Fiche de mathématiques

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Mathématiques

Série C

Côte d'Ivoire 2021

Tout modèle de calculatrice scientifique est autorisé.
Les tables trigonométriques et logarithmiques et les règles à calculs sont autorisées. 2 points

exercice 1

Écris, sur ta feuille de copie, le numéro de chaque affirmation suivi de Vrai si l'affirmation est vraie ou de Faux si l'affirmation est fausse.

Affirmation n° 1 Si f est une fonction de R vers R telle que f soit croissante et majorée sur l'intervalle ]2 ; 5[, alors f admet pour limite + infini

à gauche en 5.

Affirmation n° 2 Le coefficient de corrélation linéaire d'une série statistique à deux variables a le même signe que la covariance de cette série statistique.

Affirmation n° 3 Une primitive sur $]-\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{\pi}{2}[$ de la fonction $x\mapsto \frac{1}{\cos ^2 x }\times \text e ^{\tan x }$ est la fonction $x\mapsto \text e ^{\tan x }$ .

Affirmation n° 4 Toute similitude directe du plan admet un point invariant.

2 points

exercice 2

Pour chacun des quatre énoncés à trou ci-dessous, quatre réponses A, B, C et D sont proposées dont une seule permet d'avoir l'énoncé juste.
Écris, sur ta feuille de copie, le numéro de l'énoncé à trou suivi de la lettre correspondant à la bonne réponse.

Énoncé à trou n° 1. Soit (u_n ) la suite définie par : $\forall n \in \textbf N, u_n=\dfrac{-2}{3^n} .$
La suite $(u_n)\dots$
${\white{ww}$ A : diverge vers - infini

${\white{ww}$ B : converge vers 0
${\white{ww}$ C : diverge vers + infini

${\white{ww}$ D : converge vers -2.

Énoncé à trou n° 2. On pose $z=-3\text e ^{i\frac{\pi}{6}$
L'argument principal de z est ...

${\white{ww}$ A : $-\dfrac{\pi}{6}$
${\white{ww}$ B : $\dfrac{5\pi}{6}$
${\white{ww}$ C : $-\dfrac{5\pi}{6}$
${\white{ww}$ D : $\dfrac{\pi}{6}$

Énoncé à trou n° 3. O est un point du plan. l'homothétie h de centre 0 et de rapport -5 ....
${\white{ww}$ A : n'est pas une similitude directe.
${\white{ww}$ B : est la similitude directe de centre O, de rapport 5 et d'angle nul.
${\white{ww}$ C : est une isométrie.
${\white{ww}$ D : est la similitude directe de centre O, de rapport 5 et d'angle

.

Énoncé à trou n° 4. ABC est un triangle et G l'isobarycentre des points A, B et C. L'ensemble des points M du plan vérifiant : $||\overrightarrow{ MA}+ \overrightarrow{ MB}+ \overrightarrow{ MC}||=AC$ est ...
${\white{ww}$ A : la droite passant par A et perpendiculaire à la droite (AC).
${\white{ww}$ B : le cercle de centre G et de rayon $\frac 2 3 AC.$
${\white{ww}$ C : l'ensemble vide.
${\white{ww}$ D : le cercle de centre G et de rayon $\frac 1 3 AC$ .

3 points

exercice 3

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; vecti

), on considère les points :
A(0 ; 0 ; 2) ; B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).
1. a. Justifie que les points A, B et C déterminent un plan.
${\white{ vl}}$ b. Démontre qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : $2x+y+2z-4=0.$

2. Soit (D) la droite passant par A et de vecteur directeur $\overrightarrow u \, \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}.$
${\white{ vl}}$ a. Détermine une représentation paramétrique de la droite (D).
${\white{ vl}}$ b. Justifie que la droite (D) est incluse dans le plan (ABC).
${\white{ vl}}$ c. Justifie que la droite (D) est la hauteur du triangle ABC issue du point A.

3. Soit (P ) le plan dont une équation cartésienne est : $y=\dfrac x 2.$
${\white{ vl}}$ a. Justifie que les plans (P ) et (ABC) sont perpendiculaires.
${\white{ vl}}$ b. Démontre que : {(D)}=(ABC) inter

(P ).

3 points

exercice 4

Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère deux nombres entiers X et Y tels que : X=k² - 2k + 2 et Y= k² + 2k + 2.
On pose : PGCD(X ; Y) = m.

1. Démontre que tout diviseur de X qui divise k, divise 2.
2. Démontre que tout diviseur commun de X et de Y divise 4k.

Dans toute la suite de l'exercice, on suppose que k est impair.
3. a. Justifie que les nombres entiers X et Y sont aussi impairs.
${\white{ vl}}$ b. Déduis-en que m est impair.
4. a. Justifie que m divise 2.
${\white{ vl}}$ b. Déduis des questions précédentes que : PGCD(X, Y)=1.

