Fiche de mathématiques
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Bac C-E 2e tour Burkina Faso 2021

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Durée : 4 heures

Coefficient : 6

Les calculatrices ne sont pas autorisées.


4 points

exercice 1

Soit ABCD un rectangle tel que \text{ mes } (\overrightarrow{AB}\,; \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2} et AB = 2CB = 2a , a un réel strictement positif.

1. Déterminer les éléments caractéristiques de la similitude S de centre A et qui transforme D en B.

2. Soit I un point du segment [DC ], on pose J = S (I ). Montrer que les vecteurs \overrightarrow{BJ} et \overrightarrow{BC} sont colinéaires.

3. Soit r la rotation de centre A et d'angle -\frac{\pi}{2}
On pose h=S\circ r^{-1} avec h une transformation du plan, M le milieu du segment [AB ].
{\white{w}} a. Déterminer h (A ) et h (M ) et caractériser h.
{\white{w}} b. On pose K=r(I ). Montrer que AK = 1/2 AJ.

4. On note B ' l'image de B par la symétrie orthogonale d'axe (AJ ).
Monter que B ' J = 2DI.

4 points

exercice 2

Une urne contient trois (3) pièces de monnaie possédant chacune une face "Pile" et une face "Face", toutes indiscernables au toucher. Deux (2) des pièces sont bien équilibrées et une est truquée. La pièce truquée a une probabilité d'apparition de "Face" égale à alpha fois celle de "Pile". alpha est un réel strictement positif.
On prend au hasard une pièce de l'urne et on effectue des lancers successifs de cette pièce.
On considère les événements suivants :
{\white{w}}\;B "la pièce prise est normale"
{\white{w}}\;\overline B "la pièce prise est truquée"
{\white{w}}\;A "Obtenir "Pile" "
{\white{w}}\;F_n "Obtenir "Face" pour les n premiers lancers".

1. a. Déterminer la probabilité d'apparition de "Pile" pour la pièce truquée en fonction de alpha.
{\white{w}} b. Calculer la probabilité des événements A\cap B et A \cap \overline B puis en déduire celle de A.
{\white{w}} c. Existe-t-il une valeur de alpha pour laquelle A est un événement certain ? un événement impossible ?

2. En remarquant que F_n=(F_n\cap B)\cup (F_n\cap \overline B) , calculer la probabilité P(F_n) de l'événement F_n.

3. a. Sachant que l'on obtient "Face" lors des n premiers lancers, quelle est la probabilité Pn d'avoir pris la pièce truquée ?
{\white{w}} b. Pour quelles valeurs de alpha la limite de Pn est-elle non nulle ?
{\white{w}} c. Calculer alors cette limite pour alpha=3.

12 points

probleme

Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction fn définie sur [0 ; +infini[ par :
\left\lbrace\begin{matrix} f_n(x) & = & x^n(1-\ln x) &\text{si }x > 0 \\ f_n(0)& = & 0 & \end{matrix}\right.
On note (Cn ) la courbe représentative de fn dans un repère orthonormal (O\,; \vec i\,,\vec j ) ; unité graphique 4 cm.

Partie A

1. a. Montrer que fn est continue en 0.
{\white{w}} b. Etudier la dérivabilité de fn en 0. (On distinguera les cas n = 1 et n > 1).
{\white{w}} Interpréter graphiquement les résultats.
{\white{w}} c. Calculer \lim\limits_{x\to +\infty}\,f_n(x) et \lim\limits_{x\to +\infty}\,\dfrac{f_n(x)}{x}

2. a. Etudier suivant les valeurs de x le signe de f_{n+1}(x)-f_n(x).
{\white{w}} b. En déduite la position relative de (Cn ) et (Cn+1 ) et montrer que les courbes (Cn ) passent par trois (3) points fixes dont on précisera les coordonnées.

3. a. Etudier le sens de variation de fn et dresser son tableau de variation. (On distinguera les cas n = 1 et n > 1).
{\white{w}} b. Pour tout entier n , non nul, déterminer en fonction de n , une équation de la tangente à (Cn ) en chacun des points d'abscisse 1 et d'abscisse e.
{\white{w}} c. Construire dans un même repère les courbes (C1 ) et (C2 ).

4. a. Soit a un réel strictement positif et différent de e. On considère les deux points Mappartient(Cn ) et M ' appartient (Cn+1 ) de même abscisse a.
On trace : la droite (OM ') ; la droite (D ) passant par M et parallèle à l'axe des abscisses et la droite (deltamaj) d'équation x = 1.
Montrer que ces trois (3) droites sont concourantes.
{\white{w}} b. Expliquer alors comment construire le point M ' à partir du point M.

Partie B

Pour tout entier naturel non nul n, on pose I_n=\begin{aligned} \int_1^{\text e} f_n(t)\;$d$t \end{aligned}.
1. Sans calculer In , étudier le sens de variation de (In ).

2. a. En utilisant une intégration par parties, déterminer en fonction de n l'expression In de la suite (In ) en fonction de n.
{\white{w}} b. Calculer \lim\limits_{n\to +\infty}\,I_n

Partie C

Dans cette partie, n est un entier supérieur ou égal à 2.
1. On désigne par xn le réel non nul tel que f'_n(x)=0 (où f'_n désigne la dérivée de f_n )
{\white{w}} a. Montrer que xn appartient ]1 ; e[.
{\white{w}} b. Calculer \lim\limits_{n\to +\infty}\,x_n

2. a. Montrer que l'équation f_n(x)=1 admet une unique solution dans l'intervalle [xn ; e[. On note alphan cette solution.
{\white{w}} b. Montrer que f_{n+1}(\alpha_n) > 1.
{\white{w}} c. En déduire que la suite (alphan ) est croissante.
{\white{w}} d. Calculer \lim\limits_{n\to +\infty}\,\alpha _n

On donne \text e ^{\frac 1 2 }=1,6 \;\;; \; \text e \approx 2,7.




