Fiche de mathématiques
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Bac 2021 Sénégal L1a-L1b-L'1-L2-LA

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Durée : 3 heures

Coefficient : 2


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6 points

exercice 1

Soit (xi , yi ) ,1infegal i infegal n , (n appartient N* ) une série statistique double.
Recopier et compléter chacune des phrases suivantes par l'expression qui convient.
1. La droite de régression de y en x a pour coefficient directeur a = ...
2. Le coefficient de corrélation linéaire est r = ...
3. Si le coefficient de corrélation linéaire r est nul alors les deux variables x et y sont ...
4. Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points de coordonnées (xi , yi ) est le ... de la série statistique.
5. La covariance de la série statistique est cov ( x , y ) = ...
6. La variance de x est V ( x ) = \frac 1 n \sum _ {i=1} ^{i=n} (x_i- \overline x ) ^2 = \dots

6 points

exercice 2

Une banque propose, pour un placement d'un montant de 10000 F CFA fait le premier janvier 2020, un taux d'intérêt annuel de 4% auquel s'ajoute une prime fixe de 500 F CFA versée à la fin de chaque année.
On appelle C0 le capital initial et Cn celui obtenu le premier janvier 2020 + n (c'est-à-dire le capital obtenu n années plus tard).

1. Calculer C1 et C2.
2. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn .
3. On pose, pour tout entier naturel n : U_n=C_n + 12 500.
{\white{w}} a. Calculer U0 et U1.
{\white{w}} b. Montrer que U_{n+1}=(1,04)\,U_n. En déduire la nature de la suite (Un ).
{\white{w}} c. Exprimer Un en fonction de n puis, Cn en fonction de n.

8 points

exercice 3

On considère la fonction numérique h définie par : h(x)=\text e ^x - x.
On désigne par (Ch ) la courbe représentative de la fonction h dans un repère orthonormé.

1. Déterminer l'ensemble de définition Dh de h.
2. a. Déterminer \displaystyle{\lim_{\substack{x\to -\infty}}h(x).
{\white{w}} b. Montrer que pour tout réel x non nul, on a h(x)=x\;\left(\dfrac {\text e ^x}{x}-1\right).
{\white{w}} c. En déduire la limite de h en + infini et \displaystyle{\lim_{\substack{x\to +\infty}}\dfrac{h(x)}{x}. Que peut-on en déduire pour la courbe (Ch ) ?
3. a. Montrer que la droite (deltamaj) d'équation y=-x est une asymptote oblique à (Ch ) en - infini.
{\white{w}} b. Préciser la position de (Ch ) par rapport à (deltamaj).
4. a. Déterminer la dérivée h ' de h sur R.
{\white{w}} b. Etudier le signe de h ' (x) , pour tout x de R.
{\white{w}} c. Dresser le tableau de variations de h.
5. Construire dans le repère la droite (deltamaj) et la courbe (Ch ).




Bac L Sénégal 2021

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6 points

exercice 1

Soit (xi  , yi ) , 1 infegal i infegal n  (n  appartient N* ) une série statistique double.

1.  La droite de régression de y  en x  a pour coefficient directeur  \overset{{\white{.}}}{{\red{a=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{V(x)}}}}  où V(x ) est la variance de x  et cov(x ,y ) la covariance de (x ,y ).

2.  Le coefficient de corrélation linéaire est  \overset{{\white{.}}}{{\red{r=\dfrac{\text{cov}(x\,,\,y)}{\sqrt{V(x)\times V(y)}}}}}  où V(x ) est la variance de x , V(y ) est la variance de y  et cov(x ,y ) la covariance de (x ,y ).

3.  Si le coefficient de corrélation linéaire r est nul alors les deux variables x  et y  sont indépendantes linéairement.

4.  Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points de coordonnées (xi  , yi ) est le nuage de points de la série statistique.

5.  La covariance de la série statistique est  {\red{\text{cov}(x,y)=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{i=n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{i=n}x_iy_i-\overline{x}\,\overline{y}}}}.

