Fiche de mathématiques

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Bac C-E 2e tour Burkina Faso 2021

Durée : 4 heures

Coefficient : 6

Les calculatrices ne sont pas autorisées.

4 points

exercice 1

Soit ABCD un rectangle tel que $\text{ mes } (\overrightarrow{AB}\,; \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}$ et AB = 2CB = 2a , a un réel strictement positif.

1. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude S de centre A et qui transforme D en B.

2. Soit I un point du segment [DC ], on pose J = S (I ). Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.

3. Soit r la rotation de centre A et d'angle $-\frac{\pi}{2}$
On pose $h=S\circ r^{-1}$ avec h une transformation du plan, M le milieu du segment [AB ].
${\white{w}}$ a. Déterminer h (A ) et h (M ) et caractériser h.
${\white{w}}$ b. On pose K=r(I ). Montrer que AK = 1/2 AJ.

4. On note B ' l'image de B par la symétrie orthogonale d'axe (AJ ).
Monter que B ' J = 2DI.

4 points

exercice 2

Une urne contient trois (3) pièces de monnaie possédant chacune une face "Pile" et une face "Face", toutes indiscernables au toucher. Deux (2) des pièces sont bien équilibrées et une est truquée. La pièce truquée a une probabilité d'apparition de "Face" égale à alpha

fois celle de "Pile". alpha

est un réel strictement positif.
On prend au hasard une pièce de l'urne et on effectue des lancers successifs de cette pièce.
On considère les événements suivants :
${\white{w}}\;B$ "la pièce prise est normale"
${\white{w}}\;\overline B$ "la pièce prise est truquée"
${\white{w}}\;A$ "Obtenir "Pile" "
${\white{w}}\;F_n$ "Obtenir "Face" pour les n premiers lancers".

1. a. Déterminer la probabilité d'apparition de "Pile" pour la pièce truquée en fonction de alpha

.
${\white{w}}$ b. Calculer la probabilité des événements $A\cap B$ et $A \cap \overline B$ puis en déduire celle de A.
${\white{w}}$ c. Existe-t-il une valeur de alpha

pour laquelle A est un événement certain ? un événement impossible ?

2. En remarquant que $F_n=(F_n\cap B)\cup (F_n\cap \overline B)$ , calculer la probabilité $P(F_n)$ de l'événement $F_n.$

3. a. Sachant que l'on obtient "Face" lors des n premiers lancers, quelle est la probabilité P_n d'avoir pris la pièce truquée ?
${\white{w}}$ b. Pour quelles valeurs de alpha

la limite de P_n est-elle non nulle ?
${\white{w}}$ c. Calculer alors cette limite pour alpha

=3.

12 points

probleme

Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction f_n définie sur [0 ; + infini

[ par :
$\left\lbrace\begin{matrix} f_n(x) & = & x^n(1-\ln x) &\text{si }x > 0 \\ f_n(0)& = & 0 & \end{matrix}\right.$
On note (C_n ) la courbe représentative de f_n dans un repère orthonormal $(O\,; \vec i\,,\vec j )$ ; unité graphique 4 cm.

Partie A

1. a. Montrer que f_n est continue en 0.
${\white{w}}$ b. Etudier la dérivabilité de f_n en 0. (On distinguera les cas n = 1 et n > 1).
${\white{w}}$ Interpréter graphiquement les résultats.
${\white{w}}$ c. Calculer $\lim\limits_{x\to +\infty}\,f_n(x)$ et $\lim\limits_{x\to +\infty}\,\dfrac{f_n(x)}{x}$

2. a. Etudier suivant les valeurs de x le signe de $f_{n+1}(x)-f_n(x).$
${\white{w}}$ b. En déduite la position relative de (C_n ) et (C_n+1 ) et montrer que les courbes (C_n ) passent par trois (3) points fixes dont on précisera les coordonnées.

3. a. Etudier le sens de variation de f_n et dresser son tableau de variation. (On distinguera les cas n = 1 et n > 1).
${\white{w}}$ b. Pour tout entier n , non nul, déterminer en fonction de n , une équation de la tangente à (C_n ) en chacun des points d'abscisse 1 et d'abscisse e.
${\white{w}}$ c. Construire dans un même repère les courbes (C₁ ) et (C₂ ).

4. a. Soit a un réel strictement positif et différent de e. On considère les deux points M appartient

(C_n ) et M ' appartient

(C_n+1 ) de même abscisse a.
On trace : la droite (OM ') ; la droite (D ) passant par M et parallèle à l'axe des abscisses et la droite ( deltamaj

) d'équation x = 1.
Montrer que ces trois (3) droites sont concourantes.
${\white{w}}$ b. Expliquer alors comment construire le point M ' à partir du point M.

Partie B

Pour tout entier naturel non nul n, on pose $I_n=\begin{aligned} \int_1^{\text e} f_n(t)\;$d$t \end{aligned}.$
1. Sans calculer I_n , étudier le sens de variation de (I_n ).

