Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Technologique
Série Techniques de la Musique et de la Danse
Métropole - Session Juin 2012

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Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.
Durée : 2 heures

LE CANDIDAT TRAITERA TROIS EXERCICES :
    OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1
    OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 2
    AU CHOIX L'EXERCICE 3 OU L'EXERCICE 4
LE CANDIDAT INDIQUERA CLAIREMENT SON CHOIX SUR LA COPIE.


6 points

exercice 1

On note I l'intervalle \left[\dfrac{1}{2} ; 10\right]. On désigne par ln la fonction logarithme népérien.
On note e le nombre réel vérifiant \ln (\text{e}) = 1.

Partie A

Soit g la fonction définie sur l'intervalle I par
g(x) = \ln x - 1.


1. Résoudre, sur l'intervalle I, l'équation g(x) = 0.

2. Résoudre, sur l'intervalle I, l'inéquation g(x) \ge  0 et en déduire le tableau de signe de g(x) pour tout réel x de l'intervalle I.

Partie B

Soit f la fonction définie sur l'intervalle I par
f(x) = x(\ln x - 2).


1. Calculer la valeur exacte de f(\text{e}).

2. On désigne par f^{\prime} la fonction dérivée de la fonction f sur l'intervalle I.
Calculer f^{\prime}(x) pour tout réel x de l'intervalle I, et vérifier que l'on a f^{\prime}(x) = g(x).

3. En déduire le signe de f^{\prime}(x), pour tout réel x de l'intervalle I, puis dresser le tableau de variation de la fonction f.

4. On désigne par \mathcal{C} la courbe représentant la fonction f dans un repère orthonormé (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) d'unités graphiques 1 cm.
    a) Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs au dixième).
x0,512e3,545678910
f(x)            

    b) Tracer la courbe \mathcal{C} dans le repère (O ; \overrightarrow{i},\overrightarrow{j}).


7 points

exercice 2

Pour attirer la clientèle, un supermarché organise un jeu : pour tout passage en caisse, chaque client se voit remettre un ticket. Il gagne soit un paquet de bonbons soit un bon d'achat de 150 €, selon les modalités suivantes :
    1ère étape : un grattage du ticket révèle soit une marque verte, soit une marque rouge.
    La marque est verte dans 35% des cas.
    2ème étape : le ticket est passé dans une borne qui indique le gain du client.
        - Si le ticket porte une marque verte, le client remporte un paquet de bonbons dans 90% des cas et un bon d'achat de 150 € dans tous les autres cas.
        - Si le ticket porte une marque rouge, le client remporte un paquet de bonbons dans 98% des cas et un bon d'achat de 150 € dans tous les autres cas.
Tous les tickets ont été distribués.
À la sortie du magasin, on interroge un client au hasard. Chaque client a la même probabilité d'être choisi.
On note
V l'évènement «le client a eu un ticket avec une marque verte»;
R l’événement «le client a eu un ticket avec une marque rouge»;
A l’événement «le client a gagné un bon d'achat de 150 €»;
B l’événement «le client a gagné un paquet de bonbons».

1. D'après l'énoncé :
    a) Parmi les événements V, R, A et B, lequel a 0,35 pour probabilité ?
    b) Donner p_R(B), la probabilité que le client gagne des bonbons sachant que son ticket est rouge.

2. a) Calculer p_V(A), la probabilité de l’événement A sachant que l’événement V est réalisé.
    b) Reproduire et compléter l'arbre de probabilités modélisant la situation étudiée :
bac TMD Métropole Juin 2012 - terminale : image 1


3. Traduire l’événement noté V \cap A par une phrase. Calculer sa probabilité.

4. Montrer que la probabilité p(A) de l’événement A est égale à 0,048.

5. On sait que le client a gagné un bon d'achat de 150 €. Quelle est la probabilité qu'il ait eu un ticket portant une marge rouge ?


7 points

exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)


    On considère la gamme tempérée : l'octave est divisée en 12 demi-tons (DO, DO#, RÉ, RÉ#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI). Quand on monte d'un demi-ton, la fréquence de la note est multipliée par q =2^{\frac{1}{12}} ; une quinte correspond à 7 demi-tons.
    À chaque octave est associé un indice n entier, et les notes d'une octave portent l'indice de cette octave. Par exemple, la note LA3 correspond à la note LA de l'octave d'indice 3, et la note LA4 à la note LA de l'octave supérieure d'indice 4.
    log désigne la fonction logarithme décimal.
    Pour deux notes de fréquences respectives f_{1} et f_{2} exprimées en Hertz, avec f_{2} > f_{1} ; , la différence de hauteur de ces notes exprimée en savarts est égale à 1000 \text{log}\left(\dfrac{f_{2}}{f_{1}}\right).
    On rappelle que lorsque deux entiers a et b ont le même reste dans la division euclidienne par 12, on dit que a est congru à b modulo 12 et on note a \equiv b \quad \text{modulo}\: 12.
Les fréquences demandées seront arrondies au dixième.
On considère le LA3 de fréquence 440 Hz.

