Fiche de mathématiques
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Bac S Mathématiques

Amérique du Nord 2017

Obligatoire et Spécialité

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BAC S 2017 Amérique du nord

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exercice 1


Partie A

1
En utilisant la calculette on trouve que la probabilité vaut 0,189.
Quelques remarques sur le calcul : en désignant par F la fonction de répartition de la loi normale de paramètres 2900 et 1250, on calcule 1-F(4000). Si on passe par la loi normale centrée réduite, en notant produit sa fontion de répartition, la probabilité cherchée est 1-produit((4000-2900)/1250).

2
En utilisant la fonction inverse de la fonction de répartition de la loi normale on trouve que la borne demandée est égale à 1298.
En passant par la loi normale centrée réduite, on trouve produit(1,28)environegal0,90. On en déduit que produit(-1,28)environegal0,10.
Ensuite on calcule 2900-1.28multiplie1250 et on trouve 1300.

Les deux réponses peuvent être considérées comme exactes, mais la première est plus précise.

Partie B

Pour les questions 1, 2 et 3 on suppose que l'affirmation du fabricant du logiciel est vraie : la probabilité pour qu'un spam soit déplacé dans le dossier ad hoc est égale à 95%.
1
Par définition
\text{P}_S(D)=\dfrac{\text{P}(S\cap D)}{\text{P}(S)}
Or on sait que \text{P}_S(D)=0,\!95 et que \text{P}(S)=0,\!60.
On a donc
\dfrac{\text{P}(S\cap D)}{0,\!6}=0,\!95
On en déduit
\color{blue}\text{P}(S\cap D)} =0,\!6\times 0,\!95=0,\!57
2
On demande ici une probabilité conditionnelle : la probabilité pour qu'un message soit un spam sachant qu'il n'est pas déplacé.
D'après l'énoncé \text{P}(D)=0,\!586 et nous avons montré que \text{P}(S\cap D)} =0,\!57.
On en déduit facilement que \text{P}(D\cap \overline{S})} =0,\!586-0,\!57=0,\!016.
On a aussi \text{P}(\overline{S})=1-\text{P}(S)=1-0,\!60=0,\!4

\text{P}_{\overline{S}}(D)=\dfrac{\text{P}(D\cap \overline{S})}{\text{P}(\overline{S})}=\dfrac{0,\!016}{0,\!4}=\color{blue}0,\!04
3
On veut calculer \text{P}_{\overline{D}}(S)=\dfrac{\text{P}(S\cap\overline{D})}{\text{P}(\overline{D})}

On sait que \text{P}(S)=0,\!6 et que, d'après la question 1 \text{P}(S\cap D)=0,\!57.

On en déduit \text{P}(S\cap \overline{D})=0,\!6-0,\!57=0,\!03

On a aussi \text{P}(\overline{D})=1-\text{P}(D)=1-0,\!586=0,\!414

\text{P}_{\overline{D}}(S)=\frac{0,03}{0,414}\simeq \color{blue}0,\!072

Une méthode plus simple pour les questions 2 et 3
On fait un tableau de contingence.

\begin{array}{c|c|c|c} &D&\overline{D}&\text{total}\\ \hline \vphantom{\dfrac11}S&0.95\times0.6&\phantom{0.95\times0.6}&0.6\\\hline \vphantom{\dfrac11}\overline{S}&&&\\ \hline\text{total}&0.586&&1\end{array}
Le tableau ci-dessus rassemle les données de l'énoncé.
On le complète avec des soustraction.

\begin{array}{c|c|c|c} &D&\overline{D}&\text{total}\\ \hline \vphantom{\dfrac11}S&0.57&0.03&0.6\\\hline \vphantom{\dfrac11}\overline{S}&0.016&0.384&0.4\\ \hline\text{total}&0.586&0.414&1\end{array}
La réponse de la question 2 est alors 0,016/0.4 et celle de la question 3 est 0,03/0,414. 4. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I231  au seuil de 95 % de la proportion de messages déplacés fiables.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=231\ge30 \\ p=0,027\Longrightarrow np=231\times0,027=6,237>5 \\n(1-p)= 231\times(1-0,027)= 231\times0,973=224,763>5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I231  au seuil de 95% est :

 I_{231}=\left[0,027-1,96\sqrt{\dfrac{0,027 (1-0,027)}{ 231}};0,027+1,96\sqrt{\dfrac{0,027 (1-0,027)}{ 231}}\right]\\\\\Longrightarrow I_{231}\approx[0,006;0,048]

La fréquence observée est f=\dfrac{13}{231}\approx0,056

Nous remarquons que f\notin I_{231}.

Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, l'affirmation du fabricant doit être remise en cause.



exercice 2 - Commun à tous les candidats

Partie A

1. Pour tout réel x appartenant à l'intervalle [-2 ;2],  f(x) = -\dfrac{b}{8} (e^{\frac{x}{b}} +e^{-\frac{x}{b}}) +\dfrac{9}{4}

f(-x)=-\dfrac{b}{8} (e^{\frac{-x}{b}} +e^{-\frac{-x}{b}}) +\dfrac{9}{4}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ =-\dfrac{b}{8} (e^{\frac{-x}{b}} +e^{\frac{x}{b}}) +\dfrac{9}{4}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ =f(x)\\\\\Longrightarrow\boxed{\forall x\in[-2;2]:f(-x)=f(x)}

Par conséquent, la courbe représentative de la fonction f  est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

2. Calcul de f'(x).

f '(x)=-\dfrac{b}{8}\left[(\dfrac{x}{b})'e^{\frac{x}{b}} +(-\dfrac{x}{b})'e^{-\frac{x}{b}}\right] +\left(\dfrac{9}{4}\right)'\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =-\dfrac{b}{8}\left(\dfrac{1}{b}e^{\frac{x}{b}} -\dfrac{1}{b}e^{-\frac{x}{b}}\right) +0\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =-\dfrac{b}{8}\times\dfrac{1}{b}\left(e^{\frac{x}{b}} -e^{-\frac{x}{b}}\right)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =-\dfrac{1}{8}\left(e^{\frac{x}{b}} -e^{-\frac{x}{b}}\right)\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-\dfrac{1}{8}\left(e^{\frac{x}{b}} -e^{-\frac{x}{b}}\right)}

3. Variations de la fonction f.

f'(x)=0\Longleftrightarrow-\dfrac{1}{8}\left(e^{\frac{x}{b}} -e^{-\frac{x}{b}}\right)=0\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow e^{\frac{x}{b}}-e^{-\frac{x}{b}}=0\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow e^{\frac{x}{b}}=e^{-\frac{x}{b}}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\dfrac{x}{b}=-\dfrac{x}{b}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow x=-x\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow2x=0\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow x=0

Etudions d'abord les variations de f sur l'intervalle [0;2].

\left\lbrace\begin{array}l x\in[0;2]\\b>0 \end{array}\\\\\Longrightarrow\dfrac{x}{b}\ge-\dfrac{x}{b}\\\\\Longrightarrow e^{\frac{x}{b}} \ge e^{-\frac{x}{b}}\\\\\Longrightarrow e^{\frac{x}{b}}-e^{-\frac{x}{b}}\ge0\\\\\Longrightarrow-\dfrac{1}{8}\left(e^{\frac{x}{b}} -e^{-\frac{x}{b}}\right)\le0\\\\\Longrightarrow f'(x)\le0

D'où la fonction f est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2].

Puisque la courbe représentative de la fonction f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, la fonction f est croissante sur l'intervalle [-2 ; 0].

Par conséquent, nous obtenons le tableau de variations de f :

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&-2&&0&&2 \\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&f(0)&& \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\ &f(-2)&&&&f(2) \\ \hline \end{array}\\\\\text{où }\left\lbrace\begin{array}l f(-2)=f(2)=-\dfrac{b}{8} (e^{\frac{2}{b}} +e^{\frac{-2}{b}}) +\dfrac{9}{4}\\\\f(0)=-\dfrac{b}{8} (e^{0} +e^{0}) +\dfrac{9}{4}=-\dfrac{2b}{8}+\dfrac{9}{4}=\dfrac{9-b}{4}\end{array}

Dès lors, les coordonnées du point S  sont \left(0\ ;\dfrac{9-b}{4}\right).

