Fiche de mathématiques
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Baccalauréat Mathématiques

S Obligatoire et Spécialité

Centres Étrangers 2017

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Corrigé Bac S Obligatoire et Spécialité

Centres Étrangers 2017

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exercice 1 - Commun à tous les candidats


Question 1 : Nous devons calculer P(170\le X\le180).

Nous savons que P(170\le X\le180)= P(170\le X\le175)+P(175\le X\le180).

Or l'espérance mu = 175 est le centre de l'intervalle [170 ; 180].

D'où P(170\le X\le175)= P(175\le X\le180).

Nous en déduisons que P(170\le X\le180)= 2\times P(170\le X\le175).

De plus P(170\le X\le175)= 0,5 - P(X\le170)=0,5-0,02=0,48.

Par conséquent, P(170\le X\le180)= 2\times 0,48=0,96.

La réponse correcte est : \boxed{\mathbf{Réponse\ b:}\ 0,96}

Question 2 : Soit X la variable aléatoire exprimant le nombre de bonbons déformés.

L'expérience consiste en 50 prélèvements indépendants et identiques.
Lors de chaque prélèvement, deux issues sont possibles (le bonbon est déformé avec une probabilité p = 0,05 ou le bonbon n'est pas déformé avec une probabilité 1-p = 0,95).

Donc la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 50 et p = 0,05.

Nous devons calculer P(X\ge2).

 \begin{array}{r @{ = } l} P(X\ge2)\ &\ 1-P(X\le1)\\&\ 1-[P(X=0)+P(X=1)]\\&\ 1-P(X=0)-P(X=1)\\&\ 1-\binom{50}{0}\times(0,05)^0\times(0,95)^{50-0}-\binom{50}{1}\times(0,05)^1\times(0,95)^{50-1}\\&\ 1-1\times1\times(0,95)^{50}-50\times0,05^1\times(0,95)^{49}\\&\ 1-(0,95)^{50}-2,5\times(0,95)^{49}\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\le2)\approx0,72}

La réponse correcte est : \boxed{\mathbf{Réponse\ a:}\ 0,72}

Question 3 : Soient les événements suivants :
A : « le bonbon provient de la machine A »
B : « le bonbon provient de la machine B »
D : « le bonbon est déformé ».

Le problème peut se décrire par l'arbre pondéré ci-dessous :
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Nous devons calculer P_{D}(B).

Nous savons que P_{D}(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}.
Or

P(B\cap D)=P(B)\times P_{B}(D)\\\\ P(B\cap D)=\dfrac{2}{3}\times0,02\\\\P(B\cap D)=\dfrac{0,04}{3}

et

 P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)\\\\P(D)=P(A)\times P_{A}(D)+P(B)\times P_{B}(D)\\\\P(D)=\dfrac{1}{3}\times0,05+\dfrac{2}{3}\times0,02\\\\P(D)=\dfrac{0,05}{3}+\dfrac{0,04}{3}=\dfrac{0,09}{3}\\\\P(D)=0,03

Par conséquent,
 P_{D}(B)=\dfrac{P(B\cap D)}{P(D)}=\dfrac{\dfrac{0,04}{3}}{0,03}=\dfrac{\dfrac{0,04}{3}}{\dfrac{0,09}{3}}=\dfrac{0,04}{0,09}=\dfrac{4}{9}\\\\\Longrightarrow P_{D}(B)\approx0,44

La réponse correcte est : \boxed{\mathbf{Réponse\ c:}\ 0,44}

Question 4 : La variable aléatoire Y représentant la durée de vie de fonctionnement suit la loi exponentielle de paramètre lambda.

D'où P(Y\le300)=1-e^{-\lambda\times300} ou encore P(Y\le300)=1-e^{-300\lambda}

Nous savons que l'espérance est égale à 500 jours, soit \dfrac{1}{\lambda}=500 ou encore \lambda=\dfrac{1}{500}=0,002.
Nous en déduisons que P(Y\le300)=1-e^{-300\times0,002}=1-e^{-0,6}

 \Longrightarrow P(Y\le300)\approx0,45

La réponse correcte est : \boxed{\mathbf{Réponse\ a:}\ 0,45} (les autres propositions étaient de toute évidence à exclure !)

Question 5 : Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95% est de la forme [f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]f est la fréquence observée sur un échantillon de taille n.