5 points

exercice 5

On considère la fonction g définie sur R par : $g(x)=\ln (\text e ^x + 2 \text e ^{-x}).$
On note (C ) sa courbe représentative dans la plan muni d'un repère orthonormé (O, I, J).
L'unité graphique est 2 cm.

1. a. Détermine $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}g(x) .$
${\white{ vl}}$ b. Détermine $\displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}}g(x) .$

2. a. On suppose que g est dérivable sur R.
Justifie que la fonction g est strictement croissante sur $\left] \frac{\ln 2}{2}\;;\;+\infty\right[$ et strictement décroissante sur $\left] -\infty\;;\;\frac{\ln 2}{2}\right[.$
${\white{ vl}}$ b. Vérifie que $g\left ( \frac{\ln 2}{2}\right) = \ln (2\sqrt 2 )$ .
${\white{ vl}}$ c. Dresse le tableau de variation de la fonction g sur R.

3. a. Démontre que : $\forall x \in \textbf R, \; g(x)=x+\ln (1+2\text e ^{-2x}).$
${\white{ vl}}$ b. Déduis-en que la droite (D) d'équation y = x est une asymptote à la courbe (C ) en + infini

.
${\white{ vl}}$ c. Justifie que la courbe (C ) est au dessus de la droite (D).

4. On admet que la droite (D') d'équation $y=-x+\ln 2$ est une asymptote à la courbe (C ) en - infini

.
Trace dans le plan muni du repère (O, I, J) la courbe (C ), les droites (D) et (D').

5. Soit J l'intégrale telle que : $\text J = \begin{aligned} \int_0^1 (g(x)-x) \;$d$x \end{aligned}.$
${\white{ vl}}$ a. Donne une interprétation géométrique de J.
${\white{ vl}}$ b. En utilisant l'inégalité : $\forall x \in ]0\; ;\; +\infty[\; \ln (1+x) \le x$ , justifie que 0 < J < 0,87.
${\white{ vw}}$ (On ne te demande pas de déterminer la valeur exacte de J.)

5 points

exercice 6

Le Directeur d'une société internationale veut acquérir un avion privé afin d'éviter les désagréments que lui causent les vols commerciaux.
Il a le choix entre deux types d'avions : un biréacteur et un quadriréacteur. Au moment de l'achat, le constructeur lui décrit les deux types d'appareils de la façon suivante :
"Le biréacteur possède deux réacteurs R₁ et R₂ de telle sorte que l'état du réacteur R₂ dépend de celui du réacteur R₁. Cet appareil ne peut pas voler à la seule condition que les réacteurs R₁ et R₂ tombent simultanément en panne. En outre, une enquête a révélé que durant les dix premières années qui suivent leur première mise en service, 30 % des réacteurs R₁ tombent en panne et que dans un même avion, lorsque le réacteur R₁ tombe en panne, le réacteur R₂ a 40 % de chance de tomber aussi en panne ".

"Quant au quadriréacteur, il possède quatre réacteurs qui fonctionnent de façon indépendante. Cet appareil peut voler si au moins deux des quatre réacteurs continuent de fonctionner. En outre, 25 % des réacteurs de ce type d'appareil tombent en panne durant les dix premières années qui suivent leur mise en service".

Le Directeur veut acheter parmi les deux types d'avion, celui qui offrira le plus de chance de voler durant les dix prochaines années.
A la recherche de personnes ressources pour guider son choix, il s'adresse à toi.
A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, réponds à la préoccupation du Directeur.

Correction

Bac C Côte d'Ivoire 2021

2 points

exercice 1

Affirmation n° 1 : affirmation fausse
Par le théorème de la limite monotone, nous savons que si f est une fonction de

vers

telle que f soit croissante et majorée sur l'intervalle ]2 ; 5[, alors f admet une limite finie à gauche en 5.
La limite serait égale à + infini

si la fonction n'était pas majorée.
Donc l'affirmation n°1 est fausse.

Affirmation n° 2 : affirmation vraie
Soit X et Y deux variables aléatoires dont la covariance est Cov(X,Y ) et dont les écarts types sont respectivement $\overset{{\white{.}}}{\sigma _X}$ et $\overset{{\white{.}}}{\sigma _Y}$ .
Le coefficient de corrélation linéaire d'une série statistique à deux variables X et Y , noté r , est défini par

$r=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma _X \sigma _Y}.$
Puisque les écarts types $\overset{{\white{.}}}{\sigma _X}$ et $\overset{{\white{.}}}{\sigma _Y}$ sont strictement positifs, le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique a le même signe que la covariance de cette série statistique.
Donc l'affirmation n°2 est vraie.