Partie B

1. Si le point S est à 2 mètres du sol, alors  \dfrac{9-b}{4}=2

9-b=8\\b=9-8\\\Longrightarrow\boxed{b=1}

2. La fonction f est continue et strictement croissante sur [0 ; 2].

f(0)=2\ \text{et }f(2)=-\dfrac{1}{8} (e^{2} +e^{-2})+\dfrac{9}{4}\approx1,3.

Nous observons que 1,5 est compris entre f (0) et f (2).

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f(x) = 1,5 admet une unique solution a  sur l'intervalle [0 ; 2].

Par la calculatrice, nous obtenons f (1,76) environegal 1,502 et f (1,77) environegal 1,495.

Par conséquent, une valeur approchée de a  au centième est a environegal 1,76.

3. Soit a = 1,8 et b = 1.

La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [0 : 1,8].
L'aire \mathscr{A} d'un vantail est l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de f, l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = 1,8.

D'où

\mathscr{A}=\int\limits_0^{1,8}f(x)\ dx\\\\\dfrac{}{}\ \ \ =\int\limits_0^{1,8}\left[-\dfrac{1}{8} (e^{x} +e^{-x})+\dfrac{9}{4}\right]\ dx\\\\\dfrac{}{}\ \ \ =\left[-\dfrac{1}{8}(e^x-e^{-x})+\dfrac{9}{4}x\right]_0^{1,8}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ =\left[-\dfrac{1}{8}\left(e^{1,8}-e^{-1,8}\right)+\dfrac{9}{4}\times 1,8\right]-\left[-\dfrac{1}{8}\left(e^{0}-e^{0}\right)+\dfrac{9}{4}\times0\right]\\\\\dfrac{}{}\ \ \ =\left[-\dfrac{1}{8}\left(e^{1,8}-e^{-1,8}\right)+4,05\right]-0\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \approx 3,314.

L'aire d'un vantail est donc environ égale à 3,314 m².
La masse d'un vantail est alors égale à environ 20 multiplie 3,314, soit environ 66,28 kg.

Puisque cette masse excède 60 kg, le client décide d'automatiser son portail.

Partie C

Forme 1

L'aire du rectangle OCES est \mathscr{A}_1=OC\times OS=1,8\times2=3,6\ \text{m}^2.

Forme 2

L'aire du trapèze OCHG est \mathscr{A}_2=\dfrac{OG+CH}{2}\times OC.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est

y=f'(1)(x-1)+f(1)  dans laquelle  f(1)=-\dfrac{1}{8} (e+e^{-1})+\dfrac{9}{4}\approx1,864  et f'(1)=-\dfrac{1}{8} (e-e^{-1})\approx-0,2938.

D'où, une équation approchée de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est  y\approx-0,2938(x-1)+1,864, soit  \boxed{y\approx-0,2938x+2,1578}

La longueur OG  s'obtient en remplaçant x par 0 dans l'équation de cette tangente.

\Longrightarrow OG\approx2,1578

La longueur CH  s'obtient en remplaçant x par 1,8 dans l'équation de cette tangente.

\Longrightarrow CH\approx-0,2938\times1,8+2,1578\approx1,63

Nous en déduisons que l'aire du trapèze OCHG est \mathscr{A}_2=\dfrac{2,1578+1,63}{2}\times 1,8\approx3,409\ \text{m}^2.

