Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Mathématiques

S Obligatoire et spécialité

Polynésie Française 2017

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Corrigé Bac S Obligatoire et spécialité

Polynésie Française 2017

6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Partie A - Durée d'attente

1. a) La variable aléatoire D₁ suit la loi exponentielle de paramètre lambda

= 0,6.

La durée d'attente moyenne est donnée par $E(D_1)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{0,6}\approx1,667\ \text{min.}$

D'où la durée d'attente moyenne que peut espérer un client Internet qui appelle cette ligne d'assistance est d'environ 1,667 min, soit environ 1 min 40 s.

b) Nous savons que si X suit la loi exponentielle de paramètre lambda

, alors $P(X\le x)=1-e^{-\lambda x}\ \ \text{si }x\ge0.$

D'où la probabilité que la durée d'attente soit inférieure à 5 minutes se calcule par

$\begin{array}{r @{ = } l} P(D_1\le5)\ &\ 1-e^{-0,6\times5}\\&\ 1-e^{-3} \end{array}\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \approx0,950$

Par conséquent la probabilité que la durée d'attente d'un client Internet choisi au hasard soit inférieure à 5 minutes est environ égale à 0,950.

2. a) Nous devons déterminer la valeur de lambda

sachant que P(D₂ infegal

4)=0,798.

$\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} P(D_2\le4)=0,798\ &\ 1-e^{-\lambda\times4}=0,798\\&\ e^{-4\lambda}=1-0,798\\&\ e^{-4\lambda}=0,202\\&\ \ln(e^{-4\lambda})=\ln(0,202)\\&\ -4\lambda=\ln(0,202)\\&\ \boxed{\lambda=\dfrac{\ln(0,202)}{-4}}\\&\ \boxed{\lambda\approx0,4} \end{array}$

b) Nous devons calculer $P(D_2>5)\ \ \text{sachant que }\lambda=0,4.$

$\begin{array}{r @{ = } l} P(D_2>5)\ &\ 1-P(D_2\le5)\\&\ 1-(1-e^{-0,4\times5})\\&\ e^{-2} \end{array}\\.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \approx0,135$

Puisque 0,135 > 0,10, nous ne pouvons pas considérer que moins de 10 % des clients mobile choisis au hasard attendent plus de 5 minutes avant de joindre un opérateur.

Partie B - Obtention d'un opérateur

1. Soient les événements suivants :

I : "L'appel provient d'un client Internet"
O : "Le client obtient un opérateur"

Alors les données du problème peuvent se traduire par l'arbre pondéré suivant :

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La probabilité que le client joigne un opérateur se détermine par

$\begin{array}{r @{ = } l} P(O)\ &\ P_I(O)\times P(I)+P_{\overline{I}}(O)\times P(\overline{I})\\&\ 0,95\times0,7+0,87\times0,3\\&\ 0,926\end{array}$

D'où la probabilité que le client joigne un opérateur est égale à 0,926.

2.

La probabilité qu'un client soit un client Internet sachant qu'il n'a pas obtenu d'opérateur se calcule par

$P_{\overline{O}}(I)=\dfrac{P(\overline{O}\cap I)}{P(\overline{O})}\\\\P_{\overline{O}}(I)=\dfrac{P_{I}(\overline{O})\times P(I)}{1-P(O)}\\\\P_{\overline{O}}(I)=\dfrac{0,05\times0,7}{1-0,926}\\\\P_{\overline{O}}(I)=\dfrac{0,035}{0,074}\\\\\boxed{P_{\overline{O}}(I)\approx0,473}$

La probabilité qu'un client soit un client mobile sachant qu'il n'a pas obtenu d'opérateur se calcule par

