Fiche de mathématiques
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Bac mathématiques C/E Cameroun 2021

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Durée : 4 heures

Coefficient : 7 (C) / 6 (E)


Partie A : Évaluation des ressources : 15 points

5,5 points (C) 4 points (E)

exercice 1

I - Série C exclusivement
On considère la droite (D) d'équation réduite y=\frac{65}{16}x-\frac{5}{16} dans un repère orthonormé du plan.
1. Démontrer que (D) passe par au moins un point M dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.
2. Déterminer l'ensemble E des points de (D) à coordonnées entières.
3. Déterminer les points de (D) dont les ordonnées sont des entiers compris entre -126 et 134.

II - Soit un point A (-2 ; 1 ; 1) et un vecteur \vec n (1 ; -2 ; 3) de l'espace \mathcal E muni d'un repère orthonormé (O ; vecti , vectj , vectk).
1. Déterminer une équation du plan (P) contenant le point A et de vecteur normal \vec n.
2. Donner une expression analytique de la réflexion de plan (P).

III - Le plan complexe est rapporté à un repère (\text O ; \vec u , \vec v).\; On considère la transformation g du plan d'écriture complexe Z'=\dfrac{1+i}{2} Z + 1.
omegamaj est le point d'affixe 1 + i , les points An d'affixes Zn .
(Zn ) est la suite définie par : Z0 = 0 et Z_{n+1}=1+ \dfrac{1+i}{2} Z_n \;, pour tout entier naturel n .
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de g .
2. Montrer que :
{\white {ww}} a. Pour tout entier naturel n , les points \Omega\;, A_n\;, \text{ et } A_{n+4} sont alignés.
{\white {ww}} b. Pour tout entier naturel n , le triangle \Omega A_n  A_{n+1} est rectangle isocèle.

4,5 points

exercice 2

I - Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher dont deux boules sont marquées 0, trois boules sont marquées racine3 et une boule est marquée -racine3. On tire successivement et sans remise deux boules de cette urne.
On note lambda la variable aléatoire qui à chaque tirage associe la somme des nombres marqués sur les boules tirées.
1. Déterminer la loi de probabilité de lambda.
2. Calculer l'espérance mathématique et l'écart type de lambda.

II - Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O ; vecti , vectj).
(\Sigma) est l'ensemble des points M ( X ; Y ) tels que 4X²-Y²=-4.
1. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (\Sigma) .

r est la rotation de centre O et d'angle -\dfrac{\pi}{6}.
2. a. Donner l'expression analytique de r.
{\white{wl}b. Déterminer une équation de l'ensemble (\Sigma '), image de (\Sigma) par r.
{\white{wl}c. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de (\Sigma ').
{\white{wl}d. Construire dans le repère (O ; vecti , vectj) (\Sigma) et (\Sigma ').

3,25 (C) ou 4,75 (E)

exercice 3

On considère une fonction numérique f définie sur R par f(x)=\dfrac{x+2}{e^x} et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé : unités sur les axes : 2 cm.
1. a. Etudier les variations de f.
{\white{wl}b. Déterminer une équation cartésienne de la tangente (T) en (C) au point d'abscisse -1.
{\white{wl}c. Construire la courbe (C) de f et (T) dans le même repère.
2. a. Déterminer les constantes réelles a, b et c telles que la fonction F définie sur R par F(x)=\dfrac{ ax+b}{e^x}+cx soit une primitive de f.
{\white{wl}b. Calculer \int_{-1}^{0} f(x)\text dx.
3. (E exclusivement)
On considère la fonction numérique h définie sur R par h(x)=f(-x) et (C') sa courbe et (E) l'équation différentielle définie par : y''-2y'+y=0.
{\white{wl}a. Résoudre (E).
{\white{wl}b. Déterminer la solution de (E) dont la courbe passe par le point A(0 ; -1) et admet en ce point une tangente de coefficient directeur 1.


Partie B : Évaluation des compétences : 5 points



Situation : La figure ci-après représente le domaine d'un villageois nommé ABBA.
Il a cultivé cette année des carottes et des pastèques dans des proportions comme l'indique la figure ci-contre.
Il a récolté le même jour et a tout déversé dans un camion. Son fils KAM met en sac afin de vendre à raison de 6800 F le sac de pastèques et à 3000 F le sac de carottes, pour un total de 17 sacs.
Bac S Cameroun 2021 : image 1

A la fin de la vente, ABBA appelle KAM au téléphone pour savoir la recette obtenue. Avec des problèmes de réseau il le suit à peine et ne retient que : la différence entre le prix de vente total des carottes et des pastèques n'est que de 4000 F. Un sac de chaque type n'est pas vendu.
ABBA envisage vendre une partie ou tout son vaste terrain à l'avenir. Dans cette zone, le m² coûte 2000 F. Il confie ce projet à M. KONG pour l'estimation de la valeur de ce terrain. Celui-ci crée un repère indiqué sur la figure ci-dessus où l'unité sur l'axe des ordonnées est 10 m et 100 m sur l'axe des abscisses. Les contours du terrain sont constitués de la droite (AB), de la droite (DB) et la ligne (C). La droite (L) représente la séparation de la portion exploitée pour cultiver les pastèques de celle exploitée pour cultiver les carottes. M. KONG a réussi à trouver les équations de (C) et de (L) qui sont respectivement y=\dfrac {\text e^x -\text e^{-x}}{\text e^x +\text e^{-x}} et y=\dfrac 1 4 x .

Tâches :
1. Combien coûtera ce terrain entier que ABBA souhaite vendre ?
2. Combien aura ABBA s'il ne souhaite vendre que la portion réservée aux pastèques ?
3. Aider ABBA à retrouver le nombre de sacs de chaque type des deux produits cultivés.




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PARTIE A : ÉVALUATION DES RESSOURCES : 15 POINTS

5,5 points (C) 4 points (E)

exercice 1

I - Série C exclusivement

On considère la droite (D) d'équation réduite  y=\frac{65}{16}x-\frac{5}{16}  dans un repère orthonormé du plan.

1.  Démontrons que (D) passe par au moins un point M dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

Soit (x  ; y ) les coordonnées du point M appartenant à la droite (D) où x  et y  sont des nombres entiers relatifs.
Le couple (x  ; y ) vérifie donc l'équation de (D).

y=\dfrac{65}{16}x-\dfrac{5}{16}\Longleftrightarrow16y=65x-5 \\\phantom{y=\dfrac{65}{16}x-\dfrac{5}{16}}\Longleftrightarrow65x-16y=5

Les nombres entiers 65 et 16 sont premiers entre eux.
Selon le théorème de Bézout, il existe un couple d'entiers relatifs (x  ; y ) tel que 65x  - 16y  = 5.

Par conséquent, (D) passe par au moins un point M dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

2.  Déterminons l'ensemble E des points de (D) à coordonnées entières.

Résolvons l'équation 65x  - 16y  = 5.

