Soit l'espace muni d'un repère orthonormal direct
On considère les points A(2 ; 1 ; 0), B(0 ; 1 ; 1), C(0 ; 3 ; 2) et K(0 ; 0 ; 1).
1. Nous devons déterminer les coordonnées du point G, isobarycentre de A, B et C.
D'où, les coordonnées du point G sont :
2. Nous devons calculer
Calculons les coordonnées des vecteurs et
Dès lors,
Nous en déduisons que les points A, B et C ne sont pas alignés car
3. Nous devons déterminer l'équation du plan (ABC).
Le vecteur est un vecteur normal au plan (ABC).
Soit M (x ; y ; z ) un point quelconque du plan (ABC).
Par conséquent, une équation du plan (ABC) est
4) L'isobarycentre G des trois points A, B, C est le centre de gravité du triangle ABC (point d'intersection des médianes).
Dès lors, les points A, B, C et G sont coplanaires.
Les points A, B, C et K sont coplanaires si le point K appartient au plan (ABC).
Déterminons si les coordonnées du point K vérifient l'équation du plan (ABC).
Puisque les coordonnées du point K ne vérifient pas l'équation du plan (ABC), les points A, B, C et K ne sont pas coplanaires.
Dès lors, les points A, B, C, G et K ne sont pas coplanaires.
5. Nous devons déterminer une représentation paramétrique de la droite (OK).
Soit M (x ; y ; z ) un point quelconque de la droite (OK).
M (OK) les vecteurs et sont colinéaires.
Par conséquent, une représentation paramétrique de la droite (OK) est
6. Nous devons déterminer les coordonnées du point I, point de percée de la droite (OK) avec la plan (ABC).
Les coordonnées du point I sont la solution du système en x , y , z suivant :
D'où, les coordonnées du point I sont
7. Calculons l'aire du triangle ABC.
5 points
exercice 2
On considère l'équation
1. Montrons que (E) admet une solution réelle z0.
z0 = 3 vérifie l'équation (1) car
Nous en déduisons que (E) admet la solution réelle z0 = 3.
2. Montrons que (E) admet une solution imaginaire pure z1.
z1 est un nombre imaginaire pur il existe un nombre réel y tel que z1 = iy .
Nous en déduisons que (E) admet la solution imaginaire pure z1 = 2i.
3. Résolvons l'équation (E).
Nous savons que 3 et 2i sont deux solutions de (E).
Nous pouvons donc factoriser le membre de gauche par (z - 3)(z - 2i).
Donc
Déterminons les valeurs de a et de b .
Supposons que la forme factorisée soit développée.
Dans ce cas, les termes en z3 des deux membres doivent être égaux.
Il en est de même pour les termes indépendants de chaque membre.
Dès lors, nous obtenons :
D'où
Dès lors,
L'ensemble des solutions de l'équation (E) est
4. On considère les points A(3), B(2i) et C(6-2i).
4. a) Placement des points A, B et C.
Il s'ensuit que AB = AC et que
4. d) Nous en déduisons que les points A, B et C sont alignés et que A est le milieu de [CD].
5. La transformation S d'écriture complexe est une rotation autour de O d'un angle
10 points
probleme
Soient f et g deux fonctions définies sur ]0 ; +[ par et
Partie A :
1. Nous devons calculer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
2. La fonction g est dérivable sur ]0 ; +[ (comme somme de fonctions dérivables sur ]0 ; +[).
Il s'ensuit que la fonction g est strictement décroissante sur l'intervalle ]0 ; +[.
Tableau de variations de g
3. La fonction g est définie, continue et strictement décroissante sur l'intervalle et
D'où
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation g (x ) = 0 possède une et une seule solution notée dans l'intervalle
D'où
4. Tableau de variations de g complété.
Nous pouvons ainsi déduire le signe de g (x ).
g(x) > 0 sur l'intervalle ]- ; [ g(x) < 0 sur l'intervalle ] ; +[.
Partie B :
1. Nous devons calculer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
2. a) La fonction f est dérivable sur ]0 ; +[ (comme somme de fonctions dérivables sur ]0 ; +[).
2. b) Nous avons montré dans la partie A que est l'unique solution de l'équation g (x ) = 0.
