Question 1 : Réponse C : La valeur de u3 est
En effet,
Question 2 : Réponse C : La suite (un ) est non monotone.
En effet, en utilisant les résultats de la question 1, nous obtenons :
Donc la suite (un ) n'est ni croissante, ni décroissante.
Par conséquent, la suite (un ) n'est pas monotone.
Question 3 : Réponse B : La suite (vn ) est géométrique.
En effet, pour tout entier naturel n ,
Par conséquent, la suite (vn ) est une suite géométrique de raison
Question 4 : Réponse A : Le terme général de (vn ) est
Nous avons montré dans la question 3 que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison
Le premier terme de cette suite est
Le terme général de la suite (vn ) est donné par la relation :
D'où le terme général de la suite (vn ) est
Question 5 : Réponse A : La valeur de Sn est
En effet,
Question 6 : Réponse A : La suite (vn ) converge vers 0.
En effet,
5 points
exercice 2
Pour tout nombre complexe z, on pose :
1. b) Nous devons déterminer les complexes a et b tels que
Par conséquent, et
1. c) Nous devons résoudre dans , l'équation P (z ) = 0.
D'où, l'ensemble des solutions de l'équation P (z ) = 0 est
2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé , on considère les points A, B et C d'affixes respectives :
2. a) Nous devons déterminer la nature du triangle ABC.
La représentation graphique du triangle ABC nous permet de conjecturer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.
Démontrons cette conjecture.
Par conséquent, le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.
2. b) Soit le point D d'affixe zD = 3.
Nous devons déterminer la nature du quadrilatère ABCD.
La représentation graphique du quadrilatère ABCD nous permet de conjecturer que ce quadrilatère ABCD est un carré.
Démontrons cette conjecture.
Démontrons que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Or
Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
Démontrons que le quadrilatère ABCD est un losange.
Nous avons montré dans la question 2. a) que BC = BA.
Or nous savons que si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.
Le parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs [BC] et [BA] de même longueur.
Donc le quadrilatère ABCD est un losange.
Démontrons que le quadrilatère ABCD est un carré.
Nous avons montré dans la question 2. a) que le triangle ABC est un triangle rectangle en B.
Or nous savons que si un losange a un angle droit alors c'est un carré.
Le losange ABCD a un angle droit en B.
Donc le quadrilatère ABCD est un carré.
Par conséquent, la nature du quadrilatère ABCD : le quadrilatère ABCD est un carré.
3. Pour tout nombre complexe z 2 + 3i, on pose :
3. a) Nous devons déterminer et construire l'ensemble 1 des points M d'affixe z tels que
Il s'ensuit que les points M sont équidistants des points A et C et donc ces points appartiennent à la médiatrice du segment [AC].
Par conséquent, l'ensemble 1 est la médiatrice du segment [AC].
Voir la construction de 1 à la question 2. a).
3. b) Nous devons déterminer et construire l'ensemble 2 des points M d'affixe z tels que
Donc le triangle MAC est rectangle en M pour tout M différent de A et de C.
Par conséquent, l'ensemble 2 est le cercle de diamètre [AC] privé des points A et C..
Voir la construction de 2 à la question 2. a).
3. c) Nous devons justifier que les ensembles 1 et 2 passent par les points B et D.
Le quadrilatère ABCD est un carré.
Donc BA = BC et DA = DC.
Dans ce cas, les points B et D appartiennent à la médiatrice du segment [AC].
D'où les points B et D appartiennent à l'ensemble 1.
D'où les points B et D appartiennent à l'ensemble 2.
4. Pour tout entier n, on pose Soit Mn le point d'affixe zn et
4. a) Nous devons déterminer les valeurs de n pour lesquelles Mn appartient à l'axe des abscisses.
Or pour que n soit un entier naturel, il faut que k soit un entier naturel multiple de 3.
Il existe donc un entier naturel k' tel que k = 3k' .
Dans ce cas, n = 4k' avec k'
Par conséquent, Mn appartient à l'axe des abscisses pour les valeurs de n multiples de 4.
4. b) Nous devons montrer que (dn ) est une suite géométrique.
Par définition de dn , nous obtenons :
Par conséquent, (dn ) est une suite géométrique de raison
De plus, nous savons que .
Dès lors,
4. c) Nous devons exprimer en fonction de n la valeur de la somme
Puisque , la suite (OMn ) est une suite géométrique de raison
Il s'ensuit que Ln est la somme de n termes de cette suite géométrique.
Dès lors,
5,5 points
exercice 3
Soit f la fonction numérique définie sur par
1. a) Nous devons montrer que
Nous devons ensuite calculer
Dès lors, la courbe (C ) présente une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en -.
Nous déduisons que la courbe (C ) admet, en +, une asymptote horizontale () d'équation y = 1.
2. La fonction f est dérivable sur .
L'exponentielle est strictement positive sur .
Donc le signe de f' (x ) est le signe de (-x - 1).
Tableau de signes de la dérivée f' (x ) et de variations de f .