D'où en choisissant la forme 2 plutôt que la forme 1, l'économie d'aire réalisée est environ égale à

\mathscr{A}_1-\mathscr{A}_2\approx3,6-3,409\approx0,191\ \text{m}^2.




exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. \boxed{u_0=3}

\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} u_0+u_1=u_0\times u_1\ &\ 3+u_1=3u_1\\&\ 3=2u_1\\&\ \boxed{u_1=1,5} \end{array}\\\\\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} u_0+u_1+u_2=u_0\times u_1\times u_2\ &\ 3+1,5+u_2=3\times1,5\times u_2\\&\ 4,5+u_2=4,5u_2\\&\ 4,5=3,5u_2\\&\ u_2=\dfrac{4,5}{3,5}\\&\ \boxed{u_2=\dfrac{9}{7}} \end{array}

2. a. Pour tout entier naturel n > 0, nous avons :

\begin{array}{r @{ = } l}  s_{n+1}\ &\ u_0+u_1+...+u_{n-1}+u_n\\&\ (u_0+u_1+...+u_{n-1})+u_n\\&\ s_n+u_n \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{s_{n+1}=s_n+u_n}

Nous en déduisons que  s_{n+1}-s_n=u_n\ge0  et par conséquent que la suite (sn ) est croissante.

Puisque s1 = u0 > 1 et que la suite (sn ) est croissante, nous en déduisons que pour tout entier naturel n > 0,  s_n \ge s_1  ou encore \boxed{s_n > 1}

b. Pour tout entier naturel n > 0, nous avons :

\begin{array}{r @{ = } l}  s_{n+1}\ &\ u_0\times u_1\times ...\times u_{n-1}\times u_n\\&\ (u_0\times u_1\times ...\times u_{n-1})\times u_n\\&\ s_n\times u_n \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{s_{n+1}={\red{s_n\times u_n}}}

Or nous avons montré dans la question 2. a. que pour tout entier naturel n > 0, \boxed{s_{n+1}=\red{s_n+u_n}}}

Nous en déduisons que  \red{s_n\times u_n=s_n+u_n}}

s_n\times u_n-u_n=s_n\\u_n\times(s_n-1)=s_n\ \ \text{avec }s_n-1\neq0\ \text{puisque }s_n>1\\\\\Longrightarrow\boxed{u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}}

c.   u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}

Or nous savons que sn > 1.

Donc sn > 0 et sn - 1 > 0.

Par conséquent, un est le quotient de deux nombres positifs et est tel que le numérateur est supérieur au dénominateur.

Nous en déduisons alors que pour tout n supegal 0, \boxed{u_n>1}

3. a. Algorithme complété :

         Entrée : Saisir n
                           Saisir u
Traitement : s prend la valeur u
                            Pour i allant de 1 à n :
                                 u prend la valeur \boxed{\dfrac{s}{s-1}}
                                 s prend la valeur \boxed{s+u}
                            Fin pour
         Sortie : afficher u

b. Nous pouvons conjecturer que la suite (un ) converge vers 1.

4. a. Nous avons montré dans la question 2. c. que pour tout n supegal 0,  un > 1.
Par conséquent, sn est la somme de n termes strictement supérieurs à 1.

Nous en déduisons donc que pour tout entier n > 0, sn > n.

b. \left\lbrace\begin{array}l \lim\limits_{n \to +\infty} n=+\infty\\\\s_n>n \end{array}

D'après le théorème des comparaisons, nous obtenons : \boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} s_n=+\infty}

Nous avons alors \boxed{\lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{s_n}=0}

\text{Or  }u_n=\dfrac{s_n}{s_n-1}=\dfrac{s_n}{s_n\left(1-\dfrac{1}{s_n}\right)}

\Longrightarrow\boxed{u_n=\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{s_n}}}

Par conséquent,  \lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{1-\dfrac{1}{s_n}}

\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\dfrac{1}{1-\lim\limits_{n \to +\infty}\left(\dfrac{1}{s_n}\right)}\\\\\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=\dfrac{1}{1-0}\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=1}



exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. Nombre d'inscrits au programme A durant l'année 2014+(n+1) :
D'une part, 20% des inscrits au programme A choisissent à nouveau le programme A, soit 0,2an
D'autre part, les nouveaux inscrits, qui compensent les départs, suivent obligatoirement le programme A.
Or, le nombre de départs correspond à 40% du programme A augmentés des 40% du programme B, soit 0,4an+0,4bn
D'où le nombre d'inscrits au programme A durant l'année 2014+(n+1) est égal à 0,2an + (0,4an + 0,4bn), soit 0,6an + 0,4bn