2. a. En utilisant une intégration par parties, déterminer en fonction de n l'expression I_n de la suite (I_n ) en fonction de n.
${\white{w}}$ b. Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty}\,I_n$

Partie C

Dans cette partie, n est un entier supérieur ou égal à 2.
1. On désigne par x_n le réel non nul tel que $f'_n(x)=0$ (où $f'_n$ désigne la dérivée de $f_n$ )
${\white{w}}$ a. Montrer que x_n appartient

]1 ; e[.
${\white{w}}$ b. Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty}\,x_n$

2. a. Montrer que l'équation $f_n(x)=1$ admet une unique solution dans l'intervalle [x_n ; e[. On note alpha

_n cette solution.
${\white{w}}$ b. Montrer que $f_{n+1}(\alpha_n) > 1.$
${\white{w}}$ c. En déduire que la suite ( alpha

_n ) est croissante.
${\white{w}}$ d. Calculer $\lim\limits_{n\to +\infty}\,\alpha _n$

On donne $\text e ^{\frac 1 2 }=1,6 \;\;; \; \text e \approx 2,7.$

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Bac C-E 2e tour Burkina Faso 2021

4 points

exercice 1

1. La transformation S est une similitude de centre A.

Par définition, $\left\lbrace\begin{matrix}S(A)=A\\S(D)=B\end{matrix}\right.$ .
Donc l'image par la similitude S du segment [AD] est le segment [AB].
Or, dans le rectangle ABCD , AB = 2CB = 2AD , soit $\dfrac{AB}{AD}=2.$
D'où le rapport de la similitude S est égal à 2.

De plus, $\overset{{\white{.}}}{\text{ mes } (\overrightarrow{AB}\,; \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow \text{ mes } (\overrightarrow{AD}\,; \overrightarrow{AB})=-\dfrac{\pi}{2}.}$
D'où l'angle de la similitude S est égal à $-\dfrac{\pi}{2}.$
Par conséquent, S est une similitude de centre A , de rapport 2 et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}.$

2. Soit I un point du segment [DC ], on pose J = S (I ).
Nous devons montrer que les vecteurs $\overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.

Bac C-E 2e tour Burkina Faso 2021 : image 4

Par définition, $\left\lbrace\begin{matrix}S(A)=A\\S(D)=B\\S(I)=J\end{matrix}\right.$ .
Donc l'image par la similitude S du triangle ADI est le triangle ABJ .
Or le triangle ADI est rectangle en D car ABCD est un rectangle.
Nous savons que la similitude S transforme un triangle rectangle en un triangle rectangle.
Il s'ensuit que le triangle ABJ est rectangle en B .
D'où $\overset{{\white{.}}}{\text{ mes } (\overrightarrow{BA}\,; \overrightarrow{BJ})=\dfrac{\pi}{2}}$ .
Dans le rectangle ABCD, $\overset{{\white{.}}}{\text{ mes } (\overrightarrow{BC}\,; \overrightarrow{BA})=\dfrac{\pi}{2}.}$
$(\overrightarrow{BC}\,,\, \overrightarrow{BJ})=(\overrightarrow{BC}\,,\, \overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BA}\,,\, \overrightarrow{BJ}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(\overrightarrow{BC}\,,\, \overrightarrow{BJ})}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(\overrightarrow{BC}\,,\, \overrightarrow{BJ})}=\pi\;[2\pi]} \\\\\Longrightarrow\boxed{(\overrightarrow{BC}\,,\, \overrightarrow{BJ})=\pi\;[2\pi]}$

Par conséquent, les vecteurs $\overrightarrow{BJ}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.

3. Soit r la rotation de centre A et d'angle $-\frac{\pi}{2}.$
On pose $h=S\circ r^{-1}$ avec h une transformation du plan, M le milieu du segment [AB ].

3. a) Le point A est le centre de la rotation r ^-1 car A est le centre de la rotation r .
Donc $\overset{{\white{.}}}{r^{-1}(A)=A.}$
Dès lors,

$h(A)=(S\circ r^{-1})(A) \\\phantom{h(A)}=S(r^{-1}(A)) \\\phantom{h(A)}=S(A) \\\phantom{h(A)}=A \\\\\Longrightarrow\boxed{h(A)=A}\,.$

Le point M est le milieu de [AB ].
Donc $\overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}AM=a\\AD=a\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad AM=AD.}$
De plus $(\overrightarrow{AM}\,,\, \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]$ .
Donc $r^{-1}(M)=D.$

Dès lors,

$h(M)=(S\circ r^{-1})(M) \\\phantom{h(M)}=S(r^{-1}(M)) \\\phantom{h(M)}=S(D) \\\phantom{h(M)}=B \\\\\Longrightarrow\boxed{h(M)=B}\,.$

$\left\lbrace\begin{matrix}h(A)=A\\h(M)=B\\AB=2AM\end{matrix}\right.$ .
Par conséquent, h est une homothétie de centre A , de rapport 2.

3. b) On pose K = r (I ).
Nous devons montrer que $AK = \frac{1}{2} AJ.$

$K=r(I)\quad\Longrightarrow\quad r^{-1}(K)=I \\\phantom{K=r(I)}\quad\Longrightarrow\quad S(r^{-1}(K))=S(I) \\\phantom{K=r(I)}\quad\Longrightarrow\quad (S\circ r^{-1})(K)=J \\\phantom{K=r(I)}\quad\Longrightarrow\quad h(K)=J \\\phantom{K=r(I)}\quad\Longrightarrow\quad AJ=2AK \\\\\phantom{K=r(I)}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AK=\frac{1}{2}AJ}$

4. On note B' l'image de B par la symétrie orthogonale d'axe (AJ ).
Nous devons monter que B'J = 2DI .

En vertu de la définition de la symétrie orthogonale d'axe (AJ ), nous savons que (AJ ) est la médiatrice du segment [BB' ].
Or tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance des extrémités de ce segment.
Puisque J appartient à (AJ ), nous en déduisons que B'J = BJ .
Or le segment [BJ ] est l'image par la similitude S du segment [DI ].
Dès lors, BJ = 2DI .