Recherchons une solution particulière de cette équation.
Nous savons que : 65 = 16 multiplie 4 + 1.

65=16\times4+1\Longleftrightarrow65 - 16\times4=1 \\\phantom{65=16\times4+1}\Longleftrightarrow 65\,{\red{\times5}} - 16\times4\,{\red{\times5}}=1\,{\red{\times5}}  \\\phantom{65=16\times4+1}\Longleftrightarrow \boxed{65\times5 - 16\times20=5}

Nous en déduisons que le couple (5 ; 20) est solution de l'équation 65x  - 16y  = 5.

\left\lbrace\begin{matrix}65x-16y=5\\65\times5-16\times20=5\end{matrix}\right.\phantom{W}\underset{\text{par soustraction}}{\Longrightarrow}\phantom{W}65(x-5)-16(y-20)=0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW..0.}\Longrightarrow\phantom{WWww}65(x-5)=16(y-20)
Donc l'entier 16 divise le produit 65(x  - 5) avec 65 et 16 premiers entre eux.
Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 16 divise (x  - 5). 
Dès lors, il existe un entier relatif k  tel que x  - 5 = 16k , soit  \boxed{x=16k+5} . 
\text{De plus, }\ \left\lbrace\begin{matrix}65(x-5)=16(y-20)\\x-5=16k\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ 65\times16k=16(y-20) \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW.....}\Longrightarrow\ \ \ \ 65k=y-20 \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWW.....}\Longrightarrow\ \ \ \ \boxed{y=65k+20}
D'où si le couple (x  ; y ) est solution de l'équation 65x  - 16y  = 5, alors (x  ; y ) = (16k  + 5 ; 65k  + 20) où k  est un entier relatif.

Réciproquement, démontrons que pour tout entier k , les couples (x  ; y ) = (16k  + 5 ; 65k  + 20) sont solutions de l'équation (E). 
            65x - 16y = 65(16k+5)-16(65k+20) \\\phantom{13x - 15y} = 1040k+325-1040k-320 \\\phantom{13x - 15y} =5.
Nous en déduisons que tous les couples (16k  + 5 ; 65k  + 20) où k  est un entier relatif quelconque sont solutions de l'équation 65x  - 16y  = 5.
D'où l'ensemble des points de (D) à coordonnées entières est  \boxed{(E)=\lbrace M(16k+5\, ; 65k+20)\, , k\in\Z\rbrace}.

3.  Nous devons déterminer les points de (D) dont les ordonnées sont des entiers compris entre -126 et 134.

Nous devons résoudre le système :  \left\lbrace\begin{matrix} x=16k+5\\y=65k+20\\-126\le y\le134\end{matrix}\right.\phantom{www} \text{avec }k\in\Z

\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}y=65k+20\\-126\le y\le134\end{matrix}\right.\phantom{W}\Longrightarrow-126\le65k+20\le134 \\\phantom{WWWWWWWWWW.}\Longrightarrow-126-20\le65k\le134-20 \\\phantom{WWWWWWWWWW.}\Longrightarrow-146\le65k\le114 \\\\\phantom{WWWWWWWWWW.}\Longrightarrow-\dfrac{146}{65}\le k\le\dfrac{114}{65} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{146}{65}\approx-2,25\\\\\dfrac{114}{65}\approx1,75\end{matrix}\right.
Nous en déduisons que les seules valeurs entières de k  vérifiant les inégalités  -\dfrac{146}{65}\le k\le\dfrac{114}{65}  sont k  = -2, -1, 0 et 1.

\bullet\phantom{w}k=-2\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x=16\times(-2)+5\\y=65\times(-2)+20\end{matrix}\right. \Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix} x=-27\\y=-110\end{matrix}\right.} \\\\\bullet\phantom{w}k=-1\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}  x=16\times(-1)+5\\y=65\times(-1)+20\end{matrix}\right. \Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix} x=-11\\y=-45\end{matrix}\right.} \\\\\bullet\phantom{w}k=0\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x=16\times0+5\\y=65\times0+20\end{matrix}\right. \Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix} x=5\\y=20\end{matrix}\right.} \\\\\bullet\phantom{w}k=1\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x=16\times1+5\\y=65\times1+20\end{matrix}\right. \Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix} x=21\\y=85\end{matrix}\right.}

Par conséquent, les coordonnées des points de (D) dont les ordonnées sont des entiers compris entre -126 et 134 sont : (-27 ; -110), (-11 ; -45), (5 ; 20) et (21 ; 85).

II - Soit un point A (-2 ; 1 ; 1) et un vecteur  \overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}}    de l'espace  \mathcal E  muni d'un repère orthonormé  (\text{O} ; \vec i , \vec j , \vec k).

1.  Nous devons déterminer une équation du plan (P) contenant le point A et de vecteur normal  \vec n .

Nous savons que tout plan dont une équation cartésienne est de la forme ax + by + cz + d = 0 admet un vecteur normal  \overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}.
Puisque nous savons que  \overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}}  est un vecteur orthogonal au plan (P), une équation cartésienne de (P) est de la forme  \overset{{\white{.}}}{x-2y+3z+d=0.}
Or le point  A(-2\,; 1\,; 1)  appartient à ce plan.
Ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan.
D'où  \overset{{\white{.}}}{-2-2\times1+3\times1+d=0\Longleftrightarrow-1+d=0\Longleftrightarrow {\blue{d=1}}\,.}
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (P) est  \overset{{\white{.}}}{\boxed{x-2y+3z+1=0}\,.}

2.  Nous devons donner une expression analytique de la réflexion de plan (P).

Soit M(x  ; y ) un point de l'espace  \mathcal E  d'image M'(x'  ; y' ) par la réflexion S(P) de plan (P).
Alors M' = S(P)(M) equivaut le vecteur  \overrightarrow{MM'}  est orthogonal au plan (P) et le milieu du segment [MM'] appartient au plan (P).
Or le vecteur  \overrightarrow{MM'}  est orthogonal au plan (P) s'il est colinéaire au vecteur normal  \overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{n}\,\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}}  de (P).
Dans ce cas, il existe un nombre réel lambda tel que  \overrightarrow{MM'}=\lambda\overrightarrow{n}.

\overrightarrow{MM'}=\lambda\overrightarrow{n}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}x'-x\\y'-y\\z'- z\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} \\\phantom{\overrightarrow{MM'}=\lambda\overrightarrow{n}}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}x'-x\\y'-y\\z'-z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda\\-2\lambda\\3\lambda\end{pmatrix} \\\phantom{\overrightarrow{MM'}=\lambda\overrightarrow{n}}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x'-x=\lambda\\y'-y=-2\lambda\\z'-z=3\lambda\end{matrix}\right. \\\phantom{\overrightarrow{MM'}=\lambda\overrightarrow{n}}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x'=x+\lambda\\y'=y-2\lambda\\z'=z+3\lambda\end{matrix}\right.}

En outre le milieu du segment [MM'] est le point de coordonnées  \left(\dfrac{x+x'}{2};\dfrac{y+y'}{2};\dfrac{z+z'}{2}\right).