Nombre d'inscrits au programme B durant l'année 2014+(n+1) :
D'une part, 60% des inscrits au programme B choisissent à nouveau le programme B, soit 0,6bn
D'autre part, 40 % des inscrits au programme A choisissent le programme B, soit 0,4an
D'où le nombre d'inscrits au programme B durant l'année 2014+(n+1) est égal à 0,4an + 0,6bn

Par conséquent, nous obtenons

\begin{pmatrix}a_{n+1} & b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,6a_{n}+0,4b_n &&& 0,4a_n+0,6b_{n}\end{pmatrix}\\\\\begin{pmatrix}a_{n+1} & b_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{n} & b_{n}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,6& 0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{U_{n+1}=U_nM\ \ \text{où }M=\begin{pmatrix}0,6& 0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}_{}}

2. Montrons par récurrence que pour tout entier naturel nU_n=\begin{pmatrix}75+75×0,2^n &&75-75×0,2^n\end{pmatrix}.

Initialisation : Montrons que la propriété est vérifiée pour n = 0.

Puisque à sa création en 2014, l'association compte 150 enfants qui suivent tous le programme A, nous avons  U_0=\begin{pmatrix}150 &0\end{pmatrix}.

Or \begin{pmatrix}75+75×0,2^0 &&75-75×0,2^0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}75+75×1 &&75-75×1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}150 &&0\end{pmatrix}.

D'où  U_0=\begin{pmatrix}75+75×0,2^0 &&75-75×0,2^0\end{pmatrix}.

La propriété est donc vérifiée au rang 0.

Hérédité : Montrons que si pour une valeur entière naturelle de n  fixée la propriété est vérifiée au rang n, alors elle est encore vérifiée au rang n +1.

Supposons donc que  U_n=\begin{pmatrix}75+75×0,2^n &&75-75×0,2^n\end{pmatrix}

et montrons que  U_{n+1}=\begin{pmatrix}75+75×0,2^{n+1} &&75-75×0,2^{n+1}\end{pmatrix}

En effet,

U_{n+1}=U_nM\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =\begin{pmatrix}75+75\times0,2^n &&75-75\times0,2^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,6& 0,4\\0,4&0,6\end{pmatrix}\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =\left(\ 0,6(75+75\times0,2^n) +0,4(75-75×0,2^n)\ \ \ \ 0,4(75+75\times0,2^n) +0,6(75-75\times0,2^n)\ \right)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =\left(45+0,6\times75\times0,2^n +30-0,4\times75\times0,2^n\ \ \ \ \ 30+0,4\times75\times0,2^n +45-0,6\times75\times0,2^n\right)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =\left(75+(0,6-0,4)\times75\times0,2^n \ \ \ \ \ 75+(0,4-0,6)\times75\times0,2^n \right)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =\left(75+0,2\times75\times0,2^n \ \ \ \ \ 75-0,2\times75\times0,2^n \right)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =\left(75+75\times0,2^n\times0,2 \ \ \ \ \ 75-75\times0,2^n\times0,2 \right)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ =\left(75+75\times0,2^{n+1}\ \ \ \ \ 75-75\times0,2^{n+1} \right)

\Longrightarrow U_{n+1}=\begin{pmatrix}75+75×0,2^{n+1} &&75-75×0,2^{n+1}\end{pmatrix}

D'où l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons démontré par récurrence que pour tout entier naturel nU_n=\begin{pmatrix}75+75×0,2^n &&75-75×0,2^n\end{pmatrix}.

3. Nous savons que \lim\limits_{n\to+\infty}0,2^n=0\ \ \text{car }0<0,2<1.

\begin{array}{r @{ = } l} \Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(75\times0,2^n)\ &\ 75\times\lim\limits_{n\to+\infty}0,2^n\\&\ 75\times0\\&\ 0 \end{array}

D'où

\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(75+75\times0,2^n)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =75+\lim\limits_{n\to+\infty}(75\times0,2^n)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =75+0\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =75\\\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}b_n=\lim\limits_{n\to+\infty}(75-75\times0,2^n)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =75-\lim\limits_{n\to+\infty}(75\times0,2^n)\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =75-0\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =75\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=\lim\limits_{n\to+\infty}b_n=75}

Par conséquent, à long terme les effectifs seront équilibrés entre les deux programmes puisqu'ils seront égaux à 75 inscrits.