3. Nous devons montrer que l'équation admet une unique solution dans .
La fonction f est continue et dérivable sur .
Sur l'intervalle
La fonction f est définie, continue et strictement croissante sur l'intervalle et
D'où
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution notée dans l'intervalle
Donc
Dès lors,
Sur l'intervalle
La fonction f est définie, continue et strictement décroissante sur l'intervalle et
D'où f(x) > 0 sur l'intervalle et donc l'équation f (x ) = 0 ne possède pas de solution dans l'intervalle
Par conséquent, l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution dans .
4. a) Nous devons montrer que le point I(0 ; 3) est un point d'inflexion pour la courbe (C ).
La fonction f' est dérivable sur .
Pour tout x réel,
Etudions le signe de
Pour tout x réel, e-x > 0.
Donc le signe de est le signe de x .
D'où change de signe au voisinage de 0 et seulement au voisinage de 0.
Par conséquent, le point I(0 ; 3) est le seul point d'inflexion de la courbe (C ).
Déterminons une équation de la tangente T à (C ) en ce point d'inflexion I(0 ; 3).
L'équation de la tangente T au point I(0 ; 3) est de la forme : , soit de la forme .
Par conséquent, une équation de la tangente T à (C ) en I(0 ; 3) est
4. a) Représentation graphique de la courbe (C ) et de la tangente T.
5. Soit S l'aire, en cm2, de la partie du plan fermée par la courbe (C ) et les axes de coordonnées.
5. a) Nous devons donc calculer l'aire S du domaine plan limité par la courbe (C ) et les droites d'équations respectives : y = 0, x = et x = 0.
Nous avons montré dans la question 3. que -2,2 < < -2.
La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [ ; 0].
L'unité graphique est 1 cm.
D'où l'aire S se déterminera par :
Nous devons en déduire une primitive F de f sur .
Une primitive F de f sur est définie par :
En effet,
Par conséquent, une primitive F de f sur est définie par :
5. c) Nous avons montré dans la question 3. que l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution dans .
Nous obtenons ainsi :
Nous devons en déduire la valeur de S.
6,5 points
exercice 4
Soit f la fonction définie sur l'intervalle I = ]0 ; +[ par et soit sa courbe représentative.
1. On considère la fonction g définie sur I par
1. a) La fonction g est dérivable sur l'intervalle I = ]0 ; +[.
Étudions le signe de g' (x ) sur l'intervalle I = ]0 ; +[.
D'où le signe de g' (x ) est le signe de (x - 1).
D'où le signe de g' (x ) sur l'intervalle I = ]0 ; +[ :
g' (x ) < 0 si g' (x ) > 0 si
L'étude du signe de g' (x ) sur l'intervalle I = ]0 ; +[ nous permet de déduire que :
la fonction g est décroissante sur l'intervalle I = ]0 ; 1[ la fonction g est croissante sur l'intervalle I = ]1 ; +[ [/tex]
Par définition de la croissance d'une fonction, nous obtenons :
Le tableau partiel de variation de g sur I nous illustre ces résultats.
Par conséquent, la fonction g est positive sur I.
2. a) Montrons que
D'où la droite d'équation x = 0 est une asymptote verticale à la courbe .
Montrons que
D'où la courbe n'admet pas d'asymptote horizontale en +.
2. b) Montrons que la droite d'équation y = x - 2 est une asymptote de .
Par conséquent, la droite d'équation y = x - 2 est une asymptote verticale à la courbe en +.
Nous devons étudier leur position relative.
Étudions le signe de , soit le signe de sur l'intervalle I = ]0 ; +[.
Nous savons que
Dès lors, le signe de est le signe de ln x.
D'où,
Par conséquent,
Si , alors la courbe (C ) est en dessous de la droite . Si , alors la courbe (C ) est au-dessus de la droite . Si , alors la courbe (C ) et la droite ont un point commun.
3. a) La fonction f est dérivable sur l'intervalle I = ]0 ; +[.
3. b) Pour tout x ]0 ; +[, x2 > 0.
De plus, nous avons montré dans la question 1. b) que g est positive sur I.
Par conséquent, la dérivée f' est positive sur I.
Tableau de variation de la fonction f :
3. c) Montrer que la courbe coupe l'axe des abscisses en un seul point A d'abscisse revient à montrer que montrer que l'équation f (x ) = 0 admet une solution unique dans l'intervalle ]0 ; +[.
La fonction f est définie, continue et strictement croissante sur l'intervalle et
D'où
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution dans l'intervalle
Par conséquent, la courbe coupe l'axe des abscisses en un seul point A d'abscisse .
4. a) Une équation de la tangente T à au point d'abscisse e est de la forme :
Par conséquent, une équation de la tangente T à au point d'abscisse e est : , soit
4. b) Représentation graphique de la courbe , de l'asymptote oblique et de la tangente T dans le même repère .
4. c) Pour tout réel m ,
Nous en déduisons que discuter graphiquement suivant les valeurs du paramètre réel m le nombre de solutions de l'équation revient à déterminer graphiquement le nombre de points d'intersection de la courbe et des droites d'équations
Lorsque m parcourt l'ensemble des réels, les droites d'équations sont parallèles à la droite d'équation y = x et se distinguent par leurs ordonnées à l'origine m .