1. À partir du LA3 on monte de 17 demi-tons.
    a) Quelle est la note obtenue ?
    b) Quelle est la fréquence de cette note ?
    c) De combien de savarts est-on monté? (on arrondira à l'unité).

2. À partir du LA3, on monte de n quintes, (où n désigne un nombre entier) et on obtient la note DO. On cherche à déterminer la valeur de l'entier n.
    a) Montrer que le problème revient à résoudre l'équation 7n \equiv 3\:\: (\text{modulo}\: 12).
    b) Compléter le tableau suivant
n01234567891011
7n modulo 12     11      

    c) En déduire la valeur de l'entier n.

3. On joue une note dont la fréquence est 311,1 Hz.
On pose q =2^{\frac{1}{12}}.
    a) Donner une valeur approchée, arrondie au millième, de q^3, q^6 et q^9.
    b) À partir du LA3, de combien de demi-tons est-on descendu pour obtenir cette note ?
    c) Quelle est la note obtenue ?


7 points

exercice 3 - Enseignement renforcé (au choix)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) où l'unité graphique est de 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument \dfrac{\pi}{2}.

1. On considère le point M1 d'affixe z_{1} = 1 + \text{i}.
    a) Placer le point M1 dans le repère (O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}).
    b) Calculer le module du nombre complexe z_{1} et déterminer un argument de z_{1}.

2. On considère le nombre complexe z_{2} de module 2 et d'argument \dfrac{2\pi}{3}.
On désigne par M2 le point d'affixe z_{2}.
    a) Construire le point M2 dans le repère (O ; \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}). On laissera apparents les traits de construction.
    b) Écrire le nombre complexe z_{2} sous la forme algébrique a + \text{i}b, où a et b sont des nombres réels.

3. a) Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe z_{1} \times z_{2}.
    b) En utilisant le résultat de la question 1. b), démontrer que le nombre complexe z_{1} \times z_{2} a pour module 2\sqrt{2} et pour argument \dfrac{11\pi}{12}.
    c) Déduire des questions precédentes les valeurs exactes de \cos \left(\dfrac{11\pi}{12} \right) et \sin \left(\dfrac{11\pi}{12} \right).



exercice 1

Partie A

1. Sur I, g(x)=0 pour \ln x=1 soit x=\text{e}
Remarque : \text{e} \in I donc la solution de l'équation proposée est \text{e}.

2. Sur I, g(x) \ge 0 pour \ln x \ge 1 soit pour x \ge \text{e}.
Conclusion : Sur I, l'intervalle solution de l'inéquation est [\text{e} ; 10].
Sur \left[\dfrac{1}{2} ; \text{e} \right], g(x) \le 0 ; de même, sur [\text{e}~;~10] , g(x) \ge 0 et on en déduit :

\begin{tabvar}{|c|ccccccccc|} \hline x & \frac{1}{2}&&&& \text{e} &&&&10 \\ \hline \text{signe de }g(x)& &-&&&0&&&+&\\ \hline \end{tabvar}


Partie B

Soit, pour x\in I \qquad f(x)=x(\ln x - 2)

1. f(\text{e})=\text{e}(\ln \text{e} - 2)=\text{e}(1-2)=-\text{e}

2. Pour tout x\in I , f est dérivable comme produit de fonctions dérivables sur I et :
f'(x)=1(\ln x -2)+x.\dfrac{1}{x}=\ln x - 1 = g(x)


3. D'après la partie A, on peut donc affirmer que :
Sur \left[\dfrac{1}{2};\text{e} \right]~,~f'(x) \le 0     et     f est décroissante.
et sur [\text{e}~ ; 10]~,~f'(x) \ge 0     et     f est croissante,

d'où le tableau de variations de f :

\begin{tabvar}{|C|CCCCC|}\hline x& \frac{1}{2} & &\text{e} & &10 \\\hline f'(x) & &-&0&+ &\\\hline\niveau{2}{3} f& {f(\frac{1}{2})} & \decroit& {\text{-e}}& \croit &f(10)\\\hline\end{tabvar}