Partie B

1. Nous posons a = 3.

a) Le nombre proposé est 111383.

Nous effectuons la somme S = c1 + c3 + c5 + amultiplie(c2 + c4).
implique S  = 1 + 1 + 8 + 3multiplie(1 + 3) = 22.
Nous effectuons la division euclidienne de S  par 10.
implique 22 = 2multiplie10 + 2.
Le reste de la division euclidienne de 22 par 10 est égal à 2.
La clé devrait donc être égale à 2.
Or le dernier chiffre du nombre proposé est 3.

Par conséquent, le nombre 111383 ne peut pas être celui d'un enfant inscrit à l'association.

b) Si l'année de naissance est 2008, le nombre proposé est 08c3 c4 c5 k.
Nous effectuons la somme S1 = c1 + c3 + c5 + amultiplie(c2 + c4).
implique 0 +c3 + c5 + 3multiplie(8 + c4) = c3 + 3c4 + c5 + 24.
Nous effectuons la division euclidienne de S1 par 10.
D'où S1[10] congru c3 + 3c4 + c5 + 4 [10].

Si l'année de naissance est 2011, le nombre proposé est 11c3c4c5k.
Nous effectuons la somme S2 = c1 + c3 + c5 + amultiplie(c2 + c4).
implique 1 +c3 + c5 + 3multiplie(1 + c4) = c3 + 3c4 + c5 + 4.
Nous effectuons la division euclidienne de S2 par 10.
D'où S2[10] congru c3 + 3c4 + c5 + 4 [10].

Par conséquent, S1 congru S2 [10].

Nous en déduisons alors que l'erreur ne sera pas détectée grâce à la clé.

2. a) Les numéros proposés sont c1 c2 c3 c4 c5 k et c1 c2 c4 c3 c5 k.
Les sommes correspondantes sont S' = c1 + c3 + c5 + amultiplie(c2 + c4 ) et S" = c1 + c4 + c5 + amultiplie(c2 + c3 ).
La clé ne détecte pas l'erreur d'interversion des chiffres c3 et c4 si et seulement si S' congru S" [10].

\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} \text{Or } S'\equiv S"\ [10]\ &\ c_1+c_3+c_5+a\times(c_2+c_4)\equiv c_1+c_4+c_5+ a\times(c_2+c_3)\ [10]\\&\ {\red{c_1}}+c_3+{\blue{c_5}}+{\green{ac_2}}+ac_4\equiv {\red{c_1}}+c_4+{\blue{c_5}}+ {\green{ac_2}}+ac_3 \ [10]\\&\ c_3+ac_4\equiv c_4+ac_3\ [10]\\&\ ac_4-ac_3-c_4+c_3\equiv 0\ [10]\\&\ a(c_4-c_3)-(c_4-c_3)\equiv 0\ [10]\\&\ (a-1)(c_4-c_3)\equiv 0\ [10]\end{array}

Par conséquent, la clé ne détecte pas l'erreur d'interversion des chiffres c3 et c4 si et seulement si (a - 1)(c4 - c3) est congru à 0 modulo 10.

b. Les restes de la division de np par 10 sont repris dans le tableau suivant :

\begin{array}{|c|>{\columncolor{green}}c|c|>{\columncolor{green}}cc|>{\columncolor{green}}c||>{\columncolor{green}}c||>{\columncolor{green}}c|c|>{\columncolor{green}}c|c|}\hline p\setminus n&\cellcolor{red}0&1&\cellcolor{red}2&3&\cellcolor{red}4&\cellcolor{red}5&\cellcolor{red}6&7&\cellcolor{red}8&9 \\\hline1&{\red{0}}&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\\hline2&{\red{0}}&2&4&6&8&{\red{0}}&2&4&6&8 \\\hline3&{\red{0}}&3&6&9&2&5&8&1&4&7 \\\hline4&{\red{0}}&4&8&2&6&{\red{0}}&4&8&2&6 \\\hline5&{\red{0}}&5&{\red{0}}&5&{\red{0}}&5&{\red{0}}&5&{\red{0}}&5 \\\hline6&{\red{0}}&6&2&8&4&{\red{0}}&6&2&8&4 \\\hline7&{\red{0}}&7&4&1&8&5&2&9&6&3 \\\hline8&{\red{0}}&8&6&4&2&{\red{0}}&8&6&4&2 \\\hline9&{\red{0}}&9&8&7&6&5&4&3&2&1\\\hline \end{array}