L'amplitude de cet intervalle doit être inférieure à 0,05.
L'amplitude de cet intervalle se calcule par  [f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]-[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}]=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}}+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\boxed{\dfrac{2}{\sqrt{n}}}

Comme l'amplitude de l'intervalle de confiance doit être inférieure à 0,05, nous en déduisons que :

\dfrac{2}{\sqrt{n}}\le0,05\\\\\dfrac{2}{0,05}\le\sqrt{n}\\\\\sqrt{n}\ge40\\\\ (\sqrt{n})^2\ge40^2\\\\\Longrightarrow n\ge1600

La réponse correcte est : \boxed{\mathbf{Réponse\ c:}\ 1600}



exercice 2 - Commun à tous les candidats


1. Soit la droite d1 définie par la représentation paramétrique  \left\lbrace\begin{array}l x=2+t\\y=3-t\\z=t \end{array}\ \ (t\in\mathbb{R})

Si t = 0, alors  \left\lbrace\begin{array}l x=2\\y=3\\z=0\end{array}
Par conséquent, le point A (2 ; 3 ; 0) appartient à la droite d1.

2. Montrons que les droites d1 et d2 ne sont pas parallèles.

 (d_1): \left\lbrace\begin{array}l x=2+t\\y=3-t\\z=t \end{array}\ \ (t\in\mathbb{R})\Longleftrightarrow(d_1): \left\lbrace\begin{array}l x=2+{\red{ 1}}\times t\\y=3+{\red{(-1) }}\times t\\z=0+{\red{1}}\times t \end{array}\ \ (t\in\mathbb{R})

D'où un vecteur directeur de la droite d1 est  \boxed{\overrightarrow{u_1}(1;-1;1)}.

(d_2): \left\lbrace\begin{array}l x=-5+2t'\\y=-1+t'\\z=5 \end{array}\ \ (t'\in\mathbb{R})\Longleftrightarrow(d_2): \left\lbrace\begin{array}l x=-5+{\red{2}}\times t'\\y=-1+{\red{1}}\times t'\\z=5+{\red{0}}\times t' \end{array}\ \ (t'\in\mathbb{R})

D'où un vecteur directeur de la droite d2 est  \boxed{\overrightarrow{u_2}(2;1;0)}.

Puisque  \dfrac{2}{1}\neq\dfrac{1}{-1}, les vecteurs  \overrightarrow{u_1} et  \overrightarrow{u_2} ne sont pas colinéaires.

Par conséquent, les droites d1 et d2 ne sont pas parallèles.

3. En utilisant le produit scalaire, nous obtenons :

 \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u_1}=1\times1+(-2)\times(-1)+(-3)\times1=1+2-3=0\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{v}\perp\overrightarrow{u_1}}\\\\\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u_2}=1\times2+(-2)\times1+(-3)\times0=2-2+0=0\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{v}\perp\overrightarrow{u_2}}

Par conséquent, le vecteur \overrightarrow{v} est orthogonal aux vecteurs \overrightarrow{u_1} et \overrightarrow{u_2}.

4. a) Les vecteurs \overrightarrow{u_1} et  \overrightarrow{v} ne sont pas colinéaires car nous avons montré dans la question 3 qu'ils étaient non nuls et orthogonaux.

Soit \overrightarrow{n}(5 ;4 ;-1).

\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{u_1} car \overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_1}=5\times1+4\times(-1)+(-1)\times1=5-4-1=0
\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{v} car \overrightarrow{n}.\overrightarrow{v}=5\times1+4\times(-2)+(-1)\times(-3)=5-8+3=0
D'où le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires \overrightarrow{u_1} et  \overrightarrow{v} dirigeant le plan P.

Nous en déduisons que le vecteur \overrightarrow{n} est orthogonal au plan P.

De plus le point A(2 ; 3 ; 0) appartient au plan P d'équation 5x+4y-z-22=0 car les coordonnées de A vérifient l'équation de P.
En effet, 5\times2+4\times3-0-22=10+12-22=0.

Par conséquent, une équation cartésienne du plan P passant par le point A, et dirigé par les vecteurs \overrightarrow{u_1} et  \overrightarrow{v} est :

5x+4y-z-22=0.


b) Montrons que les coordonnées du point B(3 ;3 ;5) vérifient les équations du plan P et de la droite d_2.