D'où $\left\lbrace\begin{matrix}B\,'J=BJ\\BJ=2DI\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{B\,'J=2DI}$

4 points

exercice 2

1. Une urne contient trois (3) pièces de monnaie possédant chacune une face "Pile" et une face "Face", toutes indiscernables au toucher. Deux (2) des pièces sont bien équilibrées et une est truquée. La pièce truquée a une probabilité d'apparition de "Face" égale à alpha

fois celle de "Pile". alpha

est un réel strictement positif.
On prend au hasard une pièce de l'urne et on effectue des lancers successifs de cette pièce.

On considère les événements suivants :
${\white{w}}\;B$ "la pièce prise est normale"
${\white{w}}\;\overline B$ "la pièce prise est truquée"
${\white{w}}\;A$ "Obtenir "Pile" "

Arbre pondéré représentant la situation.

Bac C-E 2e tour Burkina Faso 2021 : image 2

1. a) Nous devons déterminer la probabilité d'apparition de "Pile" pour la pièce truquée en fonction de alpha

.
Soit x la probabilité d'apparition de "Pile" pour la pièce truquée.
Alors la probabilité d'apparition de "Face" pour la pièce truquée est égale à alpha

x .

Nous obtenons ainsi :

$x+\alpha x=1\Longleftrightarrow x(1+\alpha)=1 \Longleftrightarrow \boxed{x=\dfrac{1}{1+\alpha}}$

Par conséquent, la probabilité d'apparition de "Pile" pour la pièce truquée est égale à $\dfrac{1}{1+\alpha}.$

Modifions l'arbre de probabilité en fonction des nouveaux résultats.

Bac C-E 2e tour Burkina Faso 2021 : image 3

${\red{\text{1. b) }}}\;P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{1. b) }}}\;P(A\cap B)}=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{1. b) }}}\;P(A\cap B)}=\dfrac{1}{3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A\cap B)=\dfrac{1}{3}} \\\\\phantom{www..}P(A\cap \overline{B})=P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(A) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{1. b) }}}\;P(A\cap B)}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{1+\alpha}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{{\red{\text{1. b) }}}\;P(A\cap B)}=\dfrac{1}{3(1+\alpha)}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A\cap \overline{B})=\dfrac{1}{3(1+\alpha)}}$

Nous devons déterminer P(A).
Les événements $\overset{{\white{.}}}{B}$ et $\overline{B}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(A)=P(B\cap A)+P(\overline{B}\cap A) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(T)}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3(1+\alpha)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(T)}=\dfrac{(1+\alpha)+1}{3(1+\alpha)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(T)}=\dfrac{2+\alpha}{3(1+\alpha)}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A)=\dfrac{2+\alpha}{3(1+\alpha)}}$

1. c) A est un événement certain equivaut

P (A ) = 1.

$\text{Or }\;P(A)=1\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2+\alpha}{3(1+\alpha)}=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;P(A)=1\quad}\Longleftrightarrow\quad 2+\alpha=3(1+\alpha)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;P(A)=1\quad}\Longleftrightarrow\quad 2+\alpha=3+3\alpha} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;P(A)=1\quad}\Longleftrightarrow\quad 2\alpha=-1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;P(A)=1\quad}\Longleftrightarrow\quad \alpha=-\dfrac{1}{2}}$
ce qui est impossible car alpha

est un réel strictement positif.
Donc, il n'existe pas de valeur de pour laquelle A est un événement certain.

A est un événement impossible equivaut

P (A ) = 0.

$\text{Or }\;P(A)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2+\alpha}{3(1+\alpha)}=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;P(A)=0\quad}\Longleftrightarrow\quad 2+\alpha=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;P(A)=0\quad}\Longleftrightarrow\quad \alpha=-2}$
ce qui est impossible car alpha

est un réel strictement positif.
Donc, il n'existe pas de valeur de pour laquelle A est un événement impossible.

2. En remarquant que $F_n=(F_n\cap B)\cup (F_n\cap \overline B)$ , nous devons calculer la probabilité $P(F_n)$ de l'événement $F_n$ .
Les événements $\overset{{\white{.}}}{B}$ et $\overline{B}$ sont incompatibles.
Donc les événements $F_n\cap B$ et $F_n\cap \overline B$ sont également incompatibles.
Il s'ensuit que $P((F_n\cap B)\cup(F_n\cap \overline B))=P(F_n\cap B)+P(F_n\cap \overline B)$

Dès lors,

$P(F_n)=P((F_n\cap B)\cup(F_n\cap \overline B)) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(F_n)}=P(F_n\cap B)+P(F_n\cap \overline B)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(F_n)}=P(B)\times P_B(F_n)+P(\overline B)\times P_{\overline B}(F_n)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(F_n)}=\dfrac{2}{3}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(F_n)}=\dfrac{1}{3}\times2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(F_n)}=\dfrac{1}{3}\left[ 2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n\right]} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(F_n)=\dfrac{1}{3}\left[ 2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n\right]}$

