Fiche de mathématiques

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Bac A1 Côte d'Ivoire 2021

Durée : 3 heures

Coefficient : 3 2 points

exercice 1

2 points

exercice 2

5 points

exercice 3

6 points

exercice 4

5 points

exercice 5

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Bac A1 Côte d'Ivoire 2021

2 points

exercice 1

Affirmation 1. : La droite d'ajustement linéaire d'un nuage de points d'une série statistique passe par le point moyen. fleche

vrai.
En effet, l'équation de la droite d'ajustement linéaire est de la forme $\overset{{\white{.}}}{y=ax+b}$ avec $\overset{{\white{.}}}{a=\dfrac{\text{cov}(x;y)}{V(x)}}$ et $\overset{{\white{.}}}{b=\overline{y}-a\,\overline{x}.}$
Or $\overset{{\white{.}}}{b=\overline{y}-a\,\overline{x}\Longleftrightarrow \boxed{\overline{y}=a\,\overline{x}+b}.}$

D'où le couple $(\overline{x}\,;\,\overline{y})$ vérifie l'équation de la droite d'ajustement.
Par conséquent, la droite d'ajustement linéaire d'un nuage de points d'une série statistique passe par le point moyen de coordonnées $\overset{{\white{.}}}{(\overline{x}\,;\,\overline{y})}$ .

Affirmation 2. : Si A et B sont deux événements incompatibles d'un univers omegamaj

, alors $P(A\cup B)=P(A)-P(B).$ fleche

faux.
En effet, si A et B sont deux événements incompatibles d'un univers omegamaj

, alors $P(A\cup B)=P(A)\,{\red{+}}\,P(B).$

Affirmation 3. : Pour tous nombres a et b , $\text{e}^{a-b}=\dfrac{\text{e}^a}{\text{e}^b}.$ fleche

vrai.
C'est une propriété du quotient de deux puissances du même nombre.

Affirmation 4. : La fonction $\overset{{\white{.}}}{x\mapsto\ln(x)}$ est strictement positive sur ]1 ; + infini

vrai.
En effet, ln(1) = 0 et la fonction ln est strictement croissante sur ]0 ; + infini

[.

$\text{D'où }\;\forall\,x\in\R, \;x>1\Longrightarrow\ln(x)>\ln(1) \\\phantom{\text{D'où }\;\forall\,x\in\R, \;}\boxed{x>1\Longrightarrow\ln(x)>0}$

Affirmation 5. : Si $\overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N}}$ est une suite arithmétique de raison r et de premier terme $\overset{{\white{.}}}{u_0}$ , alors pour tout n élément de

, $\overset{{\white{.}}}{u_n=u_0-nr.}$ fleche

faux.
La relation correcte est $\overset{{\white{.}}}{u_n=u_0\,{\red{+}}\,nr.}$

2 points

exercice 2

Affirmation 1. : Réponse A : $\lim\limits_{x\underset{<}{\to}2}\,\dfrac{1}{x-2}}$ est égale à ${\red{-\infty .}}$
Cet exemple est mentionné dans l'énoncé.

Affirmation 2. : Réponse B : $\lim\limits_{x\to+\infty}\,\dfrac{\ln x}{x}$ est égale à ${\red{0 .}}$
Croissances comparées (x croit plus vite que $\overset{{\white{.}}}{\ln(x)}$ ).

Affirmation 3. : Réponse A : La dérivée sur ]0 ; + infini

[ de la fonction $x\mapsto -3x+2-\ln(x)$ est la fonction ${\red{x\mapsto -3-\dfrac{1}{x} .}}$
$\left(\overset{}-3x+2-\ln(x)\right)'=(-3x)'+2'-\left(\overset{}\ln(x)\right)' \\\phantom{\left(\overset{}-3x+2-\ln(x)\right)'}=-3+0-\dfrac{1}{x} \\\phantom{\left(\overset{}-3x+2-\ln(x)\right)'}=-3-\dfrac{1}{x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\overset{}-3x+2-\ln(x)\right)'=-3-\dfrac{1}{x}}$

Affirmation 4. : Réponse C : Dans $\overset{{\white{.}}}{\R \times\R ,}$ l'ensemble des solutions du système d'équations $\left\lbrace\begin{matrix}\ln(x)-\ln(y)=-2\\2\ln(x)+\ln(y)=5\end{matrix}\right.$ est ${\red{\lbrace(\text{e},\text{e}^3)\rbrace.}}$

En effet, $\left\lbrace\begin{matrix}\ln(\text{e})-\ln(\text{e}^3)=1-3=-2\\2\ln(\text{e})+\ln(\text{e}^3)=2\times1+3=5\end{matrix}\right.$

Affirmation 5. : Réponse B : La somme $\overset{{\white{.}}}{u_0+u_1+\cdots+u_{121}}$ d'une suite arithmétique $\overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N}}$ est égale à $\overset{{\white{.}}}{{\red{122\times\dfrac{u_0+u_{121}}{2}.}}}$
En effet, la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule : $\overset{{\white{.}}}{\text{nombre de termes}\times\dfrac{\text{premier terme + dernier terme}}{2}.}$