 B(3;3;5)\in P:5x+4y-z-22=0\ \text{car}\ \ 5\times3+4\times3-5-22=15+12-27=0\\\\\\B(3;3;5)\in (d_2): \left\lbrace\begin{array}l x=-5+2t'\\y=-1+t'\\z=5 \end{array}\ \text{car si t'=4, alors }\ \ \left\lbrace\begin{array}l x=-5+8\\y=-1+4\\z=5 \end{array}\ \ \Leftrightarrow\left\lbrace\begin{array}l x=3\\y=3\\z=5 \end{array}

D'où la droite d2 coupe le plan P au point B(3 ; 3 ; 5).

5. a) Une représentation paramétrique de la droite deltamaj est :  \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{3}}+r\times{\red{1}}\\y={\blue{3}}+r\times{\red{ (-2)}}\\z={\blue{5}}+r\times{\red{(-3)}} \end{array}

soit \Delta: \left\lbrace\begin{array}l x=3+r \\y=3-2r\\z=5-3r\end{array}\ \ (r\in\mathbb{R})

b) Résolvons le système composé par les équations des droites d_1 et \Delta .

  \left\lbrace\begin{array}l x=2+t\\y=3-t\\z=t\\\\ x=3+r \\y=3-2r\\z=5-3r \end{array}\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l 2+t=3+r\\3-t=3-2r\\t=5-3r\\\blue{x=3+r}\\\blue{y=3-2r}\\\blue{z=5-3r}\end{array}\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l t=5-3r\\2+5-3r=3+r\\3-(5-3r)=3-2r\\\blue{x=3+r}\\\blue{y=3-2r}\\\blue{z=5-3r}\end{array}\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l t=5-3r\\7-3r=3+r\\-2+3r=3-2r\\\blue{x=3+r}\\\blue{y=3-2r}\\\blue{z=5-3r} \end{array}

 \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l t=5-3r\\-3r-r=3-7\\3r+2r=3+2 \\\blue{x=3+r}\\\blue{y=3-2r}\\\blue{z=5-3r}\end{array}\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l t=5-3r\\-4r=-4\\5r=5\\\blue{x=3+r}\\\blue{y=3-2r}\\\blue{z=5-3r} \end{array}\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l t=5-3r\\r=1 \\\blue{x=3+r}\\\blue{y=3-2r}\\\blue{z=5-3r}\end{array}

\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l t=5-3\times1\\r=1\\\blue{x=3+r}\\\blue{y=3-2r}\\\blue{z=5-3r}\end{array} \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l t=2\\r=1\\\blue{x=3+r}\\\blue{y=3-2r}\\\blue{z=5-3r} \end{array}\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l t=2\\r=1\\\blue{x=3+1}\\\blue{y=3-2}\\\blue{z=5-3} \end{array}

\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l t=2\\r=1\\\boxed{\begin{array}l\blue{x=4}\\\blue{y=1}\\\blue{z=2}\end{array}} \end{array}

Nous en déduisons que les droites d_1 et \Delta se coupent au point C(4 ; 1 ; 2).

c) La droite deltamaj répond au problème posé.

En effet,
La droite deltamaj est orthogonale aux droites d_1 et d_2 (voir question 3).
Les droites d_2 et \Delta se coupent au point B(3 ; 3; 5) (voir question 4. b).
Les droites d_1 et \Delta se coupent au point C(4 ; 1 ; 2) (voir question 5. b).

D'où la droite deltamaj est sécante aux deux droites d_1 et d_2 et est orthogonale à ces deux droites.



exercice 3 - Commun à tous les candidats


Partie A : administration par voie intraveineuse


1. La demi-vie du médicament est la durée (en heure) après laquelle la concentration plasmatique du médicament est égale à la moitié de la concentration initiale.

Donc si f(0) = 20, alors la demi-vie t0,5 est la solution de l'équation f(t) = 10.