3. a) Nous devons déterminer la probabilité $P_{F_n}(\overline{B})$ , notée $P_n.$

$P_n=P_{F_n}(\overline{B})=\dfrac{P(F_n\cap \overline{B})}{P(F_n)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n=P_{F_n}(\overline{B})}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n}{\dfrac{1}{3}\left[ 2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n\right]}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n=P_{F_n}(\overline{B})}=\dfrac{ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n}{ 2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n=P_{F_n}(\overline{B})}=\dfrac{ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n}{ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n\left[2\times\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}{\left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n}+1\right]}}$

$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n=P_{F_n}(\overline{B})}=\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\alpha}{1+\alpha}}\right)^{n}+1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n=P_{F_n}(\overline{B})}=\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}\right)^{n}+1}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_n=\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}\right)^{n}+1}}$

3. b) La limite de $P_n$ est nulle si et seulement si $\lim\limits_{n\to+\infty}\left[2\times\left(\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}\right)^{n}+1\right]=+\infty$ , soit si et seulement si $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}\right)^{n}=+\infty$ .
Dans ce cas, la condition suivante doit être réalisée : $\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}>1$

$\text{Or }\;\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}>1\quad\Longleftrightarrow\quad1+\alpha>2\alpha \\\phantom{\text{Or }\;\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}>1}\quad\Longleftrightarrow\quad1>2\alpha-\alpha \\\phantom{\text{Or }\;\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}>1}\quad\Longleftrightarrow\quad\alpha<1$

Par conséquent et a contrario, la limite de $P_n$ est non nulle lorsque $\boxed{\alpha\ge1}\,.$

3. c) Nous devons calculer cette limite pour alpha

= 3.

$\lim\limits_{n\to+\infty}P_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}\right)^{n}+1}\quad\text{où }\alpha=3 \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}P_n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{4}{6}\right)^{n}+1}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}P_n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}+1}}$

$\text{Or }\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0\quad\text{car }0<\dfrac{2}{3}<1 \\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+1}=\dfrac{1}{0+1}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}P_n=1}\,.$

12 points

probleme

Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction f_n définie sur [0 ; + infini

[ par :

$\left\lbrace\begin{matrix} f_n(x) & = & x^n(1-\ln x) &\text{si }x > 0 \\ f_n(0)& = & 0 & \end{matrix}\right.$

Partie A :

1. a) Nous devons montrer que f_n est continue en 0.

$\bullet{\white{w}}$ f_n est définie en 0 et $\boxed{f_n(0)=0}\,.$

$\bullet{\white{w}}\lim\limits_{x\to0^+}f_n(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(x^n-x^n\ln x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\bullet{\phantom{w}}\lim\limits_{x\to0^+}f_n(x)}={\blue{\lim\limits_{x\to0^+}x^n-\lim\limits_{x\to0^+}x^n\ln x}}}\\\\ \text{Or }\;{\blue{\lim\limits_{x\to0^+}x^n=0}} \\\\\text{et }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-1}=0\\\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\left(\overset{}{x^{n-1}\times x\ln x}\right)=0 \\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad{\blue{\lim\limits_{x\to0^+}x^{n}\ln x=0}} \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to0^+}f_n(x)={\blue{0-0}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f_n(x)=0}$

Il s'ensuit que $\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f_n(x)=f_n(0)}\,.$
Par conséquent, le fonction f_n est continue en 0.

1. b) Nous devons la dérivabilité de f_n en 0.

Premier cas : n = 1.

$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x(1-\ln x)-0}{x-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x(1-\ln x)}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}}=\lim\limits_{x\to0^+}(1-\ln x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}}=+\infty\quad\text{car }\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty} .\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}=+\infty\;{\red{\notin\R}}}$
Nous en déduisons que la fonction f_n n'est pas dérivable en 0.

Interprétation graphique :
Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative (C ₁) admet une tangente verticale en (0 ; 0).

Deuxième cas : n > 1.

$\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x^n(1-\ln x)-0}{x-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x^n(1-\ln x)}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}}=\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-1}(1-\ln x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}}={\blue{\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-1}-\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-1}\ln x}}}$

$\text{Or }\;{\blue{\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-1}=0}} \\\\\text{et }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-2}=0\\\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\left(\overset{}{x^{n-2}\times x\ln x}\right)=0 \\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad{\blue{\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-1}\ln x=0}} \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}={\blue{0-0}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}=0}$
Nous en déduisons que la fonction f_n est dérivable en 0 et $\boxed{f'_n(0)=0}$ .

Interprétation graphique :
Géométriquement, cela signifie que si n > 1, la courbe représentative de la fonction (C_n ) admet une tangente horizontale en (0 ; 0).

1. c) Nous devons déterminer $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x^n=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x^n=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)=-\infty \end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}x^n(1-\ln x)=-\infty \\\\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty}$

Nous devons déterminer $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}.$

Premier cas : n = 1.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_1(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x(1-\ln x)}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}}=-\infty\quad\quad(\text{car }\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_1(x)}{x}=-\infty}$

Deuxième cas : n > 1.