En utilisant la représentation graphique ci-dessus, nous observons que :
Si , alors la courbe et les droites d'équations n'ont aucun point commun.
Si , alors la courbe et la droite d'équation ont un seul point commun.
Si , alors la courbe et les droites d'équations ont deux points communs.
Si , alors la courbe et la droite d'équation ont un seul point commun.
Par conséquent,
Si , alors l'équation n'admet pas de solution. Si , alors l'équation admet une seule solution. Si , alors l'équation admet deux solutions. Si , alors l'équation admet une seule solution.
5. a) La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +[. et .
D'où
Nous en déduisons que la fonction f réalise une bijection de l'intervalle I = ]0 ; +[ dans l'intervalle J = ]- ; +[ = .
5. c) Représentation graphique des courbes et '
Les courbes et ' sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x .
Voir question 4. b).
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-\dfrac{1}{3}u_{n+1}} \\\overset{\phantom{.}}{\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{2}{3}u_{n+1}-\dfrac{2}{9}\,u_n} \\\overset{\phantom{.}}{\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{2}{3}\left(u_{n+1}-\dfrac{1}{3}\,u_n\right)} \\\overset{\phantom{.}}{\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{2}{3}\,v_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\N,\,v_{n+1}=\dfrac{2}{3}\,v_n})
^n}}.})
^n}\,.})
^n}}.})
![S_n=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\\\phantom{S_n}=2\times\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{2}{3}} =2\times\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{3}}=6\times\left[1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right] \\\\\phantom{S_n}=6-6\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right]=6-6\times\dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\right]=6-4\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{S_n=6-4\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S_n=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\\\phantom{S_n}=2\times\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{2}{3}} =2\times\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{3}}=6\times\left[1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right] \\\\\phantom{S_n}=6-6\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right]=6-6\times\dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\right]=6-4\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{S_n=6-4\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}})
^n=0\quad\text{car }0<\dfrac{2}{3}<1 \\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}2\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0})
=z^3-(1+4\text{i})z^2-3z-1-8\text{i})
 }}}\;P(-\text{i})=(-\text{i})^3-(1+4\,\text{i})\times(-\text{i})^2-3\times(-\text{i})-1-8\,\text{i} \\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}\;P(-\text{i})}=-\text{i}^3-(1+4\,\text{i})\times\text{i}^2+3\times\text{i}-1-8\,\text{i} \\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}\;P(-\text{i})}=\text{i}-(1+4\,\text{i})\times(-1)+3\,\text{i}-1-8\,\text{i} \\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}\;P(-\text{i})}=\text{i}+1+4\,\text{i}+3\,\text{i}-1-8\,\text{i} \\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}\;P(-\text{i})}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(-\text{i})=0})
=(z+\text{i})(z^2+az+b).)
=(z+\text{i})(z^2+az+b) \\\phantom{P(z)}=z^3+az^2+bz+\text{i}z^2+\text{i}az+\text{i}b \\\phantom{P(z)}=z^3+(a+\text{i})z^2+(b+\text{i}a)z+\text{i}b \\\\\text{Dès lors, }\;z^3-(1+4\text{i})z^2-3z-1-8\text{i}=z^3+(a+\text{i})z^2+(b+\text{i}a)z+\text{i}b \\\\\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-(1+4\text{i})=a+\text{i}\\-1-8\text{i}=\text{i}b \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a+\text{i}=-1-4\text{i}\\b=-\dfrac{1}{\text{i}}-\dfrac{8\text{i}}{\text{i}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1-5\text{i}\\b=\text{i}-8\end{matrix}\right.)
\\b=-8+\text{i}\end{matrix}\right.})
et =(z+\text{i})\left(\overset{}{z^2-(1+5\text{i})z-8+\text{i}}\right).)