Affirmation n° 3 : affirmation vraie
Soit la fonction F définie sur $]-\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{\pi}{2}[$ par $F(x)=\text e ^{\tan x }.$
Montrons que la fonction F est une primitive de la fonction f définie sur $]-\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{\pi}{2}[$ par $f(x)=\frac{1}{\cos ^2 x }\times \text{e}^{\tan x}.$

La fonction F est la composée de la fonction de la fonction tan dérivable sur $]-\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{\pi}{2}[$ suivie de la fonction exponentielle dérivable sur

.
Dès lors, la fonction F est dérivable sur $]-\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{\pi}{2}[.$
Déterminons l'expression de la dérivée F' (x ).

$F'(x)=(\tan x)'\times\text{e}^{\tan x}{\white{www}}\text{où}{\white{www}}(\tan x)'=\dfrac{1}{\cos^2(x)} \\\\\Longrightarrow F'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\times\text{e}^{\tan x} \\\\\Longrightarrow \boxed{F'(x)=f(x)}$
D'où la fonction F est une primitive de la fonction f sur $]-\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{\pi}{2}[$
Nous en déduisons qu'une primitive sur $]-\frac{\pi}{2}\;;\;\frac{\pi}{2}[$ de la fonction $x\mapsto \frac{1}{\cos ^2 x }\times \text e ^{\tan x }$ est la fonction $x\mapsto \text e ^{\tan x }.$
Donc l'affirmation n°3 est vraie.

Affirmation n° 4 : affirmation fausse
Par exemple, la translation de vecteur non nul est une similitude directe qui ne possède aucun point invariant.
Donc l'affirmation n°4 est fausse.

2 points

exercice 2

Énoncé à trou n° 1. Soit (u_n ) la suite définie par : $\forall n \in \textbf N, u_n=\dfrac{-2}{3^n} .$
${\white{wwwwwwwwwww}}$ La suite (u_n ) converge vers 0. ${\white{ww}}$ (Réponse B)
Justification : Montrons que la suite (u_n ) est une suite géométrique.
${\white{wwwwwww}}$ Pour tout entier naturel n ,
${\white{wwwwwww}}$ $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}=\dfrac{-2}{3^{n+1}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{-2}{3\times3^{n}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{3}\times\left(\dfrac{-2}{3^{n}}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_{n+1}}=\dfrac{1}{3}\times u_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\times u_n} \\\\\underline{\text{Remarque}}:\ u_0=\dfrac{-2}{3^{0}}=\dfrac{-2}{1}\Longrightarrow\boxed{u_0=-2}$
D'où la suite (u_n ) est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{3}$ dont le premier terme est $u_0=-2.$
Puisque 0 < q < 1, la suite (u_n ) converge vers 0.

Énoncé à trou n° 2. On pose $z=-3\text e ^{i\frac{\pi}{6}}$
${\white{wwwwwwwwwww}}$ L'argument principal de z est $\red{-\dfrac{5\pi}{6}}}$ ${\white{ww}}$ (Réponse C)
Justification : $z=-3\text e ^{i\frac{\pi}{6}}$
${\white{wwwwwww}}$ $\\\phantom{z}=3\times(-1)\times\text e ^{i\frac{\pi}{6}} \\\phantom{z}=3\times\text{e}^{i\pi}\times\text e ^{i\frac{\pi}{6}} \\\phantom{z}=3\,\text e ^{i(\pi+\frac{\pi}{6})} \\\phantom{z}=3\,\text e ^{i\frac{7\pi}{6}} \\\phantom{z}=3\,\text e ^{i(\frac{7\pi}{6}-2\pi)} \\\phantom{z}=3\,\text e ^{i(\frac{-5\pi}{6})} \\\\\Longrightarrow\boxed{z=3\,\text e ^{i(\frac{-5\pi}{6})}{\white{ww}}\text{avec }\frac{-5\pi}{6}\in\ ]-\pi\,;\,\pi])}$
Donc l'argument principal de z est $-\dfrac{5\pi}{6}.$

Énoncé à trou n° 3. O est un point du plan. l'homothétie h de centre 0 et de rapport -5 est la similitude directe de centre O, de rapport 5 et d'angle pi. ${\white{ww}}$ (Réponse C)

Énoncé à trou n° 4. ABC est un triangle et G l'isobarycentre des points A, B et C. L'ensemble des points M du plan vérifiant : $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=AC$ est le cercle de centre G et de rayon $\overset{{\white{.}}}{{\red{\frac 1 3 AC}}}$ .
Justification : G est l'isobarycentre des points A, B et C.

Par la propriété de réduction, pour tout point M du plan, nous obtenons : $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$
D'où $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=3||\overrightarrow{MG}||$ , soit $||\overrightarrow{MG}||=\dfrac{1}{3}||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||.$

Or selon l'énoncé, nous savons que $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=AC.$
Dès lors, $\left\lbrace\begin{matrix}||\overrightarrow{MG}||=\dfrac{1}{3}||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||\\\overset{{\white{.}}}{||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=AC}\end{matrix}\right.{\white{www}}\Longrightarrow{\white{www}}\boxed{||\overrightarrow{MG}||=\dfrac{1}{3}AC}$

Par conséquent, l'ensemble des points M est le cercle de centre G et de rayon $\overset{{\white{.}}}{\frac 1 3 AC}$ .