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^n(1-\ln x)}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n-1}(1-\ln x)} \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n-1}=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)=-\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n-1}(1-\ln x)=-\infty \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=-\infty}$
Par conséquent, pour tout entier naturel n non nul, $\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=-\infty}$

Interprétation graphique :
Géométriquement, cela signifie que pour tout entier naturel n non nul, la courbe représentative (C_n ) présente une branche parabolique de direction asymptotique (Oy ) en + infini

.

2. a) Nous devons étudier suivant les valeurs de x le signe de $f_{n+1}(x)-f_n(x).$

$f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^{n+1}(1-\ln x)-x^n(1-\ln x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_{n+1}(x)-f_n(x)}=(x^{n+1}-x^n)(1-\ln x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_{n+1}(x)-f_n(x)}=x^n(x-1)(1-\ln x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^n(x-1)(1-\ln x)}$

Or, par définition, x supegal

0.
Donc pour tout entier naturel n non nul, x ⁿ supegal

0.
Nous en déduisons que le signe de $f_{n+1}(x)-f_n(x)$ est le signe de $(x-1)(1-\ln x).$

$\begin{matrix}x-1<0\Longleftrightarrow x<1\\x-1=0\Longleftrightarrow x=1\\x-1>0\Longleftrightarrow x>1\\\\1-\ln x<0\Longleftrightarrow \ln x>1\\\phantom{www.ww}\Longleftrightarrow x>\text{e}\\1-\ln x=0\Longleftrightarrow x=\text{e}\phantom{ww}\\1-\ln x>0\Longleftrightarrow x<\text{e}\phantom{ww} \end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&0&&1&&\text{e}&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\x-1&-&-&0&+&+&+&\\1-\ln x&||&+&+&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\ (x-1)(1-\ln x)&||&-&0&+&0&-&\\&||&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f_{n+1}(x)-f_n(x)&0&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

Par conséquent,

$\bullet{\white{w}}$ si x appartient

]0 ; 1[

]e ; +

[, alors $f_{n+1}(x)-f_n(x)<0$

$\bullet{\white{w}}$ si x appartient

]1 ; e[, alors $f_{n+1}(x)-f_n(x)>0$

$\bullet{\white{w}}$ si x appartient

$\overset{{\white{.}}}{\lbrace 0\,;\,1\;,\;\text{e}\rbrace}$ , alors $f_{n+1}(x)-f_n(x)=0$

2. b) Nous en déduisons que :

$\bullet{\white{w}}$ si x appartient

]0 ; 1[

]e ; +

[, alors la courbe (C_n +1) est en dessous de la courbe (C_n )

$\bullet{\white{w}}$ si x appartient

]1 ; e[, alors la courbe (C_n +1) est au-dessus de la courbe (C_n )

$\bullet{\white{w}}$ si x appartient

$\overset{{\white{.}}}{\lbrace 0\,;\,1\;,\;\text{e}\rbrace}$ , alors les courbes (C_n +1) et (C_n ) ont un point commun.

En particulier,

$\left\lbrace\begin{matrix}f_n(0)=0\quad(\text{par défintion de }f_n)\\f_n(1)=1(1-\ln1)=1(1-0)=1\\f_n(\text{e})=\text{e}^n(1-\ln\text{e})=\text{e}^n(1-1)=\text{e}^n\times0=0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f_n(0)=0\\f_n(1)=1\\f_n(\text{e})=0\end{matrix}\right.$

Nous en déduisons que toutes les courbes (C_n ) passent par les points fixes de coordonnées (0 ; 0), (1 ; 1) et (e ; 0) indépendantes de n .

3. a) Nous devons étudier le sens de variation de f_n .

La fonction f_n est dérivable sur ]0 ; + infini

[ (produit de fonctions dérivables sur ]0 ; + infini

[).

$f_n'(x)=[x^n(1-\ln x)]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_n'(x)}=(x^n)'\times(1-\ln x)+x^n\times(1-\ln x)'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_n'(x)}=nx^{n-1}\times(1-\ln x)+x^n\times\left(-\dfrac{1}{x}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_n'(x)}=nx^{n-1}(1-\ln x)-\dfrac{x^n}{x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_n'(x)}=nx^{n-1}(1-\ln x)-x^{n-1}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_n'(x)}=x^{n-1}\left[\overset{}{n(1-\ln x)-1}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_n'(x)}=x^{n-1}(n-n\,\ln x-1)} \\\\\Longrightarrow\boxed{f_n'(x)=x^{n-1}(n-1-n\,\ln x)}$

Nous savons par la question 1. b) que la fonction f₁ n'est pas dérivable en 0 et que $f'_n(0)=0$ si n supegal

1.

Tableau de variation de f_n sur [0 ; + infini

[.

Premier cas : n = 1.

$f_n'(x)=x^{n-1}(n-1-n\,\ln x)\Longrightarrow f_1'(x)=1\times(1-1-\ln x) \\\phantom{f_n'(x)=x^{n-1}(n-n\,\ln x-1)}\Longrightarrow f_1'(x)=-\ln x \\\\ \begin{matrix}-\ln x<0\Longleftrightarrow \ln x>0\\\phantom{www.w}\Longleftrightarrow x>1\\-\ln x=0\Longleftrightarrow x=1\phantom{ww}\\-\ln x>0\Longleftrightarrow x<1\phantom{ww} \end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&1&&+\infty\\&&&&&\\\hline &&&&&\\-\ln x&||&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'_1(x)&||&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&1&&\\f_1(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&-\infty\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

Deuxième cas : n > 1.

