Fiche de mathématiques
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Bac A1 Côte d'Ivoire 2021

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Durée : 3 heures

Coefficient : 3
2 points

exercice 1

Bac A1 Côte d'Ivoire 2021 : image 1


2 points

exercice 2

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5 points

exercice 3

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6 points

exercice 4

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5 points

exercice 5

Bac A1 Côte d'Ivoire 2021 : image 2





Bac A1 Côte d'Ivoire 2021

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2 points

exercice 1

Affirmation 1. : La droite d'ajustement linéaire d'un nuage de points d'une série statistique passe par le point moyen. fleche vrai.
En effet, l'équation de la droite d'ajustement linéaire est de la forme  \overset{{\white{.}}}{y=ax+b}  avec  \overset{{\white{.}}}{a=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{V(x)}}  et  \overset{{\white{.}}}{b=\overline{y}-a\,\overline{x}.}
Or  \overset{{\white{.}}}{b=\overline{y}-a\,\overline{x}\Longleftrightarrow \boxed{\overline{y}=a\,\overline{x}+b}.}

D'où le couple  (\overline{x}\,;\,\overline{y})  vérifie l'équation de la droite d'ajustement.
Par conséquent, la droite d'ajustement linéaire d'un nuage de points d'une série statistique passe par le point moyen de coordonnées  \overset{{\white{.}}}{(\overline{x}\,;\,\overline{y})} .

Affirmation 2. : Si A et B sont deux événements incompatibles d'un univers omegamaj, alors  P(A\cup B)=P(A)-P(B). fleche faux.
En effet, si A et B sont deux événements incompatibles d'un univers omegamaj, alors  P(A\cup B)=P(A)\,{\red{+}}\,P(B).

Affirmation 3. : Pour tous nombres a  et b ,  \text{e}^{a-b}=\dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}.  fleche vrai.
C'est une propriété du quotient de deux puissances du même nombre.

Affirmation 4. : La fonction  \overset{{\white{.}}}{x\mapsto\ln(x)}  est strictement positive sur ]1 ; +infini[. fleche vrai.
En effet, ln(1) = 0 et la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; +infini[.

\text{D'où }\;\forall\,x\in\R, \;x>1\Longrightarrow\ln(x)>\ln(1)  \\\phantom{\text{D'où }\;\forall\,x\in\R, \;}\boxed{x>1\Longrightarrow\ln(x)>0}

Affirmation 5. : Si  \overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N}}  est une suite arithmétique de raison r  et de premier terme  \overset{{\white{.}}}{u_0} , alors pour tout n  élément de N,  \overset{{\white{.}}}{u_n=u_0-nr.} fleche faux.
La relation correcte est  \overset{{\white{.}}}{u_n=u_0\,{\red{+}}\,nr.}

2 points

exercice 2

Affirmation 1. : Réponse A :  \lim\limits_{x\underset{<}{\to}2}\,\dfrac{1}{x-2}}  est égale à  {\red{-\infty .}}
Cet exemple est mentionné dans l'énoncé.

Affirmation 2. : Réponse B :  \lim\limits_{x\to+\infty}\,\dfrac{\ln x}{x}  est égale à  {\red{0 .}}
Croissances comparées (x croit plus vite que  \overset{{\white{.}}}{\ln(x)} ).

Affirmation 3. : Réponse A : La dérivée sur ]0 ; +infini[ de la fonction  x\mapsto -3x+2-\ln(x)  est la fonction  {\red{x\mapsto -3-\dfrac{1}{x} .}}
\left(\overset{}-3x+2-\ln(x)\right)'=(-3x)'+2'-\left(\overset{}\ln(x)\right)' \\\phantom{\left(\overset{}-3x+2-\ln(x)\right)'}=-3+0-\dfrac{1}{x} \\\phantom{\left(\overset{}-3x+2-\ln(x)\right)'}=-3-\dfrac{1}{x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\overset{}-3x+2-\ln(x)\right)'=-3-\dfrac{1}{x}}

Affirmation 4. : Réponse C : Dans  \overset{{\white{.}}}{\R \times\R ,}  l'ensemble des solutions du système d'équations  \left\lbrace\begin{matrix}\ln(x)-\ln(y)=-2\\2\ln(x)+\ln(y)=5\end{matrix}\right.  est  {\red{\lbrace(\text{e},\text{e}^3)\rbrace.}}

En effet,  \left\lbrace\begin{matrix}\ln(\text{e})-\ln(\text{e}^3)=1-3=-2\\2\ln(\text{e})+\ln(\text{e}^3)=2\times1+3=5\end{matrix}\right.

Affirmation 5. : Réponse B : La somme  \overset{{\white{.}}}{u_0+u_1+\cdots+u_{121}}  d'une suite arithmétique  \overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N}}  est égale à  \overset{{\white{.}}}{{\red{122\times\dfrac{u_0+u_{121}}{2}.}}}
En effet, la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule :  \overset{{\white{.}}}{\text{nombre de termes}\times\dfrac{\text{premier terme + dernier terme}}{2}.}

5 points

exercice 3

On considère la suite géométrique  \overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N}}  définie par :  \overset{{\white{.}}}{u_0=10}  et pour tout entier naturel n ,  u_{n+1}=0,7\,u_n.

