Fiche de mathématiques
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Bac S Pondichéry Obligatoire et spécialité

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La calculatrice est autorisée

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exercice 1

Partie A

1. D'après l'énoncé on a \text{P}_A(C)=0,\!98\quad \text{P}_B(C)=0,\!95 \quad  \text{et}\quad \text{P}(A)=x.

Or \text{P}_A(C)=\frac{\text{P}(A\cap C)}{\text{P}(A)} \quad \text{et} \quad  \text{P}_B(C)=\frac{\text{P}(B\cap C)}{\text{P}(B)}.
On en déduit
 \text{P}(A\cap C)= 0,\!98\text{P}(A)=0,\!98 x
et
\text{P}(B\cap C)= 0,\!95\text{P}(B)=0,\!95(1-x)
Car A et B sont deux événements complémentaires.
On a donc
\text{P}(C)=\text{P}(A\cap C)+\text{P}(B\cap C)=0,\!98 x+0,\!95(1-x)=0,\!95+0,\!03x

2.  \text{On a } \!95+0,\!03x=0,\,96.
En résolvant cette équation on trouve x=\frac13.
Donc \text{P}(A)=\frac13.
On en déduit
\text{P}(B)=\frac23 car \text{P}(B)=1-\text{P}(A)
\text{puis  }\text{P}(B)=2\text{P}(A)

Partie B


1. D'après l'énoncé on a \text{E}(Z)=5.
On sait que l'espérance d'une loi exponentielle de paramètre \lambda est 1/\lambda.
On a donc 1/\lambda=5 et on en tire  \lambda=0,\!2

2. Par définition d'une loi exponentielle \text{P}(Z>2)=\text{e}^{-2\lambda}=\text{e}^{-0,4}\simeq 0,\!670

3. Les lois exponentielles sont des lois " sans mémoire ".
L'indication " la machine a déjà fonctionné trois ans " n'a aucune importance.
La question revient donc à calculer \text{P}(Z>2) ce qui a été fait à la question précédente.

Partie C


1. On prend sa calculatrice et on trouve : \text{P}(83\ge X \ge 87) \simeq 0,\!683

2. On trouve  a\simeq 1,\!645\times 2=3,\!29.
Ce qui s'interprète par : 90\% des tablettes ont un pourcentage de cacao compris entre 81,71\% et 87,29\%

3. Si l'affirmation de la chocolaterie est exacte, le nombre de tablettes ne répondant pas au critère dans l'échantillon suit une loi binomiale de paramètres 550 et 0,1. Comme 550\times0,\!1>30 et 550\times0,\!9>30 on peut approcher cette loi par une loi normale d'espérance 550\times0,\!1=55 et d'écart-type \sqrt{550\times0,\!1\times0,\!9}\simeq 7
Sous cette hypothèse,on peut calculer un intervalle de fluctuation à 99\%.
On trouve que \lbrack 37\;;73\rbrack
Le résultat obtenu est en dehors de cet intervalle.
Au seuil de risque 1\% on mettre en doute l'affirmation de la chocolaterie ( ou les méthodes d'analyse du responsable achat ).


exercice 2


On peut utiliser la forme canonique du polynôme ou un calcul de discriminant.
Avec la forme canonique: quelques soient les réels $c$ et $z$ on a $z^2-6z+c=(z-3)^2+c-9$

1-a.Comme $c>9$ par hypothèse on a $c-9>0$ et $(z-3)^2+c-9>0$ pour toutes les valeurs de $z$. Si l'équation a des solutions elles ne sont pas réelles. Le point suivant montre qu'il y a bien deux racines complexes.

1-b. $c-9=-(i\sqrt{c-9}\,)^2$ donc \[z^2-6z+c=(z-3)^2-(i\sqrt{c-9}\,)^2=(z-3-i\sqrt{c-9})(z-3+i\sqrt{c-9})=(z-z_A)(z-z_B)\]
Ce qui donne bien le résultat attendu.

2. $OA^2=\lvert z_A \rvert^2=9+c-9=c$
$OB^2=\lvert z_B \rvert^2=9+c-9=c$
On a $OA=OB$ : le triangle $QAB$ est isocèle en $O$.

