Fiche de mathématiques
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Bac "Sciences de la Nature" Mauritanie 2021

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Coefficient : 6

Durée : 4 heures


3 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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5,5 points

exercice 3

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6,5 points

exercice 4

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Bac Sciences de la Nature Mauritanie 2021

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3 points

exercice 1

On considère la suite (un ) définie par  u_0=0,\,u_1=2\quad\text{et}\quad\forall\,n\in\N,\, u_{n+2}=u_{n+1}-\dfrac{2}{9}\,u_n.

Soient  v_n=u_{n+1}-\dfrac{1}{3}u_n\quad\text{et}\quad S_n=v_0+v_1+\cdots+v_n.

Question 1 : Réponse C :  La valeur de u 3 est  {\red{\dfrac{14}{9}}}.
En effet,

\bullet{\white{w}}\boxed{u_0=0} \\\overset{{\phantom{.}}}{\bullet{\phantom{w}}\boxed{u_1=2}} \\\bullet{\white{w}}u_{2}=u_1-\dfrac{2}{9}\,u_0=2-\dfrac{2}{9}\times0=2\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_2=2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\bullet{\phantom{w}}u_{3}=u_2-\dfrac{2}{9}\,u_1=2-\dfrac{2}{9}\times2=\dfrac{18}{9}-\dfrac{4}{9}=\dfrac{14}{9}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_3=\dfrac{14}{9}}}

Question 2 : Réponse C :  La suite (un ) est non monotone.

En effet, en utilisant les résultats de la question 1, nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}u_0=0\\u_1=2\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_0\;{\red{<}}\;u_1} \\\left\lbrace\begin{matrix}u_1=2\\u_2=2\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_1\;{\red{=}}\;u_2} \\\left\lbrace\begin{matrix}u_2=2\\u_3=\dfrac{14}{9}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\boxed{u_2\;{\red{>}}\;u_3}
Donc la suite (un ) n'est ni croissante, ni décroissante.
Par conséquent, la suite (un ) n'est pas monotone.

Question 3 : Réponse B :  La suite (vn ) est géométrique.

En effet, pour tout entier naturel n ,

v_{n+1}=u_{n+2}-\dfrac{1}{3}u_{n+1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{v_{n+1}}=\left(u_{n+1}-\dfrac{2}{9}\,u_n\right)-\dfrac{1}{3}u_{n+1}} \\\overset{\phantom{.}}{\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{2}{3}u_{n+1}-\dfrac{2}{9}\,u_n} \\\overset{\phantom{.}}{\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{2}{3}\left(u_{n+1}-\dfrac{1}{3}\,u_n\right)} \\\overset{\phantom{.}}{\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{2}{3}\,v_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\N,\,v_{n+1}=\dfrac{2}{3}\,v_n}
Par conséquent, la suite (vn ) est une suite géométrique de raison  \dfrac{2}{3}.

Question 4 : Réponse A :  Le terme général de (vn ) est  \overset{{\white{.}}}{{\red{2\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}}.}
Nous avons montré dans la question 3 que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison  q=\dfrac{2}{3}.
Le premier terme de cette suite est  v_0=u_1-\dfrac{1}{3}\,u_0=2-\dfrac{1}{3}\times0=2.
Le terme général de la suite (vn ) est donné par la relation :  v_n=v_o\times q^n.
D'où le terme général de la suite (vn ) est  \overset{{\white{.}}}{\boxed{v_n=2\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}\,.}

Question 5 : Réponse A :  La valeur de Sn  est  \overset{{\white{.}}}{{\red{6-4\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n}}.}
En effet,

S_n=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\\\phantom{S_n}=2\times\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{1-\dfrac{2}{3}} =2\times\dfrac{1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{3}}=6\times\left[1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right] \\\\\phantom{S_n}=6-6\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\right]=6-6\times\dfrac{2}{3}\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}\right]=6-4\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{S_n=6-4\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}}

Question 6 : Réponse A :  La suite (vn ) converge vers 0.
En effet,

\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0\quad\text{car }0<\dfrac{2}{3}<1 \\\\\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}2\times\left(\dfrac{2}{3}\right)^n=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0}

5 points

exercice 2

Pour tout nombre complexe z, on pose :  P(z)=z^3-(1+4\text{i})z^2-3z-1-8\text{i}

{\red{\text{1. a) }}}\;P(-\text{i})=(-\text{i})^3-(1+4\,\text{i})\times(-\text{i})^2-3\times(-\text{i})-1-8\,\text{i} \\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}\;P(-\text{i})}=-\text{i}^3-(1+4\,\text{i})\times\text{i}^2+3\times\text{i}-1-8\,\text{i} \\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}\;P(-\text{i})}=\text{i}-(1+4\,\text{i})\times(-1)+3\,\text{i}-1-8\,\text{i} \\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}\;P(-\text{i})}=\text{i}+1+4\,\text{i}+3\,\text{i}-1-8\,\text{i} \\\phantom{{\red{\text{1. a) }}}\;P(-\text{i})}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(-\text{i})=0}

1. b)  Nous devons déterminer les complexes a  et b  tels que  \forall\,z\in\C:P(z)=(z+\text{i})(z^2+az+b).