Dès lors,
D'où
Par conséquent,
Nous savons que pour tout x de ]0 ; +[,
Par conséquent, nous pouvons dresser le tableau de variations de f.
3. Nous devons étudier le comportement de (Cf ) à l'infini.
3. a)Calculons
Calculons
Posons : x = t2.
D'où, en utilisant ce dernier résultat et les croissances comparées, nous obtenons :
Calculons
Nous en déduisons que (Cf ) présente une branche parabolique de direction asymptotique la droite d'équation y = x en +.
3. b) Soit (D ) la droite d'équation y = x.
Nous devons étudier la position relative de (Cf ) et de (D ).
Etudions le signe de f (x ) - x .
Tableau de signes de f (x ) - x .
Par conséquent,
sur l'intervalle ]0 ; e-2[, (Cf ) est au-dessus de (D ), sur l'intervalle ]e-2 ; 1[, (Cf ) est en dessus de (D ), sur l'intervalle ]1 ; +[, (Cf ) est au-dessus de (D ).
4. Représentation graphique de (Cf ) et de (D ).
5. Soit F la fonction définie sur ]0 ; +[ par :
5. a) Vérifions que F est une primitive de f sur ]0 ; +[.
F est dérivable sur ]0 ; +[.
D'où, la fonction F est une primitive de f sur ]0 ; +[
5. b) L'aire en cm2 du domaine délimité par (Cf ), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 1 et x = 3 est donnée par
Calculons par la méthode d'intégration par parties.
Par conséquent,
Publié par malou
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Hiphigenie / malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !
.})
}})
et 
\\\overset{}{B(0\,;1\,;1)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AB} \, \begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A \\ z_B-z_A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0-2\\1-1\\1-0 \end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB} \, \begin{pmatrix} -2\\0\\1 \end{pmatrix}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}A(2\,;1\,;0)\\\overset{}{C(0\,;3\,;2)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AC} \, \begin{pmatrix} x_C-x_A\\ y_C-y_A \\ z_C-z_A \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0-2\\3-1\\2-0 \end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC} \, \begin{pmatrix} -2\\2\\2 \end{pmatrix}} )
\overrightarrow{i}-(-4+2)\overrightarrow{j}+(-4-0)\overrightarrow{k} \\\\\phantom{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}}=-2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}})
est un vecteur normal au plan (ABC).\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{n} \\\phantom{M\in(ABC)}\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0 \\\\\text{Or }\bullet\left\lbrace\begin{matrix}A(2\,;\,1\,;\,0)\\M(x\,;\,y\,;\,z)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AM}:\begin{pmatrix}x-2\\y-1\\z\end{pmatrix} \\\\\phantom{\text{Or }}\bullet\overrightarrow{n}:\begin{pmatrix}-2\\2\\-4\end{pmatrix} \\\\\text{D'où }\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0\Longleftrightarrow-2(x-2)+2(y-1)-4z=0 \\\phantom{\text{D'où }\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0}\Longleftrightarrow(x-2)-(y-1)+2z=0 \\\phantom{\text{D'où }\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{n}=0}\Longleftrightarrow \boxed{x-y+2z-1=0})
(OK) 
les vecteurs 
et 
sont colinéaires.\Longleftrightarrow\exists\,t\in\R:\overrightarrow{OM}=t\,\overrightarrow{OK} \\\\\phantom{M\in(OK)}\Longleftrightarrow\exists\,t\in\R:\left\lbrace\begin{matrix}x=t\times0\\y=t\times0\\z=t\times1\end{matrix}\right. \\\\\phantom{M\in(OK)}\Longleftrightarrow\exists\,t\in\R:\left\lbrace\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=t\end{matrix}\right.)
}\,.)
.)
du triangle ABC.
^2+2^2+(-4)^2}=\dfrac{1}{2}\,\sqrt{4+4+16} \\\\\phantom{x}=\dfrac{1}{2}\,\sqrt{24}=\dfrac{1}{2}\times2\sqrt{6}=\sqrt{6} \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=\sqrt{6}})
:z^3-9z^2+(22+12\text{i})z-12-36\text{i}=0.)