$\begin{matrix}n-1-n\,\ln x<0\Longleftrightarrow n\,\ln x>n-1\\\phantom{wwwwwwww.w}\Longleftrightarrow \ln x>\dfrac{n-1}{n}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwww.w}\Longleftrightarrow x>\text{e}^{\frac{n-1}{n}}}\\\\n-1-n\,\ln x=0\Longleftrightarrow x=\text{e}^{\frac{n-1}{n}}\phantom{ww}\\\\n-1-n\,\ln x>0\Longleftrightarrow x<\text{e}^{\frac{n-1}{n}}\phantom{ww}\\\\\text{N.B.:}\; {f_n(\text{e}^{\frac{n-1}{n}})=\text{e}^{n-1}\,(1-\frac{n-1}{n})}\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wwww}=\text{e}^{n-1}\,(\frac{n-n+1}{n})}\\\overset{{\phantom{.}}}{=\dfrac{1}{n}\,\text{e}^{n-1}}\end{matrix}{\white{www}}$ $\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{\frac{n-1}{n}}&&+\infty\\&&&&&\\\hline &&&&&\\x^{n-1}&0&+&+&+&\\n-n\,\ln x-1&||&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'_n(x)&0&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&\frac{1}{n}\,\text{e}^{n-1}&&\\f_n(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&-\infty\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

3. b) Pour tout entier n non nul, nous devons déterminer en fonction de n , une équation de la tangente à (C_n ) en chacun des points d'abscisse 1 et d'abscisse e.

$\bullet{\white{w}}$ Équation de la tangente (T ₁) à (C_n ) au point d'abscisse 1.

Une équation de la tangente (T ₁) est de la forme : $y=f_n'(1)(x-1) + f_n(1)$ .

$\text{Or }\;f_n'(x)=x^{n-1}\times(n-1-n\,\ln x)\quad\Longrightarrow\quad f_n'(1)=1\times(n-1-n\ln 1) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f'(x)=3(-x^2+x+1)\,\text{e}^{-x}\quad ww}\Longrightarrow\quad \boxed{f_n'(1)=n-1}} \\\\\phantom{\text{Or }\;}\boxed{f_n(1)=1}\quad(\text{voir question 2.b)}$

$\text{D'où }\;y=f_n'(1)(x-1) + f_n(1)\Longleftrightarrow y=(n-1)(x-1) + 1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;y=f_n'(1)(x-1) + f_n(1)}\Longleftrightarrow y=(n-1)x-n+1 + 1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;y=f_n'(1)(x-1) + f_n(1)}\Longleftrightarrow y=(n-1)x-n+2}$

Par conséquent, une équation de la tangente (T ₁) à (C_n ) au point d'abscisse 1 est $\boxed{y=(n-1)x-n+2}\,.$

$\bullet{\white{w}}$ Équation de la tangente (T _e) à (C_n ) au point d'abscisse e.

Une équation de la tangente (T _e) est de la forme : $y=f_n'(\text{e})(x-\text{e}) + f_n(\text{e})$ .

$\text{Or }\;f_n'(x)=x^{n-1}\times(n-1-n\,\ln x)\quad\Longrightarrow\quad f_n'(\text{e})=\text{e}^{n-1}\times(n-1-n\,\ln\text{e}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f'(x)=3(-x^2+x+1)\,\text{e}^{-x}\quad ww}\Longrightarrow\quad f_n'(\text{e})=\text{e}^{n-1}\times(n-1-n) } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f'(x)=3(-x^2+x+1)\,\text{e}^{-x}\quad ww}\Longrightarrow\quad \boxed{f_n'(\text{e})=-\text{e}^{n-1}}} \\\\\phantom{\text{Or }\;}\boxed{f_n(\text{e})=0}\quad(\text{voir question 2.b)}$

$\text{D'où }\;y=f_n'(\text{e})(x-\text{e}) + f_n(\text{e})\Longleftrightarrow y=-\text{e}^{n-1}(x-\text{e}) + 0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;y=f_n'(1)(x-1) + f_n(1)}\Longleftrightarrow y=-\text{e}^{n-1}x+\text{e}^n}$

Par conséquent, une équation de la tangente (T _e) à (C_n ) au point d'abscisse e est $\boxed{y=-\text{e}^{n-1}x+\text{e}^n}\,.$

3. c) Représentation graphique de (C ₁) et de (C ₁).

Bac C-E 2e tour Burkina Faso 2021 : image 1

4. a) Nous allons déterminer les coordonnées du point I , intersection des droites (D ) et ( deltamaj

) et ensuite montrer que ce point I appartient à la droite (OM' ).