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4 points

exercice 1

1.  La transformation S  est une similitude de centre A.

Par définition,  \left\lbrace\begin{matrix}S(A)=A\\S(D)=B\end{matrix}\right. .
Donc l'image par la similitude S  du segment [AD] est le segment [AB].
Or, dans le rectangle ABCD , AB  = 2CB  = 2AD , soit  \dfrac{AB}{AD}=2.
D'où le rapport de la similitude S  est égal à 2.

De plus,  \overset{{\white{.}}}{\text{ mes } (\overrightarrow{AB}\,; \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow \text{ mes } (\overrightarrow{AD}\,; \overrightarrow{AB})=-\dfrac{\pi}{2}.}
D'où l'angle de la similitude S  est égal à  -\dfrac{\pi}{2}.
Par conséquent, S  est une similitude de centre A , de rapport 2 et d'angle  -\dfrac{\pi}{2}.

2. Soit I  un point du segment [DC ], on pose J  = S (I ).
Nous devons montrer que les vecteurs  \overrightarrow{BJ}  et  \overrightarrow{BC}  sont colinéaires.

Bac C-E 2e tour  Burkina Faso 2021 : image 4


Par définition,  \left\lbrace\begin{matrix}S(A)=A\\S(D)=B\\S(I)=J\end{matrix}\right. .
Donc l'image par la similitude S  du triangle ADI  est le triangle ABJ .
Or le triangle ADI  est rectangle en D  car ABCD  est un rectangle.
Nous savons que la similitude S  transforme un triangle rectangle en un triangle rectangle.
Il s'ensuit que le triangle ABJ  est rectangle en B .
D'où   \overset{{\white{.}}}{\text{ mes } (\overrightarrow{BA}\,; \overrightarrow{BJ})=\dfrac{\pi}{2}}.
Dans le rectangle ABCD,  \overset{{\white{.}}}{\text{ mes } (\overrightarrow{BC}\,; \overrightarrow{BA})=\dfrac{\pi}{2}.}
(\overrightarrow{BC}\,,\, \overrightarrow{BJ})=(\overrightarrow{BC}\,,\, \overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BA}\,,\, \overrightarrow{BJ}) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(\overrightarrow{BC}\,,\, \overrightarrow{BJ})}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{(\overrightarrow{BC}\,,\, \overrightarrow{BJ})}=\pi\;[2\pi]} \\\\\Longrightarrow\boxed{(\overrightarrow{BC}\,,\, \overrightarrow{BJ})=\pi\;[2\pi]}

Par conséquent, les vecteurs  \overrightarrow{BJ}  et  \overrightarrow{BC}  sont colinéaires.

3.  Soit r  la rotation de centre A  et d'angle  -\frac{\pi}{2}.
On pose  h=S\circ r^{-1}  avec h  une transformation du plan, M  le milieu du segment [AB ].

3. a)  Le point A  est le centre de la rotation r -1 car A  est le centre de la rotation r .
Donc  \overset{{\white{.}}}{r^{-1}(A)=A.}
Dès lors,

h(A)=(S\circ r^{-1})(A) \\\phantom{h(A)}=S(r^{-1}(A)) \\\phantom{h(A)}=S(A) \\\phantom{h(A)}=A \\\\\Longrightarrow\boxed{h(A)=A}\,.

Le point M  est le milieu de [AB ].
Donc  \overset{{\white{.}}}{\left\lbrace\begin{matrix}AM=a\\AD=a\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad AM=AD.}
De plus  (\overrightarrow{AM}\,,\, \overrightarrow{AD})=\dfrac{\pi}{2}\;[2\pi] .
Donc  r^{-1}(M)=D.

Dès lors,

h(M)=(S\circ r^{-1})(M) \\\phantom{h(M)}=S(r^{-1}(M)) \\\phantom{h(M)}=S(D) \\\phantom{h(M)}=B \\\\\Longrightarrow\boxed{h(M)=B}\,.

\left\lbrace\begin{matrix}h(A)=A\\h(M)=B\\AB=2AM\end{matrix}\right. .
Par conséquent, h  est une homothétie de centre A , de rapport 2.

3. b)  On pose K  = r (I ).
Nous devons montrer que  AK = \frac{1}{2} AJ.

K=r(I)\quad\Longrightarrow\quad r^{-1}(K)=I \\\phantom{K=r(I)}\quad\Longrightarrow\quad S(r^{-1}(K))=S(I) \\\phantom{K=r(I)}\quad\Longrightarrow\quad (S\circ r^{-1})(K)=J \\\phantom{K=r(I)}\quad\Longrightarrow\quad h(K)=J \\\phantom{K=r(I)}\quad\Longrightarrow\quad AJ=2AK \\\\\phantom{K=r(I)}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{AK=\frac{1}{2}AJ}

4.  On note B'  l'image de B  par la symétrie orthogonale d'axe (AJ ).
Nous devons monter que B'J  = 2DI .

En vertu de la définition de la symétrie orthogonale d'axe (AJ ), nous savons que (AJ ) est la médiatrice du segment [BB' ].
Or tout point de la médiatrice d'un segment est à égale distance des extrémités de ce segment.
Puisque J  appartient à (AJ ), nous en déduisons que B'J  = BJ .
Or le segment [BJ ] est l'image par la similitude S  du segment [DI ].
Dès lors, BJ  = 2DI .