\Longleftrightarrow z_0^3-9z_0^2+(22+12\text{i})z_0-12-36\text{i}=0 \\\\\phantom{z_0\in\R\text{ est solution de }(E)}\Longleftrightarrow z_0^3-9z_0^2+22z_0+12\text{i}z_0-12-36\text{i}=0 \\\\\phantom{z_0\in\R\text{ est solution de }(E)}\Longleftrightarrow (z_0^3-9z_0^2+22z_0-12)+(12z_0-36)\text{i}=0 \\\\\phantom{z_0\in\R\text{ est solution de }(E)}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}z_0^3-9z_0^2+22z_0-12=0\\12z_0-36=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{z_0\in\R\text{ est solution de }(E)}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}z_0^3-9z_0^2+22z_0-12=0\phantom{x}(1)\\z_0=3\end{matrix}\right.)
\Longleftrightarrow (\text{i}y)^3-9(\text{i}y)^2+(22+12\text{i})\text{i}y-12-36\text{i}=0 \\\\\phantom{z_0\in\R\text{ est solution de }(E)}\Longleftrightarrow -\text{i}y^3+9y^2+22\text{i}y-12y-12-36\text{i}=0 \\\\\phantom{z_0\in\R\text{ est solution de }(E)}\Longleftrightarrow (9y^2-12y-12)-(y^3-22y+36)\text{i}=0 \\\\\phantom{z_0\in\R\text{ est solution de }(E)}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}9y^2-12y-12=0\\y^3-22y+36=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{z_0\in\R\text{ est solution de }(E)}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}3y^2-4y-4=0\phantom{www}(1)\\y^3-22y+36=0\phantom{ww.}(2)\end{matrix}\right.)
^2-4\times3\times(-4)=16+48=64>0 \\\\\phantom{\bullet\phantom{ww}}\text{Racines : }y_1=\dfrac{4-\sqrt{64}}{6}=\dfrac{4-8}{6}=-\dfrac{4}{6}=-\dfrac{2}{3} \\\\\phantom{\bullet\phantom{ww}\text{Racines : }}y_2=\dfrac{4+\sqrt{64}}{6}=\dfrac{4+8}{6}=\dfrac{12}{6}=2 \\\\\bullet\phantom{ww}\text{Si }y=-\dfrac{2}{3}, \text{alors l'équation (2) n'est pas vérifiée car }\left(-\dfrac{2}{3}\right)^3-22\times\left(-\dfrac{2}{3}\right)+36=-\dfrac{584}{27}\neq0 \\\\\phantom{\bullet\phantom{ww}}\text{Si }y=2, \text{alors l'équation (2) est vérifiée car }2^3-22\times2+36=8-44+36=0)
z-12-36\text{i}=(z-3)(z-2\text{i})(az+b)\phantom{w}\text{ où }\phantom{w}a,\,b\in\C.)
(-2\text{i})b=-12-36\text{i}\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longleftrightarrow\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}a=1\phantom{WWW}\\6\text{i}b=-12-36\text{i}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}a=1\phantom{WWW.}\\b=\dfrac{-12-36\text{i}}{6\text{i}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}a=1\phantom{WWW}\\b=\dfrac{-2-6\text{i}}{\text{i}}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}a=1\phantom{WWWWWWW}\\b=\dfrac{-2\text{i}+6}{\text{i}\times\text{i}}=\dfrac{-2\text{i}+6}{-1}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW.}\Longleftrightarrow\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}a=1\phantom{WwW}\\b=-6+2\text{i}\end{matrix}\right.)
z-12-36\text{i}=(z-3)(z-2\text{i})(z-6+2\text{i}).)