{\red{1.\;}}\;u_1=0,7u_0=0,7\times10\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_1=7} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{1.\;}}\;}u_2=0,7u_1=0,7\times7\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=4,9}}

2.  Pour tout entier naturel n ,  u_{n+1}=0,7\,u_n.
Chaque terme de la suite, à partir du deuxième, est égal au précédent multiplié par 0,7.
Par conséquent, la raison q  de la suite géométrique  \overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N}}  est q  = 0,7.

3. a)  Le terme général de la suite  \overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N}}  est donné par  \overset{{\white{.}}}{u_n=u_0\times q^n}
Or u 0 = 10 et q  = 0,7.

Dès lors, pour tout entier naturel n ,  \boxed{u_n=10\times(0,7)^n}\,.

3. b)  Déterminons le plus petit entier naturel n  tel que :  \overset{{\white{.}}}{u_n\le0,14.}

u_n\le0,14\quad\Longleftrightarrow\quad10\times(0,7)^n\le0,14. \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n\le0,14\quad}\Longleftrightarrow\quad(0,7)^n\le\dfrac{0,14}{10}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n\le0,14\quad}\Longleftrightarrow\quad(0,7)^n\le0,014} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n\le0,14\quad}\Longleftrightarrow\quad\ln\left(\overset{}(0,7)^n\right)\le\ln(0,014)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_n\le0,14\quad}\Longleftrightarrow\quad n\times\ln(0,7)\le\ln(0,014)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_n\le0,14\quad}\Longleftrightarrow\quad n\ge\dfrac{\ln(0,014)}{\ln(0,7)}}\quad(\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,7)<0) \\\\\text{Or }\dfrac{\ln(0,014)}{\ln(0,7)}\approx11,968.
D'où le plus petit entier naturel n  vérifiant l'inégalité est n = 12.

4.  Déterminons la somme  \overset{{\white{.}}}{S=u_0+u_1+\cdots+u_{2020}.}

S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=10\times\dfrac{1-(0,7)^{2021}}{1-0,7}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=10\times\dfrac{1-(0,7)^{2021}}{0,3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=\dfrac{10}{0,3}\times\left(\overset{}1-(0,7)^{2021}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{S=\dfrac{100}{3}\times\left(\overset{}1-(0,7)^{2021}\right)}

6 points

exercice 4

On considère la fonction f  définie sur R par  \overset{{\white{.}}}{f(x)=2+x-\text{e}^x.}

1.  Nous devons déterminer la limite de f  en -infini.

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{x}=0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left(2+x-\text{e}^{x}\right)=-\infty \\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}

2.  On admet que pour tout x  différent de 0,  \overset{{\white{.}}}{f(x)=x\left(\dfrac{2}{x}+1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\right).}

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\phantom{WWWWWWWWWWXW}\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x}=0\phantom{WWWWWWWWWWXW}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty\quad(\text{croissances comparées})\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left[x\left(\dfrac{2}{x}+1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\right)\right]=-\infty

\text{D'où }\;\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}

3.  Montrons que la droite (deltamaj) d'équation y  = 2 + x  est une asymptote à (C ) en -infini.

\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(2+x)]=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[(2+x-\text{e}^x)-(2+x)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(x-2)]}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(2+x-\text{e}^x-2-x\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]}=\lim\limits_{x\to-\infty}(-\text{e}^x)=0} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(2+x)]=0}

Par conséquent, la droite (deltamaj) d'équation y  = 2 + x  est une asymptote à (C ) en -infini.

{\red{\text{4. a) }}}\;f'(x)=(2+x-\text{e}^x)' \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\;f'(x)}=2'+x'-(\text{e}^x)' \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\;f'(x)}=0+1-\text{e}^x \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\;f'(x)}=1-\text{e}^x \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;f'(x)=1-\text{e}^x}

{\red{\text{4. b) }}}\;\bullet{\phantom{w}}x<0\Longleftrightarrow\text{e}^x<\text{e}^0 \\\phantom{{\red{\text{4. b)x.}}}\;x<0xx}\Longleftrightarrow\text{e}^x<1 \\\phantom{{\red{\text{4. b)x.}}}\;x<0xx}\Longleftrightarrow1-\text{e}^x>0  \\\phantom{{\red{\text{4. b)x.}}}\;x<0xx}\Longleftrightarrow f'(x)>0  \\\\ \phantom{ddddd}\bullet{\phantom{w}}x>0\Longleftrightarrow\text{e}^x>\text{e}^0 \\\phantom{ddddddx<0xx}\Longleftrightarrow\text{e}^x>1 \\\phantom{ddddddx<0xx}\Longleftrightarrow1-\text{e}^x<0  \\\phantom{ddddddx<0xx}\Longleftrightarrow f'(x)<0

D'où,

{\white{ww}}\bullet{\white{w}}f' (x ) > 0 sur  \overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,0[}
{\white{ww}}\bullet{\white{w}}f' (x ) < 0 sur  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}

Par conséquent,

{\white{ww}}\bullet{\white{w}}la fonction f  est croissante sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,0[}
{\white{ww}}\bullet{\white{w}}la fonction f  est décroissante sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}


4. c)  Tableau de variation de f .