D'où  \left\lbrace\begin{matrix}B\,'J=BJ\\BJ=2DI\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{B\,'J=2DI}

4 points

exercice 2

1.  Une urne contient trois (3) pièces de monnaie possédant chacune une face "Pile" et une face "Face", toutes indiscernables au toucher. Deux (2) des pièces sont bien équilibrées et une est truquée. La pièce truquée a une probabilité d'apparition de "Face" égale à alpha fois celle de "Pile". alpha est un réel strictement positif.
On prend au hasard une pièce de l'urne et on effectue des lancers successifs de cette pièce.

On considère les événements suivants :
{\white{w}}\;B  "la pièce prise est normale"
{\white{w}}\;\overline B  "la pièce prise est truquée"
{\white{w}}\;A  "Obtenir "Pile" "

Arbre pondéré représentant la situation.

Bac C-E 2e tour  Burkina Faso 2021 : image 2


1. a)  Nous devons déterminer la probabilité d'apparition de "Pile" pour la pièce truquée en fonction de alpha.
Soit x  la probabilité d'apparition de "Pile" pour la pièce truquée.
Alors la probabilité d'apparition de "Face" pour la pièce truquée est égale à alphax .

Nous obtenons ainsi :

x+\alpha x=1\Longleftrightarrow x(1+\alpha)=1 \Longleftrightarrow \boxed{x=\dfrac{1}{1+\alpha}}

Par conséquent, la probabilité d'apparition de "Pile" pour la pièce truquée est égale à  \dfrac{1}{1+\alpha}.

Modifions l'arbre de probabilité en fonction des nouveaux résultats.

Bac C-E 2e tour  Burkina Faso 2021 : image 3


{\red{\text{1. b) }}}\;P(A\cap B)=P(B)\times P_B(A) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{1. b) }}}\;P(A\cap B)}=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{1. b) }}}\;P(A\cap B)}=\dfrac{1}{3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A\cap B)=\dfrac{1}{3}} \\\\\phantom{www..}P(A\cap \overline{B})=P(\overline{B})\times P_{\overline{B}}(A) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{\text{1. b) }}}\;P(A\cap B)}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{1+\alpha}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{{\red{\text{1. b) }}}\;P(A\cap B)}=\dfrac{1}{3(1+\alpha)}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A\cap \overline{B})=\dfrac{1}{3(1+\alpha)}}

Nous devons déterminer P(A).
Les événements  \overset{{\white{.}}}{B}  et  \overline{B}  forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(A)=P(B\cap A)+P(\overline{B}\cap A)  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(T)}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3(1+\alpha)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(T)}=\dfrac{(1+\alpha)+1}{3(1+\alpha)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(T)}=\dfrac{2+\alpha}{3(1+\alpha)}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A)=\dfrac{2+\alpha}{3(1+\alpha)}}

1. c)  A  est un événement certain equivaut P (A ) = 1.

\text{Or }\;P(A)=1\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2+\alpha}{3(1+\alpha)}=1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;P(A)=1\quad}\Longleftrightarrow\quad 2+\alpha=3(1+\alpha)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;P(A)=1\quad}\Longleftrightarrow\quad 2+\alpha=3+3\alpha} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;P(A)=1\quad}\Longleftrightarrow\quad 2\alpha=-1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;P(A)=1\quad}\Longleftrightarrow\quad \alpha=-\dfrac{1}{2}}
ce qui est impossible car alpha est un réel strictement positif.
Donc, il n'existe pas de valeur de alpha pour laquelle A  est un événement certain.

A  est un événement impossible equivaut P (A ) = 0.

\text{Or }\;P(A)=0\quad\Longleftrightarrow\quad \dfrac{2+\alpha}{3(1+\alpha)}=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;P(A)=0\quad}\Longleftrightarrow\quad 2+\alpha=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;P(A)=0\quad}\Longleftrightarrow\quad \alpha=-2}
ce qui est impossible car alpha est un réel strictement positif.
Donc, il n'existe pas de valeur de alpha pour laquelle A  est un événement impossible.

2.  En remarquant que  F_n=(F_n\cap B)\cup (F_n\cap \overline B) , nous devons calculer la probabilité  P(F_n)  de l'événement  F_n .
Les événements  \overset{{\white{.}}}{B}  et  \overline{B}  sont incompatibles.
Donc les événements  F_n\cap B  et  F_n\cap \overline B  sont également incompatibles.
Il s'ensuit que  P((F_n\cap B)\cup(F_n\cap \overline B))=P(F_n\cap B)+P(F_n\cap \overline B)

Dès lors,

P(F_n)=P((F_n\cap B)\cup(F_n\cap \overline B)) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(F_n)}=P(F_n\cap B)+P(F_n\cap \overline B)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(F_n)}=P(B)\times P_B(F_n)+P(\overline B)\times P_{\overline B}(F_n)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(F_n)}=\dfrac{2}{3}\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n+\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(F_n)}=\dfrac{1}{3}\times2\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(F_n)}=\dfrac{1}{3}\left[ 2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n\right]} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(F_n)=\dfrac{1}{3}\left[ 2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n\right]}

3. a)  Nous devons déterminer la probabilité  P_{F_n}(\overline{B}) , notée  P_n.