3 points

exercice 3

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O, $\vec i$ , $\vec j$ , $\vec k$ ) , on considère les points :
A(0 ; 0 ; 2) ; B(0 ; 4 ; 0) et C(2 ; 0 ; 0).

1. a) Le point A appartient à l'axe des cotes, le point B appartient à l'axe des ordonnées et le point C appartient à l'axe des abscisses.
D'où les points A, B et C ne sont pas alignés.
Par conséquent, A, B et C déterminent un plan.

1. b) L'équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme : ax + by + cz + d = 0.

Les points A, B et C appartiennent au plan (ABC).
Leurs coordonnées vérifient donc l'équation du plan.
D'où

$\left\lbrace\begin{matrix}A(0\,;0\,;2)\in \text{plan}(ABC)\\B(0\,;4\,;0)\in \text{plan}(ABC) \\C(2\,;0\,;0)\in \text{plan}(ABC)\end{matrix}\right.{\white{www}}\Longrightarrow{\white{www}}\left\lbrace\begin{matrix}a\times0+b\times0+c\times2+d=0\\a\times0+b\times4+c\times0+d=0\\a\times2+b\times0+c\times0+d=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow{\white{www}}\left\lbrace\begin{matrix}2c+d=0\\4b+d=0\\2a+d=0\end{matrix}\right. \\\\\text{Si }\boxed{d=-4},\text{ alors }\left\lbrace\begin{matrix}2c-4=0\\4b-4=0\\2a-4=0\end{matrix}\right.{\phantom{w}}\Longleftrightarrow{\phantom{w}}\left\lbrace\begin{matrix}2c=4\\4b=4\\2a=4\end{matrix}\right.{\phantom{w}}\Longleftrightarrow{\phantom{w}}\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}c=2\\b=1\\a=2\end{matrix}\right.}$
Dans l'équation ax + by + cz + d = 0, remplaçons a, b, c et d par leurs valeurs respectives.
Nous en déduisons alors qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est : 2x + y + 2z - 4 = 0.

2. Soit (D) la droite passant par A et de vecteur directeur $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow u \, \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}.}$

2. a) Déterminons une représentation paramétrique de la droite (D).
Soit un point M(x ; y ; z ) de l'espace.

$M\in(D)\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{u}{\white{www}}(k\in\R) \\\\\phantom{M\in(D)}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_M-x_A=k\,x_{\overrightarrow{u}}\\y_M-y_A=k\,y_{\overrightarrow{u}}\\z_M-z_A=k\,z_{\overrightarrow{u}}\end{matrix}\right. {\white{www}}(k\in\R) \\\\\phantom{M\in(D)}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x-0=k\times4\phantom{ww}\\y-0=k\times2\phantom{ww}\\z-2=k\times(-5)\end{matrix}\right. {\white{www}}(k\in\R) \\\\\phantom{M\in(D)}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=4k\phantom{ww}\\y=2k\phantom{ww}\\z=2-5k\end{matrix}\right. {\phantom{www}}(k\in\R)$
Par conséquent, une représentation paramétrique de la droite (D) est : $\boxed{(D):\left\lbrace\begin{matrix}x=4k\phantom{ww}\\y=2k\phantom{ww}\\z=2-5k\end{matrix}\right. {\phantom{www}}(k\in\R)}$

2. b) Montrons que la droite (D) est incluse au plan (ABC) en montrant que tout point de (D) appartient au plan (ABC).
Dans l'équation cartésienne du plan (ABC), remplaçons x , y et z par leurs valeurs respectives de la représentation paramétrique de (D).
Nous obtenons ainsi : $2\times4k+2k+2\times(2-5k)-4=8k+2k+4-10k-4=0.$
L'équation du plan (ABC) est vérifiée par les coordonnées de tout point de (D).
Nous en déduisons que la droite (D) est incluse dans le plan (ABC).

2. c) Montrons que la droite (D) est orthogonale à la droite (BC).
Un vecteur directeur de la droite (D) est $\overrightarrow{u}$ et un vecteur directeur de la droite (BC) est $\overrightarrow{BC}.$

$\boxed{\overrightarrow {u} \, \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}} \\\\\overrightarrow{BC} \, \begin{pmatrix} x_C-x_B\\ y_C-y_B \\ z_C-z_B \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-0\\0-4\\0-0 \end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BC} \, \begin{pmatrix} 2\\-4\\0 \end{pmatrix}} \\\\\overrightarrow{n} .\overrightarrow{BC} =4\times2+2\times(-4)+(-5)\times0 \\\phantom{\overrightarrow{n} .\overrightarrow{BC}} =8-8+0 \\\phantom{\overrightarrow{n} .\overrightarrow{BC}} =0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n} \perp\overrightarrow{BC}}$

D'où la droite (D) est orthogonale à la droite (BC).