\left(\dfrac{x+x'}{2}\,;\,\dfrac{y+y'}{2}\,;\,\dfrac{z+z'}{2}\right)=\left(\dfrac{x+x+\lambda}{2};\dfrac{y+y-2\lambda}{2};\dfrac{z+z+3\lambda}{2}\right) \\\phantom{\left(\dfrac{x+x'}{2}\,;\,\dfrac{y+y'}{2}\,;\,\dfrac{z+z'}{2}\right)}=\left(\dfrac{2x+\lambda}{2}\,;\,\dfrac{2y-2\lambda}{2}\,;\,\dfrac{2z+3\lambda}{2}\right) \\\phantom{\left(\dfrac{x+x'}{2}\,;\,\dfrac{y+y'}{2}\,;\,\dfrac{z+z'}{2}\right)}=\left(x+\dfrac{\lambda}{2}\,;\,y-\lambda\,;\,z+\dfrac{3\lambda}{2}\right)
Ce point milieu du segment [MM'] appartient au plan (P) si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de (P), soit l'équation  x-2y+3z+1=0.

Dès lors,  x+\dfrac{\lambda}{2}-2(y-\lambda)+3\left(z+\dfrac{3\lambda}{2}\right)+1=0.

x+\dfrac{\lambda}{2}-2(y-\lambda)+3\left(z+\dfrac{3\lambda}{2}\right)+1=0\Longleftrightarrow x+\dfrac{\lambda}{2}-2y+2\lambda+3z+\dfrac{9\lambda}{2}+1=0 \\\phantom{x+\dfrac{\lambda}{2}-2(y-\lambda)+3\left(z+\dfrac{3\lambda}{2}\right)+1=0}\Longleftrightarrow 7\lambda +x-2y+3z+1=0 \\\phantom{x+\dfrac{\lambda}{2}-2(y-\lambda)+3\left(z+\dfrac{3\lambda}{2}\right)+1=0}\Longleftrightarrow 7\lambda =-x+2y-3z-1 \\\phantom{x+\dfrac{\lambda}{2}-2(y-\lambda)+3\left(z+\dfrac{3\lambda}{2}\right)+1=0}\Longleftrightarrow\boxed{ \lambda =-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{2}{7}y-\dfrac{3}{7}z-\dfrac{1}{7}}

Remplaçons cette valeur de lambda dans le système précédent.

\left\lbrace\begin{matrix}x'=x-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{2}{7}y-\dfrac{3}{7}z-\dfrac{1}{7}\\y'=y-2\left(-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{2}{7}y-\dfrac{3}{7}z-\dfrac{1}{7}\right)\\ z'=z+3\left(-\dfrac{1}{7}x+\dfrac{2}{7}y-\dfrac{3}{7}z-\dfrac{1}{7}\right)\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}x'=\dfrac{6}{7}x+\dfrac{2}{7}y-\dfrac{3}{7}z-\dfrac{1}{7}\\y'=y+\dfrac{2}{7}x-\dfrac{4}{7}y+\dfrac{6}{7}z+\dfrac{2}{7}\right)\\ {\overset{}{z'=z-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{6}{7}y-\dfrac{9}{7}z-\dfrac{3}{7}}}\end{matrix}\right.

D'où l'expression analytique de la réflexion de plan (P) est :  \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x'=\dfrac{6}{7}x+\dfrac{2}{7}y-\dfrac{3}{7}z-\dfrac{1}{7}\\\\y'=\dfrac{2}{7}x+\dfrac{3}{7}y+\dfrac{6}{7}z+\dfrac{2}{7}\right) \\\\z'=-\dfrac{3}{7}x+\dfrac{6}{7}y-\dfrac{2}{7}z-\dfrac{3}{7}\end{matrix}\right.}

III - Le plan complexe est rapporté à un repère  (\text O ; \vec u , \vec v).
On considère la transformation g  du plan d'écriture complexe  Z'=\dfrac{1+\text{i}}{2} Z + 1.
omegamaj est le point d'affixe 1 + i , les points An  d'affixes Zn .
(Zn ) est la suite définie par :  \overset{{\white{.}}}{Z_0 = 0}  et  \overset{{\white{.}}}{Z_{n+1}=1+ \dfrac{1+\text i}{2} Z_n} , pour tout entier naturel n .

1.  g  est une similitude directe.
Déterminons ses éléments caractéristiques.
L'écriture complexe de g  est  Z'=aZ+b=\dfrac{1+\text{i}}{2} Z + 1.
D'où  a=\dfrac{1+\text{i}}{2}  et b  = 1.

Notons k le rapport de g , theta son angle et omegamajg  son centre.

\bullet{\white{ww}}k=|a|=\left|\dfrac{1+\text{i}}{2}\right|=\dfrac{|1+\text{i}|}{2}=\dfrac{\sqrt{1^2+1^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. \\\bullet{\white{ww}}\theta=\arg(a)=\arg\left(\dfrac{1+\text{i}}{2}\right)=\arg\left(1+\text{i}\right)=\dfrac{\pi}{4}. \\\bullet{\white{ww}}\text{L'affixe de }\Omega _g\text{ est : }\dfrac{b}{1-a}=\dfrac{1}{1-\left(\dfrac{1+\text{i}}{2}\right)}=\dfrac{1}{\dfrac{2-1-\text{i}}{2}}=\dfrac{2}{1-\text{i}} \\ {\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwww}}=\dfrac{2(1+\text{i})}{(1-\text{i})(1+\text{i})}=\dfrac{2(1+\text{i})}{1+1}=\dfrac{2(1+\text{i})}{2}=1+\text{i}

Par conséquent, g  est une similitude directe de centre omegamajg  = omegamaj d'affixe 1 + i, de rapport  k=\dfrac{\sqrt{2}}{2}  et d'angle  \overset{{\white{.}}}{\theta=\dfrac{\pi}{4}}.

2. a)  Nous devons montrer que pour tout entier naturel n , les points omegamaj , An  et An+4  sont alignés.

Bac S Cameroun 2021 : image 2

\widehat{\left(\overrightarrow{\Omega A_{n}};\overrightarrow{\Omega A_{n+4}}\right)}=\widehat{\left(\overrightarrow{\Omega A_{n}};\overrightarrow{\Omega A_{n+1}}\right)}+\widehat{\left(\overrightarrow{\Omega A_{n+1}};\overrightarrow{\Omega A_{n+2}}\right)}+\widehat{\left(\overrightarrow{\Omega A_{n+2}};\overrightarrow{\Omega A_{n+3}}\right)}+\widehat{\left(\overrightarrow{\Omega A_{n+3}};\overrightarrow{\Omega A_{n+4}}\right)} \\\phantom{\widehat{\left(\overrightarrow{\Omega A_{n}};\overrightarrow{\Omega A_{n+4}}\right)}}=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}\phantom{ww}(\text{voir question 1.}) \\\phantom{\widehat{\left(\overrightarrow{\Omega A_{n}};\overrightarrow{\Omega A_{n+4}}\right)}}=\pi \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ \widehat{\left(\overrightarrow{\Omega A_{n}};\overrightarrow{\Omega A_{n+4}}\right)}=\pi}
Par conséquent, les points omegamaj , An  et An+4  sont alignés.