 \begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} f(t)=10\ &\ 20e^{-0,1t}=10\\&\ e^{-0,1t}=0,5\\&\ \ln(e^{-0,1t})=\ln(0,5)\\&\ -0,1t=\ln(\frac{1}{2})\\&\ -10\times(-0,1t)=-10\times\ln(\frac{1}{2})\\&\ t=-10\ln(\frac{1}{2})\\&\ t=-10\times(-\ln(2))\\&\ t=10\ln(2) \end{array}

D'où la demi-vie est  \boxed{t_{0,5}=10\ln(2)\approx6,9\ \text{heures}}

2. Nous devons résoudre dans l'intervalle [0 ; +infini[ l'inéquation f(t) infegal 0,2.

 \begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} f(t)\le0,2\ &\ 20e^{-0,1t}\le0,2\\&\ e^{-0,1t}\le0,01\\&\ \ln(e^{-0,1t})\le\ln(0,01)\\&\ -0,1t\le\ln(0,01)\\&\ -10\times(-0,1t)\ge-10\times\ln(0,01)\\&\ t\ge-10\ln(0,01)\\&\ t\ge-10\ln(10^{-2})\\&\ t\ge-10\times(-2\ln(10))\\&\ \boxed{t\ge20\ln(10)} \end{array}\\\\\text{Or}\ \ 20\ln(10)\approx46,1\ \ \text{arrondi au dixième}

Par conséquent, le médicament est éliminé à partir de 46,1 heures.

3. Une primitive de la fonction f est la fonction F définie sur l'intervalle [0 ; +infini[ par  F(t)=\dfrac{20}{-0,1}e^{-0,1t}, soit par  F(t)=-200e^{-0,1t}

Donc pour tout x dans l'intervalle [0 ; +infini[,

 \int\limits_{0}^xf(t)\,dt=F(x)-F(0)\\\\\int\limits_{0}^xf(t)\,dt=-200e^{-0,1x}-(-200e^{0})\\\\\int\limits_{0}^xf(t)\,dt=-200e^{-0,1x}+200\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_{0}^xf(t)\,dt=\lim\limits_{x\to+\infty}(-200e^{-0,1x}+200)\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_{0}^xf(t)\,dt=\lim\limits_{x\to+\infty}(-200e^{-0,1x})+200\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_{0}^xf(t)\,dt=0+200\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\int\limits_{0}^xf(t)\,dt=200

Nous en déduisons que pour ce modèle, l'ASC est bien égal à 200 mug.L-1.h.

Partie B : administration par voie orale


 g(t)=20(e^{-0,1t}-e^{-t})

1. Calcul de g '(t).

g'(t)=20[(-0,1t)'e^{-0,1t}-(-t)'e^{-t}]\\\\g'(t)=20[-0,1e^{-0,1t}+e^{-t}]\\\\g'(t)=20[-0,1e^{0,9t-t}+e^{-t}]\\\\g'(t)=20[-0,1e^{0,9t}e^{-t}+e^{-t}]\\\\g'(t)=20e^{-t}[-0,1e^{0,9t}+1]\\\\\boxed{g'(t)=20e^{-t}(1-0,1e^{0,9t})}

2.  g'(t)=20e^{-t}(1-0,1e^{0,9t})

L'exponentielle étant strictement positive, le signe de la dérivée g'(t) est le même que celui de  1-0,1e^{0,9t}

Or

 \begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} \boxed{1-0,1e^{0,9t}=0}\ &\ 0,1e^{0,9t}=1\\&\ e^{0,9t}=10\\&\ \ln(e^{0,9t})=\ln(10)\\&\ 0,9t=\ln(10)\\&\ \boxed{t=\frac{\ln(10)}{0,9}\approx2,56} \end{array}\\\\\\\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} \boxed{1-0,1e^{0,9t}\ge0}\ &\ 0,1e^{0,9t}\le1\\&\ e^{0,9t}\le10\\&\ \ln(e^{0,9t})\le\ln(10)\\&\ 0,9t\le\ln(10)\\&\ \boxed{t\le\frac{\ln(10)}{0,9}\approx2,56}\end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r @{ | } l} &\\\\\\\\\  \end{array}\ \ \ \ \begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} \boxed{1-0,1e^{0,9t}\le0}\ &\ 0,1e^{0,9t}\ge1\\&\ e^{0,9t}\ge10\\&\ \ln(e^{0,9t})\ge\ln(10)\\&\ 0,9t\ge\ln(10)\\&\ \boxed{t\ge\frac{\ln(10)}{0,9}\approx2,56}\end{array}

D'où le tableau de variation de la fonction g sur l'intervalle [0 ; +infini[ :

 \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\dfrac{\ln(10)}{0,9}\approx2,56&&+\infty\\\hline 1-0,1e^{0,9t}&&+&0&-&\\\hline g'(t)&&+&0&-&\\\hline &&&g(\frac{\ln(10)}{0,9})&& \\ g(t)&&\nearrow&&\searrow& \\ &0&&MAX&& \\ \hline \end{array}

Nous en déduisons alors que la concentration plasmatique sera maximale après 2,56 heures, soit après environ 2 h 34 min.