5 points

exercice 3

On considère la suite géométrique $\overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N}}$ définie par : $\overset{{\white{.}}}{u_0=10}$ et pour tout entier naturel n , $u_{n+1}=0,7\,u_n.$

${\red{1.\;}}\;u_1=0,7u_0=0,7\times10\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_1=7} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{{\red{1.\;}}\;}u_2=0,7u_1=0,7\times7\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=4,9}}$

2. Pour tout entier naturel n , $u_{n+1}=0,7\,u_n.$
Chaque terme de la suite, à partir du deuxième, est égal au précédent multiplié par 0,7.
Par conséquent, la raison q de la suite géométrique $\overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N}}$ est q = 0,7.

3. a) Le terme général de la suite $\overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N}}$ est donné par $\overset{{\white{.}}}{u_n=u_0\times q^n}$
Or u ₀ = 10 et q = 0,7.

Dès lors, pour tout entier naturel n , $\boxed{u_n=10\times(0,7)^n}\,.$

3. b) Déterminons le plus petit entier naturel n tel que : $\overset{{\white{.}}}{u_n\le0,14.}$

$u_n\le0,14\quad\Longleftrightarrow\quad10\times(0,7)^n\le0,14. \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n\le0,14\quad}\Longleftrightarrow\quad(0,7)^n\le\dfrac{0,14}{10}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n\le0,14\quad}\Longleftrightarrow\quad(0,7)^n\le0,014} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{u_n\le0,14\quad}\Longleftrightarrow\quad\ln\left(\overset{}(0,7)^n\right)\le\ln(0,014)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_n\le0,14\quad}\Longleftrightarrow\quad n\times\ln(0,7)\le\ln(0,014)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{u_n\le0,14\quad}\Longleftrightarrow\quad n\ge\dfrac{\ln(0,014)}{\ln(0,7)}}\quad(\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,7)<0) \\\\\text{Or }\dfrac{\ln(0,014)}{\ln(0,7)}\approx11,968.$
D'où le plus petit entier naturel n vérifiant l'inégalité est n = 12.

4. Déterminons la somme $\overset{{\white{.}}}{S=u_0+u_1+\cdots+u_{2020}.}$

$S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=10\times\dfrac{1-(0,7)^{2021}}{1-0,7}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=10\times\dfrac{1-(0,7)^{2021}}{0,3}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=\dfrac{10}{0,3}\times\left(\overset{}1-(0,7)^{2021}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{S=\dfrac{100}{3}\times\left(\overset{}1-(0,7)^{2021}\right)}$

6 points

exercice 4

On considère la fonction f définie sur

par $\overset{{\white{.}}}{f(x)=2+x-\text{e}^x.}$

1. Nous devons déterminer la limite de f en - infini

.

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{x}=0\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left(2+x-\text{e}^{x}\right)=-\infty \\\phantom{WWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}$

2. On admet que pour tout x différent de 0, $\overset{{\white{.}}}{f(x)=x\left(\dfrac{2}{x}+1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\right).}$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\phantom{WWWWWWWWWWXW}\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{x}=0\phantom{WWWWWWWWWWXW}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\text{e}^{x}}{x}=+\infty\quad(\text{croissances comparées})\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left[x\left(\dfrac{2}{x}+1-\dfrac{\text{e}^x}{x}\right)\right]=-\infty$

$\text{D'où }\;\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty}$

3. Montrons que la droite ( deltamaj

) d'équation y = 2 + x est une asymptote à (C ) en - infini

.

$\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(2+x)]=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[(2+x-\text{e}^x)-(2+x)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(x-2)]}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(2+x-\text{e}^x-2-x\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]}=\lim\limits_{x\to-\infty}(-\text{e}^x)=0} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-(2+x)]=0}$

Par conséquent, la droite () d'équation y = 2 + x est une asymptote à (C ) en -.

${\red{\text{4. a) }}}\;f'(x)=(2+x-\text{e}^x)' \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\;f'(x)}=2'+x'-(\text{e}^x)' \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\;f'(x)}=0+1-\text{e}^x \\\phantom{{\red{\text{4. a) }}}\;f'(x)}=1-\text{e}^x \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;f'(x)=1-\text{e}^x}$

${\red{\text{4. b) }}}\;\bullet{\phantom{w}}x<0\Longleftrightarrow\text{e}^x<\text{e}^0 \\\phantom{{\red{\text{4. b)x.}}}\;x<0xx}\Longleftrightarrow\text{e}^x<1 \\\phantom{{\red{\text{4. b)x.}}}\;x<0xx}\Longleftrightarrow1-\text{e}^x>0 \\\phantom{{\red{\text{4. b)x.}}}\;x<0xx}\Longleftrightarrow f'(x)>0 \\\\ \phantom{ddddd}\bullet{\phantom{w}}x>0\Longleftrightarrow\text{e}^x>\text{e}^0 \\\phantom{ddddddx<0xx}\Longleftrightarrow\text{e}^x>1 \\\phantom{ddddddx<0xx}\Longleftrightarrow1-\text{e}^x<0 \\\phantom{ddddddx<0xx}\Longleftrightarrow f'(x)<0$

D'où,

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ f' (x ) > 0 sur $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,0[}$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ f' (x ) < 0 sur $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

Par conséquent,

${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ la fonction f est croissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;\,0[}$
${\white{ww}}\bullet{\white{w}}$ la fonction f est décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}$

4. c) Tableau de variation de f .