2. b)  Nous devons montrer que pour tout entier naturel n , le triangle omegamaj An An+1  est rectangle isocèle en An+1 .
Pour ce faire, montrons que pour tout entier naturel n ,  \dfrac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}-z_{\Omega}}=\text{i}.

\dfrac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}-z_{\Omega}}=\dfrac{\left(\frac{1+\text{i}}{2} z_n + 1\right)-z_n}{\left(\frac{1+\text{i}}{2} z_n+1\right)-(1+\text{i})} \\\\\phantom{\dfrac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}-z_{\Omega}}}=\dfrac{\dfrac{(1+\text{i})z_n+2-2z_n}{2}}{\dfrac{(1+\text{i})z_n+2-2-2\text{i}}{2}} \\\\\phantom{\dfrac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}-z_{\Omega}}}=\dfrac{(1+\text{i})z_n+2-2z_n}{(1+\text{i})z_n-2\text{i}} \\\\\phantom{\dfrac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}-z_{\Omega}}}=\dfrac{(1+\text{i}-2)z_n+2}{(1+\text{i})z_n-2\text{i}} \\\\\phantom{\dfrac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}-z_{\Omega}}}=\dfrac{(-1+\text{i})z_n+2}{(1+\text{i})z_n-2\text{i}} \\\\\phantom{\dfrac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}-z_{\Omega}}}=\dfrac{[(-1+\text{i})z_n+2]\ {\red{\times\text{i}}}}{[(1+\text{i})z_n-2\text{i}]\ {\red{\times\text{i}}}} \\\\\phantom{\dfrac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}-z_{\Omega}}}=\dfrac{[(-1+\text{i})z_n+2]\times\text{i}}{(-1+\text{i})z_n+2} \\\phantom{\dfrac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}-z_{\Omega}}}=\text{i}

\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_{n+1}-z_n}{z_{n+1}-z_{\Omega}}=\text{i}}
Nous en déduisons que pour tout entier naturel n , le triangle omegamaj An An+1  est rectangle isocèle en An+1 .

4,5 points

exercice 2

I - Une urne contient 6 boules indiscernables au toucher dont deux boules sont marquées 0, trois boules sont marquées  \sqrt{3}  et une boule est marquée  -\sqrt{3} .
On tire successivement et sans remise deux boules de cette urne.
On note lambda la variable aléatoire qui à chaque tirage associe la somme des nombres marqués sur les boules tirées.

1.  Arbre de probabilité modélisant la situation.
Bac S Cameroun 2021 : image 5


La variable aléatoire lambda peut prendre les valeurs suivantes :   0\,,\,\sqrt{3}\,,\,-\sqrt{3}\,,\,2\sqrt{3}.
À l'aide de l'arbre de probabilité, nous obtenons :

 \bullet\phantom{w}P(\lambda = 0)=\dfrac{2}{6}\times\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{6}\times\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{5}=\dfrac{2+3+3}{30}=\dfrac{8}{30} \\\\\phantom{\bullet\phantom{w}}\Longrightarrow\boxed{P(\lambda = 0)=\dfrac{4}{15}} \\\\\bullet\phantom{w}P(\lambda = \sqrt{3})=\dfrac{2}{6}\times\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{6}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6+6}{30}=\dfrac{12}{30} \\\\\phantom{\bullet\phantom{w}}\Longrightarrow\boxed{P(\lambda = \sqrt{3})=\dfrac{6}{15}} \\\\\bullet\phantom{w}P(\lambda = -\sqrt{3})=\dfrac{2}{6}\times\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{2+2}{30}=\dfrac{4}{30} \\\\\phantom{\bullet\phantom{w}}\Longrightarrow\boxed{P(\lambda = -\sqrt{3})=\dfrac{2}{15}} \\\\\bullet\phantom{w}P(\lambda = 2\sqrt{3})=\dfrac{3}{6}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{30} \\\\\phantom{\bullet\phantom{w}}\Longrightarrow\boxed{P(\lambda = 2\sqrt{3})=\dfrac{3}{15}}

D'où le tableau résumant la loi de probabilité de lambda.

 {\white{www}}\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline&&&&&&&&&&&&\\\ell_i&&-\sqrt{3}&&&0&&&\sqrt{3}&&&2\sqrt{3}&\\&&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&\\P(\lambda=\ell_i)&&\dfrac{2}{15}&&&\dfrac{4}{15}&&&\dfrac{6}{15}&&&\dfrac{3}{15}&\\&&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}

2.  Nous devons calculer l'espérance mathématique et l'écart type de lambda.

Espérance de lambda

 E(\lambda)=\Sum\ell_i\times P(\lambda=\ell_i) \\\\\phantom{E(\lambda)}=(-\sqrt{3})\times\dfrac{2}{15}+0\times\dfrac{4}{15}+\sqrt{3}\times\dfrac{6}{15}+2\sqrt{3}\times\dfrac{3}{15} \\\\\phantom{E(\lambda)}=\dfrac{-2\sqrt{3}+0+6\sqrt{3}+6\sqrt{3}}{15} \\\\\phantom{E(\lambda)}=\dfrac{10\sqrt{3}}{15} \\\\\Longrightarrow\boxed{E(\lambda)=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}}

Variance de lambda

V(\lambda)=\Sum\,(\ell_i)^2\,P(\lambda=\ell_i)-\left(E(\lambda)\right)^2 \\\\\phantom{E(\lambda)}=(-\sqrt{3})^2\times\dfrac{2}{15}+0^2\times\dfrac{4}{15}+(\sqrt{3})^2\times\dfrac{6}{15}+(2\sqrt{3})^2\times\dfrac{3}{15}-\left(\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\right)^2 \\\\\phantom{E(\lambda)}=\dfrac{3\times2+0+3\times6+12\times3}{15}-\dfrac{12}{9} \\\\\phantom{E(\lambda)}=\dfrac{60}{15}-\dfrac{12}{9}=\dfrac{12}{3}-\dfrac{4}{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{V(\lambda)=\dfrac{8}{3}}

Écart type de lambda

\sigma(\lambda)=\sqrt{V(\lambda)}=\sqrt{\dfrac{8}{3}}=\sqrt{\dfrac{24}{9}}=\dfrac{\sqrt{24}}{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{\sigma(\lambda)=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}}

II - Le plan est muni d'un repère orthonormé direct  (\text{O}\,;\, \vec i \,,\, \vec j).
\overset{{\white{.}}}{(\Sigma)}  est l'ensemble des points M ( X ; Y ) tels que  4X 2 - Y 2 = -4.