P_n=P_{F_n}(\overline{B})=\dfrac{P(F_n\cap \overline{B})}{P(F_n)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n=P_{F_n}(\overline{B})}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\times \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n}{\dfrac{1}{3}\left[ 2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n\right]}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n=P_{F_n}(\overline{B})}=\dfrac{ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n}{ 2\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}+ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n=P_{F_n}(\overline{B})}=\dfrac{ \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n}{  \left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n\left[2\times\dfrac{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}{\left(\dfrac{\alpha}{1+\alpha}\right)^n}+1\right]}}

\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n=P_{F_n}(\overline{B})}=\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\alpha}{1+\alpha}}\right)^{n}+1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_n=P_{F_n}(\overline{B})}=\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}\right)^{n}+1}} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_n=\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}\right)^{n}+1}}

3. b)  La limite de  P_n  est  nulle  si et seulement si  \lim\limits_{n\to+\infty}\left[2\times\left(\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}\right)^{n}+1\right]=+\infty , soit si et seulement si  \lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}\right)^{n}=+\infty .
Dans ce cas, la condition suivante doit être réalisée :  \dfrac{1+\alpha}{2\alpha}>1

\text{Or }\;\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}>1\quad\Longleftrightarrow\quad1+\alpha>2\alpha \\\phantom{\text{Or }\;\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}>1}\quad\Longleftrightarrow\quad1>2\alpha-\alpha \\\phantom{\text{Or }\;\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}>1}\quad\Longleftrightarrow\quad\alpha<1

Par conséquent et a contrario, la limite de  P_n  est  non nulle  lorsque  \boxed{\alpha\ge1}\,.

3. c)  Nous devons calculer cette limite pour alpha = 3.

\lim\limits_{n\to+\infty}P_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{1+\alpha}{2\alpha}\right)^{n}+1}\quad\text{où }\alpha=3 \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}P_n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{4}{6}\right)^{n}+1}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\lim\limits_{n\to+\infty}P_n}=\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}+1}}

 \text{Or }\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0\quad\text{car }0<\dfrac{2}{3}<1 \\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{ 2\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+1}=\dfrac{1}{0+1}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}P_n=1}\,. 

12 points

probleme

Pour tout entier naturel n  non nul, on considère la fonction fn  définie sur [0 ; +infini[ par :

\left\lbrace\begin{matrix} f_n(x) & = & x^n(1-\ln x) &\text{si }x > 0 \\ f_n(0)& = & 0 & \end{matrix}\right.

Partie A :

1. a)  Nous devons montrer que fn  est continue en 0.

\bullet{\white{w}}fn  est définie en 0 et  \boxed{f_n(0)=0}\,.

\bullet{\white{w}}\lim\limits_{x\to0^+}f_n(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(x^n-x^n\ln x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\bullet{\phantom{w}}\lim\limits_{x\to0^+}f_n(x)}={\blue{\lim\limits_{x\to0^+}x^n-\lim\limits_{x\to0^+}x^n\ln x}}}\\\\ \text{Or }\;{\blue{\lim\limits_{x\to0^+}x^n=0}} \\\\\text{et }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-1}=0\\\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\left(\overset{}{x^{n-1}\times x\ln x}\right)=0 \\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad{\blue{\lim\limits_{x\to0^+}x^{n}\ln x=0}} \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to0^+}f_n(x)={\blue{0-0}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f_n(x)=0}

Il s'ensuit que  \boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f_n(x)=f_n(0)}\,.
Par conséquent, le fonction fn  est continue en 0.

1. b)  Nous devons la dérivabilité de fn  en 0.

Premier cas : n  = 1.

\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x(1-\ln x)-0}{x-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x(1-\ln x)}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}}=\lim\limits_{x\to0^+}(1-\ln x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}}=+\infty\quad\text{car }\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty} .\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_1(x)-f_1(0)}{x-0}=+\infty\;{\red{\notin\R}}}
Nous en déduisons que la fonction fn  n'est pas dérivable en 0.

Interprétation graphique :
Géométriquement, cela signifie que la courbe représentative (C 1) admet une tangente verticale en (0 ; 0).

Deuxième cas : n  > 1.

\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x^n(1-\ln x)-0}{x-0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x^n(1-\ln x)}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}}=\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-1}(1-\ln x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}}={\blue{\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-1}-\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-1}\ln x}}}

\text{Or }\;{\blue{\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-1}=0}} \\\\\text{et }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-2}=0\\\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to0^+}\left(\overset{}{x^{n-2}\times x\ln x}\right)=0 \\\phantom{WWWWWWWWWW}\Longrightarrow\quad{\blue{\lim\limits_{x\to0^+}x^{n-1}\ln x=0}} \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}={\blue{0-0}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}=0}
Nous en déduisons que la fonction fn  est dérivable en 0 et  \boxed{f'_n(0)=0}.

Interprétation graphique :
Géométriquement, cela signifie que si n  > 1, la courbe représentative de la fonction (Cn ) admet une tangente horizontale en (0 ; 0).

1. c)  Nous devons déterminer  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x).}

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x^n=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x^n=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)=-\infty \end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}x^n(1-\ln x)=-\infty \\\\\phantom{WWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty}

Nous devons déterminer  \lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}.

Premier cas : n  = 1.

\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_1(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x(1-\ln x)}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}}=-\infty\quad\quad(\text{car }\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_1(x)}{x}=-\infty}

Deuxième cas : n  > 1.