, l'équation P (z ) = 0.=0\Longleftrightarrow(z+\text{i})\left(\overset{}{z^2-(1+5\text{i})z-8+\text{i}}\right)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(z)=0}\Longleftrightarrow z+\text{i}=0\quad\text{ou}\quad z^2-(1+5\text{i})z-8+\text{i}=0} \\\\\bullet\quad z+\text{i}=0\quand\Longleftrightarrow\quad \boxed{z=-\text{i}})
z-8+\text{i}=0 \\\\\phantom{\bullet\quad }\underline{\text{Discriminant}}:\Delta=(1+5\text{i})^2-4\times1\times(-8+\text{i}) \\\phantom{\bullet\quad \underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=1+10\text{i}-25+32-4\text{i} \\\phantom{\bullet\quad \underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=8+6\text{i} \\\phantom{\bullet\quad \underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=9+6\text{i}-1 \\\phantom{\bullet\quad \underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=(3+\text{i})^2 \\\\\phantom{\bullet\quad }\underline{\text{Solutions}}:z_1=\dfrac{1+5\text{i}+3+\text{i}}{2}=\dfrac{4+6\text{i}}{2}=2+3\text{i}\Longrightarrow \boxed{z_1=2+3\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\quad \underline{\text{Solutions}}:}z_2=\dfrac{1+5\text{i}-3-\text{i}}{2}=\dfrac{-2+4\text{i}}{2}=-1+2\text{i}\Longrightarrow \boxed{z_2=-1+2\text{i}})
)
, on considère les points A, B et C d'affixes respectives : 
}{-\text{i}-(-1+2\text{i})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}}=\dfrac{2+3\text{i}+1-2\text{i}}{-\text{i}+1-2\text{i}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}}=\dfrac{3+\text{i}}{1-3\text{i}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}}=\dfrac{\text{i}(1-3\text{i})}{1-3\text{i}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}}=\text{i}})
![\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=\text{i}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\left|\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right|=1\\\\\arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwww}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}|z_C-z_B|=|z_A-z_B|\\\\\widehat{\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)}\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwww}\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}BC=BA\\ (BA)\perp(BC)\end{matrix}\right.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=\text{i}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\left|\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right|=1\\\\\arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwww}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}|z_C-z_B|=|z_A-z_B|\\\\\widehat{\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)}\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwww}\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}BC=BA\\ (BA)\perp(BC)\end{matrix}\right.})
Démontrons que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
2 + 3i, on pose : =\dfrac{z+\text{i}}{z-2-3\text{i}}.)
1 des points M d'affixe z tels que |=1.)
|=1\quad\Longrightarrow\quad\left|\dfrac{z+\text{i}}{z-2-3\text{i}}\right|=1 \\\\\phantom{|f(z)|=1\quad}\Longrightarrow\quad\left|\dfrac{z-(-\text{i})}{z-(2+3\text{i})}\right|=1 \\\\\phantom{|f(z)|=1\quad}\Longrightarrow\quad\left|\dfrac{z-z_A}{z-z_C}\right|=1 \\\\\phantom{|f(z)|=1\quad}\Longrightarrow\quad|z-z_A|=|z-z_C| \\\\\phantom{|f(z)|=1\quad}\Longrightarrow\quad \boxed{AM=CM})
![\arg\left[\overset{}{f(z)}\right]=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\arg\left[\overset{}{f(z)}\right]=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi].)
![\arg\left[\overset{}{f(z)}\right]=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]\Longleftrightarrow\arg\left(\dfrac{z+\text{i}}{z-2-3\text{i}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWiW}\Longleftrightarrow\arg\left(\dfrac{z-z_A}{z-z_C}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWiW}\Longleftrightarrow(\widehat{\overrightarrow{CM},\overrightarrow{AM})}=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\arg\left[\overset{}{f(z)}\right]=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]\Longleftrightarrow\arg\left(\dfrac{z+\text{i}}{z-2-3\text{i}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWiW}\Longleftrightarrow\arg\left(\dfrac{z-z_A}{z-z_C}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWiW}\Longleftrightarrow(\widehat{\overrightarrow{CM},\overrightarrow{AM})}=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]})
=\dfrac{z_B+\text{i}}{z_B-2-3\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\dfrac{-1+2\text{i}+\text{i}}{-1+2\text{i}-2-3\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\dfrac{-1+3\text{i}}{-3-\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\dfrac{-\text{i}(-3-\text{i})}{-3-\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\bullet\;f(z_B)}=-\text{i}} \\\\\Longrightarrow\boxed{B\in\Gamma_2})
=\dfrac{z_D+\text{i}}{z_D-2-3\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\dfrac{3+\text{i}}{3-2-3\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\dfrac{3+\text{i}}{1-3\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\dfrac{\text{i}(1-3\text{i})}{1-3\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\text{i}} \\\\\Longrightarrow\boxed{D\in\Gamma_2})
, on pose ^n.})
Soit Mn le point d'affixe zn et 
^n=(-1+2\text{i}-\text{i})^n\Longrightarrow \boxed{z_n=(-1+\text{i})^n})
\Longleftrightarrow\arg(z_n)=k\pi\quad(k\in\Z\;\text{et}\; n\in\N) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M_n\in(Ox)}\Longrightarrow\arg\left(\overset{}(-1+\text{i})^n\right)=k\pi\quad(k\in\Z\;\text{et}\; n\in\N)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M_n\in(Ox)}\Longrightarrow n\times\arg(-1+\text{i})=k\pi\quad(k\in\Z\;\text{et}\; n\in\N)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M_n\in(Ox)}\Longrightarrow n\times\dfrac{3\pi}{4}=k\pi\quad(k\in\Z\;\text{et}\; n\in\N)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{M_n\in(Ox)}\Longrightarrow n\times\dfrac{3}{4}=k\quad(k\in\Z\;\text{et}\; n\in\N)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{M_n\in(Ox)}\Longrightarrow n=\dfrac{4k}{3}\quad(k\in\Z\;\text{et}\; n\in\N)})
