Fiche de mathématiques
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Bac A-ABI Cameroun 2021

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Durée : 3 heures

Coefficient : 2


5 points

exercice 1

Bac A-ABI Cameroun 2021 : image 3


5 points

exercice 2

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Bac A-ABI Cameroun 2021 : image 1


10 points

probleme

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Bac A-ABI Cameroun 2021

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5 points

exercice 1

{\red{1.}}{\white{w}}{\blue{\text{Réponse c : Le système a pour ensemble solution }S=\lbrace(\text{e}\,;\,\text{e}^2)\rbrace.}}

Dans R2, soit le système :  \left\lbrace\begin{matrix}{\white{www.w}}\ln(xy)=3\\2(\ln x)-3(\ln y)=-4\end{matrix}\right. .

Il est aisé de vérifier que la seule réponse correcte est la réponse c) en remplaçant x  et y  dans la première équation par les valeurs proposées.

\bullet {\white{w}}La réponse a) est incorrecte car  \overset{{\white{.}}}{\ln(xy)=\ln(2\times1)=\ln2\approx0,69\neq3.}
\bullet {\white{w}}La réponse b) est incorrecte car  \overset{{\white{.}}}{\ln(xy)=\ln(0\times\ln2)=\ln0}  et ln 0 n'est pas défini.
\bullet {\white{w}}La réponse d) est incorrecte car  \overset{{\white{.}}}{\ln(xy)=\ln(1\times\dfrac{1}{2})=\ln\dfrac{1}{2}\approx-0,69\neq3.}
\bullet {\white{w}}La réponse c) est correcte car :

{\white{ww}}\ln(xy)=\ln(\text{e}\times\text{e}^2)\\\phantom{\ln(xy)}=\ln(\text{e}^3)\\\phantom{\ln(xy)}=3 \\\\2(\ln x)-3(\ln y)=2\times\ln\text{e}-3\times\ln\text{e}^2 \\\phantom{2(\ln x)-3(\ln y)}=2\times1-3\times2 \\\phantom{2(\ln x)-3(\ln y)}=2-6 \\\phantom{2(\ln x)-3(\ln y)}=-4

\text{D'où }\boxed{S=\lbrace(\text{e}\,;\,\text{e}^2)\rbrace}

Remarque : Une méthode plus longue est la résolution du système.

 \left\lbrace\begin{matrix}{\white{www.w}}\ln(xy)=3\\2(\ln x)-3(\ln y)=-4\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} {\white{..w}}\ln x+\ln y=3\\2(\ln x)-3(\ln y)=-4\end{matrix}\right. \\\\\phantom{XXXXXXXXXXX.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}3(\ln x)+3(\ln y)=9{\white{WWWWW}}(1)\\2(\ln x)-3(\ln y)=-4{\phantom{WWWwW}}(2)\end{matrix}\right. \\\\ (1)+(2)\Longrightarrow5(\ln x)=5 \\\phantom{(1)+(2)}\Longrightarrow\ln x=1 \\\phantom{(1)+(2)}\Longrightarrow x=\text{e}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\ln x+\ln y=3\\\ln x=1\end{matrix}\right.\Longrightarrow1+\ln y=3 \\\phantom{WWWWWWx}\Longrightarrow\ln y = 2 \\\phantom{WWWWWWx}\Longrightarrow y = \text{e}^2 \\\\\text{D'où }\boxed{S=\lbrace(\text{e}\,;\,\text{e}^2)\rbrace}

{\red{2.}}{\white{w}}{\blue{\text{Réponse b : }f'(x)=(x+3)\,\text{e}^{x-2}}}

{\white{ww}}f'(x)=(x+2)'\times\text{e}^{x-2}+(x+2)\times(\text{e}^{x-2})'{\white{www}}[{\red{\longrightarrow(u\times v)'=u'\times v+u\times v'}}] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{x-2}+(x+2)\times(x-2)'\times\text{e}^{x-2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\text{e}^{x-2}+(x+2)\times1\times\text{e}^{x-2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=\text{e}^{x-2}+(x+2)\,\text{e}^{x-2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=[1+(x+2)]\,\text{e}^{x-2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{f'(x)}=(x+3)\,\text{e}^{x-2}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(x+3)\,\text{e}^{x-2}}

{\red{3.}}{\white{w}}{\blue{\text{Réponse d : }D_f=]-\infty\,;\,3[.}}

Nous savons que la fonction ln est définie sur \R_+^*.
Donc  \overset{{\white{.}}}{\ln(-x+3)}  est défini si -x + 3 > 0.