\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^n(1-\ln x)}{x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n-1}(1-\ln x)} \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n-1}=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}(1-\ln x)=-\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n-1}(1-\ln x)=-\infty  \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=-\infty}
Par conséquent, pour tout entier naturel n  non nul,  \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f_n(x)}{x}=-\infty}

Interprétation graphique :
Géométriquement, cela signifie que pour tout entier naturel n  non nul, la courbe représentative (Cn ) présente une branche parabolique de direction asymptotique (Oy ) en +infini.

2. a)  Nous devons étudier suivant les valeurs de x  le signe de  f_{n+1}(x)-f_n(x).

f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^{n+1}(1-\ln x)-x^n(1-\ln x) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_{n+1}(x)-f_n(x)}=(x^{n+1}-x^n)(1-\ln x)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_{n+1}(x)-f_n(x)}=x^n(x-1)(1-\ln x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{f_{n+1}(x)-f_n(x)=x^n(x-1)(1-\ln x)}

Or, par définition, x  supegal 0.
Donc pour tout entier naturel n  non nul, n  supegal 0.
Nous en déduisons que le signe de  f_{n+1}(x)-f_n(x)  est le signe de  (x-1)(1-\ln x).

\begin{matrix}x-1<0\Longleftrightarrow x<1\\x-1=0\Longleftrightarrow x=1\\x-1>0\Longleftrightarrow x>1\\\\1-\ln x<0\Longleftrightarrow \ln x>1\\\phantom{www.ww}\Longleftrightarrow x>\text{e}\\1-\ln x=0\Longleftrightarrow x=\text{e}\phantom{ww}\\1-\ln x>0\Longleftrightarrow x<\text{e}\phantom{ww} \end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&0&&1&&\text{e}&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&\\x-1&-&-&0&+&+&+&\\1-\ln x&||&+&+&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline&||&&&&&&\\ (x-1)(1-\ln x)&||&-&0&+&0&-&\\&||&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\f_{n+1}(x)-f_n(x)&0&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

Par conséquent,

\bullet{\white{w}}si x  appartient ]0 ; 1[ union ]e ; +infini[, alors  f_{n+1}(x)-f_n(x)<0

\bullet{\white{w}}si x  appartient ]1 ; e[, alors  f_{n+1}(x)-f_n(x)>0

\bullet{\white{w}}si x  appartient  \overset{{\white{.}}}{\lbrace 0\,;\,1\;,\;\text{e}\rbrace} , alors  f_{n+1}(x)-f_n(x)=0

2. b)  Nous en déduisons que :

\bullet{\white{w}}si x  appartient ]0 ; 1[ union ]e ; +infini[, alors la courbe (Cn +1) est en dessous de la courbe (Cn )

\bullet{\white{w}}si x  appartient ]1 ; e[, alors la courbe (Cn +1) est au-dessus de la courbe (Cn )

\bullet{\white{w}}si x  appartient  \overset{{\white{.}}}{\lbrace 0\,;\,1\;,\;\text{e}\rbrace} , alors les courbes (Cn +1) et (Cn ) ont un point commun.

En particulier,

\left\lbrace\begin{matrix}f_n(0)=0\quad(\text{par défintion de }f_n)\\f_n(1)=1(1-\ln1)=1(1-0)=1\\f_n(\text{e})=\text{e}^n(1-\ln\text{e})=\text{e}^n(1-1)=\text{e}^n\times0=0\end{matrix}\right.\quad\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}f_n(0)=0\\f_n(1)=1\\f_n(\text{e})=0\end{matrix}\right.

Nous en déduisons que toutes les courbes (Cn ) passent par les points fixes de coordonnées (0 ; 0), (1 ; 1) et (e ; 0) indépendantes de n .

3. a)  Nous devons étudier le sens de variation de fn .

La fonction fn  est dérivable sur ]0 ; +infini[ (produit de fonctions dérivables sur ]0 ; +infini[).

f_n'(x)=[x^n(1-\ln x)]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_n'(x)}=(x^n)'\times(1-\ln x)+x^n\times(1-\ln x)'} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_n'(x)}=nx^{n-1}\times(1-\ln x)+x^n\times\left(-\dfrac{1}{x}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_n'(x)}=nx^{n-1}(1-\ln x)-\dfrac{x^n}{x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_n'(x)}=nx^{n-1}(1-\ln x)-x^{n-1}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_n'(x)}=x^{n-1}\left[\overset{}{n(1-\ln x)-1}\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_n'(x)}=x^{n-1}(n-n\,\ln x-1)} \\\\\Longrightarrow\boxed{f_n'(x)=x^{n-1}(n-1-n\,\ln x)}

Nous savons par la question 1. b) que la fonction f1  n'est pas dérivable en 0 et que  f'_n(0)=0  si n  supegal 1.

Tableau de variation de fn  sur [0 ; +infini[.

