Fiche de mathématiques
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Bac 2021 Sénégal L1a-L1b-L'1-L2-LA

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Durée : 3 heures

Coefficient : 2


Les calculatrices électroniques non imprimantes avec entrée par clavier sont autorisées. Les calculatrices permettant d'afficher des formulaires ou des tracés de courbe sont interdites.

6 points

exercice 1

Soit (xi , yi ) ,1infegal i infegal n , (n appartient N* ) une série statistique double.
Recopier et compléter chacune des phrases suivantes par l'expression qui convient.
1. La droite de régression de y en x a pour coefficient directeur a = ...
2. Le coefficient de corrélation linéaire est r = ...
3. Si le coefficient de corrélation linéaire r est nul alors les deux variables x et y sont ...
4. Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points de coordonnées (xi , yi ) est le ... de la série statistique.
5. La covariance de la série statistique est cov ( x , y ) = ...
6. La variance de x est V ( x ) = \frac 1 n \sum _ {i=1} ^{i=n} (x_i- \overline x ) ^2 = \dots

6 points

exercice 2

Une banque propose, pour un placement d'un montant de 10000 F CFA fait le premier janvier 2020, un taux d'intérêt annuel de 4% auquel s'ajoute une prime fixe de 500 F CFA versée à la fin de chaque année.
On appelle C0 le capital initial et Cn celui obtenu le premier janvier 2020 + n (c'est-à-dire le capital obtenu n années plus tard).

1. Calculer C1 et C2.
2. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn .
3. On pose, pour tout entier naturel n : U_n=C_n + 12 500.
{\white{w}} a. Calculer U0 et U1.
{\white{w}} b. Montrer que U_{n+1}=(1,04)\,U_n. En déduire la nature de la suite (Un ).
{\white{w}} c. Exprimer Un en fonction de n puis, Cn en fonction de n.

8 points

exercice 3

On considère la fonction numérique h définie par : h(x)=\text e ^x - x.
On désigne par (Ch ) la courbe représentative de la fonction h dans un repère orthonormé.

1. Déterminer l'ensemble de définition Dh de h.
2. a. Déterminer \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}}h(x).
{\white{w}} b. Montrer que pour tout réel x non nul, on a h(x)=x\;\left(\dfrac {\text e ^x}{x}-1\right).
{\white{w}} c. En déduire la limite de h en + infini et \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}\dfrac{h(x)}{x}. Que peut-on en déduire pour la courbe (Ch ) ?
3. a. Montrer que la droite (deltamaj) d'équation y=-x est une asymptote oblique à (Ch ) en - infini.
{\white{w}} b. Préciser la position de (Ch ) par rapport à (deltamaj).
4. a. Déterminer la dérivée h ' de h sur R.
{\white{w}} b. Etudier le signe de h ' (x) , pour tout x de R.
{\white{w}} c. Dresser le tableau de variations de h.
5. Construire dans le repère la droite (deltamaj) et la courbe (Ch ).
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