $7n \equiv 3 (mod~ 12)$ .

2. b) Le tableau complété :

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
$7n\text{(mod 12)}$	0	7	2	9	4	11	6	1	8	3	10	5

2.c) L'entier $n$ cherché a donc pour valeur 9.

3. On joue une note dont la fréquence est 311,1 Hz.
3. a) $q^3\approx 1,189 \qquad q^6\approx 1,414 \qquad q^9\approx 1,682$

3. b) Le LA₃ a pour fréquence 440 Hz. Le rapport de la fréquence la plus élevée à la fréquence la plus basse est : $\dfrac{440}{311,1}\approx1,414$ .
On a donc descendu de 6 demi-tons.
3. c) La note obtenue est alors le $\text{RÉ}\sharp~__3$

exercice 3 - Enseignement renforcé (au choix)

1. a) Le point $M_1$ a pour coordonnées (1 ; 1).

bac TMD Métropole Juin 2012 - terminale : image 4

1. b) Le module de $z_1$ vaut : $|z_1|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$
Alors : $z_1=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$
Un argument de $z_1$ a donc pour cosinus et pour sinus la valeur $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $arg(z_1)=\dfrac{\pi}{4}~(2\pi)$ .

2. a) Construction du point $M_2$ d'affixe $z_2$ :
$|z_2|=2$ donc le point $M_2$ appartient au cercle de centre O et de rayon 2.
$arg(z_2)=\dfrac{2\pi}{3}$ donc une mesure de l'angle $(\vec{u},\overrightarrow{OM_2})$ vaut $\dfrac{2\pi}{3}$ ou encore $\pi -\dfrac{\pi}{3}$ d'où la construction au compas (cf figure).

2. b) $z_2=2\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=2\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3}$

3. a) $z_1\times z_2=(1+i)(-1+i\sqrt{3})=(-1-\sqrt{3})+i(\sqrt{3}-1)$

3. b) $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|=\sqrt{2}\times2 = 2\sqrt{2}$
et $arg(z_1\times z_2)=arg(z_1)+arg( z_2)= \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{11\pi}{12}~(2\pi)$

3. c) On en déduit :
$\cos\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$ et $\sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Publié par TP/malou le 20-02-2014

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