De plus les droites (D) et (BC) sont coplanaires (voir question 2. b).
Dès lors, les droites (D) et (BC) sont perpendiculaires.
En outre, la droite (D) passe par le point A (par définition de (D)).
Par conséquent, la droite (D) est la hauteur du triangle ABC issue du point A.

3. Soit $(\mathscr{P})$ le plan dont une équation cartésienne est : $\overset{{\white{.}}}{y=\dfrac x 2.}$
3. a) Une équation cartésienne du plan $(\mathscr{P})$ est : $\overset{{\white{.}}}{y=\dfrac x 2}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{x=2y}$ , soit $\overset{{\white{.}}}{x-2y=0.}$
D'où un vecteur normal à $(\mathscr{P})$ est $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow {n}_{(\mathscr{P})} \, \begin{pmatrix} 1\\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}.}$
Une équation cartésienne du plan (ABC) est : $\overset{{\white{.}}}{2x+y+2z-4=0.}$
D'où un vecteur normal à (ABC) est $\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow {n}_{(ABC)} \, \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}.}$
$\overrightarrow {n}_{(\mathscr{P})} .\overrightarrow {n}_{(ABC)}=1\times2-2\times1+0\times2 \\\phantom{\overrightarrow {n}_{(\mathscr{P})} .\overrightarrow {n}_{(ABC)}}=2-2+0 \\\phantom{\overrightarrow {n}_{(P)} .\overrightarrow {n}_{(ABC)}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow {n}_{(\mathscr{P})} \perp\overrightarrow {n}_{(ABC)}}$
Les vecteurs normaux aux plans $(\mathscr{P})$ et (ABC) sont donc orthogonaux.
Par conséquent, les plans $(\mathscr{P})$ et (ABC) sont perpendiculaires.

3. b) Nous avons montré dans la question 2. b) que la droite (D) est incluse dans le plan (ABC).
Montrons que la droite (D) est incluse au plan $(\mathscr{P})$ en montrant que tout point de (D) appartient au plan $(\mathscr{P})$ .
Dans l'équation cartésienne du plan $(\mathscr{P})$ , remplaçons x et y par leurs valeurs respectives de la représentation paramétrique de (D).
Nous obtenons ainsi : $2k=\dfrac{4k}{2}.$
L'équation du plan $(\mathscr{P})$ est vérifiée par les coordonnées de tout point de (D).
Nous en déduisons que la droite (D) est incluse dans le plan $(\mathscr{P}).$

La droite (D) est donc incluse aux deux plans (ABC) et $(\mathscr{P}).$
D'où $\boxed{(D)=(ABC)\cap(\mathscr{P})}\,.$

3 points

exercice 4

Soit k un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère deux nombres entiers X et Y tels que : X = k ² - 2k + 2 et Y = k ² + 2k + 2.
On pose : PGCD(X ; Y) = m .

1. Montrons que tout diviseur de X qui divise k , divise 2.
Soit d un diviseur de X qui divise k .
Il existe deux nombres entiers a et b tels que X = ad et k = bd .
Dès lors,

$X=k^2-2k+2\Longleftrightarrow ad = (bd)^2-2bd+2 \\\phantom{X=k^2-2k+2}\Longleftrightarrow ad = b^2d^2-2bd+2 \\\phantom{X=k^2-2k+2}\Longleftrightarrow a = b^2d-2b+\dfrac{2}{d} \\\\\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}a\in\Z\\ b^2d\in\Z\\-2b\in\Z\end{matrix}\right.{\white{w}}\Longrightarrow{\white{w}}\boxed{\dfrac{2}{d}\in \Z}$
Nous en déduisons que d est un diviseur de 2.
D'où tout diviseur de X qui divise k , divise 2.

2. Montrons que tout diviseur commun de X et de Y divise 4k .
Soit D un diviseur commun de X et de Y.
Alors D est un diviseur de Y - X.
$\text{Or }\ Y-X=(k^2+2k+2)-(k^2-2k+2) \\\phantom{\text{Or }\ Y-X}=k^2+2k+2-k^2+2k-2 \\\phantom{\text{Or }\ Y-X}=4k \\\\\Longrightarrow\boxed{Y-X=4k}$
Nous en déduisons que D est un diviseur de 4k .
D'où tout diviseur commun de X et de Y divise 4k .

Dans toute la suite de l'exercice, on suppose que k est impair.

3. a) Nous savons que k est impair.
Le carré d'un nombre impair est impair.
Donc k ² est impair.
De plus, -2k + 2 et 2k + 2 sont pairs car $-2k+2=2(-k+1)$ et $2k+2=2(k+1).$
La somme d'un nombre impair et d'un nombre pair est un nombre impair.
D'où X = k ² - 2k + 2 et Y = k ² + 2k + 2 sont impairs.