Premier cas : n  = 1.

f_n'(x)=x^{n-1}(n-1-n\,\ln x)\Longrightarrow f_1'(x)=1\times(1-1-\ln x) \\\phantom{f_n'(x)=x^{n-1}(n-n\,\ln x-1)}\Longrightarrow f_1'(x)=-\ln x \\\\ \begin{matrix}-\ln x<0\Longleftrightarrow \ln x>0\\\phantom{www.w}\Longleftrightarrow x>1\\-\ln x=0\Longleftrightarrow x=1\phantom{ww}\\-\ln x>0\Longleftrightarrow x<1\phantom{ww} \end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{www}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&1&&+\infty\\&&&&&\\\hline &&&&&\\-\ln x&||&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'_1(x)&||&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&1&&\\f_1(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&-\infty\\ \hline \end{array}\end{matrix}

Deuxième cas : n  > 1.

\begin{matrix}n-1-n\,\ln x<0\Longleftrightarrow n\,\ln x>n-1\\\phantom{wwwwwwww.w}\Longleftrightarrow \ln x>\dfrac{n-1}{n}\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwwww.w}\Longleftrightarrow x>\text{e}^{\frac{n-1}{n}}}\\\\n-1-n\,\ln x=0\Longleftrightarrow x=\text{e}^{\frac{n-1}{n}}\phantom{ww}\\\\n-1-n\,\ln x>0\Longleftrightarrow x<\text{e}^{\frac{n-1}{n}}\phantom{ww}\\\\\text{N.B.:}\; {f_n(\text{e}^{\frac{n-1}{n}})=\text{e}^{n-1}\,(1-\frac{n-1}{n})}\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wwww}=\text{e}^{n-1}\,(\frac{n-n+1}{n})}\\\overset{{\phantom{.}}}{=\dfrac{1}{n}\,\text{e}^{n-1}}\end{matrix}{\white{www}} \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&\text{e}^{\frac{n-1}{n}}&&+\infty\\&&&&&\\\hline &&&&&\\x^{n-1}&0&+&+&+&\\n-n\,\ln x-1&||&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'_n(x)&0&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&\frac{1}{n}\,\text{e}^{n-1}&&\\f_n(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&-\infty\\ \hline \end{array}\end{matrix}


3. b)  Pour tout entier n  non nul, nous devons déterminer en fonction de n , une équation de la tangente à (Cn ) en chacun des points d'abscisse 1 et d'abscisse e.

\bullet{\white{w}}Équation de la tangente (T 1) à (Cn ) au point d'abscisse 1.

Une équation de la tangente (T 1) est de la forme :  y=f_n'(1)(x-1) + f_n(1) .

\text{Or }\;f_n'(x)=x^{n-1}\times(n-1-n\,\ln x)\quad\Longrightarrow\quad f_n'(1)=1\times(n-1-n\ln 1) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f'(x)=3(-x^2+x+1)\,\text{e}^{-x}\quad ww}\Longrightarrow\quad \boxed{f_n'(1)=n-1}} \\\\\phantom{\text{Or }\;}\boxed{f_n(1)=1}\quad(\text{voir question 2.b)}

\text{D'où }\;y=f_n'(1)(x-1) + f_n(1)\Longleftrightarrow y=(n-1)(x-1) + 1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;y=f_n'(1)(x-1) + f_n(1)}\Longleftrightarrow y=(n-1)x-n+1 + 1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;y=f_n'(1)(x-1) + f_n(1)}\Longleftrightarrow y=(n-1)x-n+2}

Par conséquent, une équation de la tangente (T 1) à (Cn ) au point d'abscisse 1 est  \boxed{y=(n-1)x-n+2}\,.

\bullet{\white{w}}Équation de la tangente (T e) à (Cn ) au point d'abscisse e.

Une équation de la tangente (T e) est de la forme :  y=f_n'(\text{e})(x-\text{e}) + f_n(\text{e}) .

\text{Or }\;f_n'(x)=x^{n-1}\times(n-1-n\,\ln x)\quad\Longrightarrow\quad f_n'(\text{e})=\text{e}^{n-1}\times(n-1-n\,\ln\text{e})  \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f'(x)=3(-x^2+x+1)\,\text{e}^{-x}\quad ww}\Longrightarrow\quad f_n'(\text{e})=\text{e}^{n-1}\times(n-1-n) } \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f'(x)=3(-x^2+x+1)\,\text{e}^{-x}\quad ww}\Longrightarrow\quad \boxed{f_n'(\text{e})=-\text{e}^{n-1}}} \\\\\phantom{\text{Or }\;}\boxed{f_n(\text{e})=0}\quad(\text{voir question 2.b)}

\text{D'où }\;y=f_n'(\text{e})(x-\text{e}) + f_n(\text{e})\Longleftrightarrow y=-\text{e}^{n-1}(x-\text{e}) + 0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;y=f_n'(1)(x-1) + f_n(1)}\Longleftrightarrow y=-\text{e}^{n-1}x+\text{e}^n}

Par conséquent, une équation de la tangente (T e) à (Cn ) au point d'abscisse e est  \boxed{y=-\text{e}^{n-1}x+\text{e}^n}\,.

3. c)  Représentation graphique de (C 1) et de (C 1).

Bac C-E 2e tour  Burkina Faso 2021 : image 1


4. a)  Nous allons déterminer les coordonnées du point I , intersection des droites (D ) et (deltamaj) et ensuite montrer que ce point I  appartient à la droite (OM' ).

\bullet{\white{w}}Le point M  d'abscisse a , appartient à la courbe (Cn ).
Ses coordonnées sont alors :  M(a\,;\,a^n(1-\ln a)).

La droite (D ) passe par le point M  et est parallèle à l'axe des abscisses.
Donc la droite (D ) admet pour équation :  y=a^n(1-\ln a).

La droite (deltamaj) admet pour équation :  x=1.

Dès lors, les coordonnées du point I , intersection des droites (D ) et (deltamaj) sont  I\,(1\,;\,a^n(1-\ln a)).

\bullet{\white{w}}Le point M'  d'abscisse a , appartient à la courbe (Cn+1 ).
Ses coordonnées sont alors :  M(a\,;\,a^{n+1}(1-\ln a)).