P(z)=(z+\text{i})(z^2+az+b) \\\phantom{P(z)}=z^3+az^2+bz+\text{i}z^2+\text{i}az+\text{i}b \\\phantom{P(z)}=z^3+(a+\text{i})z^2+(b+\text{i}a)z+\text{i}b \\\\\text{Dès lors, }\;z^3-(1+4\text{i})z^2-3z-1-8\text{i}=z^3+(a+\text{i})z^2+(b+\text{i}a)z+\text{i}b \\\\\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}-(1+4\text{i})=a+\text{i}\\-1-8\text{i}=\text{i}b \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a+\text{i}=-1-4\text{i}\\b=-\dfrac{1}{\text{i}}-\dfrac{8\text{i}}{\text{i}}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-1-5\text{i}\\b=\text{i}-8\end{matrix}\right.

Par conséquent,  \boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=-(1+5\text{i})\\b=-8+\text{i}\end{matrix}\right.}  et  P(z)=(z+\text{i})\left(\overset{}{z^2-(1+5\text{i})z-8+\text{i}}\right).

1. c)  Nous devons résoudre dans C, l'équation P (z ) = 0.

P(z)=0\Longleftrightarrow(z+\text{i})\left(\overset{}{z^2-(1+5\text{i})z-8+\text{i}}\right)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(z)=0}\Longleftrightarrow z+\text{i}=0\quad\text{ou}\quad z^2-(1+5\text{i})z-8+\text{i}=0} \\\\\bullet\quad z+\text{i}=0\quand\Longleftrightarrow\quad \boxed{z=-\text{i}}

 \\\\\bullet\quad z^2-(1+5\text{i})z-8+\text{i}=0 \\\\\phantom{\bullet\quad }\underline{\text{Discriminant}}:\Delta=(1+5\text{i})^2-4\times1\times(-8+\text{i}) \\\phantom{\bullet\quad \underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=1+10\text{i}-25+32-4\text{i} \\\phantom{\bullet\quad \underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=8+6\text{i} \\\phantom{\bullet\quad \underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=9+6\text{i}-1 \\\phantom{\bullet\quad \underline{\text{Discriminant}}:\Delta}=(3+\text{i})^2 \\\\\phantom{\bullet\quad }\underline{\text{Solutions}}:z_1=\dfrac{1+5\text{i}+3+\text{i}}{2}=\dfrac{4+6\text{i}}{2}=2+3\text{i}\Longrightarrow \boxed{z_1=2+3\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\quad \underline{\text{Solutions}}:}z_2=\dfrac{1+5\text{i}-3-\text{i}}{2}=\dfrac{-2+4\text{i}}{2}=-1+2\text{i}\Longrightarrow \boxed{z_2=-1+2\text{i}}

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation P (z ) = 0 est  \boxed{S=\lbrace-\text{i}\,;\,2+3\text{i}\,;\,-1+2\text{i}\rbrace}\,.

2.  Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé  (\text{O}\, ,\,\vec u\, ,\,\vec v) , on considère les points A, B et C d'affixes respectives : z_A=-\text{i}\;;\;z_B=-1+2\text{i}\;;\;z_C=2+3\text{i}.

2. a)  Nous devons déterminer la nature du triangle ABC.

Bac Sciences de la Nature Mauritanie 2021 : image 5


La représentation graphique du triangle ABC nous permet de conjecturer que le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.
Démontrons cette conjecture.

\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=\dfrac{2+3\text{i}-(-1+2\text{i})}{-\text{i}-(-1+2\text{i})} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}}=\dfrac{2+3\text{i}+1-2\text{i}}{-\text{i}+1-2\text{i}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}}=\dfrac{3+\text{i}}{1-3\text{i}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}}=\dfrac{\text{i}(1-3\text{i})}{1-3\text{i}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}}=\text{i}}

\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}=\text{i}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\left|\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right|=1\\\\\arg\left(\dfrac{z_C-z_B}{z_A-z_B}\right)\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwww}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}|z_C-z_B|=|z_A-z_B|\\\\\widehat{\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)}\equiv\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwwwww}\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}BC=BA\\ (BA)\perp(BC)\end{matrix}\right.}

Par conséquent, le triangle ABC est rectangle et isocèle en B.

2. b)  Soit le point D d'affixe zD  = 3.
Nous devons déterminer la nature du quadrilatère ABCD.

La représentation graphique du quadrilatère ABCD nous permet de conjecturer que ce quadrilatère ABCD est un carré.
Démontrons cette conjecture.

\bullet  Démontrons que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A \\\phantom{z_{\overrightarrow{AB}}}=-1+2\text{i}+\text{i} \\\phantom{z_{\overrightarrow{AB}}}=-1+3\text{i} \\\\z_{\overrightarrow{DC}}=z_C-z_D \\\phantom{z_{\overrightarrow{DC}}}=2+3\text{i}-3 \\\phantom{z_{\overrightarrow{DC}}}=-1+3\text{i} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_{\overrightarrow{AB}}=z_{\overrightarrow{DC}}}

Or  z_{\overrightarrow{AB}}=z_{\overrightarrow{DC}}\quad\Longleftrightarrow\quad\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}.

Donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.

\bullet  Démontrons que le quadrilatère ABCD est un losange.

Nous avons montré dans la question 2. a) que BC = BA.
Or nous savons que si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un losange.
Le parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs [BC] et [BA] de même longueur.
Donc le quadrilatère ABCD est un losange.