Partie C : administration répétée par voie intraveineuse


1. Démontrons par récurrence que pour tout entier n supegal 1 : un = 40 - 40multiplie0,5n.

Initialisation : Montrons que l'égalité est vraie pour n = 1, soit que u_1=40-40\times0,5^1

Nous savons par l'énoncé que u1 = 20.
De plus, 40 - 40multiplie0,51 = 40 - 40multiplie0,5 = 40 - 20 = 20.

D'où \boxed{u_1=40-40\times0,5^1.}

Hérédité : Montrons que si l'égalité est vraie pour un nombre entier naturel n, alors elle est encore vraie au rang (n + 1).
Montrons donc que si, pour un nombre entier naturel n, nous supposons que un = 40 - 40multiplie0,5n,
alors nous avons : un+1 = 40 - 40multiplie0,5n+1.

En effet,

 \begin{array}{r @{ = } l} u_{n+1}\ &\ 0,5\times u_n+20\\&\ 0,5\times (40-40\times0,5^n)+20\\&\ 0,5\times 40-0,5\times 40\times0,5^n+20\\&\ 20-40\times0,5\times0,5^n+20\\&\ 40-40\times0,5^{n+1} \end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=40-40\times0,5^{n+1}}
L'hérédité est donc vraie.

Par conséquent, puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier n supegal 1 : un=40-40multiplie0,5n.

2. Nous savons que  \lim\limits_{n\to+\infty}0,5^n=0\ \ \text{car}\ \ 0<0,5<1

D'où

 \begin{array}{r @{ = } l} \lim\limits_{n\to+\infty}u_n\ &\ \lim\limits_{n\to+\infty}(40-40\times0,5^n)\\&\ 40-40\times\lim\limits_{n\to+\infty}0,5^n\\&\ 40-40\times0\\&\ 40 \end{array}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=40.}

3. Le problème revient à déterminer le plus petit entier naturel n tel que : un supegal 38.

 \begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} u_n\ge38\ &\ 40-40\times0,5^n\ge38\\&\ -40\times0,5^n\ge-2\\&\ 0,5^n\le\dfrac{-2}{-40}\\&\ 0,5^n\le0,05\\&\ \ln(0,5^n)\le\ln(0,05)\\&\ n\times\ln(0,5)\le\ln(0,05)\\&\ n\ge\dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,5)} \end{array}\\\\\\\dfrac{\ln(0,05)}{\ln(0,5)}\approx4,32

Donc le plus petit entier naturel n tel que : un supegal 38 est n = 5.

Par conséquent, pour atteindre l'équilibre, il faudra effectuer un minimum de 5 injections..



exercice 4 - Candidats n'ayant pas choisi la spécialité mathématique


Partie A : étude du cas particulier n = 6


1. Nous savons par l'énoncé que le triangle OA6B6 est isocèle.

Les 6 triangles sont superposables au triangle OA6B6.
D'où les angles au centre sont égaux et leur mesure est égale à \dfrac{2\pi}{6}, soit à \dfrac{\pi}{3}.

Donc la mesure de l'angle au sommet principal du triangle isocèle OA6B6 étant égale à \dfrac{\pi}{3}, ce triangle OA6B6 est équilatéral.

Les 6 triangles sont isométriques et ont donc la même aire.
Or l'aire totale du polygone est égale à 1.

Nous en déduisons que l'aire du triangle OA6B6 est égale à \dfrac{1}{6}.

