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6 points
exercice 1
Soit (xi , yi ) ,1in , (nN* ) une série statistique double.
Recopier et compléter chacune des phrases suivantes par l'expression qui convient. 1. La droite de régression de y en x a pour coefficient directeur a = ... 2. Le coefficient de corrélation linéaire est r = ... 3. Si le coefficient de corrélation linéaire r est nul alors les deux variables x et y sont ... 4. Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points de coordonnées (xi , yi ) est le ... de la série statistique. 5. La covariance de la série statistique est cov ( x , y ) = ... 6. La variance de x est V ( x ) =
6 points
exercice 2
Une banque propose, pour un placement d'un montant de 10000 F CFA fait le premier janvier 2020, un taux d'intérêt annuel de 4% auquel s'ajoute une
prime fixe de 500 F CFA versée à la fin de chaque année.
On appelle C0 le capital initial et Cn celui obtenu le premier janvier 2020 + n (c'est-à-dire le capital obtenu n années plus tard).
1. Calculer C1 et C2. 2. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn . 3. On pose, pour tout entier naturel n : a. Calculer U0 et U1. b. Montrer que En déduire la nature de la suite (Un ). c. Exprimer Un en fonction de n puis, Cn en fonction de n.
8 points
exercice 3
On considère la fonction numérique h définie par :
On désigne par (Ch ) la courbe représentative de la fonction h dans un repère orthonormé.
1. Déterminer l'ensemble de définition Dh de h. 2. a. Déterminer b. Montrer que pour tout réel x non nul, on a c. En déduire la limite de h en + et
Que peut-on en déduire pour la courbe (Ch ) ?
3. a. Montrer que la droite () d'équation y=-x est une asymptote oblique à (Ch ) en - .
b. Préciser la position de (Ch ) par rapport à (). 4. a. Déterminer la dérivée h ' de h sur R. b. Etudier le signe de h ' (x) , pour tout x de R. c. Dresser le tableau de variations de h. 5. Construire dans le repère la droite () et la courbe (Ch ).
Soit (xi , yi ) , 1 i n (n* ) une série statistique double.
1. La droite de régression de y en x a pour coefficient directeur où V(x ) est la variance de x et cov(x ,y ) la covariance de (x ,y ).
2. Le coefficient de corrélation linéaire est où V(x ) est la variance de x , V(y ) est la variance de y et cov(x ,y ) la covariance de (x ,y ).
3. Si le coefficient de corrélation linéaire r est nul alors les deux variables x et y sont indépendantes linéairement.
4. Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points de coordonnées (xi , yi ) est le nuage de points de la série statistique.
5. La covariance de la série statistique est
6. La variance de x est
6 points
exercice 2
Une banque propose, pour un placement d'un montant de 10 000 F CFA fait le premier janvier 2020, un taux d'intérêt annuel de 4% auquel s'ajoute une prime fixe de 500 F CFA versée à la fin de chaque année.
On appelle C0 le capital initial et Cn celui obtenu le premier janvier 2020 + n (c'est-à-dire le capital obtenu n années plus tard).
2. Pour tout entier naturel n ,
3. On pose, pour tout entier naturel n :
Nous en déduisons que la suite (Un ) est une suite géométrique de raison q = 1,04 dont le premier terme est U0 = 22 500.
3. c) Le terme général de la suite (Un ) est .
Donc, pour tout entier naturel n ,
8 points
exercice 3
On considère la fonction numérique h définie par :
1. L'ensemble de définition de h est : Dh = .
2. b) Pour tout réel x non nul,
De plus,
Nous en déduisons que la courbe (Ch ) admet une branche parabolique de direction (Oy) en +.
Par conséquent, la droite () d'équation y = -x est une asymptote oblique à (Ch ) en -.
3. b) La position de (Ch ) par rapport à () est déterminée par le signe de la différence h (x )-(-x ).
Or
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur , nous en déduisons que pour tout x réel, h (x )-(-x ) > 0.
Par conséquent, la courbe (Ch ) est entièrement située au-dessus de la droite ().
4. a) Pour tout x réel,
4. b) Etudions le signe de h' (x ) pour tout réel x .
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i 
N* ) une série statistique double. ^2 = \dots)
a. Calculer U0 et U1. \,U_n. )
En déduire la nature de la suite (Un ).=\text e ^x - x.)
.)
=x\;\left(\dfrac {\text e ^x}{x}-1\right).)
et }{x}.)
Que peut-on en déduire pour la courbe (Ch ) ?
) d'équation y=-x est une asymptote oblique à (Ch ) en - 
* ) une série statistique double.}{V(x)}}}})
où V(x ) est la variance de x et cov(x ,y ) la covariance de (x ,y ).}{\sqrt{V(x)\times V(y)}}}}})
où V(x ) est la variance de x , V(y ) est la variance de y et cov(x ,y ) la covariance de (x ,y ).=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{i=n}x_iy_i-\overline{x}\,\overline{y}}}}.)