$P_{\overline{O}}(\overline{I})=\dfrac{P(\overline{O}\cap \overline{I})}{P(\overline{O})}\\\\P_{\overline{O}}(\overline{I})=\dfrac{P_{\overline{I}}(\overline{O})\times P(\overline{I})}{1-P(O)}\\\\P_{\overline{O}}(\overline{I})=\dfrac{0,13\times0,3}{1-0,926}\\\\P_{\overline{O}}(\overline{I})=\dfrac{0,039}{0,074}\\\\\boxed{P_{\overline{O}}(\overline{I})\approx0,527}$

Nous constatons que $\boxed{P_{\overline{O}}(I)<P_{\overline{O}}(\overline{I}).}$

Par conséquent, il est plus probable que le client soit un client mobile s'il se plaint que son appel a pris fin après 5 minutes d'attente sans avoir obtenu d'opérateur.

Partie C - Enquête de satisfaction

Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I₁₃₀₃ au seuil de 95 % de la proportion de clients satisfaits ayant appelé et obtenu un opérateur.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

$\left\lbrace\begin{array}l n=1303\ge30 \\ p=0,85\Longrightarrow np=1303\times0,85=1107,55\ge5 \\n(1-p)=1303\times(1-0,85)=1303\times0,15=195,45\ge5 \end{array}$

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I₁₃₀₃ au seuil de 95% est :

$I_{1303}=\left[0,85-1,96\sqrt{\dfrac{0,85 (1-0,85)}{ 1303}};0,85+1,96\sqrt{\dfrac{0,85 (1-0,85)}{ 1303}}\right]\\\\I_{1303}\approx[0,83;0,87]$

b. La fréquence observée est $f=\dfrac{1150}{1303}\approx0,883$

Nous remarquons que $f\notin I_{1303}.$

Par conséquent, la fréquence observée d'environ 88,3 % est supérieure aux valeurs de l'intervalle I₁₃₀₃ . On peut donc affirmer, au risque de se tromper de 5%, que le taux réel de satisfaction est meilleur que le taux annoncé par la société.

5 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. On choisit R = 20 cm.

a) Le volume du cône de hauteur h et dont le rayon de la base est $\ell$ se calcule par $V(h)=\dfrac{1}{3}\pi\ell^2h.$

Basons-nous sur la troisième figure proposant un triangle rectangle d'hypoténuse R et dont les côtés de l'angle droit ont comme mesures h et $\ell .$

Par Pythagore, nous obtenons :

$\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} \ell^2+h^2=R^2\ &\ \ell^2=R^2-h^2\\&\ \ell^2=20^2-h^2\\&\ \ell^2=400-h^2 \end{array}$

Par conséquent, le volume du cône est $\boxed{V(h)=\dfrac{1}{3}\pi(400-h^2)h}.$

b) Etudions les variations de la fonction V définie sur l'intervalle [0 ; 20] par $V(h)=\dfrac{1}{3}\pi(400-h^2)h.$

$V'(h)= \dfrac{1}{3}\pi[(400-h^2)h]'\\\\V'(h)=\dfrac{1}{3}\pi(400h-h^3)' \\\\V'(h)=\dfrac{1}{3}\pi(400-3h^2)\\\\\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} V'(h)=0\ &\ \dfrac{1}{3}\pi(400-3h^2)=0\\&\ 400-3h^2=0\\&\ 3h^2=400 \\&\ h^2=\dfrac{400}{3}\\&\ h=\pm\dfrac{20}{\sqrt{3}}\approx\pm11,5\end{array}$

$\begin{array}{|c|cccccc|}\hline h&&0&&\dfrac{20}{\sqrt{3}}&&20 \\\hline 400-3h^2&&&+&0&-&\\\hline V'(h)&&&+&0&-&\\\hline &&&&V(\dfrac{20}{\sqrt{3}})&& \\ V(h)&&&\nearrow&Maximum&\searrow& \\ &&0&&&&0 \\ \hline \end{array}$

Par conséquent, la valeur de h rendant maximal le volume du cône est $\boxed{h= \dfrac{20}{\sqrt{3}}\approx11,5\ \text{cm}}.$

c) La longueur du cercle initial de rayon R est égal à la longueur du cercle de base du cône augmentée de la longueur de l'arc de cercle du secteur angulaire correspondant à l'angle de mesure alpha

.