Le coefficient directeur de la droite (OM' ) est égal à  \overset{{\white{.}}}{\dfrac{y_{M'}-y_O}{x_{M'}-x_O}=\dfrac{a^{n+1}(1-\ln a)-0}{a-0}=\dfrac{a^{n+1}(1-\ln a)}{a}=a^{n}(1-\ln a).}

Donc la droite (OM' ) admet pour équation :  y=a^n(1-\ln a)x.

Les coordonnées du point I  vérifient l'équation de la droite (OM' ).
En effet, a^n(1-\ln a)\times x_I=a^n(1-\ln a)\times 1=a^n(1-\ln a)=y_I.

Nous en déduisons que le point I  appartient aux trois droites (D ), (deltamaj) et (OM' ).

Ces trois droites (D ), (deltamaj) et (OM' ) ont chacune une direction différente.
En effet, la droite (D ) est parallèle à l'axe des abscisses, la droite (deltamaj) est parallèle à l'axe des ordonnées et la droite (OM' ) n'est parallèle à aucun axe puisque son coefficient directeur est différent de 0 (car a  different 0 et a  different e).

Par conséquent, les trois droites (D ), (deltamaj) et (OM' ) sont concourantes en I .

4. b)  Construction du point M'  à partir du point M .

Par le point M , traçons une droite parallèle à l'axe des abscisses.
Traçons la droite d'équation x  = 1.
Le point I  est le point d'intersection de ces deux droites.
Traçons la droite (OI ).
Le point M'  est le point commun de la droite parallèle à l'axe des ordonnées passant par M  et la droite (OI ).

Partie B :
Pour tout entier naturel non nul n , on pose  I_n=\begin{aligned} \int_1^{\text e} f_n(t)\;$d$t \end{aligned}.

1.  Sans calculer In , étudions le sens de variation de la suite (In ).

I_{n+1}-I_n=\begin{aligned} \int_1^{\text e} \left(\overset{}{f_{n+1}(t)-f_n(t)}\right)\;$d$t \end{aligned}
En utilisant les résultats de la question 2. a) Partie A, nous déduisons que  f_{n+1}(t)-f_n(t)\ge0  sur l'intervalle [1 ; e].
D'où,  I_{n+1}-I_n\ge0

Par conséquent, la suite (In ) est croissante.

2. a)  Nous devons déterminer en fonction de n  l'expression In  de la suite (In )

I_n=\begin{aligned} \int_1^{\text e} x^n(1-\ln x)\;$d$x \end{aligned}  \\\\\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{\text e} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_1^{\text e}-\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{\text e} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}.  \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=1-\ln x\phantom{wwwww}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=-\dfrac{1}{x}\phantom{ww}\\v'(x)=x^n\phantom{wwwwwwwv}\Longrightarrow\quad v(x)=\dfrac{\overset{}{x^{n+1}}}{n+1}\phantom{ww}\end{matrix}\right.

\text{Dès lors, }\ \begin{aligned} \int_1^{\text e} x^n(1-\ln x)\;\text{d}x \end{aligned}=\left[\overset{}{\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\times(1-\ln x)}\right]\limits_1^{\text e}+\begin{aligned}\int\nolimits_1^{\text e}\dfrac{1}{x}\times\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWWWWWxWW}=\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{x^{n+1}\times(1-\ln x)}\right]\limits_1^{\text e}+ \dfrac{1}{n+1}\begin{aligned}\int\nolimits_1^{\text e}x^n\,\text d x\end{aligned}

\\\\\phantom{WWWWWWWWWxWW}=\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{x^{n+1}\,(1-\ln x)}\right]\limits_1^{\text e} +\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}\right]\limits_1^{\text e} \\\\\phantom{WWWWWWWWWxWW}=\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{\text{e}^{n+1}\,(1-\ln \text{e})}-1(1-\ln1)\right]+\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{\dfrac{\text{e}^{n+1}}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}}\right] \\\\\phantom{WWWWWWWWWxWW}=\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{\text{e}^{n+1}\,(1-1)}-1(1-0)\right]+\dfrac{1}{n+1}\left[\overset{}{\dfrac{\text{e}^{n+1}}{n+1}-\dfrac{1}{n+1}}\right]\\\\\phantom{WWWWWWWWWxWW}=-\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{(n+1)^2}\,\text{e}^{n+1}-\dfrac{1}{(n+1)^2}\\ {\white{WWWWWWWWWWWW}}

\Longrightarrow\boxed{I_n=-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{(n+1)^2}+\dfrac{\text{e}^{n+1}}{(n+1)^2}}

2. b)  Nous devons calculer  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{n\to +\infty}\,I_n.}

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to +\infty}-\dfrac{1}{n+1}=0\phantom{WWWWWWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to +\infty}-\dfrac{1}{(n+1)^2}=0}\phantom{WWWWWWWWWW}\\\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{\text{e}^{n+1}}{(n+1)^2}=+\infty\quad(\text{croissances comparées})}\end{matrix}\right.\\\\\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to +\infty}\left(-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{(n+1)^2}+\dfrac{\text{e}^{n+1}}{(n+1)^2}\right)=+\infty \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}I_n=+\infty}

Partie C :

Dans cette partie, n  est un entier supérieur ou égal à 2.

1.  On désigne par xn  le réel non nul tel que  f'_n(x)=0.

1. a)  Montrons que xn  appartient ]1 ; e[.

Nous avons montré dans la question  3. a) Partie A  que  f_n'(x)=x^{n-1}(n-1-n\,\ln x).