 -x+3>0\Longleftrightarrow-x>-3 \\\phantom{-x+3>0}\Longleftrightarrow x< 3

Par conséquent,  \boxed{D_f=]-\infty\,;\,3[}

{\red{4.}}{\white{w}}{\blue{\text{Réponse b : }\ln(1400)=3\ln2+2\ln5+\ln7.}}

La réponse a) est incorrecte car  \overset{{\white{.}}}{\ln1000+\ln400=\ln(1000\times400)=\ln400\,000\neq\ln1400.}
La réponse b) est correcte car

 3\ln2+2\ln5+\ln7=\ln2^3+\ln5^2+\ln7 \\\phantom{3\ln2+2\ln5+\ln7}=\ln8+\ln25+\ln7 \\\phantom{3\ln2+2\ln5+\ln7}=\ln(8\times25\times7) \\\phantom{3\ln2+2\ln5+\ln7}=\ln1400.

{\red{5.}}{\white{w}}{\blue{\text{Réponse b : Le point moyen G du nuage a pour coordonnées }(4,5\,;\,16).}}

En effet,  \left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{2+4+5+7}{4}{\white{wwww}}\\\overset{{\white{.}}}{y_G=\dfrac{7+14,5+18+24,5}{4}}\end{matrix}\right.{\white{wwww}}\Longleftrightarrow{\white{wwww}}\left\lbrace\begin{matrix}x_G=4,5\\y_G=16\end{matrix}\right.

D'où, les coordonnées du point moyen du nuage sont (4,5 ; 16).

5 points

exercice 2

1.  Tableau complété résumant les résultats de l'enquête.

Total général : 75
Total garçon : 30
Total fille : 75 - 30 = 45
Fille - Journaliste : 32 - 12 = 20
Total avocat : 75 - (32 + 18) = 75 - 50 = 25
Fille - Enseignant : 45 - (20 + 15) = 45 - 35 = 10
Garçon - Avocat : 25 - 15 = 10
Garçon - Enseignant : 18 - 10 = 8

{\white{wwwwwww}}\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &\text{Journaliste}&\text{Avocat}&\text{Enseignant}&\text{Total}\\\hline \text{Garçon}&12 &\red{10}&\red{8}&\red{30}\\\hline \text{Fille}&\red{20}&15&\red{10}&\red{45}\\\hline \text{Total}&32&\red{25}&18&\red{75}\\\hline\end{array}

2.  On choisit au hasard 2 élèves de cette classe.
Les événements élémentaires sont équiprobables.
Le nombre de choix possibles de 2 élèves parmi 75 est donné par  \overset{{\white{.}}}{C_{75}^2=\begin{pmatrix}75\\2\end{pmatrix}=\dfrac{75\times74}{2}=2775.}

Soit l'événement A = "les élèves choisis aimeraient être enseignants".
Le nombre de choix de 2 élèves parmi 18 est donné par  \overset{{\white{.}}}{C_{18}^2=\begin{pmatrix}18\\2\end{pmatrix}=\dfrac{18\times17}{2}=153.}
Par conséquent,  \boxed{P(A)=\dfrac{153}{2775}=\dfrac{51}{925}}

Soit l'événement B = "les élèves choisis sont des garçons ayant opté pour la profession journaliste".
Le nombre de choix de 2 élèves parmi 12 est donné par  \overset{{\white{.}}}{C_{12}^2=\begin{pmatrix}12\\2\end{pmatrix}=\dfrac{12\times11}{2}=66.}
Par conséquent,  \boxed{P(B)=\dfrac{66}{2775}=\dfrac{22}{925}}

Soit l'événement C = "les élèves choisis sont des filles qui aimeraient être avocates".
Le nombre de choix de 2 élèves parmi 15 est donné par  \overset{{\white{.}}}{C_{15}^2=\begin{pmatrix}15\\2\end{pmatrix}=\dfrac{15\times14}{2}=105.}
Par conséquent,  \boxed{P(C)=\dfrac{105}{2775}=\dfrac{7}{185}}

10 points

probleme

La courbe représentative (C) ci-dessous est celle d'une fonction f  définie sur R.