Par ce tableau, nous pouvons observer que les entiers n compris entre 0 et 9 pour lesquels il existe un entier p compris entre 1 et 9 tel que np congru 0 [10] sont 0, 2, 4, 5, 6 et 8.

c. Selon la question 2a), l'erreur d'interversion des chiffres c3 et c4 n'est pas détectée si et seulement si (a - 1)(c4 - c3) est congru à 0 modulo 10.
En utilisant la conclusion de la question 2b), nous déduisons que dans ce cas, (a - 1) doit être égal à 0, 2, 4, 5, 6 ou 8.

Donc l'erreur d'interversion des chiffres c3 et c4 n'est pas détectée si et seulement a est égal à 1, 3, 5, 6, 7 ou 9.

Donc pour que l'erreur d'interversion des chiffres c3 et c4 soit détectée, il faut avoir a = 2 ou a = 4 ou a = 8.



exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) Nous appliquerons le théorème du toit : "si deux plans sécants contiennent deux droites parallèles, leur intersection est une droite parallèle aux deux premières".

Les plans (UVK) et (SEF) sont sécants suivant la droite (KM).
Ces deux plans contiennent respectivement deux droites (UV) et (EF) parallèles.
Par le théorème du toit, la droite (KM) est parallèles aux droites (UV) et (EF).
Par conséquent, le segment [KM]  est parallèle au segment [UV].

b) Nous appliquerons le théorème suivant : "Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant les coupe suivant des droites parallèles.".

Les plans (SOA) et (GCB) sont parallèles.
Le plan (UKV) coupe le plan (SOA) suivant la droite (UK).
Selon le théorème rappelé, le plan (UKV) coupe le plan (GCB) suivant une droite parallèle à (UK).
D'où les droites (NP) et (UK) sont parallèles.
Par conséquent, le segment [NP]  est parallèle au segment [UK].

2. a) Le point K appartient à la droite (SE).
Déterminons une représentation paramétrique de la droite (SE).

La droite (SE) est dirigée par le vecteur \overrightarrow{SE}.

\left\lbrace\begin{array}l S(0;0;3,5)\\E(4;0;2,5)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{SE}\begin{pmatrix}4-0\\0-0 \\2,5-3,5\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{SE}\begin{pmatrix}{\red{4}}\\ {\red{0}}\\ {\red{-1}}\end{pmatrix}}

La droite (SE) passe par le point S({\blue{0}} ; {\blue{0}}; {\blue{3,5}}).

D'où une représentation paramétrique de la droite (SE) est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{4}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{0}}\times t\\z={\blue{3,5}}+{\red{(-1)}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

soit \boxed{(SE):\left\lbrace\begin{array}l x=4t\\y=0\\z=3,5-t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

Or l'abscisse du point K est 1,2 et ce point appartient à la droite (SE).

Donc  \left\lbrace\begin{array}l 1,2=4t\\y=0\\z=3,5-t \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l t=0,3\\y=0\\z=3,5-0,3 \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l t=0,3\\y=0\\z=3,2 \end{array}

Par conséquent, les coordonnées du point K sont (1,2 ; 0 ; 3,2).

b) Montrons que le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}7\\0\\3\end{pmatrix} est orthogonal à deux vecteurs non colinéraires \overrightarrow{UV} et \overrightarrow{UK} du plan (UVK).