{\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&1&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&-\infty\\ \hline \end{array}\end{matrix}

5.  La fonction f  est définie, continue et strictement décroissante sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]1,1\,;\,1,2[.}

\left\lbrace\begin{matrix}f(1,1)\approx0,096>0 \\f(1,2)\approx-0,12<0\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}f(1,1)\times f(1,2)<0

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une solution unique alpha dans l'intervalle ]1,1 ; 1,2[.

6. a)  Tableau complété.

{\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &&&&&&&\\ x&-3&-2,5&-2&-1&0&1&2\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\\text{Arrondi d'ordre 1 de }f(x)&{\red{-1,0}}&-0,6&{\red{-0,1}}&{\red{0,6}}&1&{\red{0,3}}&-3,4\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

6. b)  Représentation graphique de (deltamaj) et (C ) dans le plan muni du repère (O,I,J).

Bac A1 Côte d'Ivoire 2021 : image 6


5 points

exercice 5

Déterminons d'abord s'il y a une bonne corrélation entre les deux variables x  et y .

Les moyennes de x  et de y  sont données par : :

\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{24+24+26+28+29+32+33+34}{8}\\\overset{{\white{.}}}{\overline{y}=\dfrac{8+9+7+13+10+17+14+16}{8}\phantom{ww}}\end{matrix}\right.\phantom{www}\Longleftrightarrow\phantom{www}\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=28,75\\\overline{y}=11,75\end{matrix}\right.

Tableau statistique complété.

\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&&&&\\ x_i&\phantom{i} 24\phantom{i}  & \phantom{v}24\phantom{v}  & 26   & 28   & 29 & 32  & 33 & 34\\&&&&&&&& \\ \hline&  & & & & & &&& x_i-\overline{x} & -4,75 &-4,75& -2,75 &-0,75  & 0,25& 3,25 &4,25 &5,25\\&&&&&&&&\\ \hline&  & & & & & &&& y_i & 8 & 9& 7 &13  &10& 17 &14 &16\\&&&&&&&&\\ \hline&  & & & & & &&& y_i-\overline{y}  & -3,75 & -2,75& -4,75 &1,25  & -1,75& 5,25 &2,25 &4,25\\&&&&&&&&  \\\hline \end{array}


\bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=\dfrac{1}{8}\,[-4,75\times(-3,75)-4,75\times(-2,75)+\cdots+5,25\times4,25] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=11,4375 \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8(x_i-\overline{x})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(t)}=\dfrac{1}{8}\,[(-4,75)^2+(-4,75)^2+\cdots+5,25^2] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)}=13,6875 \\\\\phantom{\bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }}V(y)=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8(y_i-\overline{y})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=\dfrac{1}{8}\,[(-3,75)^2+(-2,75)^2+\cdots+4,25^2] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=12,4375

D'où le coefficient de corrélation est  \overset{{\white{.}}}{r=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{\sqrt{V(x)\times V(y)}}=\dfrac{11,4375}{\sqrt{13,6875\times 12,4375}}\approx0,8766.}

Puisque 0,87 < r < 1, les deux variables x  et y  présentent une bonne corrélation.


Déterminons ensuite par la méthode des moindres carrés une équation de la droite D de régression de y  en x .
Une équation de la droite D est de la forme  \overset{{\white{.}}}{y=ax+b}  où  \overset{{\white{.}}}{a=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{V(x)}}  et  \overset{{\white{.}}}{b=\overline{y}-a\overline{x}.}

\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{V(x)}=\dfrac{11,4375}{13,6875}\approx0,84\phantom{wwwwwww}\\\\b=\overline{y}-a\overline{x}=11,75-\dfrac{11,4375}{13,6875}\times28,75\approx-12,27\end{matrix}\right.

Par conséquent, une équation de la droite D de régression de y  en x  est : y  = 0,84x  - 12,27.


Selon ce modèle, donnons une estimation des gains réalisés en millions de francs par la coopérative pour une production de 38 tonnes.

Dans l'équation de D, remplaçons x  par 38 et calculons la valeur de y .
y = 0,84 multiplie 38 - 12,27 = 19,65.

Nous en déduisons que pour une production de 38 tonnes, les gains réalisés s'élèvent à 19,65 millions de francs, soit un gain supérieur aux 19 millions de francs escomptés.
Par conséquent, la coopérative peut réaliser son projet.
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