^n|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{d_n}=|-1+\text{i}|^n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{d_n}=\left(\sqrt{(-1)^2+1^2}\right)^n} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{d_n}=\left(\sqrt{1+1}\right)^n} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{d_n}=\left(\sqrt{2}\right)^n} \\\\\text{D'où }\;d_{n+1}=\left(\sqrt{2}\right)^{n+1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;d_{n+1}}=\sqrt{2}\times\left(\sqrt{2}\right)^{n}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;d_{n+1}}=\sqrt{2}\times d_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,n\in\N,\;d_{n+1}=\sqrt{2}\times d_n})
.^n}})
, la suite (OMn ) est une suite géométrique de raison ![L_n=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\\ \phantom{L_n}=\sqrt{2}\times\dfrac{1-(\sqrt{2})^n}{1-\sqrt{2}} \\\\ \phantom{L_n}=\dfrac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\left(\overset{}1-(\sqrt{2})^n\right) \\\\ \phantom{L_n}=\dfrac{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}\left(\overset{}1-(\sqrt{2})^n\right) \\\\ \phantom{L_n}=\dfrac{\sqrt{2}+2}{1-2}\left(\overset{}1-(\sqrt{2})^n\right) \\\\ \phantom{L_n}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{-1}\left(\overset{}1-(\sqrt{2})^n\right) \\\\ \Longrightarrow\boxed{L_n=(2+\sqrt{2})\left[\overset{}(\sqrt{2})^n-1\right]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?L_n=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\\ \phantom{L_n}=\sqrt{2}\times\dfrac{1-(\sqrt{2})^n}{1-\sqrt{2}} \\\\ \phantom{L_n}=\dfrac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\left(\overset{}1-(\sqrt{2})^n\right) \\\\ \phantom{L_n}=\dfrac{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}\left(\overset{}1-(\sqrt{2})^n\right) \\\\ \phantom{L_n}=\dfrac{\sqrt{2}+2}{1-2}\left(\overset{}1-(\sqrt{2})^n\right) \\\\ \phantom{L_n}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{-1}\left(\overset{}1-(\sqrt{2})^n\right) \\\\ \Longrightarrow\boxed{L_n=(2+\sqrt{2})\left[\overset{}(\sqrt{2})^n-1\right]})
par =1+(x+2)\text{e}^{-x}.})
=-\infty.})
![\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(x+2)=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}\underset{{\red{(X=-x)}}}{=}\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left[1+(x+2)\text{e}^{-x}\right]=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(x+2)=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}\underset{{\red{(X=-x)}}}{=}\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left[1+(x+2)\text{e}^{-x}\right]=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty})
}{x}.)
![\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1+(x+2)\text{e}^{-x}}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{(x+2)\text{e}^{-x}}{x}\right) \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[\dfrac{1}{x}+\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\text{e}^{-x}\right] \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)=1+0=1\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}\underset{{\red{(X=-x)}}}{=}\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left[\dfrac{1}{x}+\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\text{e}^{-x}\right]=+\infty](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1+(x+2)\text{e}^{-x}}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{(x+2)\text{e}^{-x}}{x}\right) \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[\dfrac{1}{x}+\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\text{e}^{-x}\right] \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)=1+0=1\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}\underset{{\red{(X=-x)}}}{=}\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left[\dfrac{1}{x}+\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\text{e}^{-x}\right]=+\infty)
}{x}=+\infty})
. }}}f(x)=1+(x+2)\text{e}^{-x} \\\phantom{{\red{\text{1. b) }}}f(x)}=1+x\,\text{e}^{-x}+2\,\text{e}^{-x} \\\phantom{{\red{\text{1. b) }}}f(x)}=1+\dfrac{x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{2}{\text{e}^{x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=1+\dfrac{x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{2}{\text{e}^{x}}})
![\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^x}=0\quad(\text{croissances comparées})\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{\text{e}^x}=0\phantom{WWWWWWWWWW}\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left[1+\dfrac{x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{2}{\text{e}^{x}}\right]=1](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^x}=0\quad(\text{croissances comparées})\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{\text{e}^x}=0\phantom{WWWWWWWWWW}\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left[1+\dfrac{x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{2}{\text{e}^{x}}\right]=1)
=1})
) d'équation y = 1.![f'(x)=1'+[(x+2)\text{e}^{-x}]' \\\phantom{f'(x)}=0+(x+2)'\times\text{e}^{-x}+(x+2)\times(\text{e}^{-x})' \\\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{-x}+(x+2)\times(-\text{e}^{-x}) \\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}-(x+2)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=[1-(x+2)]\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=[1-x-2]\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=(-x-1)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-x-1)\,\text{e}^{-x}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x)=1'+[(x+2)\text{e}^{-x}]' \\\phantom{f'(x)}=0+(x+2)'\times\text{e}^{-x}+(x+2)\times(\text{e}^{-x})' \\\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{-x}+(x+2)\times(-\text{e}^{-x}) \\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}-(x+2)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=[1-(x+2)]\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=[1-x-2]\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=(-x-1)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-x-1)\,\text{e}^{-x}})
=1+(-1+2)\text{e}^{1}\\=1+\text{e}\\\approx3,718\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&-1&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\-x-1&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&1+\text{e}\approx3,7&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&1\\ \hline \end{array}\end{matrix})
=0})
admet une unique solution 
dans 
Sur l'intervalle ![\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;-1[.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;-1[.})
=-\infty})
et =1+\text{e}\approx3,7.} )
![\overset{{\white{.}}}{ 0\in f(\,]-\infty\,;-1[\,).}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{ 0\in f(\,]-\infty\,;-1[\,).})
dans l'intervalle \approx-0,805<0 \\\\f(-2)=1>0\end{matrix}\right.)