Bac A-ABI Cameroun 2021 : image 9


1.  Les réponses ci-après ne demandent pas ou peu de commentaires.
Elles s'obtiennent par une lecture graphique.

1. a)  L'ensemble de définition de f  est  \boxed{D_f=\R\setminus \lbrace 1\rbrace}\,.

{\red{1.\text{ b) }}}\bullet\phantom{w}\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=+\infty \\\\\phantom{\{\red{1.\text{ b) }}}\bullet\phantom{w}}\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty \\\\\phantom{\{\red{1.\text{ b) }}}\bullet\phantom{w}}\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=+\infty \\\\\phantom{\{\red{1.\text{ b) }}}\bullet\phantom{w}}\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=-\infty

1. c)  La droite (D') d'équation x  = 1 est une asymptote verticale à la courbe (C) en 1.

2.  On admet que la droite (D) est une asymptote oblique à (C) et qu'elle admet pour équation : y  = ax  + b .

2. a)  Les points A (1 ; 0) et B (0 ; 1) appartiennent à la droite (D).
Leurs coordonnées vérifient donc l'équation de (D).

\left\lbrace\begin{matrix}A(1\,;\,0)\in(D)\\B(0\,;\,1)\in(D)\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}0=a\times1+b\\1=a\times0+b\end{matrix}\right. \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}a+b=0\\b=1\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}a+1=0\\b=1\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=-1\\b=1\end{matrix}\right.}}
D'où l'équation réduite de l'asymptote oblique (D) est  \boxed{y=-x+1}\,.

2. b)  La courbe (C) est au-dessus de la droite (D) sur l'intervalle ]-infini ; 1[.
La courbe (C) est en dessous de la droite (D) sur l'intervalle ]1 ; +infini[.

3. a)  \bullet{\white{w}}f (-2) = 6.
\bullet{\white{w}}f (4) = -6.
\bullet{\white{w}}f' (-2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 2.
Cette tangente à la courbe (C) est parallèle à l'axe des abscisses.
Son coefficient directeur est donc nul.
D'où f' (-2) = 0.
\bullet{\white{w}}f' (4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe (C) au point d'abscisse 4.
Cette tangente à la courbe (C) est parallèle à l'axe des abscisses.
Son coefficient directeur est donc nul.
D'où f' (4) = 0.

3. b)  Graphiquement, nous observons que la fonction f  est
{\white{wWW}}- décroissante sur les intervalles ]-infini ; -2] et [4 ; +infini[
{\white{wWW}}- croissante sur les intervalles [-2 ; 1[ et ]1 ; 4]
.

3. c)  Dressons le tableau de variations de f .

\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline &&&&&&&&&\\x&-\infty&&-2&&1&&4&&+\infty\\&&&&&&&&& \\\hline &&&&&||&&&&\\f'(x)&&-&0&+&||&+&0&-&\\&&&&&||&&&&\\\hline &+\infty&&&&+\infty||\phantom{.ww}&&-6&& \\f(x)&&\searrow&&\nearrow&||&\nearrow&&\searrow& \\ &&&6&&\phantom{www}||-\infty&&&&-\infty \\ \hline \end{array}


4.  On suppose que  f(x)=\dfrac{a'x^2+b'x+c'}{x-1}

4. a)  La fonction f est dérivable sur  \overset{{\white{.}}}{\R\setminus \lbrace 1\rbrace}\,.}

f'(x)=\dfrac{(a'x^2+b'x+c')'\times(x-1)-(a'x^2+b'x+c')\times(x-1)'}{(x-1)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{(2a'x+b')\times(x-1)-(a'x^2+b'x+c')\times1}{(x-1)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{(2a'x^2-2a'x+b'x-b')-(a'x^2+b'x+c')}{(x-1)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{2a'x^2-2a'x+b'x-b'-a'x^2-b'x-c'}{(x-1)^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{a'x^2-2a'x-b'-c'}{(x-1)^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{a'x^2-2a'x-b'-c'}{(x-1)^2}}