Nous obtenons alors :

f_n'(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{n-1}(n-1-n\,\ln x)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_n'(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad n-1-n\,\ln x=0\quad(\text{car }x^n\neq0)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_n'(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad n\,\ln x=n-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f_n'(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=\dfrac{n-1}{n}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_n'(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \ln x=1-\dfrac{1}{n}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f_n'(x)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad x=\text{e}^{1-\frac{1}{n}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{x_n=\text{e}^{1-\frac{1}{n}}}

Nous savons que n  est un entier supérieur ou égal à 2.
Dès lors,

n\ge2\Longrightarrow 0<\dfrac{1}{n}\le\dfrac{1}{2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow -\dfrac{1}{2}\le-\dfrac{1}{n}<0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow 1-\dfrac{1}{2}\le1-\dfrac{1}{n}<1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow \dfrac{1}{2}\le1-\dfrac{1}{n}<1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow \text{e}^{\frac{1}{2}}\le\text{e}^{1-\frac{1}{n}}<\text{e}^{1}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow \text{e}^0<\text{e}^{\frac{1}{2}}\le\text{e}^{1-\frac{1}{n}}<\text{e}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow \text{e}^0<\text{e}^{1-\frac{1}{n}}<\text{e}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow 1<\text{e}^{1-\frac{1}{n}}<\text{e}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{n\ge2}\Longrightarrow 1<x_n<\text{e}} \\\\\Longrightarrow\boxed{x_n\in\;]\,1\,;\,\text{e}\,[}

1. b)  Nous devons calculer  \overset{{\white{\frac{.}{}}}}{\lim\limits_{n\to +\infty}x_n.}

\lim\limits_{n\to +\infty}x_n=\lim\limits_{n\to +\infty}\text{e}^{1-\frac{1}{n}} \\\\\text{Or }\;\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}=0\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to +\infty}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)=1 \\\phantom{\text{Or }\;\lim\limits_{n\to +\infty}\dfrac{1}{n}=0}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to +\infty}\text{e}^{1-\frac{1}{n}}=\text{e}^1=\text{e} \\\\\text{D'où }\;\boxed{\lim\limits_{n\to +\infty}x_n=\text{e}}

2. a)  Nous savons par la question 1. a) que  x_n\in\;]\,1\,;\,\text{e}\,[.

Reprenons le tableau de variation de fn  établi dans la question 3. a) - Partie A et appliquons-le dans l'intervalle [1 ; e].

{\white{wwwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&1&&x_n=\text{e}^{\frac{n-1}{n}}&&\text{e}\\&&&&&\\\hline&&&f(x_n)=\frac{1}{n}\,\text{e}^{n-1}&&\\f_n(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&1&&&&0\\ \hline \end{array}\end{matrix}

\bullet{\white{w}}Sur l'intervalle [1 ; xn ]

La fonction fn  est croissante sur l'intervalle [1 ; xn ].
De plus, fn (1) = 1.
Dès lors,  f_n(x_n)>1
Par conséquent, l'équation  \overset{{\white{.}}}{f_n(x)=1}  n'admet pas de solution dans l'intervalle [1 ; xn ]

\bullet{\white{w}}Sur l'intervalle [xn  ; e]

La fonction fn  est décroissante sur l'intervalle sur l'intervalle [xn  ; e]

De plus,  \left\lbrace\begin{matrix}f_n(x_n)>1\\f_n(\text{e})=0<1\end{matrix}\right.

D'après le théorème de la bijection dans l'intervalle [xn  ; e], nous déduisons que l'équation  \overset{{\white{.}}}{f_n(x)=1}  admet une unique solution dans l'intervalle [xn  ; e].
Puisque fn (e) = 0 different 1, il s'ensuit que l'équation  f_n(x)=1  admet une unique solution  \overset{{\white{.}}}{\alpha _n}  dans l'intervalle [xn  ; e[.

2. b)  Nous avons montré dans la question 2. b) - Partie A que si x  appartient ]1 ; e[, alors la courbe (Cn +1) est au-dessus de la courbe (Cn ).
D'où  f_{n+1}(\alpha _n)>f_{n}(\alpha _n).
Or  f_{n}(\alpha _n)=1.

Donc  \boxed{f_{n+1}(\alpha _n)>1}\,.

2. c)  La fonction fn +1 est décroissante sur l'intervalle sur l'intervalle [alphan  ; e]

De plus,  \left\lbrace\begin{matrix}f_{n+1}(\alpha _n)>1\\f_{n+1}(\text{e})=0<1\end{matrix}\right.

D'après le théorème de la bijection dans l'intervalle [alphan  ; e], nous déduisons que l'équation  \overset{{\white{.}}}{f_{n+1}(x)=1}  admet une unique solution  \overset{{\white{.}}}{\alpha _{n+1}}  dans l'intervalle [alphan  ; e].
Dès lors, pour tout entier n  supérieur ou égal à 2,  \overset{{\white{.}}}{\alpha_{n+1}>\alpha_n.}

Par conséquent, la suite  \overset{{\white{.}}}{\left(\alpha_n\right)_{n\ge2}}  est croissante.

2. d)  Pour tout entier n  supérieur ou égal à 2,

\left\lbrace\begin{matrix}x_n\le \alpha_n\le\text{e}\\\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=\text{e}\end{matrix}\right.\quad\underset{\text{théorème des gendarmes}}{\Longrightarrow}\quad\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\alpha_n=\text{e}}
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