\bullet  Démontrons que le quadrilatère ABCD est un carré.

Nous avons montré dans la question 2. a) que le triangle ABC est un triangle rectangle en B.
Or nous savons que si un losange a un angle droit alors c'est un carré.
Le losange ABCD a un angle droit en B.
Donc le quadrilatère ABCD est un carré.

Par conséquent, la nature du quadrilatère ABCD : le quadrilatère ABCD est un carré.

3.  Pour tout nombre complexe z  different 2 + 3i, on pose :  f(z)=\dfrac{z+\text{i}}{z-2-3\text{i}}.

3. a)  Nous devons déterminer et construire l'ensemble gammamaj1 des points M d'affixe z tels que  |f(z)|=1.

|f(z)|=1\quad\Longrightarrow\quad\left|\dfrac{z+\text{i}}{z-2-3\text{i}}\right|=1 \\\\\phantom{|f(z)|=1\quad}\Longrightarrow\quad\left|\dfrac{z-(-\text{i})}{z-(2+3\text{i})}\right|=1 \\\\\phantom{|f(z)|=1\quad}\Longrightarrow\quad\left|\dfrac{z-z_A}{z-z_C}\right|=1 \\\\\phantom{|f(z)|=1\quad}\Longrightarrow\quad|z-z_A|=|z-z_C| \\\\\phantom{|f(z)|=1\quad}\Longrightarrow\quad \boxed{AM=CM}
Il s'ensuit que les points M sont équidistants des points A et C et donc ces points appartiennent à la médiatrice du segment [AC].
Par conséquent, l'ensemble gammamaj1 est la médiatrice du segment [AC].

Voir la construction de gammamaj1 à la question 2. a).

3. b)  Nous devons déterminer et construire l'ensemble gammamaj2 des points M d'affixe z tels que  \arg\left[\overset{}{f(z)}\right]=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi].

\arg\left[\overset{}{f(z)}\right]=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]\Longleftrightarrow\arg\left(\dfrac{z+\text{i}}{z-2-3\text{i}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWiW}\Longleftrightarrow\arg\left(\dfrac{z-z_A}{z-z_C}\right)=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWiW}\Longleftrightarrow(\widehat{\overrightarrow{CM},\overrightarrow{AM})}=\dfrac{\pi}{2}\;[\pi]}

Donc le triangle MAC est rectangle en M pour tout M différent de A et de C.
Par conséquent, l'ensemble gammamaj2 est le cercle de diamètre [AC] privé des points A et C..

Voir la construction de gammamaj2 à la question 2. a).

3. c)  Nous devons justifier que les ensembles gammamaj1 et gammamaj2 passent par les points B et D.

\bullet  Le quadrilatère ABCD est un carré.
Donc BA = BC et DA = DC.
Dans ce cas, les points B et D appartiennent à la médiatrice du segment [AC].
D'où les points B et D appartiennent à l'ensemble gammamaj1.

\bullet\;f(z_B)=\dfrac{z_B+\text{i}}{z_B-2-3\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\dfrac{-1+2\text{i}+\text{i}}{-1+2\text{i}-2-3\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\dfrac{-1+3\text{i}}{-3-\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\dfrac{-\text{i}(-3-\text{i})}{-3-\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\bullet\;f(z_B)}=-\text{i}} \\\\\Longrightarrow\boxed{B\in\Gamma_2} {\white{wwwww}} \bullet\;f(z_D)=\dfrac{z_D+\text{i}}{z_D-2-3\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\dfrac{3+\text{i}}{3-2-3\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\dfrac{3+\text{i}}{1-3\text{i}} \\\\\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\dfrac{\text{i}(1-3\text{i})}{1-3\text{i}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\bullet\;f(z_B)}=\text{i}} \\\\\Longrightarrow\boxed{D\in\Gamma_2}
D'où les points B et D appartiennent à l'ensemble gammamaj2.

4.  Pour tout entier n  appartient N, on pose  \overset{{\white{.}}}{z_n=(z_B-\text{i})^n.}  Soit Mn  le point d'affixe zn  et  \overset{{\white{.}}}{d_n=|z_n|.}

4. a)  Nous devons déterminer les valeurs de n  pour lesquelles Mn  appartient à l'axe des abscisses.

z_n=(z_B-\text{i})^n=(-1+2\text{i}-\text{i})^n\Longrightarrow \boxed{z_n=(-1+\text{i})^n}

M_n\in(Ox)\Longleftrightarrow\arg(z_n)=k\pi\quad(k\in\Z\;\text{et}\; n\in\N) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M_n\in(Ox)}\Longrightarrow\arg\left(\overset{}(-1+\text{i})^n\right)=k\pi\quad(k\in\Z\;\text{et}\; n\in\N)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M_n\in(Ox)}\Longrightarrow n\times\arg(-1+\text{i})=k\pi\quad(k\in\Z\;\text{et}\; n\in\N)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M_n\in(Ox)}\Longrightarrow n\times\dfrac{3\pi}{4}=k\pi\quad(k\in\Z\;\text{et}\; n\in\N)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{M_n\in(Ox)}\Longrightarrow n\times\dfrac{3}{4}=k\quad(k\in\Z\;\text{et}\; n\in\N)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{M_n\in(Ox)}\Longrightarrow n=\dfrac{4k}{3}\quad(k\in\Z\;\text{et}\; n\in\N)}
Or pour que n  soit un entier naturel, il faut que k  soit un entier naturel multiple de 3.
Il existe donc un entier naturel k'  tel que k  = 3k' .
Dans ce cas,  n  = 4k'  avec k'  appartient  \N.
Par conséquent, Mn  appartient à l'axe des abscisses pour les valeurs de n  multiples de 4.