D'où $2\pi R=2\pi\ell+R\alpha$

Or

$\begin{array}{r @{ \Longrightarrow } l} \left\lbrace\begin{array}l \ell^2=400-h^2\\h=\dfrac{20}{\sqrt{3}} \end{array}\ &\ \ell^2=400-\dfrac{400}{3}\\&\ \ell^2=\dfrac{800}{3}=\dfrac{2400}{9}\\&\ \ell=\sqrt{\dfrac{2400}{9}}=\sqrt{\dfrac{400\times6}{9}}\\&\ \boxed{\ell=\dfrac{20\sqrt{6}}{3}} \end{array}$

Donc

$\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} 2\pi R=2\pi\ell+R\alpha\ &\ 2\pi\times20=2\pi\times\dfrac{20\sqrt{6}}{3}+20\alpha\\&\ 40\pi=\dfrac{40\pi\sqrt{6}}{3}+20\alpha\\&\ 2\pi=\dfrac{2\pi\sqrt{6}}{3}+\alpha\ \ \ (\text{en divisant les deux membres par }20)\\&\ \alpha=2\pi-\dfrac{2\pi\sqrt{6}}{3}\\&\ \boxed{\alpha=2\pi(1-\dfrac{\sqrt{6}}{3})\ \text{rad}.} \end{array}\\\\\\2\pi(1-\dfrac{\sqrt{6}}{3})\ \text{rad}\equiv[2\pi(1-\dfrac{\sqrt{6}}{3})\times\dfrac{180}{\pi}]^{\text{o}}=[360(1-\dfrac{\sqrt{6}}{3})]^{\text{o}}\approx\boxed{66^{\text{o}}}$

Par conséquent, pour obtenir un volume maximal, il faut découper un secteur circulaire correspondant à un angle d'environ 66° (arrondi au degré près).

2. En reprenant la démarche de la question 1.c) et en appliquant cette démarche pour une valeur quelconque de R, nous obtenons :

$\begin{array}{r @{ \Longrightarrow } l} \left\lbrace\begin{array}l \ell^2=R^2-h^2\\h=\dfrac{R}{\sqrt{3}} \end{array}\ &\ \ell^2=R^2-\dfrac{R^2}{3}\\&\ \ell^2=\dfrac{2R^2}{3}=\dfrac{6R^2}{9}\\&\ \ell=\sqrt{\dfrac{6R^2}{9}}\\&\ \boxed{\ell=\dfrac{R\sqrt{6}}{3}} \end{array}$

Donc

$\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} 2\pi R=2\pi\ell+R\alpha\ &\ 2\pi R=2\pi\times\dfrac{R\sqrt{6}}{3}+R\alpha\\&\ 2\pi {\red{R}}={\red{R}}(2\pi\times\dfrac{\sqrt{6}}{3}+\alpha)\\&\ 2\pi=\dfrac{2\pi\sqrt{6}}{3}+\alpha\ \ \ (\text{en divisant les deux membres par }{\red{R}})\\&\ \alpha=2\pi-\dfrac{2\pi\sqrt{6}}{3}\\&\ \boxed{\alpha=2\pi(1-\dfrac{\sqrt{6}}{3})\ \text{rad}.\approx66^{\text{o}}} \end{array}$

Nous en déduisons que l'angle ne dépend pas du rayon R du disque en carton.

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. Deux atomes d'hydrogène sont positionnés sur les sommets A et C du cube.

D'où la distance entre ces deux atomes est la longueur AC d'une diagonale de la face ABCD.

Pour inscrire le tétraèdre comme indiqué dans l'énoncé, nous devons placer les deux autres atomes sur deux autres sommets du cube d'une manière telle que les distances entre deux quelconques des 4 atomes soient égales à la longueur d'une diagonale de la face ABCD.