${\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&1&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&-\infty\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

5. La fonction f est définie, continue et strictement décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{]1,1\,;\,1,2[.}$

$\left\lbrace\begin{matrix}f(1,1)\approx0,096>0 \\f(1,2)\approx-0,12<0\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}f(1,1)\times f(1,2)<0$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une solution unique dans l'intervalle ]1,1 ; 1,2[.

6. a) Tableau complété.

${\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline &&&&&&&\\ x&-3&-2,5&-2&-1&0&1&2\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&\\\text{Arrondi d'ordre 1 de }f(x)&{\red{-1,0}}&-0,6&{\red{-0,1}}&{\red{0,6}}&1&{\red{0,3}}&-3,4\\&&&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

6. b) Représentation graphique de ( deltamaj

) et (C ) dans le plan muni du repère (O,I,J).

5 points

exercice 5

Déterminons d'abord s'il y a une bonne corrélation entre les deux variables x et y .

Les moyennes de x et de y sont données par : :

$\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=\dfrac{24+24+26+28+29+32+33+34}{8}\\\overset{{\white{.}}}{\overline{y}=\dfrac{8+9+7+13+10+17+14+16}{8}\phantom{ww}}\end{matrix}\right.\phantom{www}\Longleftrightarrow\phantom{www}\left\lbrace\begin{matrix}\overline{x}=28,75\\\overline{y}=11,75\end{matrix}\right.$

Tableau statistique complété.

$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &&&&&&&&\\ x_i&\phantom{i} 24\phantom{i} & \phantom{v}24\phantom{v} & 26 & 28 & 29 & 32 & 33 & 34\\&&&&&&&& \\ \hline& & & & & & &&& x_i-\overline{x} & -4,75 &-4,75& -2,75 &-0,75 & 0,25& 3,25 &4,25 &5,25\\&&&&&&&&\\ \hline& & & & & & &&& y_i & 8 & 9& 7 &13 &10& 17 &14 &16\\&&&&&&&&\\ \hline& & & & & & &&& y_i-\overline{y} & -3,75 & -2,75& -4,75 &1,25 & -1,75& 5,25 &2,25 &4,25\\&&&&&&&& \\\hline \end{array}$

$\bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=\dfrac{1}{8}\,[-4,75\times(-3,75)-4,75\times(-2,75)+\cdots+5,25\times4,25] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Covariance : }\text{cov}(x;y)}=11,4375 \\\\ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8(x_i-\overline{x})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(t)}=\dfrac{1}{8}\,[(-4,75)^2+(-4,75)^2+\cdots+5,25^2] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(x)}=13,6875 \\\\\phantom{\bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }}V(y)=\dfrac{1}{8}\,\sum\limits_{i=1}^8(y_i-\overline{y})^2 \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=\dfrac{1}{8}\,[(-3,75)^2+(-2,75)^2+\cdots+4,25^2] \\\\\phantom{ \bullet{\phantom{w}}\text{Variance : }V(y)}=12,4375$

D'où le coefficient de corrélation est $\overset{{\white{.}}}{r=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{\sqrt{V(x)\times V(y)}}=\dfrac{11,4375}{\sqrt{13,6875\times 12,4375}}\approx0,8766.}$

Puisque 0,87 < r < 1, les deux variables x et y présentent une bonne corrélation.

Déterminons ensuite par la méthode des moindres carrés une équation de la droite D de régression de y en x .
Une équation de la droite D est de la forme $\overset{{\white{.}}}{y=ax+b}$ où $\overset{{\white{.}}}{a=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{V(x)}}$ et $\overset{{\white{.}}}{b=\overline{y}-a\overline{x}.}$

$\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{V(x)}=\dfrac{11,4375}{13,6875}\approx0,84\phantom{wwwwwww}\\\\b=\overline{y}-a\overline{x}=11,75-\dfrac{11,4375}{13,6875}\times28,75\approx-12,27\end{matrix}\right.$

Par conséquent, une équation de la droite D de régression de y en x est : y = 0,84x - 12,27.

Selon ce modèle, donnons une estimation des gains réalisés en millions de francs par la coopérative pour une production de 38 tonnes.

Dans l'équation de D, remplaçons x par 38 et calculons la valeur de y .
y = 0,84 multiplie

38 - 12,27 = 19,65.

Nous en déduisons que pour une production de 38 tonnes, les gains réalisés s'élèvent à 19,65 millions de francs, soit un gain supérieur aux 19 millions de francs escomptés.
Par conséquent, la coopérative peut réaliser son projet.

Publié par malou le 23-03-2022

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