3. b) m est impair car si m était pair, X et Y auraient un diviseur pair et seraient dès lors des nombres pairs.
Or nous avons montré dans la question 3. a) que X et Y étaient impairs.
Donc il est impossible que m soit pair.
Par conséquent, m est impair.

4. a) Par définition, m = PGCD(X ; Y).
Par la question 2, nous savons que m divise 4k .
Puisque m est impair, m doit diviser k .
Par la question 1, nous en déduisons que m divise 2.

4. b) Nous avons montré que m est un nombre impair divisant 2.
Or le seul diviseur de 2 qui soit impair est 1.
Par conséquent, m = 1 , soit PGCD(X ; Y) = 1.

5 points

exercice 5

On considère la fonction g définie sur

par : $g(x)=\ln (\text e ^x + 2 \text e ^{-x}).$

${\red{1.\text{ a) }}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^x=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\\\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}(\text{e}^x+2\text{e}^{-x})=+\infty} \\\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(\text{e}^x+2\text{e}^{-x})=+\infty\\\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty\end{matrix}\right.{\phantom{ww}}\underset{X=\text{e}^x+2\text{e}^{-x}}{\underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}}{\phantom{ww}}\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(\text{e}^x+2\text{e}^{-x})=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}$

${\red{1.\text{ b) }}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\\\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^x+2\text{e}^{-x})=+\infty} \\\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^x+2\text{e}^{-x})=+\infty\\\lim\limits_{X\to+\infty}\ln X=+\infty\end{matrix}\right.{\phantom{ww}}\underset{X=\text{e}^x+2\text{e}^{-x}}{\underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}}{\phantom{ww}}\lim\limits_{x\to-\infty}\ln(\text{e}^x+2\text{e}^{-x})=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=+\infty}$

2. a) On suppose que g est dérivable sur

.

Etudions le signe de la dérivée g' (x ).

$g'(x)=\dfrac{(\text e ^x + 2 \text e ^{-x})'}{\text e ^x + 2 \text e ^{-x}}\Longrightarrow \boxed{g'(x)=\dfrac{\text e ^x - 2 \text e ^{-x}}{\text e ^x + 2 \text e ^{-x}} }$

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur

, le dénominateur de g' (x ) est strictement positif sur

.
Donc le signe de g' (x ) est le signe de $\text e ^x - 2 \text e ^{-x}.$

$\text e ^x - 2 \text e ^{-x}<0\Longleftrightarrow\text e ^x < 2 \text e ^{-x} \\\\\phantom{\text e ^x - 2 \text e ^{-x}<0}\Longleftrightarrow\text e ^x < \dfrac{2}{ \text e ^{x}} \\\\\phantom{\text e ^x - 2 \text e ^{-x}<0}\Longleftrightarrow(\text e ^x)^2 < 2 \\\phantom{\text e ^x - 2 \text e ^{-x}<0}\Longleftrightarrow\text e ^{2x}< 2 \\\phantom{\text e ^x - 2 \text e ^{-x}<0}\Longleftrightarrow 2x< \ln2 \\\phantom{\text e ^x - 2 \text e ^{-x}<0}\Longleftrightarrow x< \dfrac{\ln2}{2}$

D'où le tableau de signes de g' (x ).

${\white{wwwwww}}\begin{matrix}\text e ^x - 2 \text e ^{-x}<0\Longleftrightarrow x< \dfrac{\ln2}{2}\\\\\text e ^x - 2 \text e ^{-x}=0\Longleftrightarrow x= \dfrac{\ln2}{2}\\\\\text e ^x - 2 \text e ^{-x}>0\Longleftrightarrow x> \dfrac{\ln2}{2}\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&\dfrac{\ln2}{2}&&+\infty\\&&&&&\\\hline\text e ^x - 2 \text e ^{-x}&&-&0&+&\\\hline&&&&&\\g'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$
D'où, la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle $]\dfrac{\ln2}{2}\,;\,+\infty[$
${\white{wwwwwwwwwww.w}}$ strictement décroissante sur l'intervalle $]-\infty\,;\,\dfrac{\ln2}{2}[.$ .

2. b) Nous savons que $\dfrac{\ln2}{2}=\dfrac{1}{2}\ln2=\ln(2^{\frac{1}{2}})=\ln\sqrt{2}.$
$\text{D'où }\ g(\dfrac{\ln2}{2})=g(\ln\sqrt{2})=\ln(\text{e}^{\ln\sqrt{2}}+2\text{e}^{-\ln\sqrt{2}}) \\\phantom{\text{D'où }\ g(\dfrac{\ln2}{2})}=\ln(\text{e}^{\ln\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\text{e}^{\ln\sqrt{2}}} \\\phantom{\text{D'où }\ g(\dfrac{\ln2}{2})}=\ln(\sqrt{2}+\dfrac{2}{\sqrt{2}}) \\\phantom{\text{D'où }\ g(\dfrac{\ln2}{2})}=\ln(\sqrt{2}+\sqrt{2}) \\\phantom{\text{D'où }\ g(\dfrac{\ln2}{2})}=\ln(2\sqrt{2}) \\\\\Longrightarrow\boxed{g(\dfrac{\ln2}{2})=\ln(2\sqrt{2})}$

2. c) Nous déduisons des questions 2. a) et b) le tableau de variations de la fonction g .