Cette condition sera vérifiée sur nous plaçons les deux autres sommets du tétraèdre sur les sommets F et H du cube.

En effet, AC = AF = AH = CF = CH = FH = longueur des diagonales de carrés isométriques.

Représentation de la molécule dans le cube

Bac S Obligatoire et spécialité Polynésie Française 2017 et son corrigé : image 12

2. Le noyau de carbone au centre de la molécule est à égale distance des quatre atomes d'hydrogène.
Le seul point situé à égale distance de tous les sommets du cube est le centre omegamaj

du cube.

étant le seul point à égale distance des sommets A, C, F et H, l'atome de carbone se situera donc en .

3. Dans le repère $(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})$ , nous avons :

A(0 ; 0 ; 0) , B(1 ; 0 ; 0), C(1 ;1 ; 0), D(0 ;1; 0), E(0 ; 0 ; 1), F(1 ; 0 ; 1), G(1 ; 1 ; 1), H(0 ; 1 ; 1).

Le centre du cube est le milieu du segment [AG].

$\Omega(\dfrac{x_A+x_G}{2};\dfrac{y_A+y_G}{2};\dfrac{z_A+z_G}{2})\\\\\Omega(\dfrac{0+1}{2};\dfrac{0+1}{2};\dfrac{0+1}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{\Omega (\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})}.$

Calculons $\cos(\widehat{A\Omega C})$ en utilisant le produit scalaire $\overrightarrow{\Omega A}.\overrightarrow{\Omega C}.$

Première expression de ce produit scalaire

$\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{\Omega A}.\overrightarrow{\Omega C}\ &\ \Omega A\times\Omega C\times\cos(\widehat{A\Omega C})\\&\ \Omega A\times\Omega A\times\cos(\widehat{A\Omega C})\ \ \ \text{(car }\Omega A=\Omega C\text{ : voir question 2)}\\&\ \Omega A^2\times\cos(\widehat{A\Omega C})\end{array}\\\\\begin{array}{r @{ = } l} \text{Or }\ \Omega A^2\ &\ (x_A-x_{\Omega})^2+(y_A-y_{\Omega})^2+(z_A-z_{\Omega})^2\\&\ (0-\dfrac{1}{2})^2+(0-\dfrac{1}{2})^2+(0-\dfrac{1}{2})^2 \\&\ \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\\&\ \dfrac{3}{4}\end{array}$

D'où $\boxed{\overrightarrow{\Omega A}.\overrightarrow{\Omega C}=\dfrac{3}{4}\times\cos(\widehat{A\Omega C})}$

Deuxième expression de ce produit scalaire (par les coordonnées)

$\left\lbrace\begin{array}l \Omega (\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})\\\\A(0;0;0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{\Omega A}\begin{pmatrix}0-\dfrac{1}{2}\\\\0-\dfrac{1}{2} \\\\0-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{\Omega A}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2}\\\\-\dfrac{1}{2} \\\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{array}l \Omega (\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})\\\\C(1;1;0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{\Omega C}\begin{pmatrix}1-\dfrac{1}{2}\\\\1-\dfrac{1}{2} \\\\0-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{\Omega C}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\\\\\dfrac{1}{2} \\\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}}$

Dès lors

$\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{\Omega A}.\overrightarrow{\Omega C}\ &\ (-\dfrac{1}{2})\times\dfrac{1}{2}+(-\dfrac{1}{2})\times\dfrac{1}{2}+(-\dfrac{1}{2})\times(-\dfrac{1}{2})\\&\ -\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\\&\ -\dfrac{1}{4} \end{array}$

D'où $\boxed{\overrightarrow{\Omega A}.\overrightarrow{\Omega C}=-\dfrac{1}{4}}$

En comparant ces deux expressions du même produit scalaire, nous en déduisons que :

$\dfrac{3}{4}\times\cos(\widehat{A\Omega C})=-\dfrac{1}{4}\\\\\cos(\widehat{A\Omega C})=-\dfrac{1}{4}\times\dfrac{4}{3}\\\\\cos(\widehat{A\Omega C})=-\dfrac{1}{3}\\\\\widehat{A\Omega C}=\arccos(-\dfrac{1}{3})\\\\\Longrightarrow\boxed{\widehat{A\Omega C}\approx109,5^\text{o}}$

Par conséquent la mesure de l'angle que forment entre elles les liaisons carbone-hydrogène est environ égale à 109,5° (arrondi au dixième de degré).

