Car et sont deux événements complémentaires.
On a donc
2. En résolvant cette équation on trouve
Donc
On en déduit
car
Partie B
1. D'après l'énoncé on a
On sait que l'espérance d'une loi exponentielle de paramètre est .
On a donc et on en tire
2. Par définition d'une loi exponentielle
3. Les lois exponentielles sont des lois " sans mémoire ".
L'indication " la machine a déjà fonctionné trois ans " n'a aucune importance.
La question revient donc à calculer ce qui a été fait à la question précédente.
Partie C
1.
On prend sa calculatrice et on trouve :
2.
On trouve
Ce qui s'interprète par : des tablettes ont un pourcentage de cacao compris entre et
3. Si l'affirmation de la chocolaterie est exacte, le nombre de tablettes ne répondant pas au critère dans l'échantillon suit une loi binomiale de paramètres 550 et 0,1.
Comme et on peut approcher cette loi par une loi normale d'espérance et d'écart-type
Sous cette hypothèse,on peut calculer un intervalle de fluctuation à .
On trouve que
Le résultat obtenu est en dehors de cet intervalle.
Au seuil de risque on mettre en doute l'affirmation de la chocolaterie
( ou les méthodes d'analyse du responsable achat ). 3 points
exercice 2
On peut utiliser la forme canonique du polynôme ou un calcul de discriminant.
Avec la forme canonique:
quelques soient les réels et on a
1-a.Comme par hypothèse on a et pour toutes les valeurs de . Si l'équation a des solutions elles ne sont pas réelles. Le point suivant montre qu'il y a bien deux racines complexes.
1-b.
donc
Ce qui donne bien le résultat attendu.
2.
On a : le triangle est isocèle en .
3. Le triangle est rectangle en si et seulement si d'après le théorème de Pythagore et sa
réciproque.
Le triangle est rectangle si et seulement si
c'est à dire si et seulement si 4 points
exercice 3
Partie A
1.
En utilisant la formule on obtient
2. Comme on a et
est donc du signe de
D'où le tableau de variation :
Partie B
1.La courbe n'est pas un arc de cercle car son intersection avec l'axe des ordonnées est à une distance
(en unités graphiques) égale à de l'origine du repère, or les intersections avec l'axe des
abscisses sont à une distance de 2,5 de l'origine du repère.
2.
La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
L'aire de la zone de creusement est l'aire entre comprise entre la courbe et l'axe des abscisses.
Elle est égale à en unité d'aire du repère car elle est au-dessus de cet axe.
L'unité de longueur du repère étant l'unité d'aire du repère est
En mètre carré elle est donc égale à
3. Comme dans la suite on peut remplacer par 0,05.
3.a Les explications suivantes ne sont pas demandées, il suffit de mettre les valeurs dans le tableau.
À l'étape 1 prend la valeur .
Comme vaut zéro au début de cette étape, à la fin prend la même valeur. On peut vérifier que la valeur de à
la fin de l'étape 2 est bien égale à la valeur de à la fin de l'étape 2 plus la valeur de à la fin de l'étape 2.
La valeur de à la fin de l'étape 4 est égale à la valeur de $S$ à la fin de l'étape 3 plus la valeur de à la fin
de l'étape 4 soit
3.b On sait que l'aire de la zone de creusement est égale à et que
soit et donc
.
D'où
L'aire de la zone à creuser est d'environ .
5 points
exercice 4
Partie A
1. En il a entré et en il a entré .
2. On peut penser que tend vers et que tend vers 3.
Partie B
1.
Initialisation : pour on a bien .
Hérédité : si alors
La proposition est démontrée par récurrence.
2. La limite de la suite est plus l'infini,
de même la limite de la suite est plus l'infini.
D'après le théorème sur les limites des sommes de suites, la limite de est plus l'infini.
3. La suite est clairement croissante.
On cherche une valeur candidate en calculant . On trouve un nombre entre 18 et 19.
et .
La plus petite valeur de qui convient est donc 19.
Partie C
Une remarque préliminaire :
1.
Cette quantité est évidement négative quand
La suite est donc décroissante pour .
2. Comme la suite de terme général tend vers zéro
d'après le théorème des gendarmes.
Il est connu que la suite de terme général tend vers zéro.
D'après le théorème d'addition des limites,
5 points
exercice 4-(Spe)
Partie A
1.Une réponse possible :
En on peut écrire
En on peut écrire
2.
On peut penser que PGCD
3.On peut penser que la suite converge vers un nombre voisin de 1,5.
Partie B
1. Initialisation :
Hérédité :
Si alors
La proposition est démontrée par récurrence.
2.
Par définition le PGCD de et divise toutes les combinaisons linéaires de et .
Il divise donc c'est à dire . Or le seul diviseur positif de est 1.
PGCD
On peut aussi dire que si est impair et que si est pair.
Partie C
1. Dans cette question on demande de faire des produits de matrices. Le premier calcul est détaillé, l'autre moins.
1.a Il suffit de vérifier que le produit de la matrice proposée et de la matrice $P$ est égal
à la matrice identité.
1.b
Or, .
On a donc d'où le résultat demandé.
2.
d'après la question précédente.
En divisant le numérateur et le dénominateur par on arrive à
Or .
Donc
3 points
exercice 5
On remarque que B(1;0;0) est un point de .
Il en est de même des points D'(0;2;0) et E'(0;0;3).
En effet les coordonnées de ces trois points vérifient l'équation de .
On place D' et E' en utilisant les relations
La droite (BD') est dans le plan et dans le plan
La droite (CD) est dans le plan .
Ces deux droites sont donc coplanaires et manifestement sécantes en un point J.
Le point J est donc l'intersection de la droite (CD) et du plan .
On construit de même le point K intersection de et de la droite (EH) et le point L intersection de et de la droite (EF).
Enfin les droites (KL) et (GH) sont dans le plan (EFH) et elles se coupent en M.
La section cherchée est le quadrilatère BJML
Merci à verdurin pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche
Publié par malou
le
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