\times f(-2)<0.)
![\overset{{\white{.}}}{]-1\,;\,+\infty[.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{]-1\,;\,+\infty[.})
=1+\text{e}\approx3,7>0})
et =1>0}.} )
![\overset{{\white{.}}}{]-1\,;\,+\infty[}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{]-1\,;\,+\infty[})
et donc l'équation f (x ) = 0 ne possède pas de solution dans l'intervalle =(-x-1)'\times\text{e}^{-x}+(-x-1)\times(\text{e}^{-x})' \\\phantom{f''(x)}=(-1)\times\text{e}^{-x}+(-x-1)\times(-\text{e}^{-x}) \\\phantom{f''(x)}=-\text{e}^{-x}+(x+1)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f''(x)}=-\text{e}^{-x}+x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x} \\\phantom{f''(x)}=x\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f''(x)=x\,\text{e}^{-x}})
.)
)
est le signe de x .&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix})
(x-0) + 3)
, soit de la forme x + 3)
.=(-x-1)\,\text{e}^{-x}\quad\Longrightarrow\quad f'(0)=(-1)\times\text{e}^{0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f'(x)=(-x-1)\,\text{e}^{-x}\quad}\Longrightarrow\quad \boxed{f'(0)=-1}})
\,\text d x\end{aligned}.)
![{\red{\text{5. b) }}}\;h(x)=-(x+3)\,\text{e}^{-x}\Longrightarrow h'(x)=-[(x+3)\,\text{e}^{-x}]' \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[(x+3)'\times\text{e}^{-x}+(x+3)\times(\text{e}^{-x})'] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[1\times\text{e}^{-x}+(x+3)\times(-\text{e}^{-x})] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[\text{e}^{-x}-(x+3)\,\text{e}^{-x}] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[(1-x-3)\,\text{e}^{-x}] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[(-x-2)\,\text{e}^{-x}] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=(x+2)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{h'(x)=(x+2)\,\text{e}^{-x}} \\\\\text{Dès lors, }\,\forall\,x\in\R,\,f(x)=1+(x+2)\text{e}^{-x}\Longleftrightarrow \boxed{f(x)=1+h'(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{\text{5. b) }}}\;h(x)=-(x+3)\,\text{e}^{-x}\Longrightarrow h'(x)=-[(x+3)\,\text{e}^{-x}]' \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[(x+3)'\times\text{e}^{-x}+(x+3)\times(\text{e}^{-x})'] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[1\times\text{e}^{-x}+(x+3)\times(-\text{e}^{-x})] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[\text{e}^{-x}-(x+3)\,\text{e}^{-x}] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[(1-x-3)\,\text{e}^{-x}] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[(-x-2)\,\text{e}^{-x}] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=(x+2)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{h'(x)=(x+2)\,\text{e}^{-x}} \\\\\text{Dès lors, }\,\forall\,x\in\R,\,f(x)=1+(x+2)\text{e}^{-x}\Longleftrightarrow \boxed{f(x)=1+h'(x)})
=x+h(x))
=(x+h(x))' \\\phantom{F\,'(x)}=x'+h'(x) \\\phantom{F\,'(x)}=1+h'(x) \\\phantom{F\,'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\,F\,'(x)=f(x)})
=x-(x+3)\,\text{e}^{-x}}\,.)
=0\quad\Longleftrightarrow\quad1+(\alpha+2)\text{e}^{-\alpha}=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad(\alpha+2)\text{e}^{-\alpha}=-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\text{e}^{-\alpha}=\dfrac{-1}{\alpha+2}}})
![S=\begin{aligned}\int\nolimits_{\alpha}^{0} f(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{F(x)}\right]_{\alpha}^{0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=\left[\overset{}{x-(x+3)\,\text{e}^{-x}}\right]_{\alpha}^{0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=\left[\overset{}{(0-(0+3)\,\text{e}^{0}})-(\alpha-(\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha})\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-3-\alpha+(\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)+(\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)(1-\text{e}^{-\alpha})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)\left(1-\dfrac{-1}{\alpha+2}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)\left(1+\dfrac{1}{\alpha+2}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)\left(\dfrac{\alpha+2+1}{\alpha+2}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)\left(\dfrac{\alpha+3}{\alpha+2}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{S=\dfrac{-(\alpha+3)^2}{\alpha+2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex? S=\begin{aligned}\int\nolimits_{\alpha}^{0} f(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{F(x)}\right]_{\alpha}^{0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=\left[\overset{}{x-(x+3)\,\text{e}^{-x}}\right]_{\alpha}^{0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=\left[\overset{}{(0-(0+3)\,\text{e}^{0}})-(\alpha-(\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha})\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-3-\alpha+(\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)+(\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)(1-\text{e}^{-\alpha})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)\left(1-\dfrac{-1}{\alpha+2}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)\left(1+\dfrac{1}{\alpha+2}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)\left(\dfrac{\alpha+2+1}{\alpha+2}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)\left(\dfrac{\alpha+3}{\alpha+2}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{S=\dfrac{-(\alpha+3)^2}{\alpha+2}})
=x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)})
et soit =x^2+2-2\ln x.)