2. Désignons par H le pied de la hauteur du triangle OA6B6 issue de B6.

Comme le triangle OA6B6 est équilatéral, la hauteur (B6H) est également médiane issue de B6.
D'où OH=\dfrac{OA_6}{2}=\dfrac{r_6}{2}

Par Pythagore dans le triangle OHB6 rectangle en H, nous avons :

 OB_6\,^2=OH^2+B_6H^2\\\\r_6\,^2=(\dfrac{r_6}{2})^2+B_6H^2\\\\r_6\,^2=\dfrac{r_6\,^2}{4}+B_6H^2\\\\B_6H^2=r_6\,^2-\dfrac{r_6\,^2}{4}=\dfrac{4r_6\,^2-r_6\,^2}{4}\\\\B_6H^2=\dfrac{3r_6\,^2}{4}\\\\\Longrightarrow\boxed{B_6H=\dfrac{r_6\sqrt{3}}{2}}

3. Exprimons l'aire \mathcal{A} du triangle OA6B6 de deux manières différentes.

D'une part,

 \mathcal{A}=\dfrac{OA_6\times B_6H}{2}\\\\\mathcal{A}=\dfrac{r_6\times\dfrac{r_6\sqrt{3}}{2}}{2}\\\\\mathcal{A}=\dfrac{r_6\,^2\times\sqrt{3}}{4}

D'autre part, nous avons montré que \mathcal{A}=\dfrac{1}{6}

Nous en déduisons alors que :

\dfrac{r_6\,^2\times\sqrt{3}}{4}=\dfrac{1}{6}\\\\r_6\,^2=\dfrac{4}{6\sqrt{3}}\\\\r_6\,^2=\dfrac{2}{3\sqrt{3}}\\\\\Longrightarrow\boxed{r_6=\sqrt{\dfrac{2}{3\sqrt{3}}}}

Partie B : cas général avec n supegal 4


1. Désignons par H le pied de la hauteur du triangle OAnBn issue de Bn.

Dans le triangle OHBn rectangle en H, nous avons :

 \sin(\widehat{HOB_n})=\dfrac{B_nH}{OB_n}\\\\\sin(\theta_n)=\dfrac{B_nH}{r_n}\\\\\Longrightarrow\boxed{B_nH=r_n\sin(\theta_n)}

L'aire \mathcal{A}_n du triangle OAnBn est donnée par :

 \mathcal{A}_n=\dfrac{OA_n\times B_nH}{2}\\\\\mathcal{A}_n=\dfrac{r_n\times r_n\sin(\theta_n)}{2}\\\\\Longrightarrow\boxed{\mathcal{A}_n=\dfrac{r_n\,^2}{2}\sin(\theta_n)}

2. Puisque les 6 triangles sont isométriques, les angles au centre ont la même mesure, soit \dfrac{2\pi}{n}.

D'où  \boxed{\theta_n=(\overrightarrow{OA_n};\overrightarrow{OB_n})=\dfrac{2\pi}{n}}

Puisque l'aire du polygone Pn est égale à 1, nous en déduisons que :

 n\times\dfrac{r_n\,^2}{2}\sin(\theta_n)=1\\\\\dfrac{n\times r_n\,^2\times\sin(\theta_n)}{2}=1\\\\r_n\,^2=\dfrac{2}{n\times \sin(\theta_n)}\\\\r_n=\sqrt{\dfrac{2}{n\times \sin(\theta_n)}}\\\\\boxed{r_n=\sqrt{\dfrac{2}{n\times \sin(\dfrac{2\pi}{n})}}}

Partie C : étude de la suite (rn)


1. Pour tout entier naturel n supegal 4, nous avons :

 0<2<n<n+1\\\\\Longleftrightarrow0<\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{2}\\\\\Longleftrightarrow0<\dfrac{2\pi}{n+1}<\dfrac{2\pi}{n}<\dfrac{2\pi}{2}\\\\\Longleftrightarrow0<\dfrac{2\pi}{n+1}<\dfrac{2\pi}{n}<\pi\\\\\Longleftrightarrow0<f(\dfrac{2\pi}{n+1})<f(\dfrac{2\pi}{n})\ \ \ \text{car f est positive et croissante sur }]0;\pi[\\\\\Longleftrightarrow0<\dfrac{1}{\pi}f(\dfrac{2\pi}{n+1})<\dfrac{1}{\pi}f(\dfrac{2\pi}{n})\\\\\Longleftrightarrow0<\sqrt{\dfrac{1}{\pi}f(\dfrac{2\pi}{n+1})}<\sqrt{\dfrac{1}{\pi}f(\dfrac{2\pi}{n})}\\\\\Longleftrightarrow\boxed{0<r_{n+1}<r_n}

Par conséquent, pour tout entier naturel n supegal 4, la suite (rn) est strictement décroissante.