4. b)  Nous devons montrer que (dn ) est une suite géométrique.

Par définition de dn , nous obtenons :

d_n=|z_n| \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{d_n}=|(-1+\text{i})^n|} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{d_n}=|-1+\text{i}|^n} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{d_n}=\left(\sqrt{(-1)^2+1^2}\right)^n} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{d_n}=\left(\sqrt{1+1}\right)^n} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{d_n}=\left(\sqrt{2}\right)^n} \\\\\text{D'où }\;d_{n+1}=\left(\sqrt{2}\right)^{n+1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;d_{n+1}}=\sqrt{2}\times\left(\sqrt{2}\right)^{n}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{D'où }\;d_{n+1}}=\sqrt{2}\times d_n} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,n\in\N,\;d_{n+1}=\sqrt{2}\times d_n}

Par conséquent, (dn ) est une suite géométrique de raison  q=\sqrt{2}.

De plus, nous savons que  OM_n=|z_n|=d_n.
Dès lors,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{OM_n=\left(\sqrt{2}\right)^n}}

4. c)  Nous devons exprimer en fonction de n  la valeur de la somme  \overset{{\white{.}}}{L_n=OM_1+OM_2+\cdots+OM_n\quad\text{où }n\in\N^*.}

Puisque  OM_n=d_n , la suite (OMn ) est une suite géométrique de raison  q=\sqrt{2}.
Il s'ensuit que Ln  est la somme de n termes de cette suite géométrique.

Dès lors,
L_n=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\\ \phantom{L_n}=\sqrt{2}\times\dfrac{1-(\sqrt{2})^n}{1-\sqrt{2}} \\\\ \phantom{L_n}=\dfrac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\left(\overset{}1-(\sqrt{2})^n\right) \\\\ \phantom{L_n}=\dfrac{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}\left(\overset{}1-(\sqrt{2})^n\right) \\\\ \phantom{L_n}=\dfrac{\sqrt{2}+2}{1-2}\left(\overset{}1-(\sqrt{2})^n\right) \\\\ \phantom{L_n}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{-1}\left(\overset{}1-(\sqrt{2})^n\right) \\\\ \Longrightarrow\boxed{L_n=(2+\sqrt{2})\left[\overset{}(\sqrt{2})^n-1\right]}

5,5 points

exercice 3

Soit f  la fonction numérique définie sur R par  \overset{{\white{.}}}{f(x)=1+(x+2)\text{e}^{-x}.}

1. a) Nous devons montrer que  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.}

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(x+2)=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}\underset{{\red{(X=-x)}}}{=}\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left[1+(x+2)\text{e}^{-x}\right]=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}

Nous devons ensuite calculer  \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}.

 \lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1+(x+2)\text{e}^{-x}}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{(x+2)\text{e}^{-x}}{x}\right) \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[\dfrac{1}{x}+\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\text{e}^{-x}\right] \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{1}{x}=0\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)=1+0=1\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}\underset{{\red{(X=-x)}}}{=}\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left[\dfrac{1}{x}+\left(1+\dfrac{2}{x}\right)\text{e}^{-x}\right]=+\infty

\text{D'où }\;\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty}

Dès lors, la courbe (C ) présente une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en -infini.

{\red{\text{1. b) }}}f(x)=1+(x+2)\text{e}^{-x} \\\phantom{{\red{\text{1. b) }}}f(x)}=1+x\,\text{e}^{-x}+2\,\text{e}^{-x} \\\phantom{{\red{\text{1. b) }}}f(x)}=1+\dfrac{x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{2}{\text{e}^{x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=1+\dfrac{x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{2}{\text{e}^{x}}}

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^x}=0\quad(\text{croissances comparées})\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2}{\text{e}^x}=0\phantom{WWWWWWWWWW}\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left[1+\dfrac{x}{\text{e}^{x}}+\dfrac{2}{\text{e}^{x}}\right]=1

\text{D'où }\;\quad\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1}

Nous déduisons que la courbe (C ) admet, en +infini, une asymptote horizontale (deltamaj) d'équation y  = 1.

2.  La fonction f  est dérivable sur R.

f'(x)=1'+[(x+2)\text{e}^{-x}]' \\\phantom{f'(x)}=0+(x+2)'\times\text{e}^{-x}+(x+2)\times(\text{e}^{-x})' \\\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{-x}+(x+2)\times(-\text{e}^{-x}) \\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}-(x+2)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=[1-(x+2)]\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=[1-x-2]\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=(-x-1)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-x-1)\,\text{e}^{-x}}

L'exponentielle est strictement positive sur R.
Donc le signe de f' (x ) est le signe de (-x  - 1).