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A - Cas général

1. Variations de la vitesse de la goutte d'eau.

$v(t)=9,81\,\dfrac{m}{k}\times(1-e^{-\frac{k}{m}t})\\\\\Longrightarrow v\,'(t)=9,81\,\dfrac{m}{k}\times[0-(-\dfrac{k}{m})e^{-\frac{k}{m}t}]\\\\\Longrightarrow v\,'(t)=9,81\,\dfrac{m}{k}\times\dfrac{k}{m}e^{-\frac{k}{m}t}\\\\\Longrightarrow \boxed{v\,'(t)=9,81\,e^{-\frac{k}{m}t}}$

Puisque la fonction exponentielle est strictement positive sur l'ensemble des réels, nous en déduisons que v'(t) > 0 sur l'intervalle [0 ; + infini

[.

Par conséquent, la fonction v est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +[.

2. La goutte d'eau ne ralentit pas au cours de sa chute puisque la fonction v est strictement croissante et que par conséquent la vitesse de la goutte augmente si t augmente.

3. Calcul de la vitesse limite de la goutte.

$\left\lbrace\begin{array}l k>0,\ m>0\Longrightarrow-\dfrac{k}{m}<0\Longrightarrow \lim\limits_{t\to+\infty}(-\dfrac{k}{m}t)=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty}e^T=0 \end{array}\ \ \ \ \Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}(e^{-\dfrac{k}{m}t})=0$

$\text{D'où }\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=\lim\limits_{t\to+\infty}\,[9,81\,\dfrac{m}{k}\times(1-e^{-\frac{k}{m}t})]\\\\\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=9,81\,\dfrac{m}{k}\times\lim\limits_{t\to+\infty}\,(1-e^{-\frac{k}{m}t})\\\\\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=9,81\,\dfrac{m}{k}\times(1-\lim\limits_{t\to+\infty}\,e^{-\frac{k}{m}t})\\\\\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=9,81\,\dfrac{m}{k}\times(1-0)\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=9,81\,\dfrac{m}{k}}$

Par conséquent, la vitesse limite de la goutte est égale à $9,81\,\dfrac{m}{k}\ (m.s^{-1}).$

4. $v(\dfrac{5m}{k})=9,81\dfrac{m}{k}\times(1-e^{-\dfrac{k}{m}\times \dfrac{5m}{k}})$

$v(\dfrac{5m}{k})=9,81\dfrac{m}{k} \times(1-e^{-5})\\\\v(\dfrac{5m}{k})\approx9,81\dfrac{m}{k} \times0,993\\\\\Longrightarrow\boxed{v(\dfrac{5m}{k})\approx 0,993\times9,81\dfrac{m}{k}>0,99\times9,81\dfrac{m}{k}}$

L'affirmation du scientifique est donc correcte : la vitesse de la goutte dépasse 99% de sa vitesse limite.

Partie B

1. Nous devons résoudre l'équation v(t) = 15.

$9,81\,\dfrac{m}{k}\times(1-e^{-\dfrac{k}{m}t})=15\ \ \text{avec }m=6\ \text{et }k=3,9\\\\9,81\times\dfrac{6}{3,9}\times(1-e^{-\dfrac{3,9}{6}t})=15\\\\\dfrac{58,86}{3,9}\times(1-e^{-0,65t})=15\\\\1-e^{-0,65t}=15\times\dfrac{3,9}{58,86}\\\\1-e^{-0,65t}=\dfrac{58,5}{58,86}\\\\e^{-0,65t}=1-\dfrac{58,5}{58,86}=\dfrac{58,86}{58,86}-\dfrac{58,5}{58,86}\\\\e^{-0,65t}=\dfrac{0,36}{58,86}\\\\\ln(e^{-0,65t})=\ln(\dfrac{0,36}{58,86})\\\\-0,65t=\ln(\dfrac{0,36}{58,86})\\\\t=\dfrac{\ln(\dfrac{0,36}{58,86})}{-0,65}\\\\\boxed{t\approx7,8}$