4. a) Tableau de valeurs :

x0,512e3,545678910
f(x)-1,3-2,0-2,6-2,7-2,6-2,5-2,0-1,2-0,40,61,83,0


4. b)
bac TMD Métropole Juin 2012 - terminale : image 2





exercice 2

1. a) D'après l'énoncé, p(V)=0,35

1. b) p_R(B)=0,98

2. a) p_V(A)=1-p_V(B)=1-0,90=0,10

2. b ce qui donne pour l'arbre pondéré :
bac TMD Métropole Juin 2012 - terminale : image 3


3. L'événement V\cap A est : "Le client a eu un ticket vert et a gagné un bon d'achat de 150 € ".
p(V\cap A)=p(V)\times p_V(A)=0,35\times 0,1=0,035

4. V et R formant une partition de l'univers, on a : A=(A\cap V)\cup (A\cap R) donc :
p(A)=p(A\cap V) + p(A\cap R)\\ p(A)=p(V)\times p_V(A)+p(R) \times p_R(A)\\ p(A)=0,35\times 0,1 + 0,65\times 0,02 = 0,048

5. La probabilité demandée est : p_A(R)=\dfrac{p(A\cap R)}{p(A)}=\dfrac{0,013}{0,048}\approx 0,27




exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)

1. a) À partir du LA3, on monte de 17 demi-tons.
17 demi-tons = 1 octave + 5 demi-tons
On obtient le LA4 augmenté d'une quarte soit le RÉ5

1. b) La fréquence du FA4 est : 440\times\left(2^{\frac{1}{12}\right)^{17}=440\times 2^{\frac{17}{12}}\approx 1174,7~ \text{Hz}

1. c) On est monté de : 1000\text{log}\left(\dfrac{1174,7}{440}\right)\approx 426 \text{ savarts.}

2. a) À partir du LA3, on monte de n quintes et on obtient un DO.
Augmenter d'une quinte, c'est multiplier la fréquence par q^7.
Augmenter de n quintes, c'est multiplier la fréquence par q^{_7n}.
L'intervalle LA-DO correspond à 3 demi-tons, c'est donc multiplier la fréquence par q^3.
Augmenter de x octaves justes (avec x entier), c'est multiplier la fréquence par q^{12x}.
On désire donc : q^{7n}=q^3 \times q^{12x} soit 7n=3+12x ou encore 7n \equiv 3 (mod~ 12).

2. b) Le tableau complété :
n01234567891011
7n\text{(mod 12)}07294116183105

2.c) L'entier n cherché a donc pour valeur 9.

3. On joue une note dont la fréquence est 311,1 Hz.
3. a) q^3\approx 1,189 \qquad q^6\approx 1,414 \qquad q^9\approx 1,682

3. b) Le LA3 a pour fréquence 440 Hz. Le rapport de la fréquence la plus élevée à la fréquence la plus basse est : \dfrac{440}{311,1}\approx1,414 .
On a donc descendu de 6 demi-tons.
3. c) La note obtenue est alors le \text{RÉ}\sharp~__3




exercice 3 - Enseignement renforcé (au choix)

1. a) Le point M_1 a pour coordonnées (1 ; 1).
bac TMD Métropole Juin 2012 - terminale : image 4


1. b) Le module de z_1 vaut : |z_1|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}
Alors : z_1=\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)
Un argument de z_1 a donc pour cosinus et pour sinus la valeur \dfrac{\sqrt{2}}{2} et arg(z_1)=\dfrac{\pi}{4}~(2\pi).

2. a) Construction du point M_2 d'affixe z_2 :
|z_2|=2 donc le point M_2 appartient au cercle de centre O et de rayon 2.
arg(z_2)=\dfrac{2\pi}{3} donc une mesure de l'angle  (\vec{u},\overrightarrow{OM_2}) vaut \dfrac{2\pi}{3} ou encore \pi -\dfrac{\pi}{3} d'où la construction au compas (cf figure).

2. b) z_2=2\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+i\,\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=2\left(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-1+i\sqrt{3}

3. a) z_1\times z_2=(1+i)(-1+i\sqrt{3})=(-1-\sqrt{3})+i(\sqrt{3}-1)

3. b) |z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|=\sqrt{2}\times2 = 2\sqrt{2}
et arg(z_1\times z_2)=arg(z_1)+arg( z_2)= \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{11\pi}{12}~(2\pi)

3. c) On en déduit :
\cos\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}     et     \sin\left(\dfrac{11\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
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