Tableau de signes de la dérivée f' (x ) et de variations de f .

\begin{matrix}\bullet{\phantom{w}}-x-1<0\Longleftrightarrow-x<1 \\\phantom{xxxx\text{e}^x-2<0}\Longleftrightarrow x>-1 \\\\\bullet{\white{w}}-x-1=0\Longleftrightarrow x=-1 \\\\\bullet{\phantom{w}}-x-1>0\Longleftrightarrow x<-1\\\\\bullet{\phantom{w}}f(-1)=1+(-1+2)\text{e}^{1}\\=1+\text{e}\\\approx3,718\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&-1&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\-x-1&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&1+\text{e}\approx3,7&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&1\\ \hline \end{array}\end{matrix}

3.  Nous devons montrer que l'équation  \overset{{\white{.}}}{f(x)=0}  admet une unique solution alpha dans R.

La fonction f  est continue et dérivable sur R.

\bullet{\white{w}} Sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;-1[.}

La fonction f  est définie, continue et strictement croissante sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;-1[.}
 \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}  et  \overset{{\white{.}}}{f(-1)=1+\text{e}\approx3,7.}
D'où  \overset{{\white{.}}}{ 0\in f(\,]-\infty\,;-1[\,).}
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution notée  \overset{{\white{.}}}{\alpha}  dans l'intervalle \overset{{\white{.}}}{]-\infty\,;-1[.}

\underline{\text{Remarque}}\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}f(-2,2)\approx-0,805<0 \\\\f(-2)=1>0\end{matrix}\right.

Donc  f(-2,2)\times f(-2)<0.
Dès lors,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{-2,2<\alpha<-2}\,.}

\bullet{\white{w}} Sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]-1\,;\,+\infty[.}

La fonction f  est définie, continue et strictement décroissante sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]-1\,;\,+\infty[.}
\overset{{\white{.}}}{f(-1)=1+\text{e}\approx3,7>0}  et   \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1>0}.}
D'où  f(x) > 0 sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]-1\,;\,+\infty[}  et donc l'équation f (x ) = 0 ne possède pas de solution dans l'intervalle \overset{{\white{.}}}{]-1\,;\,+\infty[.}

Par conséquent, l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution alpha dans R.

4. a)  Nous devons montrer que le point I(0 ; 3) est un point d'inflexion pour la courbe (C ).

La fonction f'  est dérivable sur R.

Pour tout x  réel,  

f''(x)=(-x-1)'\times\text{e}^{-x}+(-x-1)\times(\text{e}^{-x})' \\\phantom{f''(x)}=(-1)\times\text{e}^{-x}+(-x-1)\times(-\text{e}^{-x}) \\\phantom{f''(x)}=-\text{e}^{-x}+(x+1)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f''(x)}=-\text{e}^{-x}+x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x} \\\phantom{f''(x)}=x\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f''(x)=x\,\text{e}^{-x}}

Etudions le signe de  f''(x).

Pour tout x  réel, e-x  > 0.

Donc le signe de  f''(x)  est le signe de x .

{\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\x&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f''(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

D'où   f''(x)  change de signe au voisinage de 0 et seulement au voisinage de 0.
Par conséquent, le point I(0 ; 3) est le seul point d'inflexion de la courbe (C ).

Déterminons une équation de la tangente T à (C ) en ce point d'inflexion I(0 ; 3).

L'équation de la tangente T au point I(0 ; 3) est de la forme :  y=f'(0)(x-0) + 3 , soit de la forme  y=f'(0)x + 3 .

\text{Or }\;f'(x)=(-x-1)\,\text{e}^{-x}\quad\Longrightarrow\quad f'(0)=(-1)\times\text{e}^{0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f'(x)=(-x-1)\,\text{e}^{-x}\quad}\Longrightarrow\quad \boxed{f'(0)=-1}}

Par conséquent, une équation de la tangente T à (C ) en I(0 ; 3) est  \boxed{y=-x+3}

4. a)  Représentation graphique de la courbe (C ) et de la tangente T.

Bac Sciences de la Nature Mauritanie 2021 : image 6


5.  Soit S l'aire, en cm2, de la partie du plan fermée par la courbe (C ) et les axes de coordonnées.

5. a)  Nous devons donc calculer l'aire S du domaine plan limité par la courbe (C ) et les droites d'équations respectives : y  = 0, x  = alpha et x  = 0.

Nous avons montré dans la question 3. que -2,2 < alpha < -2.
La fonction f  est continue et positive sur l'intervalle [alpha ; 0].
L'unité graphique est 1 cm.
D'où l'aire S se déterminera par :  S=\begin{aligned}\int\nolimits_{\alpha}^{0} f(x)\,\text d x\end{aligned}.

{\red{\text{5. b) }}}\;h(x)=-(x+3)\,\text{e}^{-x}\Longrightarrow h'(x)=-[(x+3)\,\text{e}^{-x}]' \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[(x+3)'\times\text{e}^{-x}+(x+3)\times(\text{e}^{-x})'] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[1\times\text{e}^{-x}+(x+3)\times(-\text{e}^{-x})] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[\text{e}^{-x}-(x+3)\,\text{e}^{-x}] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[(1-x-3)\,\text{e}^{-x}] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=-[(-x-2)\,\text{e}^{-x}] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWwW}=(x+2)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{h'(x)=(x+2)\,\text{e}^{-x}} \\\\\text{Dès lors, }\,\forall\,x\in\R,\,f(x)=1+(x+2)\text{e}^{-x}\Longleftrightarrow \boxed{f(x)=1+h'(x)}

Nous devons en déduire une primitive F  de f  sur R.
Une primitive F  de f  sur R est définie par :  F(x)=x+h(x)
En effet,

F\,'(x)=(x+h(x))' \\\phantom{F\,'(x)}=x'+h'(x) \\\phantom{F\,'(x)}=1+h'(x) \\\phantom{F\,'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\,F\,'(x)=f(x)}

Par conséquent, une primitive F  de f  sur R est définie par :  \boxed{F(x)=x-(x+3)\,\text{e}^{-x}}\,.