$\bullet{\white{w}}$ Le point M d'abscisse a , appartient à la courbe (C_n ).
Ses coordonnées sont alors : $M(a\,;\,a^n(1-\ln a)).$

La droite (D ) passe par le point M et est parallèle à l'axe des abscisses.
Donc la droite (D ) admet pour équation : $y=a^n(1-\ln a).$

La droite ( deltamaj

) admet pour équation : $x=1.$

Dès lors, les coordonnées du point I , intersection des droites (D ) et () sont $I\,(1\,;\,a^n(1-\ln a)).$

$\bullet{\white{w}}$ Le point M' d'abscisse a , appartient à la courbe (C_n+1 ).
Ses coordonnées sont alors : $M(a\,;\,a^{n+1}(1-\ln a)).$

Le coefficient directeur de la droite (OM' ) est égal à $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{y_{M'}-y_O}{x_{M'}-x_O}=\dfrac{a^{n+1}(1-\ln a)-0}{a-0}=\dfrac{a^{n+1}(1-\ln a)}{a}=a^{n}(1-\ln a).}$

Donc la droite (OM' ) admet pour équation : $y=a^n(1-\ln a)x.$

Les coordonnées du point I vérifient l'équation de la droite (OM' ).
En effet, $a^n(1-\ln a)\times x_I=a^n(1-\ln a)\times 1=a^n(1-\ln a)=y_I.$

Nous en déduisons que le point I appartient aux trois droites (D ), ( deltamaj

) et (OM' ).

Ces trois droites (D ), ( deltamaj

) et (OM' ) ont chacune une direction différente.
En effet, la droite (D ) est parallèle à l'axe des abscisses, la droite ( deltamaj

) est parallèle à l'axe des ordonnées et la droite (OM' ) n'est parallèle à aucun axe puisque son coefficient directeur est différent de 0 (car a different

0 et a

e).

Par conséquent, les trois droites (D ), () et (OM' ) sont concourantes en I .

4. b) Construction du point M' à partir du point M .

Par le point M , traçons une droite parallèle à l'axe des abscisses.
Traçons la droite d'équation x = 1.
Le point I est le point d'intersection de ces deux droites.
Traçons la droite (OI ).
Le point M' est le point commun de la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par M et la droite (OI ).

Partie B :
Pour tout entier naturel non nul n , on pose $I_n=\begin{aligned} \int_1^{\text e} f_n(t)\;$d$t \end{aligned}.$

1. Sans calculer I_n , étudions le sens de variation de la suite (I_n ).

$I_{n+1}-I_n=\begin{aligned} \int_1^{\text e} \left(\overset{}{f_{n+1}(t)-f_n(t)}\right)\;$d$t \end{aligned}$
En utilisant les résultats de la question 2. a) Partie A, nous déduisons que $f_{n+1}(t)-f_n(t)\ge0$ sur l'intervalle [1 ; e].
D'où, $I_{n+1}-I_n\ge0$

Par conséquent, la suite (I_n ) est croissante.

2. a) Nous devons déterminer en fonction de n l'expression I_n de la suite (I_n )

$I_n=\begin{aligned} \int_1^{\text e} x^n(1-\ln x)\;$d$x \end{aligned} \\\\\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{\text e} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_1^{\text e}-\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{\text e} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=1-\ln x\phantom{wwwww}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=-\dfrac{1}{x}\phantom{ww}\\v'(x)=x^n\phantom{wwwwwwwv}\Longrightarrow\quad v(x)=\dfrac{\overset{}{x^{n+1}}}{n+1}\phantom{ww}\end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors, }\ \begin{aligned} \int_1^{\text e} x^n(1-\ln x)\;\text{d}x \end{aligned}=\left[\overset{}{\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\times(1-\ln x)}\right]\limits_1^{\text e}+\begin{aligned}\int\nolimits_1^{\text e}\dfrac{1}{x}\times\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWWWWWxWW}=\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{x^{n+1}\times(1-\ln x)}\right]\limits_1^{\text e}+ \dfrac{1}{n+1}\begin{aligned}\int\nolimits_1^{\text e}x^n\,\text d x\end{aligned}$

$\\\\\phantom{WWWWWWWWWxWW}=\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{x^{n+1}\,(1-\ln x)}\right]\limits_1^{\text e} +\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}\right]\limits_1^{\text e} \\\\\phantom{WWWWWWWWWxWW}=\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{\text{e}^{n+1}\,(1-\ln \text{e})}-1(1-\ln1)\right]+\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{\dfrac{\text{e}^{n+1}}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}}\right] \\\\\phantom{WWWWWWWWWxWW}=\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{\text{e}^{n+1}\,(1-1)}-1(1-0)\right]+\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{\dfrac{\text{e}^{n+1}}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}}\right]\\\\\phantom{WWWWWWWWWxWW}=-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}\,\text{e}^{n+1}-\dfrac{1}{(n+1)^2}\\ {\white{WWWWWWWWWWWW}}$

$\Longrightarrow\boxed{I_n=-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{(n+1)^2}+\dfrac{\text{e}^{n+1}}{(n+1)^2}}$

2. b) Nous devons calculer $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{n\to +\infty}\,I_n.}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to +\infty}-\dfrac{1}{n+1}=0\phantom{WWWWWWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to +\infty}-\dfrac{1}{(n+1)^2}=0}\phantom{WWWWWWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{\text{e}^{n+1}}{(n+1)^2}=+\infty\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right.\\\\\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to +\infty}\left(-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{(n+1)^2}+\dfrac{\text{e}^{n+1}}{(n+1)^2}\right)=+\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}I_n=+\infty}$

Partie C :

Dans cette partie, n est un entier supérieur ou égal à 2.

1. On désigne par x_n le réel non nul tel que $f'_n(x)=0.$

1. a) Montrons que x_n appartient

]1 ; e[.