Par conséquent, la goutte s'est détachée de son nuage depuis environ 7,8 secondes (arrondi au dixième de seconde).

2. La vitesse moyenne de la goutte entre le moment où elle s'est détachée du nuage et l'instant où on a mesuré sa vitesse se calcule par :

$\begin{array}{r @{ = } l} \dfrac{1}{7,8-0}\int\limits_0^{7,8}v(t)\,dt\ &\ \dfrac{1}{7,8}\int\limits_0^{7,8}9,81\times\dfrac{6}{3,9}\times(1-e^{-\dfrac{3,9}{6}t})\,dt\\&\ \dfrac{9,81\times6}{7,8\times3,9}\ \int\limits_0^{7,8}(1-e^{-0,65t})\,dt\\&\ \dfrac{58,86}{30,42}\ \int\limits_0^{7,8}(1-e^{-0,65t})\,dt\\&\ \dfrac{58,86}{30,42}\ \left[t-(-\dfrac{1}{0,65})e^{-0,65t}\right]\limits_0^{7,8} \\&\ \dfrac{58,86}{30,42}\ \left[t+\dfrac{1}{0,65}e^{-0,65t}\right]\limits_0^{7,8} \\&\ \dfrac{58,86}{30,42}\ \left[(7,8+\dfrac{1}{0,65}e^{-0,65\times7,8}-(0+\dfrac{1}{0,65}e^{-0,65\times0})\right]\\&\ \dfrac{58,86}{30,42}\ \left[7,8+\dfrac{1}{0,65}e^{-5,07}-\dfrac{1}{0,65}\right] \end{array}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{1}{7,8}\int\limits_0^{7,8}v(t)\,dt\approx12,1}$

D'où la vitesse moyenne de la goutte entre le moment où elle s'est détachée du nuage et l'instant où on a mesuré sa vitesse est environ égale à 12,1 m.s^-1

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1. La fréquence de la lettre O dans le texte codé est de 15,9 %. Le pourcentage le plus proche de 15,9 % dans un texte écrit est 15,87 % et correspond à la lettre E.

De même, la fréquence de la lettre E dans le texte codé est de 9,4 %. Le pourcentage le plus proche de 9,4 % dans un texte écrit est 9,42 % et correspond à la lettre A.

Par conséquent, la lettre E a été codée par O et la lettre A a été codée par E.

2. La lettre E correspondant au nombre 4 a été codée par la lettre O correspondant au nombre 14.
Selon le procédé de codage, le reste de la division euclidienne de an +b par 26 est égal à 14 si n = 4.

D'où $a\times 4+b\equiv14[26]$
$\Longrightarrow\boxed{4a+b\equiv14[26]}$

De même la lettre A correspondant au nombre 0 a été codée par la lettre E correspondant au nombre 4.
Selon le procédé de codage, le reste de la division euclidienne de an +b par 26 est égal à 4 si n = 0.