5. c)  Nous avons montré dans la question 3. que l'équation f (x ) = 0 admet une unique solution alpha dans R.
Nous obtenons ainsi :

f(\alpha)=0\quad\Longleftrightarrow\quad1+(\alpha+2)\text{e}^{-\alpha}=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad(\alpha+2)\text{e}^{-\alpha}=-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(\alpha)=0}\quad\Longleftrightarrow\quad\boxed{\text{e}^{-\alpha}=\dfrac{-1}{\alpha+2}}}

Nous devons en déduire la valeur de S.

{\white{www}} S=\begin{aligned}\int\nolimits_{\alpha}^{0} f(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{F(x)}\right]_{\alpha}^{0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=\left[\overset{}{x-(x+3)\,\text{e}^{-x}}\right]_{\alpha}^{0}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{S}=\left[\overset{}{(0-(0+3)\,\text{e}^{0}})-(\alpha-(\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha})\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-3-\alpha+(\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)+(\alpha+3)\,\text{e}^{-\alpha}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)(1-\text{e}^{-\alpha})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)\left(1-\dfrac{-1}{\alpha+2}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)\left(1+\dfrac{1}{\alpha+2}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)\left(\dfrac{\alpha+2+1}{\alpha+2}\right)} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{S}=-(\alpha+3)\left(\dfrac{\alpha+3}{\alpha+2}\right)} \\\\\Longrightarrow\boxed{S=\dfrac{-(\alpha+3)^2}{\alpha+2}}

6,5 points

exercice 4

Soit f  la fonction définie sur l'intervalle I = ]0 ; +infini[ par  \overset{{\white{.}}}{f(x)=x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)}  et soit gammamaj sa courbe représentative.

1.  On considère la fonction g  définie sur I par  g(x)=x^2+2-2\ln x.

1. a)  La fonction g  est dérivable sur l'intervalle I = ]0 ; +infini[.

g'(x)=(x^2+2-2\ln x)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2x+0-2\times\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2x-\dfrac{2}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{g'(x)}=2(x-\dfrac{1}{x})} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=\dfrac{2(x^2-1)}{x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{g'(x)}=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\;]0\;,\,+\infty[,\;g'(x)=\dfrac{2(x+1)(x-1)}{x}}

Étudions le signe de g' (x ) sur l'intervalle I = ]0 ; +infini[.

\forall\,x\in\;]0\;,\,+\infty[,\quad\dfrac{2(x+1)}{x}>0.
D'où le signe de g' (x ) est le signe de (x  - 1).

{\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&1&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\x-1&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

D'où le signe de g' (x ) sur l'intervalle I = ]0 ; +infini[ :

{\white{ww}}\bullet{\white{w}}g' (x ) < 0 si  \overset{{\white{.}}}{x\in\,]0\,;\,1[}
{\white{ww}}\bullet{\white{w}}g' (x ) > 0 si  \overset{{\white{.}}}{x\in\,]1\,;\,+\infty[.}

{\red{\text{1. b) }}}\;g(1)=1+2-2\ln 1\quad\Longrightarrow\quad\boxed{g(1)=3}

L'étude du signe de g' (x ) sur l'intervalle I = ]0 ; +infini[ nous permet de déduire que :

{\white{ww}}\bullet{\white{w}}la fonction g  est décroissante sur l'intervalle I = ]0 ; 1[
{\white{ww}}\bullet{\white{w}}la fonction g  est croissante sur l'intervalle I = ]1 ; +infini[ [/tex]


Par définition de la croissance d'une fonction, nous obtenons :

\boxed{g(1)=3>0} \\\\\forall\,x\in\;]0\,;\,1[\,: x<1\Longrightarrow g(x)>g(1)\quad(\text{car }g\text{ est décroissante sur ]0 ; 1[}) \\\phantom{\forall\,x\in\;]0\,;\,1[\,: x<1}\Longrightarrow g(x)>3 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\;]0\,;\,1[\,,\; g(x)>0} \\\\\forall\,x\in\;]1\,;\,+\infty[\,: x>1\Longrightarrow g(x)>g(1)\quad(\text{car }g\text{ est croissante sur }]1 ; +\infty[) \\\phantom{\forall\,x\in\;]1\,;\,+\infty[\,: x<1}\Longrightarrow g(x)>3 \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\;]1\,;\,+\infty[,\; g(x)>0}
Le tableau partiel de variation de g sur I nous illustre ces résultats.

{\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&1&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g(x)&&\searrow&3&\nearrow&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

Par conséquent, la fonction g  est positive sur I.