1.  Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma)}. 

4X^2 - Y^2 = -4.\Longleftrightarrow X^2-\dfrac{Y^2}{4}=-1
Or   \dfrac{X^2}{a^2}-\dfrac{Y^2}{b^2}=-1  est l'équation d'une hyperbole verticale
 de centre O(0 ; 0),
 dont les asymptotes obliques admettent comme équations  Y=\dfrac{b}{a}X  et  Y=-\dfrac{b}{a}X ,
 de sommets S(0 ; b ) et S'(0 ; -b ),
 de foyers F(0 ; c ) et F'(0 ; -c ) avec c 2 = a 2 + b 2,
 d'excentricité  \overset{{\white{.}}}{e=\dfrac{c}{b}} ,
  dont les directrices admettent comme équations  y=\dfrac{b^2}{c} et  y=-\dfrac{b^2}{c}.
D'où  X^2-\dfrac{Y^2}{4}=-1  est l'équation d'une hyperbole verticale.

a  = 1 et b  = 2.

c^2=1^2+2^2=5\Longrightarrow c=\sqrt{5}.

Dès lors,  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma)}  est une hyperbole verticale dont les caractéristiques sont les suivantes :
 Centre : O(0 ; 0)
 Asymptotes obliques :  \overset{{\white{.}}}{(a) : Y=2X} et  \overset{{\white{.}}}{(a') : Y=-2X}
 Sommets : S(0 ; 2) et S'(0 ; -2)
 Foyers :  \overset{{\white{.}}}{F(0\,;\sqrt{5})}  et \overset{{\white{.}}}{F'(0\,;-\sqrt{5})}
 Excentricité  \overset{{\white{.}}}{e=\dfrac{\sqrt{5}}{2}} ,
 Directrices :  \overset{{\white{.}}}{(d) : Y=\dfrac{4}{\sqrt{5}}} et  \overset{{\white{.}}}{(d') : Y=-\dfrac{4}{\sqrt{5}}} , soit  (d):Y=\dfrac{4\sqrt{5}}{5} et  (d'):Y=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}.

2.  r  est la rotation de centre O et d'angle  -\dfrac{\pi}{6}.
2. a)  Nous devons donner l'expression analytique de r .

L'image d'un point M d'affixe z par la rotation r est un point M' d'affixe z' tel que  z'=\text{e}^{-\frac{\pi}{6}\text{i}}\,z.

Posons  z=X+\text{i}Y  et  z'=X'+\text{i}Y' 

z'=\text{e}^{-\frac{\pi}{6}\text{i}}\,z\Longleftrightarrow X'+\text{i}Y'=\left(\cos(-\dfrac{\pi}{6})+\text{i}\sin(-\dfrac{\pi}{6})\right)(X+\text{i}Y) \\\phantom{z'=\text{e}^{-\frac{\pi}{6}\text{i}}\,z}\Longleftrightarrow X'+\text{i}Y'=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\text{i}\right)(X+\text{i}Y) \\\phantom{z'=\text{e}^{-\frac{\pi}{6}\text{i}}\,z}\Longleftrightarrow X'+\text{i}Y'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}X+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y-\dfrac{1}{2}\text{i}X+\dfrac{1}{2}Y \\\phantom{z'=\text{e}^{-\frac{\pi}{6}\text{i}}\,z}\Longleftrightarrow X'+\text{i}Y'=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}X+\dfrac{1}{2}Y\right)+\text{i}\left(-\dfrac{1}{2}X+\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y\right) \\\phantom{z'=\text{e}^{-\frac{\pi}{6}\text{i}}\,z}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}X'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}X+\dfrac{1}{2}Y\\\overset{{\white{.}}}{Y'=-\dfrac{1}{2}X+\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y}\end{matrix}\right.
Par conséquent, l'expression analytique de la rotation r  est  \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}X'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}X+\dfrac{1}{2}Y\\\overset{{\white{.}}}{Y'=-\dfrac{1}{2}X+\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y}\end{matrix}\right.}

2. b)  Nous devons déterminer une équation de l'ensemble  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')} , image de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma)}  par r .

Soit M (X  ; Y ) appartient  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma)}  et M' (X'  ; Y' ) appartient  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}  tels que M'  = r (M ).

D'une part,
M'=r(M)\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}X'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}X+\dfrac{1}{2}Y\\\overset{{\white{.}}}{Y'=-\dfrac{1}{2}X+\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}-\sqrt{3}X'=-\dfrac{3}{2}X-\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y\\\overset{{\white{.}}}{Y'=-\dfrac{1}{2}X+\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{M'=r(M)}\underset{\text{par addition}}\Longrightarrow\phantom{}-\sqrt{3}X'+Y'=-2X \\\\\phantom{M'=r(M)ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{X=\dfrac{\sqrt{3}}{2}X'-\dfrac{1}{2}Y'}

D'autre part,
M'=r(M)\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}X'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}X+\dfrac{1}{2}Y\\\overset{{\white{.}}}{Y'=-\dfrac{1}{2}X+\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}X'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}X+\dfrac{1}{2}Y\\\overset{{\white{.}}}{\sqrt{3}Y'=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}X+\dfrac{3}{2}Y}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{M'=r(M)}\underset{\text{par addition}}\Longrightarrow\phantom{}X'+\sqrt{3}Y'=2Y \\\\\phantom{M'=r(M)ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{Y=\dfrac{1}{2}X'+\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y'}

Dès lors,

M\in(\Sigma)\Longleftrightarrow 4X^2-Y^2=-4 \\\phantom{M\in(\Sigma)}\Longleftrightarrow4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}X'-\dfrac{1}{2}Y'\right)^2-\left(\dfrac{1}{2}X'+\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y'\right)^2=-4 \\\phantom{M\in(\Sigma)}\Longleftrightarrow4\left(\dfrac{3}{4}X'^2-\dfrac{2\sqrt{3}}{4}X'Y'+\dfrac{1}{4}Y'^2\right)-\left(\dfrac{1}{4}X'^2+\dfrac{2\sqrt{3}}{4}X'Y'+\dfrac{3}{4}Y'^2\right)=-4 \\\phantom{M\in(\Sigma)}\Longleftrightarrow4\left(3X'^2-2\sqrt{3}X'Y'+Y'^2\right)-\left(X'^2+2\sqrt{3}X'Y'+3Y'^2\right)=-16 \\\\\phantom{M\in(\Sigma)}\Longleftrightarrow12X'^2-8\sqrt{3}X'Y'+4Y'^2-X'^2-2\sqrt{3}X'Y'-3Y'^2=-16 \\\\\phantom{M\in(\Sigma)}\Longleftrightarrow11X'^2+Y'^2-10\sqrt{3}X'Y'+16=0

Par conséquent, une équation de l'ensemble  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')} , image de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma)}  par r  est :  \boxed{11X^2+Y^2-10\sqrt{3}XY+16=0}\,.