3. Le triangle $OAB$ est rectangle en $O$ si et seulement si $OA^2+OB^2=AB^2$ d'après le théorème de Pythagore et sa réciproque.
$AB^2=\lvert z_A - z_B\rvert^2=(2\sqrt{c-9}\,)^2=4c-36$
Le triangle est rectangle si et seulement si $4c-36=2c$
c'est à dire si et seulement si $c=18$

exercice 3


Partie A


1. En utilisant la formule $(\ln u)'=\frac{u'}{u}$ on obtient
\[f'(x)=\frac{-4x}{-2x^2+13,\!5}\]

2. Comme $\lvert x\rvert \leqslant2,\!5$ on a $x^2\leqslant6,25$ et $-2x^2+13,\!5\geqslant 1>0$
$f'(x)$ est donc du signe de  $-x$.
D'où le tableau de variation :
\begin{array}{|c|ccccc|} 	\hline x & -2,\!5 & & 0 & & 2,\!5\\ 	\hline 	f'(x)& & + & 0 & -&\\ 	\hline 	f&0&\nearrow&\ln(13,\!5)&\searrow&0 	\\ \hline \end{array}

Partie B


1.La courbe $\mathcal{C}$ n'est pas un arc de cercle car son intersection avec l'axe des ordonnées est à une distance (en unités graphiques) égale à $\ln(13,\!5)\simeq 2,\!6$ de l'origine du repère, or les intersections avec l'axe des abscisses sont à une distance de 2,5 de l'origine du repère.

2. La courbe $\mathcal{C}$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
L'aire de la zone de creusement est l'aire entre comprise entre la courbe et l'axe des abscisses.
Elle est égale à $2\int_0^{2,5} f(x)\text{d}x$ en unité d'aire du repère car elle est au-dessus de cet axe.
L'unité de longueur du repère étant $2\,\text{m}$ l'unité d'aire du repère est $2\,\text{m}\times2\,\text{m}=4\,\text{m}^2$
En mètre carré elle est donc égale à $4\times2\int_0^{2,5} f(x)\text{d}x$

3. Comme $n=50$ dans la suite on peut remplacer $\frac{2,5}{n}$ par 0,05.
3.a Les explications suivantes ne sont pas demandées, il suffit de mettre les valeurs dans le tableau.

À l'étape 1 $R$ prend la valeur $\np{0,05}f(\np{0,05})\simeq\np{ 0.130116}$.

Comme $S$ vaut zéro au début de cette étape, à la fin $S$ prend la même valeur. On peut vérifier que la valeur de $S$ à la fin de l'étape 2 est bien égale à la valeur de $S$ à la fin de l'étape 2 plus la valeur de $R$ à la fin de l'étape 2.

La valeur de $S$ à la fin de l'étape 4 est égale à la valeur de $S$ à la fin de l'étape 3 plus la valeur de $R$ à la fin de l'étape 4 soit $\np{0,390144}+\np{0,129837}\simeq \np{0.519981} $

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3.b On sait que l'aire de la zone de creusement est égale à $8I$ et que
$\np{5,197538}\leqslant I\leqslant \np{5,197538}+\np{0.05}\times\ln(\np{13.5})$
soit $\np{5,197538}\leqslant I\leqslant \np{5,197538}+\np{0.05}\times\ln(\np{13.5})$ et donc
$\np{5,197538}\leqslant I\leqslant \np{5.3276725}$.
D'où $\np{41.5}\leqslant\mathcal{A}\leqslant\np{42.6}$
L'aire de la zone à creuser est d'environ 42\text{ m}^2}.


exercice 4-Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité


Partie A


1. En \texttt{B3} il a entré \texttt{=2*B2-A2+3} et en \texttt{C3} il a entré \texttt{=2*C2}.

2. On peut penser que $u_n$ tend vers $+\infty$ et que $\frac{u_n}{v_n}$ tend vers 3.

Partie B


1. Initialisation : pour $n=0$ on a bien $3\times2^0+0-2=1$.

Hérédité : si $u_n=3\times 2^n+n-2$ alors

\begin{array}{r @{ = } l}  	u_{n+1}&2(3\times 2^n+n-2)-n+3 \quad \text{par définition de la suite}\\ 		&3\times 2^{n+1}+2n-4-n+3\\ 		& 3\times 2^{n+1}+n-1\\ 		&  3\times 2^{n+1}+(n+1)-2 	\end{array}
La proposition est démontrée par récurrence.

2. La limite de la suite $n\mapsto 3\times2^n$ est plus l'infini,
de même la limite de la suite $n\mapsto n-2$ est plus l'infini.
D'après le théorème sur les limites des sommes de suites, la limite de $(u_n)$ est plus l'infini.

3. La suite $(u_n)$ est clairement croissante.
On cherche une valeur candidate en calculant $\ln(10^6/3)/\ln(2)$. On trouve un nombre entre 18 et 19.
$u_{18}=\np{786448}$ et $u_{19}=\np{1572881}$.
La plus petite valeur de $n$ qui convient est donc 19.

Partie C


Une remarque préliminaire :

\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{3\times 2^n+n-2}{2^n}=3+\dfrac{n-2}{2^n}=3+\dfrac{n}{2^n}-\dfrac{1}{2^{n-1}}

1. $\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\dfrac{u_{n}}{v_{n}}=3+\dfrac{n+1-2}{2^{n+1}}-\left(3+\dfrac{n-2}{2^n}\right)= 	\dfrac{3-n}{2^{n+1}}$

Cette quantité est évidement négative quand $n\geqslant3$
La suite $\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ est donc décroissante pour $n\geqslant3$.