2. a)  \bullet}{\white{i}} Montrons que  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty.}

\left.\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty\end{matrix}\right\rbrace\quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{\ln x}{x}=-\infty \\\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to0^+}\left[x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\right]=-\infty \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to0^+} f(x)=-\infty}

D'où la droite d'équation x = 0 est une asymptote verticale à la courbe gammamaj.

\bullet}{\white{i}} Montrons que  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.}

\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0\quad(\text{croissances comparées}) \quad\Longrightarrow\quad \lim\limits_{x\to+\infty}\left[x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\right]=+\infty \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWvw}\Longrightarrow\quad \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)=+\infty}

D'où la courbe gammamaj n'admet pas d'asymptote horizontale en +infini.

2. b)  Montrons que la droite deltamaj d'équation y  = x  - 2 est une asymptote de gammamaj.

\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]=\lim\limits_{x\to+\infty}\left[x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)-(x-2)\right] \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]}=\lim\limits_{x\to+\infty}2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)=0\quad(\text{croissances comparées})} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}[f(x)-(x-2)]=0}

Par conséquent, la droite deltamaj d'équation y  = x  - 2 est une asymptote verticale à la courbe gammamaj en +infini.

Nous devons étudier leur position relative.
Étudions le signe de  \overset{{\white{.}}}{[f(x)-(x-2)]} , soit le signe de  \overset{{\white{.}}}{2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)}  sur l'intervalle I = ]0 ; +infini[.
Nous savons que  x\in\;]0\,;\,+\infty[\quad\Longrightarrow\quad\dfrac{1}{x}>0.
Dès lors, le signe de  \overset{{\white{.}}}{2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)}  est le signe de ln x

{\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&1&&+\infty\\&&&&&\\\hline&||&&&&\\\ln x&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline&||&&&&\\f(x)-(x-2)=2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

D'où, \left\lbrace\begin{matrix}f(x)-(x-2)<0\Longleftrightarrow 0<x<1\\\overset{{\white{.}}}{f(x)-(x-2)>0\Longleftrightarrow x>1}\\\overset{{\white{.}}}{f(x)-(x-2)=0\Longleftrightarrow x=1} \end{matrix}\right.

Par conséquent,

{\white{ww}}\bullet{\white{w}}  Si  0<x<1 , alors la courbe (C ) est en dessous de la droite deltamaj.
{\white{ww}}\bullet{\white{w}}  Si  x>1 , alors la courbe (C ) est au-dessus de la droite deltamaj.
{\white{ww}}\bullet{\white{w}}  Si  x=1 , alors la courbe (C ) et la droite deltamaj ont un point commun.


3. a)  La fonction f  est dérivable sur l'intervalle I = ]0 ; +infini[.

f'(x)=\left[x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\right]' \\\phantom{f'(x)}=(x-2)'+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' \\\phantom{f'(x)}=1+2\left(\dfrac{(\ln x)'\times x -\ln x \times x'}{x^2}\right) \\\phantom{f'(x)}=1+2\left(\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x -\ln x \times 1}{x^2}\right) \\\phantom{f'(x)}=1+2\left(\dfrac{1-\ln x }{x^2}\right) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=1+\dfrac{2-2\ln x }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^2+2-2\ln x }{x^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f'(x)}=\dfrac{g(x) }{x^2}} .\\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x>0,\;f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}}

3. b)  Pour tout x  appartient ]0 ; +infini[, x 2 > 0.
De plus, nous avons montré dans la question 1. b) que g est positive sur I.
Par conséquent, la dérivée f'  est positive sur I.

Tableau de variation de la fonction f  :

{\white{wwwwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&0&&&&+\infty\\&&&&&\\\hline&||&&&&\\f'(x)&||&+&+&+&\\&||&&&&\\\hline&||&&&&+\infty\\f(x)&||&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\\&-\infty&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

3. c)  Montrer que la courbe gammamaj coupe l'axe des abscisses en un seul point A d'abscisse beta revient à montrer que montrer que l'équation f (x ) = 0 admet une solution unique beta dans l'intervalle ]0 ; +infini[.

La fonction f  est définie, continue et strictement croissante sur l'intervalle  \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}
 \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty}  et  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}.}

D'où  \overset{{\white{.}}}{ 0\in f(\,]0\,;\,+\infty[\,).}

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation f (x ) = 0 possède une et une seule solution beta dans l'intervalle \overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}

Par conséquent, la courbe gammamaj coupe l'axe des abscisses en un seul point A d'abscisse beta.

\left\lbrace\begin{matrix}f(1,47)\approx-0,0058<0 \\f(1,48)\approx0,00979>0\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}f(1,47)\times f(1,48)<0 \\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{1,47<\beta<1,48}

4. a)  Une équation de la tangente T à gammamaj au point d'abscisse e est de la forme :  y=f'(\text{e})(x-\text{e})+f(\text{e}).