2. c)  Déterminons la nature et les éléments caractéristiques de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}. 

 \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}  est une hyperbole.
Les éléments caractéristiques de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}  sont les images par la rotation r  des éléments caractéristiques de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma)}. 
 Centre : O(0 ; 0) car O est le centre de la rotation r .
 Asymptotes obliques :
{\white{www}}Première asymptote :
{\white{www}}\overset{{\white{.}}}{M\in(a)}\Longleftrightarrow Y=2X\\\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow\dfrac{1}{2}X'+\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y'=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}X'-\dfrac{1}{2}Y'\right) \\\phantom{M\in(a)}\Longleftrightarrow X'+\sqrt{3}Y'=2\sqrt{3}X'-2Y'\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow (2+\sqrt{3})Y'=(2\sqrt{3}-1)X'} \\\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow Y'=\dfrac{2\sqrt{3}-1}{2+\sqrt{3}}X' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow Y'=(-8+5\sqrt{3})X'}
{\white{www}}D'où l'équation de la première asymptote oblique de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}  est  Y=(-8+5\sqrt{3})X

{\white{www}}Deuxième asymptote :
{\white{www}}\overset{{\white{.}}}{M\in(a')}\Longleftrightarrow Y=-2X\\\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow\dfrac{1}{2}X'+\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y'=-2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}X'-\dfrac{1}{2}Y'\right) \\\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow X'+\sqrt{3}Y'=-2\sqrt{3}X'+2Y'\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow (\sqrt{3}-2)Y'=(-1-2\sqrt{3})X'} \\\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow Y'=\dfrac{-1-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}X' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow Y'=(8+5\sqrt{3})X'}
{\white{www}}D'où l'équation de la deuxième asymptote oblique de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}  est  Y=(8+5\sqrt{3})X

 Sommets :
{\white{www}}Cordonnées du premier sommet :
{\white{www}}\left\lbrace\begin{matrix}X'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times2\\\overset{{\white{.}}}{Y'=-\dfrac{1}{2}\times0+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times2}\end{matrix}\right.{\phantom{www}}\Longleftrightarrow{\phantom{www}}\left\lbrace\begin{matrix}X'=1\\\overset{{\white{.}}}{Y'=\sqrt{3}}\end{matrix}\right.
{\white{www}}D'où les coordonnées du premier sommet de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}  sont  (1\,;\,\sqrt{3}).

{\white{www}}Cordonnées du deuxième sommet :
{\white{www}}Les deux sommets de l'hyperbole sont symétriques par rapport au point O.
{\white{www}}D'où les coordonnées du deuxième sommet de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}  sont  (-1\,;\,-\sqrt{3}).

 Foyers :
{\white{www}}Cordonnées du premier foyer :
{\white{www}}\left\lbrace\begin{matrix}X'=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times 0+\dfrac{1}{2}\times\sqrt{5}\\\overset{{\white{.}}}{Y'=-\dfrac{1}{2}\times0+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\times\sqrt{5}}\end{matrix}\right.{\phantom{www}}\Longleftrightarrow{\phantom{www}}\left\lbrace\begin{matrix}X'=\dfrac{\sqrt{5}}{2}\\\overset{{\white{.}}}{Y'=\dfrac{\sqrt{15}}{2}}\end{matrix}\right.

{\white{www}}D'où les coordonnées du premier foyer de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}  sont  (\dfrac{\sqrt{5}}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{15}}{2}).

{\white{www}}Cordonnées du deuxième foyer :
{\white{www}}Les deux foyers de l'hyperbole sont symétriques par rapport au point O.
{\white{www}}D'où les coordonnées du deuxième foyer de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}  sont  (\dfrac{-\sqrt{5}}{2}\,;\,-\dfrac{\sqrt{15}}{2}).

 Excentricité  \overset{{\white{.}}}{e=\dfrac{\sqrt{5}}{2}} ,

 Directrices :
{\white{www}}Première directrice :
{\white{www}}\overset{{\white{.}}}{M\in(d)}\Longleftrightarrow Y=\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\\\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow\dfrac{1}{2}X'+\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y'=\dfrac{4\sqrt{5}}{5} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}Y'=-\dfrac{1}{2}X'+\dfrac{4\sqrt{5}}{5}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow Y'=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(-\dfrac{1}{2}X'+\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow Y'=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}X'+\dfrac{8\sqrt{5}}{5\sqrt{3}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow Y'=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}X'+\dfrac{8\sqrt{15}}{15}}
{\white{www}}D'où l'équation de la première directrice de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}  est  \overset{{\white{.}}}{Y=-0,58X+2,07}  (les valeurs sont arrondies au centième près).

{\white{www}}Deuxième directrice :
{\white{www}}M\in(d')\Longleftrightarrow Y=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow\dfrac{1}{2}X'+\dfrac{\sqrt{3}}{2}Y'=-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}Y'=-\dfrac{1}{2}X'-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow Y'=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(-\dfrac{1}{2}X'-\dfrac{4\sqrt{5}}{5}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow Y'=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}X'-\dfrac{8\sqrt{5}}{5\sqrt{3}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{M\in(d)}\Longleftrightarrow Y'=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}X'-\dfrac{8\sqrt{15}}{15}}
{\white{www}}D'où l'équation de la deuxième directrice de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}  est  \overset{{\white{.}}}{Y=-0,58X-2,07}  (les valeurs sont arrondies au centième près).

2. d)  Représentation graphique de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma)}  et de  \overset{{\white{.}}}{(\Sigma ')}.
Bac S Cameroun 2021 : image 6


3,25 (C) ou 4,75 (E)

exercice 3

On considère une fonction numérique f  définie sur R par  f(x)=\dfrac{x+2}{\text{e}^x} et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. a)  La fonction f  est dérivable sur R (quotient de deux fonctions dérivables sur R avec  \forall\ x\in\R,\ \text{e}^x\neq0 )

f'(x)=\dfrac{(x+2)'\times\text{e}^x-(x+2)\times(\text{e}^x)'}{(\text{e}^x)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{1\times\text{e}^x-(x+2)\times\text{e}^x}{(\text{e}^x)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(1-x-2)\times\text{e}^x}{(\text{e}^x)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{(-x-1)\times\text{e}^x}{(\text{e}^x)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{-x-1}{\text{e}^x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{-x-1}{\text{e}^x}}

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R, le signe de f' (x ) est le signe de (-x -1).