2. La suite (rn) est strictement décroissante et est minorée par 0.
Donc cette suite (rn) converge vers un réel L.

3. L'algorithme affichera en sortie la valeur du plus petit entier naturel n vérifiant la relation rn infegal 0,58.

Par la calculatrice, nous obtenons :

 \left\lbrace\begin{array}l r_{10}\approx0,583318\\r_{11}\approx0,579915 \end{array}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{array}l r_{10}>0,58\\r_{11}<0,58 \end{array}

Par conséquent, la valeur affichée en sortie de cet algorithme est 11.



exercice 4 - Candidats ayant choisi la spécialité mathématique


1. A=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{A=\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}}

B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{B=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}

2. Le trajet « gauche-droite-gauche » à partir de la matrice initiale aboutit à la matrice C suivante :

 C=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\\\\C= \begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{C= \begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}}

Puisque C est une matrice de l'arbre de Stern-Brocot, la fraction associée est donnée par le calcul \dfrac{2+1}{3+2}=\dfrac{3}{5}..

Par conséquent, le trajet « gauche-droite-gauche » à partir de la matrice initiale dans l'arbre, aboutit à une matrice correspondant à la fraction \dfrac{3}{5}.

3. a) Développons d(a + c) - c(b + d)

 \begin{array}{r @{ = } l} d(a +c)-c(b +d)\ &\ ad+cd-bc-cd\\&\ ad-bc\\&\ 1\ \ \text{car}\ \ \Delta_M=ad-bc=1 \end{array}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Si}\ \ \Delta_M=ad-bc=1\ \ \text{alors}\ \ d(a +c)-c(b +d)=1}

b) M\times G=\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c&c\\b+d&d\end{pmatrix}

D'où \Delta_{M\times G}=d(a+c)-c(b+d).

Or, dans la question précédente nous avons montré que si  \Delta_M=ad-bc=1, alors d(a +c)-c(b +d)=1.

Par conséquent, \boxed{\Delta_{M\times G}=d(a+c)-c(b+d) =1}.

4. Nous savons que toutes les matrices N de l'arbre de Stern-Brocot vérifient \Delta_{N}=d(a+c)-c(b+d)=1.

Or, par le théorème de Bézout, deux entiers (a+c) et (b+d) sont premiers entre eux si et seulement s'il existe deux entiers x et y tels que (a+c)x +(b+d)y = 1.

Nous avons montré que ces entiers x et y existent.
Il suffit de prendre x = d et y = -c.

D'où les deux entiers (a+c) et (b+d) sont premiers entre eux.

Par conséquent, la fraction \dfrac{a+c}{b+d} est irréductible.

5. a) Tableau utilisant les valeurs m = 4 et n = 7.

 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Affichage}&&\text{Gauche}&\text{Droite}&\text{Gauche}&\text{Gauche} \\\hline m&\ \ \ \ 4\ \ \ \ &4&1&1&1\\\hline n&\ \ \ \ 7\ \ \ \ &3&3&2&1\\\hline \end{array}

b) Nous pouvons conjecturer que cet algorithme fournit le chemin à parcourir pour aboutir à une fraction donnée \dfrac{m}{n} en partant de la matrice I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

Vérifions cette conjecture avec les valeurs m = 4 et n = 7.

Le tableau de la question 5a) nous indique que le trajet « gauche-droite-gauche-gauche » permet obtenir la fraction \dfrac{4}{7}.

Dans la question 2, nous avions déterminé la matrice C=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix} correspondant au chemin « gauche-droite-gauche » en partant de la matrice I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

D'où la matrice correspondant au chemin « gauche-droite-gauche-gauche » sera donnée par :

\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\times G=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}=\boxed{\begin{pmatrix}3&1\\5&2\end{pmatrix}}.

La fraction associée à cette matrice est \dfrac{3+1}{5+2}=\dfrac{4}{7}=\dfrac{m}{n}.

Donc la conjecture est bien vérifiée avec les valeurs m = 4 et n = 7.

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