\bullet\quad f'(x)=\dfrac{x^2+2-2\ln x }{x^2}\quad\Longrightarrow\quad f'(\text{e})=\dfrac{\text{e}^2+2-2\ln \text{e} }{\text{e}^2} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWiiWW}=\dfrac{\text{e}^2+2-2\times1}{\text{e}^2} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWiiWW}=\dfrac{\text{e}^2}{\text{e}^2}=1 \\\\\phantom{W}\Longrightarrow\boxed{ f'(\text{e})=1} \\\\\bullet\quad f(x)=x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)\quad\Longrightarrow\quad f'(\text{e})=\text{e}-2+2\times\dfrac{\ln \text{e}}{\text{e}} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWiiWW}=\text{e}-2+2\times\dfrac{1}{\text{e}} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWiiWW}=\text{e}-2+\dfrac{2}{\text{e}} \\\\\phantom{W}\Longrightarrow\boxed{ f(\text{e})=\text{e}-2+\dfrac{2}{\text{e}}}

Par conséquent, une équation de la tangente T à gammamaj au point d'abscisse e est :  y=1\times(x-\text{e})+\text{e}-2+\dfrac{2}{\text{e}} , soit  \boxed{y=x-2+\dfrac{2}{\text{e}}}

4. b)  Représentation graphique de la courbe gammamaj, de l'asymptote oblique deltamaj et de la tangente T dans le même repère   (\text{O}\, ,\,\vec i\, ,\,\vec j).

Bac Sciences de la Nature Mauritanie 2021 : image 8


4. c)  Pour tout réel m ,

(m+2)x=2\ln x\quad \Longleftrightarrow\quad mx+2x=2\ln x \\\phantom{(m+2)x=2\ln x\quad }\Longleftrightarrow\quad mx=-2x+2\ln x \\\phantom{(m+2)x=2\ln x\quad }\Longleftrightarrow\quad m=-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right) \\\phantom{(m+2)x=2\ln x\quad }\Longleftrightarrow\quad x+m=x-2+2\left(\dfrac{\ln x}{x}\right) \\\phantom{(m+2)x=2\ln x\quad }\Longleftrightarrow\quad x+m=f(x)

Nous en déduisons que discuter graphiquement suivant les valeurs du paramètre réel m  le nombre de solutions de l'équation  (m+2)x=2\ln x  revient à déterminer graphiquement le nombre de points d'intersection de la courbe gammamaj et des droites d'équations  \overset{{\white{.}}}{y=x+m.}

Lorsque m  parcourt l'ensemble des réels, les droites d'équations  \overset{{\white{.}}}{y=x+m} sont parallèles à la droite d'équation y  = x  et se distinguent par leurs ordonnées à l'origine m .

En utilisant la représentation graphique ci-dessus, nous observons que :

\bullet{\white{{x}}} Si  m>-2+\dfrac{2}{\text{e}} , alors la courbe gammamaj et les droites d'équations  \overset{{\white{.}}}{y=x+m}  n'ont aucun point commun.

\bullet{\white{{x}}} Si  m=-2+\dfrac{2}{\text{e}} , alors la courbe gammamaj et la droite d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=x+m}  ont un seul point commun.

\bullet{\white{{x}}} Si  -2<m<-2+\dfrac{2}{\text{e}} , alors la courbe gammamaj et les droites d'équations  \overset{{\white{.}}}{y=x+m}  ont deux points communs.

\bullet{\white{{x}}} Si  m\le-2 , alors la courbe gammamaj et la droite d'équation  \overset{{\white{.}}}{y=x+m}  ont un seul point commun.

Par conséquent,

\bullet{\white{{x}}} Si  m>-2+\dfrac{2}{\text{e}} , alors l'équation  \overset{{\white{.}}}{(m+2)x=2\ln x}  n'admet pas de solution.
\bullet{\white{{x}}} Si  \overset{{\white{.}}}{m=-2+\dfrac{2}{\text{e}}} , alors l'équation  \overset{{\white{.}}}{(m+2)x=2\ln x}  admet une seule solution.
\bullet{\white{{x}}} Si  -2<m<-2+\dfrac{2}{\text{e}} , alors l'équation  \overset{{\white{.}}}{(m+2)x=2\ln x}  admet deux solutions.
\bullet{\white{{x}}} Si  m\le-2 , alors l'équation  \overset{{\white{.}}}{(m+2)x=2\ln x}  admet une seule solution.


5. a)  La fonction f  est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; +infini[.
\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty}  et  \overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}.}.
D'où  \overset{{\white{.}}}{f(\,]0\,;\,+\infty[\,)=]-\infty\,;\,+\infty[}.

Nous en déduisons que la fonction f  réalise une bijection de l'intervalle I = ]0 ; +infini[ dans l'intervalle J = ]-infini ; +infini[ = R.

{\red{\text{5. b) }}}\;f(1)=1-2+2\left(\dfrac{\ln 1}{1}\right)=-1+2\times0=-1\Longrightarrow f(1)=-1 \\\\\phantom{{\red{\text{5. b) }}}}\text{Donc }\boxed{f^{-1}(-1)=1} \\\\\text{De plus,  }\left(f^{-1}\right)'(-1)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(-1))}=\dfrac{1}{f'(1)} \\\\\text{Or }f'(x)=\dfrac{x^2+2-2\ln x }{x^2}\quad\Longrightarrow\quad f'(1)=\dfrac{1^2+2-2\ln 1 }{1^2}=\dfrac{1+2-0}{1}=3 \\\\\text{D'où }\;\boxed{\left(f^{-1}\right)'(-1)=\dfrac{1}{3}}

5. c)   Représentation graphique des courbes gammamaj et gammamaj'

Les courbes gammamaj et gammamaj' sont symétriques par rapport à la droite d'équation y  = x .
Voir question 4. b).
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