6.  La variance de x  est  V ( x ) = \dfrac 1 n \sum\limits _ {i=1} ^{i=n} (x_i- \overline x ) ^2 ={\red{\dfrac{1}{n} \sum\limits _ {i=1} ^{i=n} x_i^2-(\overline{x})^2}}.

6 points

exercice 2

Une banque propose, pour un placement d'un montant de 10 000 F CFA fait le premier janvier 2020, un taux d'intérêt annuel de 4% auquel s'ajoute une prime fixe de 500 F CFA versée à la fin de chaque année.
On appelle C 0 le capital initial et Cn  celui obtenu le premier janvier 2020 + n  (c'est-à-dire le capital obtenu n  années plus tard).

{\red{1.\ }}\ \boxed{C_0=10\,000} \\\\C_1=C_0+0,04C_0+500 \\\phantom{C_1}=(1+0,04)C_0+500 \\\phantom{C_1}=1,04C_0+500 \\\phantom{C_1}=1,04\times10\,000+500 \\\phantom{C_1}=10\,400+500 \\\\\Longrightarrow\boxed{C_1=10\,900} \\\\C_2=C_1+0,04C_1+500 \\\phantom{C_2}=(1+0,04)C_1+500 \\\phantom{C_2}=1,04C_1+500 \\\phantom{C_2}=1,04\times10\,900+500 \\\phantom{C_2}=11\,336+500 \\\\\Longrightarrow\boxed{C_2=11\,836}

2.  Pour tout entier naturel n ,

C_{n+1}=C_n+0,04C_n+500 \\\phantom{C_{n+1}}=(1+0,04)C_n+500 \\\phantom{C_{n+1}}=1,04C_n+500 \\\\\Longrightarrow\boxed{C_{n+1}=1,04C_n+500}

3.  On pose, pour tout entier naturel n  :  U_n=C_n + 12 500.

{\red{3.\text{ a) }}}U_0=C_0+12\,500 \\\phantom{{\red{3.\text{a) }}}U_0}=10\,000+12\,500 \\\\\phantom{{\red{3.\text{a) }}}}\Longrightarrow\boxed{U_0=22\,500}  \\\\\phantom{{\red{3. \text{a) }}}}U_1=C_1+12\,500 \\\phantom{{\red{3.\text{a) }}}U_1}=10\,900+12\,500 \\\\\phantom{{\red{3.\text{a) }}}}\Longrightarrow\boxed{U_1=23\,400}

{\red{3. \text{ b) }}}U_{n+1}=C_{n+1}+12\,500 \\\phantom{{\red{3.\text{b) }}}U_{n+1}}=1,04C_n+500+12\,500 \\\phantom{{\red{3.\text{b) }}}U_{n+1}}=1,04C_n+13\,000 \\\phantom{{\red{3.\text{b) }}}U_{n+1}}=1,04C_n+1,04\times12\,500 \\\phantom{{\red{3.\text{b) }}}U_{n+1}}=1,04(C_n+12\,500) \\\phantom{{\red{3.\text{b) }}}U_{n+1}}=1,04\,U_n \\\\\phantom{{\red{3.\text{b) }}}}\Longrightarrow\boxed{U_{n+1}=1,04\,U_n}

Nous en déduisons que la suite (Un ) est une suite géométrique de raison q  = 1,04 dont le premier terme est U 0 = 22 500.

3. c)  Le terme général de la suite (Un ) est  \overset{{\white{.}}}{U_n=U_0\times q^n} .
Donc, pour tout entier naturel n ,  \overset{{\white{.}}}{\boxed{U_n=22\,500\times 1,04^n}}

\forall\ n\in\N, \left\lbrace\begin{matrix}U_n=C_n+12\,500{\white{ww}}\\U_n=22\,500\times 1,04^n\end{matrix}\right.{\white{wwww}}\Longrightarrow{\white{ww}}C_n+12\,500=22\,500\times 1,04^n \\ {\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}}\Longrightarrow\boxed{\forall\ n\in\N,\ C_n=22\,500\times 1,04^n -12\,500}

8 points

exercice 3

On considère la fonction numérique h  définie par :  h(x)=\text{e}^x-x.