![g'(x)=(x^2+2-2\ln x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2x+0-2\times\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2x-\dfrac{2}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2(x-\dfrac{1}{x})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=\dfrac{2(x^2-1)}{x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\;]0\;,\,+\infty[,\;g'(x)=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g'(x)=(x^2+2-2\ln x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2x+0-2\times\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2x-\dfrac{2}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2(x-\dfrac{1}{x})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=\dfrac{2(x^2-1)}{x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\;]0\;,\,+\infty[,\;g'(x)=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x}})
![\forall\,x\in\;]0\;,\,+\infty[,\quad\dfrac{2(x+1)}{x}>0.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall\,x\in\;]0\;,\,+\infty[,\quad\dfrac{2(x+1)}{x}>0.)
&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix})
g' (x ) < 0 si ![\overset{{\white{.}}}{x\in\,]0\,;\,1[}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{x\in\,]0\,;\,1[})
![\overset{{\white{.}}}{x\in\,]1\,;\,+\infty[.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{x\in\,]1\,;\,+\infty[.})
 }}}\;g(1)=1+2-2\ln 1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(1)=3})
![\boxed{g(1)=3>0} \\\\\forall\,x\in\;]0\,;\,1[\,: x<1\Longrightarrow g(x)>g(1)\quad(\text{car }g\text{ est décroissante sur ]0 ; 1[}) \\\phantom{\forall\,x\in\;]0\,;\,1[\,: x<1}\Longrightarrow g(x)>3 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\;]0\,;\,1[\,,\; g(x)>0} \\\\\forall\,x\in\;]1\,;\,+\infty[\,: x>1\Longrightarrow g(x)>g(1)\quad(\text{car }g\text{ est croissante sur }]1 ; +\infty[) \\\phantom{\forall\,x\in\;]1\,;\,+\infty[\,: x<1}\Longrightarrow g(x)>3 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\;]1\,;\,+\infty[,\; g(x)>0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{g(1)=3>0} \\\\\forall\,x\in\;]0\,;\,1[\,: x<1\Longrightarrow g(x)>g(1)\quad(\text{car }g\text{ est décroissante sur ]0 ; 1[}) \\\phantom{\forall\,x\in\;]0\,;\,1[\,: x<1}\Longrightarrow g(x)>3 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\;]0\,;\,1[\,,\; g(x)>0} \\\\\forall\,x\in\;]1\,;\,+\infty[\,: x>1\Longrightarrow g(x)>g(1)\quad(\text{car }g\text{ est croissante sur }]1 ; +\infty[) \\\phantom{\forall\,x\in\;]1\,;\,+\infty[\,: x<1}\Longrightarrow g(x)>3 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\;]1\,;\,+\infty[,\; g(x)>0})
&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g(x)&&\searrow&3&\nearrow&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix})
Montrons que =-\infty.})
![\left.\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\end{matrix}\right\rbrace\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}{x}=-\infty \\\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to0^+}\left[x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\right]=-\infty \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to0^+} f(x)=-\infty}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left.\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\end{matrix}\right\rbrace\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}{x}=-\infty \\\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to0^+}\left[x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\right]=-\infty \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to0^+} f(x)=-\infty})
=+\infty.})
![\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées}) \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\left[x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\right]=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWvw}\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées}) \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\left[x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\right]=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWvw}\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty})
![\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]=\lim\limits_{x\to+\infty}\left[x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)-(x-2)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]}=\lim\limits_{x\to+\infty}2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)=0\quad(\text{croissances comparées})} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]=0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]=\lim\limits_{x\to+\infty}\left[x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)-(x-2)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]}=\lim\limits_{x\to+\infty}2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)=0\quad(\text{croissances comparées})} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]=0})
![\overset{{\white{.}}}{[f(x)-(x-2)]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{[f(x)-(x-2)]})
, soit le signe de })
sur l'intervalle I = ]0 ; +![x\in\;]0\,;\,+\infty[\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{x}>0.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in\;]0\,;\,+\infty[\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{x}>0.)
-(x-2)=2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix})
-(x-2)<0\Longleftrightarrow 0<x<1\\\overset{{\white{.}}}{f(x)-(x-2)>0\Longleftrightarrow x>1}\\\overset{{\white{.}}}{f(x)-(x-2)=0\Longleftrightarrow x=1} \end{matrix}\right.)