Dès lors, nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}f(-2)=6\\f(4)=-6\\f'(-2)=0\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{a'\times(-2)^2+b'\times(-2)+c'}{-2-1}=6\\\\\dfrac{a'\times4^2+b'\times4+c'}{4-1}=-6\\\\\dfrac{a'\times(-2)^2-2a'\times(-2)-b'-c'}{(-2-1)^2}=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWW}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{4a'-2b'+c'}{-3}=6\\\\\dfrac{16a'+4b'+c'}{3}=-6\\\\\dfrac{4a'+4a'-b'-c'}{9}=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWW}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}4a'-2b'+c'=-18\\16a'+4b'+c'=-18\\8a'-b'-c'=0\end{matrix}\right.}
Par conséquent, les réels a' , b'  et c'  sont solutions du système  \left\lbrace\begin{matrix}4x-2y+z=-18\\16x+4y+z=-18\\8x-y-z=0\end{matrix}\right.

4. b)  Résolvons dans R3 le système  \left\lbrace\begin{matrix}4x-2y+z=-18\\16x+4y+z=-18\\8x-y-z=0\end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix}4x-2y+z=-18\\16x+4y+z=-18\\8x-y-z=0\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}4x-2y+z=-18\\16x+4y+z=-18\\z=8x-y\end{matrix}\right. \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWwWWWW}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}4x-2y+8x-y=-18\\16x+4y+8x-y=-18\\z=8x-y\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWwWWWW}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}12x-3y=-18\\24x+3y=-18\\z=8x-y\phantom{ww}\end{matrix}\right.} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWwWWWW}\Longleftrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}4x-y=-6\phantom{ww}(1)\\8x+y=-6\phantom{ww}(2)\\z=8x-y\phantom{ww}\end{matrix}\right.} (1)+(2)\Longleftrightarrow12x=-12 \\\phantom{(1)+(2)}\Longleftrightarrow\boxed{x=-1} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}8x+y=-6\phantom{xxxx}\\x=-1\end{matrix}\right.\Longrightarrow-8+y=-6 \phantom{xxx}\Longrightarrow\boxed{y=2} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}x=-1\\y=2\\z=8x-y\end{matrix}\right.\phantom{xxxx}\Longrightarrow z=-8-2\phantom{xxx}\Longrightarrow\boxed{z=-10}
Par conséquent, l'ensemble solution du système est  \boxed{S=\lbrace(-1\,;\,2\,;\,-10)\rbrace}\,.

4. )  Puisque nous avons montré dans la question 4. a) que les réels a' , b'  et c'  sont solutions de ce système, nous en déduisons que (a'  ; b'  ; c' ) = (-1 ; 2 ; -10).

Il s'ensuit que  \boxed{f(x)=\dfrac{-x^2+2x-10}{x-1}}\,.

5.  On considère la fonction g  définie sur ]1 ; +infini[ par  g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x+2015-9\ln(x-1)

La fonction g  est dérivable sur ]1 ; +infini[.

g'(x)=-\dfrac{1}{2}\times(x^2)'+x'+2015'-9\times(\ln(x-1))' \\\\\phantom{g'(x)}=-\dfrac{1}{2}\times2x+1+0-9\times\dfrac{1}{x-1} \\\\\phantom{g'(x)}=-x+1-\dfrac{9}{x-1} \\\\\phantom{g'(x)}=\dfrac{(-x+1)(x-1)-9}{x-1} \\\\\phantom{g'(x)}=\dfrac{-x^2+x+x-1-9}{x-1} \\\\\phantom{g'(x)}=\dfrac{-x^2+2x-10}{x-1} \\\\\phantom{g'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\,\in\,]1\,;\,+\infty[\,,g'(x)=f(x)}

Nous en déduisons que g  est une primitive de f  sur ]1 ; +infini[.
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