Baccalauréat Technologique
Série Techniques de la Musique et de la Danse
Métropole - Session Juin 2012
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Une feuille de papier millimétré sera mise à la disposition des candidats.
Durée : 2 heures
LE CANDIDAT TRAITERA TROIS EXERCICES :
OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 1
OBLIGATOIREMENT L'EXERCICE 2
AU CHOIX L'EXERCICE 3 OU L'EXERCICE 4
LE CANDIDAT INDIQUERA CLAIREMENT SON CHOIX SUR LA COPIE.
6 points
exercice 1
On note I l'intervalle . On désigne par ln la fonction logarithme népérien.
On note e le nombre réel vérifiant .
Partie A
Soit la fonction définie sur l'intervalle I par
.
1. Résoudre, sur l'intervalle I, l'équation .
2. Résoudre, sur l'intervalle I, l'inéquation et en déduire le tableau de signe de pour tout réel de l'intervalle I.
Partie B
Soit la fonction définie sur l'intervalle I par
.
1. Calculer la valeur exacte de .
2. On désigne par la fonction dérivée de la fonction sur l'intervalle I.
Calculer pour tout réel de l'intervalle I, et vérifier que l'on a .
3. En déduire le signe de , pour tout réel de l'intervalle I, puis dresser le tableau de variation de la fonction .
4. On désigne par la courbe représentant la fonction dans un repère orthonormé d'unités graphiques 1 cm.
a) Recopier et compléter le tableau suivant (on arrondira les valeurs au dixième).
0,5
1
2
e
3,5
4
5
6
7
8
9
10
b) Tracer la courbe dans le repère .
7 points
exercice 2
Pour attirer la clientèle, un supermarché organise un jeu : pour tout passage en caisse, chaque client se voit remettre un ticket. Il gagne soit un paquet de bonbons soit un bon d'achat de 150 €, selon les modalités suivantes :
1ère étape : un grattage du ticket révèle soit une marque verte, soit une marque rouge.
La marque est verte dans 35% des cas.
2ème étape : le ticket est passé dans une borne qui indique le gain du client.
- Si le ticket porte une marque verte, le client remporte un paquet de bonbons dans 90% des cas et un bon d'achat de 150 € dans tous les autres cas.
- Si le ticket porte une marque rouge, le client remporte un paquet de bonbons dans 98% des cas et un bon d'achat de 150 € dans tous les autres cas.
Tous les tickets ont été distribués.
À la sortie du magasin, on interroge un client au hasard. Chaque client a la même probabilité d'être choisi.
On note
l'évènement «le client a eu un ticket avec une marque verte»;
l’événement «le client a eu un ticket avec une marque rouge»;
l’événement «le client a gagné un bon d'achat de 150 €»;
l’événement «le client a gagné un paquet de bonbons».
1. D'après l'énoncé :
a) Parmi les événements , , et , lequel a 0,35 pour probabilité ?
b) Donner , la probabilité que le client gagne des bonbons sachant que son ticket est rouge.
2. a) Calculer , la probabilité de l’événement sachant que l’événement est réalisé.
b) Reproduire et compléter l'arbre de probabilités modélisant la situation étudiée :
3. Traduire l’événement noté par une phrase. Calculer sa probabilité.
4. Montrer que la probabilité de l’événement est égale à 0,048.
5. On sait que le client a gagné un bon d'achat de 150 €. Quelle est la probabilité qu'il ait eu un ticket portant une marge rouge ?
7 points
exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)
On considère la gamme tempérée : l'octave est divisée en 12 demi-tons (DO, DO#, RÉ, RÉ#, MI, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, SI). Quand on monte d'un demi-ton, la fréquence de la note est multipliée par ; une quinte correspond à 7 demi-tons.
À chaque octave est associé un indice entier, et les notes d'une octave portent l'indice de cette octave. Par exemple, la note LA3 correspond à la note LA de l'octave d'indice 3, et la note LA4 à la note LA de l'octave supérieure d'indice 4.
log désigne la fonction logarithme décimal.
Pour deux notes de fréquences respectives et exprimées en Hertz, avec ; , la différence de hauteur de ces notes exprimée en savarts est égale à .
On rappelle que lorsque deux entiers et ont le même reste dans la division euclidienne par 12, on dit que est congru à modulo 12 et on note .
Les fréquences demandées seront arrondies au dixième.
On considère le LA3 de fréquence 440 Hz.