\left\lbrace\begin{array}l U(0;0;6)\\V(0;8;6)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{UV}\begin{pmatrix}0-0\\8-0 \\6-6\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{UV}\begin{pmatrix}0\\8\\0\end{pmatrix}}

\left\lbrace\begin{array}l U(0;0;6)\\K(1,2;0;3,2)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{UK}\begin{pmatrix}1,2-0\\0-0\\3,2-6\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{UK}\begin{pmatrix}1,2\\0\\-2,8\end{pmatrix}}

Manifestement, les vecteurs \overrightarrow{UV} et \overrightarrow{UK} ne sont pas colinéaires.

De plus,

\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{UV}\ \ &\ 7\times0+0\times8+3\times0\\\ \ &\ 0+0+0\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{UV}}

\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{UK}\ \ &\ 7\times1,2+0\times0+3\times(-2,8)\\\ \ &\ 8,4+0-8,4\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{UK}}

Par conséquent, le vecteur \overrightarrow{n} étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{UV} et \overrightarrow{UK} du plan (UVK), nous en déduisons que le vecteur \overrightarrow{n} est normal au plan (UVK).

Nous savons que tout plan de vecteur normal \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix} admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}7\\0\\3\end{pmatrix} est normal au plan (UVK), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (UVK) est de la forme 7x - 0y + 3z + d = 0, soit 7x + 3z + d = 0

Or le point U (0 ; 0 ; 6) appartient au plan (UVK). Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 0 + 18 + d = 0, soit d=-18

Par conséquent, une équation cartésienne du plan (UVK) est : 7x + 3z - 18 = 0.

c. Les coordonnées du point N sont les solutions du système composé par les équations de la droite (FG) et du plan (UVK).

Déterminons une représentation paramétrique de la droite (FG).
La droite (FG) est dirigée par le vecteur \overrightarrow{FG}.

\left\lbrace\begin{array}l F(4;5;2,5)\\G(0;5;2,5)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{FG}\begin{pmatrix}0-4\\5-5 \\2,5-2,5\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FG}\begin{pmatrix}{\red{-4}}\\ {\red{0}}\\ {\red{0}}\end{pmatrix}}

La droite (FG) passe par le point G({\blue{0}} ; {\blue{5}}; {\blue{2,5}}).

D'où une représentation paramétrique de la droite (FG) est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{(-4)}}\times t\\y={\blue{5}}+{\red{0}}\times t\\z={\blue{2,5}}+{\red{0}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

soit \boxed{(FG):\left\lbrace\begin{array}l x=-4t\\y=5\\z=2,5 \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

Les coordonnées du point N sont les solutions du système composé par les équations de la droite (FG) et du plan (UVK),
soit du système :

\left\lbrace\begin{array}l x=-4t\\y=5\\z=2,5\\7x+3z-18=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=-4t\\y=5\\z=2,5\\7\times(-4t)+3\times2,5-18=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=-4t\\y=5\\z=2,5\\-28t-10,5=0 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=-4t\\y=5\\z=2,5\\-28t=10,5 \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=-4t\\y=5\\z=2,5\\t=-0,375 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=-4\times(-0,375)\\y=5\\z=2,5\\t=-0,375 \end{array}

\Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=1,5\\y=5\\z=2,5\end{array}

D'où les coordonnées du point N sont \boxed{N(1,5;5;2,5)}.

d) Par le point K, traçons une droite parallèle à la droite (EF) coupant le segment [SF] en M.
Puisque le point N est connu (question 2c), traçons le segment [MN].
Par le point N, traçons une droite parallèle à la droite (UK) coupant le segment [BC] en P.
Traçons le segment [NP].

3. Soit H le projeté orthogonal de G sur la droite (SO).
Dans ce cas, le triangle SHG est rectangle en H.

Dans ce triangle rectangle SHG, \tan\widehat{SGH}=\dfrac{SH}{HG}

Or SH = 3,5 - 2,5 = 1.
   HG = OC = 5.

D'où \tan\widehat{SGH}=\dfrac{1}{5}=0,2

\Longrightarrow\widehat{SGH}=\tan^{-1}(0,2)\\\\\Longrightarrow\boxed{\widehat{SGH}\approx11,3^{\text{o}}>7^{\text{o}}}

Par conséquent, la condition est remplie.
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