D'où $a\times 0+b\equiv4[26]$
$\Longrightarrow\boxed{b\equiv4[26]}$

Par conséquent, a et b sont solutions du système $\left\lbrace\begin{array}{lcl} 4a+b&\equiv&14[26]\\\ \ \ \ \ \ \ b&\equiv&\ \ 4[26] \end{array}$

3. Déterminons tous les couples d'entiers (a ; b) ayant pu permettre le codage de ce texte.

$\left\lbrace\begin{array}{lcl} 4a+b&\equiv&14[26]\\\ \ \ \ \ \ \ b&\equiv&\ \ 4[26] \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} 4a+4&\equiv&14[26]\\\ \ \ \ \ \ \ b&\equiv&\ \ 4[26] \end{array}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{array}{lcl} 4a&\equiv&10[26]\\\ \ b&\equiv&\ \ 4[26] \end{array}$

D'où nous savons d'ores et déjà que $\boxed{b = 4}.$

Déterminons ensuite les valeurs de a et envisageons tous les cas possibles concernant le reste de la division euclidienne de 4a par 26.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&0&1&2&3&4&5&6&7&8&{\red{9}}&10&11&12&13&14&15\\\hline 4a&0&4&8&12&16&20&24&28&32&36&40&44&48&52&56&60\\\hline {\red{4a[26]}}&0&4&8&12&16&20&24&2&6&{\red{10}}&14&18&22&0&4&8\\\hline \end{array}\\\\\\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline a&16&17&18&19&20&21&{\red{22}}&23&24&25\\\hline 4a&64&68&72&76&80&84&88&92&96&100\\\hline {\red{4a[26]}}&12&16&20&24&2&6&{\red{10}}&14&18&22\\\hline \end{array}$

D'où 4a congru

10[26] si a = 9 ou a = 22.

Par conséquent, les couples solutions du système $\left\lbrace\begin{array}{lcl} 4a+b&\equiv&14(26)\\\ \ \ \ \ \ \ b&\equiv&\ \ 4(26) \end{array}$ sont $\boxed{(9 ; 4)\text{ et }(22 ; 4)}.$

Partie B

1. On choisit a = 22 et b = 4.

a) Codage de la lettre K

La lettre K correspond au nombre n=10.

$\begin{array}{r @{ = } l} an+b\ &\ 22\times10+4\\&\ 224 \end{array}\\\\\Longrightarrow an+b\equiv16[26]$

Or la lettre correspondant au nombre 16 est la lettre Q.
Donc la lettre K sera codée par la lettre Q.

Codage de la lettre X

La lettre K correspond au nombre n=23.

$\begin{array}{r @{ = } l} an+b\ &\ 22\times23+4\\&\ 510 \end{array}\\\\\Longrightarrow an+b \equiv16[26]$

Puisque la lettre correspondant au nombre 16 est la lettre Q, la lettre X sera également codée par la lettre Q.

Par conséquent, les lettres K et X seront codées par la lettre Q.

b) Ce codage n'est pas envisageable car deux lettres différentes sont codées par la même lettre.

2. On choisit a = 9 et b = 4.

a) Pour tous entiers naturels n et m, nous avons :

$\begin{array}{r @{ \Longleftrightarrow } l} \boxed{m\equiv9n+4[26]}\ &\ 3m\equiv27n+12[26]\\&\ 3m\equiv n+12[26]\ \ (\text{car }27\equiv1) \\&\ 3m+14\equiv n+26[26]\\&\ 3m+14\equiv n[26]\\&\ \boxed{n\equiv3m+14[26]}\end{array}$

b) La lettre A correspond au nombre m = 0.

Puisque $n\equiv3m+14[26]$ , nous obtenons :

$\begin{array}{r @{ = } l} n\ &\ 3\times0+14\\&\ 14 \end{array}\\\\\Longrightarrow n=14[26]$

Or le nombre 14 correspond à la lettre O.
Donc la lettre codée A correspond en réalité à la lettre O.

De même, la lettre Q correspond au nombre m = 16.

Puisque $n\equiv3m+14[26]$ , nous obtenons :

$\begin{array}{r @{ = } l} n\ &\ 3\times16+14\\&\ 62 \end{array}\\\\\Longrightarrow n=10[26]$

Or le nombre 10 correspond à la lettre K.
Donc la lettre codée Q correspond en réalité à la lettre K.

Par conséquent, le mot codé AQ correspond au mot réel OK.

Publié par malou/Panter le 23-06-2020

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