1. À partir du LA3 on monte de 17 demi-tons.
a) Quelle est la note obtenue ?
b) Quelle est la fréquence de cette note ?
c) De combien de savarts est-on monté? (on arrondira à l'unité).
2. À partir du LA3, on monte de quintes, (où désigne un nombre entier) et on obtient la note DO. On cherche à déterminer la valeur de l'entier .
a) Montrer que le problème revient à résoudre l'équation .
b) Compléter le tableau suivant
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
modulo 12
11
c) En déduire la valeur de l'entier .
3. On joue une note dont la fréquence est 311,1 Hz.
On pose .
a) Donner une valeur approchée, arrondie au millième, de , et .
b) À partir du LA3, de combien de demi-tons est-on descendu pour obtenir cette note ?
c) Quelle est la note obtenue ?
7 points
exercice 3 - Enseignement renforcé (au choix)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal où l'unité graphique est de 2 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument .
1. On considère le point M1 d'affixe .
a) Placer le point M1 dans le repère .
b) Calculer le module du nombre complexe et déterminer un argument de .
2. On considère le nombre complexe de module 2 et d'argument .
On désigne par M2 le point d'affixe .
a) Construire le point M2 dans le repère . On laissera apparents les traits de construction.
b) Écrire le nombre complexe sous la forme algébrique , où et sont des nombres réels.
3. a) Calculer, sous forme algébrique, le nombre complexe .
b) En utilisant le résultat de la question 1. b), démontrer que le nombre complexe a pour module et pour argument .
c) Déduire des questions precédentes les valeurs exactes de et .
1. Sur I, pour soit Remarque : donc la solution de l'équation proposée est
2. Sur I, pour soit pour .
Conclusion : Sur I, l'intervalle solution de l'inéquation est .
Sur , ; de même, sur , et on en déduit :
Partie B
Soit, pour
1.
2. Pour tout , est dérivable comme produit de fonctions dérivables sur et :
3. D'après la partie A, on peut donc affirmer que :
Sur et est décroissante.
et sur et est croissante,
d'où le tableau de variations de :
4. a) Tableau de valeurs :
0,5
1
2
e
3,5
4
5
6
7
8
9
10
-1,3
-2,0
-2,6
-2,7
-2,6
-2,5
-2,0
-1,2
-0,4
0,6
1,8
3,0
4. b)
exercice 2
1. a) D'après l'énoncé,
1. b)
2. a)
2. b ce qui donne pour l'arbre pondéré :
3. L'événement est : "Le client a eu un ticket vert et a gagné un bon d'achat de 150 € ".
4. et formant une partition de l'univers, on a : donc :
5. La probabilité demandée est :
exercice 3 - Enseignement obligatoire (au choix)
1. a) À partir du LA3, on monte de 17 demi-tons.
17 demi-tons = 1 octave + 5 demi-tons
On obtient le LA4 augmenté d'une quarte soit le RÉ5
1. b) La fréquence du FA4 est :
1. c) On est monté de :
2. a) À partir du LA3, on monte de n quintes et on obtient un DO.
Augmenter d'une quinte, c'est multiplier la fréquence par .
Augmenter de n quintes, c'est multiplier la fréquence par .
L'intervalle LA-DO correspond à 3 demi-tons, c'est donc multiplier la fréquence par .
Augmenter de x octaves justes (avec x entier), c'est multiplier la fréquence par .
On désire donc : soit ou encore .
2. b) Le tableau complété :
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
7
2
9
4
11
6
1
8
3
10
5
2.c) L'entier cherché a donc pour valeur 9.
3. On joue une note dont la fréquence est 311,1 Hz.
3. a)
3. b) Le LA3 a pour fréquence 440 Hz. Le rapport de la fréquence la plus élevée à la fréquence la plus basse est : .
On a donc descendu de 6 demi-tons.
3. c) La note obtenue est alors le
exercice 3 - Enseignement renforcé (au choix)
1. a) Le point a pour coordonnées (1 ; 1).
1. b) Le module de vaut : Alors : Un argument de a donc pour cosinus et pour sinus la valeur et .
2. a) Construction du point d'affixe :
donc le point appartient au cercle de centre O et de rayon 2.
donc une mesure de l'angle vaut ou encore d'où la construction au compas (cf figure).
2. b)
3. a)
3. b) et
3. c) On en déduit :
et
Publié par TP/malou
le
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