Nous avons montré dans la question 3. a) Partie A que $f_n'(x)=x^{n-1}(n-1-n\,\ln x).$

Nous obtenons alors :

$f_n'(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{n-1}(n-1-n\,\ln x)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_n'(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad n-1-n\,\ln x=0\quad(\text{car }x^n\neq0)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_n'(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad n\,\ln x=n-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_n'(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=\dfrac{n-1}{n}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_n'(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=1-\dfrac{1}{n}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_n'(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\text{e}^{1-\frac{1}{n}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{x_n=\text{e}^{1-\frac{1}{n}}}$

Nous savons que n est un entier supérieur ou égal à 2.
Dès lors,

$n\ge2\Longrightarrow 0<\dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow -\dfrac{1}{2}\le-\dfrac{1}{n}<0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow 1-\dfrac{1}{2}\le1-\dfrac{1}{n}<1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow \dfrac{1}{2}\le1-\dfrac{1}{n}<1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow \text{e}^{\frac{1}{2}}\le\text{e}^{1-\frac{1}{n}}<\text{e}^{1}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow \text{e}^0<\text{e}^{\frac{1}{2}}\le\text{e}^{1-\frac{1}{n}}<\text{e}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow \text{e}^0<\text{e}^{1-\frac{1}{n}}<\text{e}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow 1<\text{e}^{1-\frac{1}{n}}<\text{e}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow 1<x_n<\text{e}} \\\\\Longrightarrow\boxed{x_n\in\;]\,1\,;\,\text{e}\,[}$

1. b) Nous devons calculer $\overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{n\to +\infty}x_n.}$

$\lim\limits_{n\to +\infty}x_n=\lim\limits_{n\to +\infty}\text{e}^{1-\frac{1}{n}} \\\\\text{Or }\;\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}=0\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)=1 \\\phantom{\text{Or }\;\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}=0}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to +\infty}\text{e}^{1-\frac{1}{n}}=\text{e}^1=\text{e} \\\\\text{D'où }\;\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}x_n=\text{e}}$

2. a) Nous savons par la question 1. a) que $x_n\in\;]\,1\,;\,\text{e}\,[.$

Reprenons le tableau de variation de f_n établi dans la question 3. a) - Partie A et appliquons-le dans l'intervalle [1 ; e].

${\white{wwwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&1&&x_n=\text{e}^{\frac{n-1}{n}}&&\text{e}\\&&&&&\\\hline&&&f(x_n)=\frac{1}{n}\,\text{e}^{n-1}&&\\f_n(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&1&&&&0\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

$\bullet{\white{w}}$ Sur l'intervalle [1 ; x_n ]

La fonction fn est croissante sur l'intervalle [1 ; x_n ].
De plus, fn (1) = 1.
Dès lors, $f_n(x_n)>1$
Par conséquent, l'équation $\overset{{\white{.}}}{f_n(x)=1}$ n'admet pas de solution dans l'intervalle [1 ; x_n ]

$\bullet{\white{w}}$ Sur l'intervalle [x_n ; e]

La fonction f_n est décroissante sur l'intervalle sur l'intervalle [x_n ; e]

De plus, $\left\lbrace\begin{matrix}f_n(x_n)>1\\f_n(\text{e})=0<1\end{matrix}\right.$

D'après le théorème de la bijection dans l'intervalle [x_n ; e], nous déduisons que l'équation $\overset{{\white{.}}}{f_n(x)=1}$ admet une unique solution dans l'intervalle [x_n ; e].
Puisque fn (e) = 0 different

1, il s'ensuit que l'équation $f_n(x)=1$ admet une unique solution $\overset{{\white{.}}}{\alpha _n}$ dans l'intervalle [x_n ; e[.

2. b) Nous avons montré dans la question 2. b) - Partie A que si x appartient

]1 ; e[, alors la courbe (C_n +1) est au-dessus de la courbe (C_n ).
D'où $f_{n+1}(\alpha _n)>f_{n}(\alpha _n).$
Or $f_{n}(\alpha _n)=1.$

Donc $\boxed{f_{n+1}(\alpha _n)>1}\,.$

2. c) La fonction f_n +1 est décroissante sur l'intervalle sur l'intervalle [ alpha

_n ; e]

De plus, $\left\lbrace\begin{matrix}f_{n+1}(\alpha _n)>1\\f_{n+1}(\text{e})=0<1\end{matrix}\right.$

D'après le théorème de la bijection dans l'intervalle [ alpha

_n ; e], nous déduisons que l'équation $\overset{{\white{.}}}{f_{n+1}(x)=1}$ admet une unique solution $\overset{{\white{.}}}{\alpha _{n+1}}$ dans l'intervalle [ alpha

_n ; e].
Dès lors, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, $\overset{{\white{.}}}{\alpha_{n+1}>\alpha_n.}$

Par conséquent, la suite $\overset{{\white{.}}}{\left(\alpha_n\right)_{n\ge2}}$ est croissante.

2. d) Pour tout entier n supérieur ou égal à 2,

$\left\lbrace\begin{matrix}x_n\le \alpha_n\le\text{e}\\\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=\text{e}\end{matrix}\right.\quad\underset{\text{théorème des gendarmes}}{\Longrightarrow}\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\alpha_n=\text{e}}$

Publié par malou le 30-04-2022

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