{\white{wwwwww}}\begin{matrix}-x-1<0\Longleftrightarrow -x<1\\\phantom{2x-1<0}\Longleftrightarrow x>-1\\\\-x-1=0\Longleftrightarrow x=-1\\\\-x-1>0\Longleftrightarrow x<-1\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&-1&&+\infty\\&&&&&\\\hline-x-1&&+&0&-&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction f  sur R.

\underline{\text{Calculs préliminaires}}:f(-1)=\dfrac{-1+2}{\text{e}^{-1}}=\dfrac{1}{\text{e}^{-1}}=\text{e}\\\\\phantom{\underline{\text{Calculs préliminaires}}:}\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\underset{(X=-x)}=\ \lim\limits_{X\to+\infty}(-X+2)\,\text{e}^X=-\infty \\\\\phantom{\underline{\text{Calculs préliminaires}}:}\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{x+2}{\text{e}^x}=0\ (\text{croissances comparées}) \\\\\\ {\white{wwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&-1&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&\text{e}&& \\f(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &-\infty&&&&0 \\ \hline \end{array}\end{matrix}

D'où, la fonction f  est  strictement croissante sur l'intervalle ]-infini ; -1[
{\white{wwwwwwwwwww.w}} strictement décroissante sur l'intervalle ]-1 ; +infini[.
La fonction f  admet un maximum égal à e pour x  = -1.

1. b)  Une équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse -1 est de la forme :  \overset{{\white{.}}}{y=f'(-1)(x+1)+f(-1).}

\text{Or }\ f'(-1)=\dfrac{(1-1)}{\text{e}^{-1}}\Longrightarrow f'(-1)=0 \\\phantom{\text{Or }\ }f(-1)=\text{e}
Par conséquent, une équation cartésienne de la tangente (T) à la courbe (C) au point d'abscisse -1 est :  \boxed{y=\text{e}}

1. c)  Représentation graphique de la courbe (C) et de la tangente (T).

Bac S Cameroun 2021 : image 3


2. a)  Nous devons déterminer les constantes réelles a , b  et c  telles que la fonction F  définie sur R par  \overset{{\white{.}}}{F(x)=\dfrac{ax+b}{\text{e}^x}+cx}  soit une primitive de f .

Si F  est une primitive de f  sur R, alors pour tout x  réel, F' (x ) = f (x ).

\text{Or }\ F'(x)=\left(\dfrac{ax+b}{\text{e}^x}\right)'+(cx)' \\\\\phantom{\text{Or }\ F'(x)}=\dfrac{(ax+b)'\times\text{e}^x-(ax+b)\times(\text{e}^x)'}{(\text{e}^x)^2}+c \\\\\phantom{\text{Or }\ F'(x)}=\dfrac{a\times\text{e}^x-(ax+b)\times\text{e}^x}{(\text{e}^x)^2}+c \\\\\phantom{\text{Or }\ F'(x)}=\dfrac{(a-ax-b)\times\text{e}^x}{(\text{e}^x)^2}+c \\\\\phantom{\text{Or }\ F'(x)}=\dfrac{a-ax-b}{\text{e}^x}+c \\\\\phantom{\text{Or }\ F'(x)}=\dfrac{a-ax-b+c\,\text{e}^x}{\text{e}^x} \\\\\Longrightarrow\boxed{F'(x)=\dfrac{-ax+a-b+c\,\text{e}^x}{\text{e}^x}}

Nous en déduisons que :

F'(x)=f(x)\Longleftrightarrow \dfrac{-ax+a-b+c\,\text{e}^x}{\text{e}^x}=\dfrac{x+2}{\text{e}^x} \\\\\phantom{F'(x)=f(x)}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}-a=1\\a-b=2\\c=0\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longleftrightarrow {\white{ww}}\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\-1-b=2\\c=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{F'(x)=f(x)}\Longleftrightarrow \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\b=-3\\c=0\end{matrix}\right.}

D''où  \boxed{F(x)=\dfrac{-x-3}{\text{e}^x}}

{\red{2.\ \tex{b) }}}\ \begin{aligned}\int\nolimits_{-1}^{0} f(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{F(x)}\right]_{-1}^0 \\\\\phantom{WWWWWWw}=\left[\dfrac{-x-3}{\text{e}^x}\right]_{-1}^0 \\\\\phantom{WWWWWWw}=\dfrac{0-3}{\text{e}^0}-\dfrac{1-3}{\text{e}^{-1}} \\\\\phantom{WWWWWWw}=\dfrac{-3}{1}-\dfrac{-2}{\text{e}^{-1}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\int\nolimits_{-1}^{0} f(x)\,\text d x\end{aligned}=-3+2\text{e}}

3. (E exclusivement)

On considère une fonction numérique h  définie sur R par  \overset{{\white{.}}}{h(x)=f(-x)}  et (C') sa courbe et (E) l'équation différentielle définie par  y''-2y'+y=0.

3. a)  Résolvons l'équation différentielle (E) : y'' - 2y' + y = 0.
Nous associons à cette équation différentielle (E) son équation caractéristique : r 2 - 2r + 1 = 0.

r^2-2r+1=0\Longleftrightarrow(r-1)^2=0 \\\phantom{r^2-2r+1=0}\Longleftrightarrow r-1=0\\\phantom{r^2-2r+1=0}\Longleftrightarrow \boxed{r=1}

Puisque r  = 1 est une racine double de l'équation caractéristique de (E), la solution générale de l'équation (E) est \overset{{\white{.}}}{\boxed{y(x)=(\alpha\,x+\beta)\,\text{e}^{x}\phantom{ww}\text{avec }\ \ (\alpha\,;\,\beta)\in\R^2}}

3. b)  La solution y 0 de (E) dont la courbe passe par le point A (0 ; -1) vérifie la relation :  y_0(0)=-1.
Cette courbe admet au point A(0 ; -1) une tangente de coefficient directeur 1.
La solution y 0 vérifie alors la relation :  y'_0(0)=1.

\text{Or }\ y_0(x)=(\alpha\,x+\beta)\,\text{e}^{x}\Longrightarrow y'_0(x)=(\alpha\,x+\beta)'\times\text{e}^{x}+(\alpha\,x+\beta)\times(\text{e}^{x})' \\\phantom{\text{Or }\ y_0(x)=(\alpha\,x+\beta)\,\text{e}^{x}}\Longrightarrow y'_0(x)=\alpha\times\text{e}^{x}+(\alpha\,x+\beta)\times\text{e}^{x} \\\phantom{\text{Or }\ y_0(x)=(\alpha\,x+\beta)\,\text{e}^{x}}\Longrightarrow \boxed{y'_0(x)=(\alpha\,x+\alpha+\beta)\times\text{e}^{x}}

Nous avons alors :

\left\lbrace\begin{matrix}y_0(0)=-1\\y'_0(0)=1\ \ \end{matrix}\right. {\white{w}} \Longleftrightarrow {\white{w}} \left\lbrace\begin{matrix} ( \alpha\times0+\beta)\,\text{e}^{0}=-1\\ (\alpha\times0+\alpha+\beta)\times\text{e}^{0}=1\end{matrix}\right.{\white{w}}\Longleftrightarrow{\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\,\beta=-1\\\alpha+\beta=1\end{matrix}\right.{\white{w}}\Longleftrightarrow{\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\,\beta=-1\\\alpha-1=1\end{matrix}\right. \\\\ {\white{wwwwwwwww}}\Longleftrightarrow{\white{w}} \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}\beta=-1\\\alpha=2\end{matrix}\right.}
Par conséquent, la solution y 0 dont la courbe passe par le point A (0 ; -1) et admettant en ce point une tangente de coefficient directeur 1 est définie par \boxed{y_0(x)=(2x-1)\,\text{e}^{x}}.