${\white{wwwwww}} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&\dfrac{\ln2}{2}&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&+\infty&&&&+\infty\\g(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&\ln(2\sqrt{2})&&\\ \hline \end{array}$

${\red{3.\text{ a) }}}\forall\ x\in\R,\,g(x)=\ln (\text{e}^x + 2 \text{e}^{-x}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{3.\text{ a) }}}\forall\ x\in\R,\,g(x)}=\ln (\text{e}^x + 2 \text{e}^x\text{e}^{-2x})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{3.\text{ a) }}}\forall\ x\in\R,\,g(x)}=\ln (\text{e}^x (1+ 2 \text{e}^{-2x}))} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{3.\text{ a) }}}\forall\ x\in\R,\,g(x)}=\ln (\text{e}^x)+\ln (1+ 2 \text{e}^{-2x})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{{\red{3.\text{ a) }}}\forall\ x\in\R,\,g(x)}=x+\ln (1+ 2 \text{e}^{-2x})} \\\\\Longrightarrow\boxed{g(x)=x+\ln (1+ 2 \text{e}^{-2x})}$

${\red{3.\text{ b) }}}g(x)=x+\ln (1+ 2 \text{e}^{-2x})\Longrightarrow g(x)-x=\ln (1+ 2 \text{e}^{-2x}) \\\\\phantom{{\red{3.\text{ b) }}}g(x)=x+\ln (1+ 2 \text{e}^{-2x})}\Longrightarrow \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}(g(x)-x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\ln (1+ 2 \text{e}^{-2x})} \\\\\text{Or }\lim\limits_{x\to+\infty} \text{e}^{-2x}=0{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to+\infty} 2\text{e}^{-2x}=0 \\\\\phantom{\text{Or }\lim\limits_{x\to+\infty} \text{e}^{-2x}=0{\phantom{ww}}}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\lim\limits_{x\to+\infty} (1+2\text{e}^{-2x})=1 \\\\\phantom{\text{Or }\lim\limits_{x\to+\infty} \text{e}^{-2x}=0{\phantom{ww}}}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} \ln(1+2\text{e}^{-2x})=\ln1=0} \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}(g(x)-x)=0}$
Nous en déduisons que la droite (D) d'équation y = x est une asymptote à la courbe (C ) en +.

3. c) Etudions le signe de (g (x ) - x ) sur

.

Nous savons que $g(x)-x=\ln (1+ 2 \text{e}^{-2x}).$

$\forall\ x\in\R,\ \text{e}^{-2x}>0\Longrightarrow2\text{e}^{-2x}>0 \\\phantom{\forall\ x\in\R,\ \text{e}^{-2x}>0}\Longrightarrow1+2\text{e}^{-2x}>1 \\\phantom{\forall\ x\in\R,\ \text{e}^{-2x}>0}\Longrightarrow\ln(1+2\text{e}^{-2x})>\ln1 \\\phantom{\forall\ x\in\R,\ \text{e}^{-2x}>0}\Longrightarrow\ln(1+2\text{e}^{-2x})>0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\R,\ g(x)-x>0}$
Par conséquent, la courbe (C ) est au-dessus de la droite (D).

4. On admet que la droite (D') d'équation $y=-x+\ln 2$ est une asymptote à la courbe (C ) en - infini

.
Représentation graphique de la courbe (C ), des droites (D) et (D').

5. Soit J l'intégrale telle que : $\text J = \begin{aligned} \int_0^1 (g(x)-x) \;$d$x \end{aligned}.$

5. a) Nous avons montré dans la question 3. c) que la courbe (C ) est au-dessus de la droite (D).
Dans ce cas, J représente l'aire, en u.a., du domaine délimité par la courbe (C ), la droite (D) et les droites d'équations x = 0 et x = 1.

5. b) Nous avons montré dans la question 3. c) que $\forall\ x\in\R,\ g(x)-x>0.$
Nous en déduisons que : $\boxed{J>0}$ .