1.  L'ensemble de définition de h  est : Dh  = R.

{\red{2.\text{ a) }}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\\\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\end{matrix}\right.{\phantom{wwww}}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^x-x)=+\infty \\ {\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwiw}}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty}

2. b)  Pour tout réel x  non nul,

{\white{wwww}}x\;\left(\dfrac {\text e ^x}{x}-1\right)=x\times\dfrac {\text e ^x}{x}-x\times1 \\\phantom{x\;wwwwww}=\text e ^x-x \\\phantom{x\;wwwwww}=h(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{h(x)=x\;\left(\dfrac {\text e ^x}{x}-1\right)}

{\red{2.\text{ c) }}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty{\phantom{wwwwwwwwwwwwwww}}\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac {\text e ^x}{x}=+\infty\ (\text{croissances comparées})\end{matrix}\right.{\phantom{wwww}}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\lim\limits_{x\to+\infty}x\;\left(\dfrac {\text e ^x}{x}-1\right)=+\infty \\ {\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWi}}\Longrightarrow{\phantom{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=+\infty}

De plus,

h(x)=x\,\left(\dfrac {\text e ^x}{x}-1\right)\Longleftrightarrow\dfrac{h(x)}{x}=\dfrac {\text e ^x}{x}-1 \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac {\text e ^x}{x}=+\infty\ (\text{croissances comparées})\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac {\text e ^x}{x}-1\right)=+\infty \\\\ {\phantom{WWWWWWiWWWWWWWWWWWWi}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{h(x)}{x}=+\infty}

Nous en déduisons que la courbe (Ch ) admet une branche parabolique de direction (Oy) en +infini.

{\red{3.\text{ a) }}}\lim\limits_{x\to-\infty}[h(x)-(-x)]=\lim\limits_{x\to-\infty}[h(x)+x]=\lim\limits_{x\to-\infty}[(\text{e}^x-x)+x] =\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0 \\\\\phantom{www}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}[h(x)-(-x)]=0}
Par conséquent, la droite (deltamaj) d'équation y  = -x  est une asymptote oblique à (Ch ) en -infini.

3. b)  La position de (Ch ) par rapport à (deltamaj) est déterminée par le signe de la différence h (x )-(-x ).
Or  \overset{{\white{.}}}{h(x)-(-x)=\text{e}^x.}
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R, nous en déduisons que pour tout x  réel,  h (x )-(-x ) > 0.
Par conséquent, la courbe (Ch ) est entièrement située au-dessus de la droite (deltamaj).

4. a)  Pour tout x  réel,  h'(x)=\text{e}^x-1.

4. b)  Etudions le signe de h' (x ) pour tout réel x .

{\white{wwwwww}}\begin{matrix}\text e ^x -1<0\Longleftrightarrow \text e ^x <1\\\phantom{\text e ^x -1<0..}\Longleftrightarrow x<\ln1\\\phantom{\text e ^x -1<0}\Longleftrightarrow x<0\\\\\text e ^x -1=0\Longleftrightarrow x= 0\\\\\text e ^x -1>0\Longleftrightarrow x> 0\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{wwww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\h'(x)=\text e ^x - 1&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}

D'où h' (x ) < 0 sur l'intervalle ]-infini ; 0[
{\white{www}}h' (x ) > 0 sur l'intervalle ]0 ; +infini.[


4. c)  Nous en déduisons le tableau de variations de h .

{\white{wwwwww}} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\h'(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&+\infty&&&&+\infty\\h(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&1&&\\ \hline \end{array}

5.  Représentation graphique

Bac L Sénégal 2021 : image 6
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