PARTIE B : ÉVALUATION DES compétences : 5 POINTS

1.  Déterminons le coût du terrain entier.

Calculons d'abord l'aire  \mathscr{A}  de ce terrain (en m2).

Calculons l'aire  \mathscr{A}_1 (en u. a.) de la surface comprise entre la courbe (C ), l'axe des abscisses et les droites d'équations x  = 0 et x  = 4 sachant que la fonction définissant la courbe (C ) est positive sur l'intervalle [0 ; 4].

\mathscr{A}_1=\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^4 \dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}\,\text d x\end{aligned} =\left[\overset{{\white{.}}}{\ln(\text{e}^{x}+\text{e}^{-x})}\right]_0^4 \\\phantom{w.}=\overset{{\phantom{.}}}{\ln(\text{e}^{4}+\text{e}^{-4})-\ln(\text{e}^{0}+\text{e}^{0})} \\\phantom{w.}=\overset{{\phantom{.}}}{\ln(\text{e}^{4}+\text{e}^{-4})-\ln(2)} \\\phantom{w.}=\overset{{\phantom{.}}}{\ln\left(\dfrac{\text{e}^{4}+\text{e}^{-4}}{2}\right)} \\\\\Longrightarrow\mathscr{A}_1=\ln\left(\dfrac{\text{e}^{4}+\text{e}^{-4}}{2}\right)\,\text{u.a.}\approx3,307\,\text{u.a.}
Or nous savons que sur la figure, l'unité sur l'axe des ordonnées est 10 m et 100 m sur l'axe des abscisses.
D'où l'aire  \mathscr{A}  du terrain entier que ABBA souhaite vendre est égale à 10 multiplie 100 multiplie 3,307 = 3307 m2 (l'aire est arrondie au m2).

Calculons ensuite le prix de ce terrain entier.
Nous savons que le m2 coûte 2000 F.
Par conséquent, le montant du terrain entier est égal à 3307 multiplie 2000 = 6 614 000 F (valeur arrondie au millier).

2.  Déterminons la somme que possèdera ABBA s'il ne souhaite vendre que la portion réservée aux pastèques.

Calculons d'abord l'aire  \mathscr{A}'  de ce terrain (en m2).

Calculons l'aire  \mathscr{A}_2 (en u. a.) de la surface comprise entre la courbe (C ) et la droite (L ).

\mathscr{A}_2=\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^4 \left(\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}-\dfrac{1}{4}x\right)\,\text d x\end{aligned} \\\phantom{w.}=\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^4 \left(\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}\right)\,\text d x\end{aligned}-\dfrac{1}{4}\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^4x\,\text d x\end{aligned}

\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^4 \left(\dfrac{\text{e}^{x}-\text{e}^{-x}}{\text{e}^{x}+\text{e}^{-x}}\right)\,\text d x\end{aligned}=\overset{{\phantom{.}}}{\ln\left(\dfrac{\text{e}^{4}+\text{e}^{-4}}{2}\right)\phantom{ww}(\text{voir question 1.})}\\\\\dfrac{1}{4}\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^4x\,\text d x\end{aligned}=\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{4^2}{2}+0\right)=\dfrac{1}{4}\times8=2 \end{matrix}\right. \\\\\\\Longrightarrow\mathscr{A}_2=\left(\ln\left(\dfrac{\text{e}^{4}+\text{e}^{-4}}{2}\right)-2\right)\,\text{u.a.}\approx1,307\,\text{u.a.}
Or nous savons que sur la figure, l'unité sur l'axe des ordonnées est 10 m et 100 m sur l'axe des abscisses.
D'où l'aire  \mathscr{A}'  de la portion réservée aux pastèques que ABBA souhaite vendre est égale à 10 multiplie 100 multiplie 1,307 = 1307 m2 (l'aire est arrondie au m2).

Calculons ensuite le prix de cette portion de terrain.
Nous savons que le m2 coûte 2000 F.
Par conséquent, le montant de la portion de terrain réservée aux pastèques est égal à 1307 multiplie 2000 = 2 614 000 F (valeur arrondie au millier).

3.  Déterminons le nombre de sacs de chaque type des deux produits cultivés.

Soit x  le nombre de sacs de pastèques cultivées
{\white{xxx}}y  le nombre de sacs de carottes cultivées.

Au total, il y a 17 sacs. Donc : x  + y  = 17.
Le sac de pastèques est vendu 6800 F et (x  - 1) sacs sont vendus.
Donc le prix total des pastèques vendues est égal à 6800(x  - 1) F.
Le sac de carottes est vendu 3000 F et (y  - 1) sacs sont vendus.
Donc le prix total des carottes vendues est égal à 3000(y  - 1) F.
La différences entre le prix de vente total des carottes et des pastèques est de 4000 F.
Dès lors, 6800(x  - 1) - 3000(y  - 1) = 4000.

Nous devons donc résoudre le système :  \left\lbrace\begin{matrix}x+y=17 \phantom{wwwwwwwwwwwww}\\6800(x-1)-3000(y-1)=4000\end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix}x+y=17 \phantom{wwwwwwwwwwwww}\\6800(x-1)-3000(y-1)=4000\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}x+y=17 \phantom{wwwwwwwww}\\34(x-1)-15(y-1)=20\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}x+y=17 \phantom{wwwwwww}\\34x-34-15y+15=20\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwwwwwwwwwxxxxxx.wwwww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}x+y=17 \phantom{wwwwww}(1)\\34x-15y=39\phantom{www}(2)\end{matrix}\right. \\\\34\times(1)-(2)\Longleftrightarrow34y+15y=34\times17-39 \\\phantom{34\times(1)-(2)}\Longleftrightarrow49y=539 \\\phantom{34\times(1)-(2)}\Longleftrightarrow\boxed{y=11}

\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}x+y=17 \phantom{}\\y=11\phantom{www}\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longleftrightarrow\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}x+11=17 \phantom{}\\y=11\phantom{www}\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longleftrightarrow\phantom{w}\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=6\\y=11\end{matrix}\right.}
Par conséquent, ABBA a cultivé 6 sacs de pastèques et 11 sacs de carottes.
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