D'autre part, nous rappelons que $\forall\ x\in\R,\ g(x)-x=\ln (1+ 2 \text{e}^{-2x}).$
En utilisant l'inégalité : $\overset{{\white{.}}}{\forall\ X\in\,]0\,;\,+\infty[, \ \ln(1+X)\le X}$ avec $X=2\text{e}^{-2x}$ , nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}g(x)-x=\ln (1+ 2 \text{e}^{-2x})\\\\\ln (1+ 2 \text{e}^{-2x})\le2 \text{e}^{-2x}\end{matrix}\right.\phantom{www}\Longrightarrow\phantom{www}g(x)-x\le2\text{e}^{-2x}$

$\text{D'où }\, \begin{aligned}\int_0^1(g(x)-x)\,\text{d}x \end{aligned}\le \begin{aligned}\int_0^12\text{e}^{-2x}\,\text{d}x \end{aligned}, \text{ soit }J\le \begin{aligned}\int_0^12\text{e}^{-2x}\,\text{d}x \end{aligned}.$

$\text{Or }\, \begin{aligned}\int_0^12\text{e}^{-2x}\,\text{d}x \end{aligned}=- \begin{aligned}\int_0^1(-2\text{e}^{-2x})\,\text{d}x \end{aligned} =- \begin{aligned}\int_0^1(-2x)'\,\text{e}^{-2x}\,\text{d}x \end{aligned} \\\phantom{WWWWWW}=-\left[\overset{{\white{.}}}{\text{e}^{-2x}}\right]_0^1 =-\left[\overset{{\white{.}}}{\text{e}^{-2\times1}-\text{e}^{-2\times0}}\right] =-(\text{e}^{-2}-1) \\\\\phantom{WWWWWW}=1-\text{e}^{-2}$

$\text{Dès lors, }\ \left\lbrace\begin{matrix}J\le \begin{aligned}\int_0^12\text{e}^{-2x}\,\text{d}x \end{aligned}\\ \begin{aligned}\int_0^12\text{e}^{-2x}\,\text{d}x \end{aligned}=1-\text{e}^{-2}\end{matrix}\right.\phantom{www}\Longrightarrow\phantom{www} {\blue{J\le1-\text{e}^{-2}\phantom{w}\text{avec }1-\text{e}^{-2}\approx0,865}} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWw}\Longrightarrow\phantom{www} \boxed{J<0,87}$

Par conséquent, $\boxed{0<J<0,87}$

5 points

exercice 6

Soient les événements suivants : P₁ : "Le réacteur R₁ tombe en panne
${\white{wwwwwwwwwwwwwwww.ww}}$ P₂ : "Le réacteur R₂ tombe en panne

À propos du biréacteur
Cet appareil ne peut pas voler à la seule condition que les réacteurs R1 et R2 tombent simultanément en panne.
Durant les dix premières années qui suivent leur première mise en service, 30 % des réacteurs R1 tombent en panne.
Lorsque le réacteur R1 tombe en panne, le réacteur R2 a 40 % de chance de tomber aussi en panne.
La probabilité que les deux réacteurs tombent simultanément en panne se calcule par :

$p(P_1\cap P_2)=p(P_1)\times p_{_{P_1}}(P_2) \\\phantom{p(P_1\cap P_2)}=0,3\times0,4 \\\phantom{p(P_1\cap P_2)}=0,12 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(P_1\cap P_2)=0,12}$
Nous en déduisons que la probabilité que le biréacteur ne puisse pas voler durant les dix premières années qui suivent sa première mise en service est de 0,12.

À propos du quadriréacteur
Les quatre réacteurs fonctionnent de façon indépendante.
Cet appareil peut voler si au moins deux des quatre réacteurs continuent de fonctionner et ne pourra donc pas voler si trois réacteurs ou les quatre réacteurs tombent en panne.
25 % des réacteurs de ce type d'appareil tombent en panne durant les dix premières années qui suivent leur mise en service.
Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de réacteurs tombés en panne parmi les quatre réacteurs du quadriréacteur.
Nous répétons 4 fois la même expérience aléatoire.
Tous les choix des réacteurs sont identiques et indépendants.
Chaque expérience n'a que deux issues :
"le réacteur est en panne" dont la probabilité est p = 0,25.
"le réacteur n'est pas en panne" dont la probabilité est : 1 - p = 0,75.
La variable aléatoire X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 4 et p = 0,25.
L'appareil ne peut voler si X = 3 ou X = 4.

$p(X=3\text{ ou }X=4)=p(X=3)+p(X=4) \\\phantom{p(X=3\text{ ou }X=4)}=\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}\times0,25^3\times(1-0,25)^{4-3}+\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}\times0,25^4\times(1-0,25)^{4-4} \\\phantom{p(X=3\text{ ou }X=4)}=4\times0,25^3\times0,75^1+1\times0,25^4\times0,75^{0} \\\phantom{p(X=3\text{ ou }X=4)}=4\times0,25^3\times0,75+1\times0,25^4\times1 \\\phantom{p(X=3\text{ ou }X=4)}=0,05078125 \\\\\Longrightarrow\boxed{p(X=3\text{ ou }X=4)\approx0,05}$

Nous en déduisons que la probabilité que le quadriréacteur ne puisse pas voler durant les dix premières années qui suivent sa première mise en service est de environ égale à 0,05.

Par conséquent, parmi les deux types d'avion, celui qui offrira le plus de chance de voler durant les dix prochaines années est le quadriréacteur.

Publié par malou le 25-09-2021

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