 = \dfrac 1 n \sum\limits _ {i=1} ^{i=n} (x_i- \overline x ) ^2 ={\red{\dfrac{1}{n} \sum\limits _ {i=1} ^{i=n} x_i^2-(\overline{x})^2}}.)
C_0+500 \\\phantom{C_1}=1,04C_0+500 \\\phantom{C_1}=1,04\times10\,000+500 \\\phantom{C_1}=10\,400+500 \\\\\Longrightarrow\boxed{C_1=10\,900} \\\\C_2=C_1+0,04C_1+500 \\\phantom{C_2}=(1+0,04)C_1+500 \\\phantom{C_2}=1,04C_1+500 \\\phantom{C_2}=1,04\times10\,900+500 \\\phantom{C_2}=11\,336+500 \\\\\Longrightarrow\boxed{C_2=11\,836})
C_n+500 \\\phantom{C_{n+1}}=1,04C_n+500 \\\\\Longrightarrow\boxed{C_{n+1}=1,04C_n+500})
 }}}U_0=C_0+12\,500 \\\phantom{{\red{3.\text{a) }}}U_0}=10\,000+12\,500 \\\\\phantom{{\red{3.\text{a) }}}}\Longrightarrow\boxed{U_0=22\,500} \\\\\phantom{{\red{3. \text{a) }}}}U_1=C_1+12\,500 \\\phantom{{\red{3.\text{a) }}}U_1}=10\,900+12\,500 \\\\\phantom{{\red{3.\text{a) }}}}\Longrightarrow\boxed{U_1=23\,400})
 }}}U_{n+1}=C_{n+1}+12\,500 \\\phantom{{\red{3.\text{b) }}}U_{n+1}}=1,04C_n+500+12\,500 \\\phantom{{\red{3.\text{b) }}}U_{n+1}}=1,04C_n+13\,000 \\\phantom{{\red{3.\text{b) }}}U_{n+1}}=1,04C_n+1,04\times12\,500 \\\phantom{{\red{3.\text{b) }}}U_{n+1}}=1,04(C_n+12\,500) \\\phantom{{\red{3.\text{b) }}}U_{n+1}}=1,04\,U_n \\\\\phantom{{\red{3.\text{b) }}}}\Longrightarrow\boxed{U_{n+1}=1,04\,U_n})
.
=\text{e}^x-x.)
. }}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\\\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\end{matrix}\right.{\phantom{wwww}}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^x-x)=+\infty \\ {\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwiw}}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty})
=x\times\dfrac {\text e ^x}{x}-x\times1 \\\phantom{x\;wwwwww}=\text e ^x-x \\\phantom{x\;wwwwww}=h(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{h(x)=x\;\left(\dfrac {\text e ^x}{x}-1\right)})
 }}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty{\phantom{wwwwwwwwwwwwwww}}\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac {\text e ^x}{x}=+\infty\ (\text{croissances comparées})\end{matrix}\right.{\phantom{wwww}}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\lim\limits_{x\to+\infty}x\;\left(\dfrac {\text e ^x}{x}-1\right)=+\infty \\ {\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWi}}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=+\infty})
=x\,\left(\dfrac {\text e ^x}{x}-1\right)\Longleftrightarrow\dfrac{h(x)}{x}=\dfrac {\text e ^x}{x}-1 \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac {\text e ^x}{x}=+\infty\ (\text{croissances comparées})\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac {\text e ^x}{x}-1\right)=+\infty \\\\ {\phantom{WWWWWWiWWWWWWWWWWWWi}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{h(x)}{x}=+\infty})
![{\red{3.\text{ a) }}}\lim\limits_{x\to-\infty}[h(x)-(-x)]=\lim\limits_{x\to-\infty}[h(x)+x]=\lim\limits_{x\to-\infty}[(\text{e}^x-x)+x] =\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0 \\\\\phantom{www}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}[h(x)-(-x)]=0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{3.\text{ a) }}}\lim\limits_{x\to-\infty}[h(x)-(-x)]=\lim\limits_{x\to-\infty}[h(x)+x]=\lim\limits_{x\to-\infty}[(\text{e}^x-x)+x] =\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0 \\\\\phantom{www}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}[h(x)-(-x)]=0})
-(-x)=\text{e}^x.})
=\text{e}^x-1.)
=\text e ^x - 1&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix})
h' (x ) > 0 sur l'intervalle ]0 ; +&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&+\infty&&&&+\infty\\h(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&1&&\\ \hline \end{array})
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