, alors la courbe (C ) est en dessous de la droite 
, alors la courbe (C ) est au-dessus de la droite 
, alors la courbe (C ) et la droite ![f'(x)=\left[x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\right]' \\\phantom{f'(x)}=(x-2)'+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' \\\phantom{f'(x)}=1+2\left(\dfrac{(\ln x)'\times x -\ln x \times x'}{x^2}\right) \\\phantom{f'(x)}=1+2\left(\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x -\ln x \times 1}{x^2}\right) \\\phantom{f'(x)}=1+2\left(\dfrac{1-\ln x }{x^2}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1+\dfrac{2-2\ln x }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^2+2-2\ln x }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{g(x) }{x^2}} .\\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x>0,\;f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x)=\left[x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\right]' \\\phantom{f'(x)}=(x-2)'+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' \\\phantom{f'(x)}=1+2\left(\dfrac{(\ln x)'\times x -\ln x \times x'}{x^2}\right) \\\phantom{f'(x)}=1+2\left(\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x -\ln x \times 1}{x^2}\right) \\\phantom{f'(x)}=1+2\left(\dfrac{1-\ln x }{x^2}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1+\dfrac{2-2\ln x }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^2+2-2\ln x }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{g(x) }{x^2}} .\\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x>0,\;f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}})
&||&+&+&+&\\&||&&&&\\\hline&||&&&&+\infty\\f(x)&||&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix})
revient à montrer que montrer que l'équation f (x ) = 0 admet une solution unique ![\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.})
=-\infty})
et =+\infty}.} )
![\overset{{\white{.}}}{ 0\in f(\,]0\,;\,+\infty[\,).}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{ 0\in f(\,]0\,;\,+\infty[\,).})
\approx-0,0058<0 \\f(1,48)\approx0,00979>0\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}f(1,47)\times f(1,48)<0 \\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{1,47<\beta<1,48})
(x-\text{e})+f(\text{e}).)
=\dfrac{x^2+2-2\ln x }{x^2}\quad\Longrightarrow\quad f'(\text{e})=\dfrac{\text{e}^2+2-2\ln \text{e} }{\text{e}^2} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWiiWW}=\dfrac{\text{e}^2+2-2\times1}{\text{e}^2} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWiiWW}=\dfrac{\text{e}^2}{\text{e}^2}=1 \\\\\phantom{W}\Longrightarrow\boxed{ f'(\text{e})=1} \\\\\bullet\quad f(x)=x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\quad\Longrightarrow\quad f'(\text{e})=\text{e}-2+2\times\dfrac{\ln \text{e}}{\text{e}} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWiiWW}=\text{e}-2+2\times\dfrac{1}{\text{e}} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWiiWW}=\text{e}-2+\dfrac{2}{\text{e}} \\\\\phantom{W}\Longrightarrow\boxed{ f(\text{e})=\text{e}-2+\dfrac{2}{\text{e}}})
+\text{e}-2+\dfrac{2}{\text{e}})
, soit 
)
.
x=2\ln x\quad \Longleftrightarrow\quad mx+2x=2\ln x \\\phantom{(m+2)x=2\ln x\quad }\Longleftrightarrow\quad mx=-2x+2\ln x \\\phantom{(m+2)x=2\ln x\quad }\Longleftrightarrow\quad m=-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right) \\\phantom{(m+2)x=2\ln x\quad }\Longleftrightarrow\quad x+m=x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right) \\\phantom{(m+2)x=2\ln x\quad }\Longleftrightarrow\quad x+m=f(x))
x=2\ln x)
revient à déterminer graphiquement le nombre de points d'intersection de la courbe 
sont parallèles à la droite d'équation y = x et se distinguent par leurs ordonnées à l'origine m .
Si 
, alors la courbe 
, alors la courbe 
, alors la courbe 
, alors la courbe x=2\ln x})
n'admet pas de solution.
, alors l'équation =-\infty})
et =+\infty}.})
. ![\overset{{\white{.}}}{f(\,]0\,;\,+\infty[\,)=]-\infty\,;\,+\infty[}.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{f(\,]0\,;\,+\infty[\,)=]-\infty\,;\,+\infty[}.)
 }}}\;f(1)=1-2+2\left(\dfrac{\ln 1}{1}\right)=-1+2\times0=-1\Longrightarrow f(1)=-1 \\\\\phantom{{\red{\text{5. b) }}}}\text{Donc }\boxed{f^{-1}(-1)=1} \\\\\text{De plus, }\left(f^{-1}\right)'(-1)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(-1))}=\dfrac{1}{f'(1)} \\\\\text{Or }f'(x)=\dfrac{x^2+2-2\ln x }{x^2}\quad\Longrightarrow\quad f'(1)=\dfrac{1^2+2-2\ln 1 }{1^2}=\dfrac{1+2-0}{1}=3 \\\\\text{D'où }\;\boxed{\left(f^{-1}\right)'(-1)=\dfrac{1}{3}})
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