2. Comme $0\leqslant\frac{n}{2^n}\leqslant\frac{1}{n}$ la suite de terme général $\frac{n}{2^n}$ tend vers zéro d'après le théorème des gendarmes.

Il est connu que la suite de terme général $\frac{1}{2^{n-1}}$ tend vers zéro.

D'après le théorème d'addition des limites, \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=3


exercice 4-Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité


Partie A


1.Une réponse possible :
En \texttt{B3} on peut écrire \texttt{=2*B2+3*C2}
En \texttt{C3} on peut écrire \texttt{=2*B2+C2}

2. On peut penser que PGCD$(u_n\,;v_n)=1$

3.On peut penser que la suite converge vers un nombre voisin de 1,5.

Partie B


1. Initialisation : $2u_0-3v_0=2-3=-1=(-1)^{0+1}$
Hérédité :
\begin{array}{r @{ = } l}  	2u_{n+1}-3v_{n+1}&2(2u_n+3v_n)-3(2u_n+v_n)\\  		&4u_n+6v_n-6u_n-3v_n\\  		&-2u_n+3v_n\\  		&-(2u_n-3v_n)  	\end{array}
Si $2u_n-3v_n=(-1)^{n+1}$ alors $2u_{n+1}-3v_{n+1}=(-1)^{n+1+1}$
La proposition est démontrée par récurrence.

2. Par définition le PGCD de $u_n$ et $v_n$ divise toutes les combinaisons linéaires de $u_n$ et $v_n$.
Il divise donc $2u_n-3v_n$ c'est à dire $(-1)^{n+1}$. Or le seul diviseur positif de $(-1)^{n+1}$ est 1.
PGCD $(u_n\,;v_n)=1$
On peut aussi dire que $2u_n-3v_n=1$ si $n$ est impair et que $-2u_n+3v_n=1$ si $n$ est pair.

Partie C

1. Dans cette question on demande de faire des produits de matrices. Le premier calcul est détaillé, l'autre moins.
1.a Il suffit de vérifier que le produit de la matrice proposée et de la matrice $P$ est égal à la matrice identité.

\dfrac15\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&3\\-1&2\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 		2\times1+(-3)\times(-1)&2\times3+(-3)\times2\\1\times1+1\times(-1)&1\times3+1\times2\end{pmatrix} 		=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}


1.b
P^{-1}\cdot X_0=\dfrac15\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}\text{ donc } Q_n\cdot P^{-1}\cdot X_0=\dfrac15  		\begin{pmatrix} (-1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}\\ (-1)^{n+2}+2^{2n+2}\end{pmatrix}
Or, $(-1)^{n+2}=(-1)^n$.

On a donc $\displaystyle \begin{pmatrix}u_n\\v_n\end{pmatrix}= 		\dfrac15\begin{pmatrix} (-1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}\\ (-1)^{n}+2^{2n+2}\end{pmatrix}$ d'où le résultat demandé.

2. $\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{(-1)^{n+1}+3\times 2^{2n+1}}{(-1)^{n}+2^{2n+2}}$ d'après la question précédente.
En divisant le numérateur et le dénominateur par $2^{2n+1}$ on arrive à $\dfrac{u_n}{v_n}=\dfrac{\frac{(-1)^{n+1}}{2^{2n+1}}+3}{\frac{(-1)^{n}}{2^{2n+1}}+2}$

Or $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{2^{2n+1}}=0.

Donc $\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{v_n}=\frac{0+3}{0+2}=\frac32$

exercice 5


On remarque que B(1;0;0) est un point de \mathcal P.
Il en est de même des points D'(0;2;0) et E'(0;0;3).
En effet les coordonnées de ces trois points vérifient l'équation de \mathcal P.
On place D' et E' en utilisant les relations \overrightarrow{AD'}=2\overrightarrow{AD}\qquad\overrightarrow{AE'}=3\overrightarrow{AE}

La droite (BD') est dans le plan \mathcal P et dans le plan z=0
La droite (CD) est dans le plan z=0.
Ces deux droites sont donc coplanaires et manifestement sécantes en un point J.
Le point J est donc l'intersection de la droite (CD) et du plan \mathcal P.

On construit de même le point K intersection de \mathcal P et de la droite (EH) et le point L intersection de \mathcal P et de la droite (EF).

Enfin les droites (KL) et (GH) sont dans le plan (EFH) et elles se coupent en M.

La section cherchée est le quadrilatère BJML
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Merci à verdurin pour avoir participé à l'élaboration de cette fiche
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