\Longleftrightarrow z^3-9z^2+(22+12\text{i})z-12-36\text{i}=0 \\\\\phantom{(E)}\Longleftrightarrow(z-3)(z-2\text{i})(z-6+2\text{i})=0 \\\\\phantom{(E)}\Longleftrightarrow z-3=0\phantom{(E)}\text{ou}\phantom{(E)}z-2\text{i}=0\phantom{(E)}\text{ou}\phantom{(E)}z-6+2\text{i}=0 \\\\\phantom{(E)}\Longleftrightarrow \boxed{z=3}\phantom{(E)}\text{ou}\phantom{(E)}\boxed{z=2\text{i}}\phantom{(E)}\text{ou}\phantom{(E)}\boxed{z=6-2\text{i}})
![{\red{4.\text{ b) }}}\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{6-2\text{i}-3}{2\text{i}-3}=\dfrac{3-2\text{i}}{-3+2\text{i}}=-1 \\\\\phantom{{\red{4.\text{ b) }}}}\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=-1} \\\\\\ {\red{4.\text{ c) }}}\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=-1\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\left|\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=1\\\\\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\pi[2\pi]\end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{4.\text{ b) }}}\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\dfrac{6-2\text{i}-3}{2\text{i}-3}=\dfrac{3-2\text{i}}{-3+2\text{i}}=-1 \\\\\phantom{{\red{4.\text{ b) }}}}\Longrightarrow\boxed{\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=-1} \\\\\\ {\red{4.\text{ c) }}}\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=-1\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\left|\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=1\\\\\arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)=\pi[2\pi]\end{matrix}\right.)
![\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\pi[2\pi].](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\pi[2\pi].)
est une rotation autour de O d'un angle 
[ par =\dfrac{1}{2}\ln^2x+\ln x+x)
et =-x-1-\ln x.)
=+\infty \\\phantom{WWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=+\infty} \\\\ \bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to+\infty}(-x-1-\ln x)=-\infty \\\phantom{WWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty})
=-x'-1'-(\ln x)'=-1-0-\dfrac{1}{x} \\\phantom{g'(x)}=-1-\dfrac{1}{x} =\dfrac{-x-1}{x} \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=-\dfrac{x+1}{x}})
![x\in\,]0\,;\,+\infty[\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}x>0\\x+1>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{x\in\,]0\,;\,+\infty[}\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\dfrac{x+1}{x}>0 \\\overset{}{\phantom{x\in\,]0\,;\,+\infty[}\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}-\dfrac{x+1}{x}<0} \\\overset{}{\phantom{x\in\,]0\,;\,+\infty[}\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{g'(x)<0}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?x\in\,]0\,;\,+\infty[\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\left\lbrace\begin{matrix}x>0\\x+1>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{x\in\,]0\,;\,+\infty[}\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\dfrac{x+1}{x}>0 \\\overset{}{\phantom{x\in\,]0\,;\,+\infty[}\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}-\dfrac{x+1}{x}<0} \\\overset{}{\phantom{x\in\,]0\,;\,+\infty[}\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{g'(x)<0}})
&&&-&&\\&&&&&\\\hline&+\infty&&&&\\g(x)&&&\searrow&&\\&&&&&-\infty\\ \hline \end{array})
![\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{]0\,;\,+\infty[.})
=+\infty})
et =-\infty.} )
![\overset{{\white{.}}}{ 0\in g(]0\,;\,+\infty[).}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{ 0\in g(]0\,;\,+\infty[).})
dans l'intervalle =-0,2-1-\ln 0,2\approx0,409>0 \\\\g(0,3)=-0,3-1-\ln 0,3\approx-0,096<0\end{matrix}\right.)
&&\searrow&0&\searrow&\\&&&&&-\infty\\ \hline \end{array})
g(x) > 0 sur l'intervalle ]-![\forall\,x\in\,\,]0\,;\,+\infty[,\, f(x)=\dfrac{1}{2}\ln^2x+\ln x+x \\\\\Longleftrightarrow\forall\,x\in\,\,]0\,;\,+\infty[, \boxed{f(x)=\ln x\,(\dfrac{1}{2}\ln x+1)+x} \\\\\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{1}{2}\ln x+1\right)=-\infty\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to0^+}\left[\ln x\,(\dfrac{1}{2}\ln x+1)+x\right]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty} \\\\ \bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty }\ln x=+\infty\\\\\lim\limits_{x\to+\infty }\left(\dfrac{1}{2}\ln x+1\right)=+\infty\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to+\infty }\left[\ln x\,(\dfrac{1}{2}\ln x+1)+x\right]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWwWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty }f(x)=+\infty}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall\,x\in\,\,]0\,;\,+\infty[,\, f(x)=\dfrac{1}{2}\ln^2x+\ln x+x \\\\\Longleftrightarrow\forall\,x\in\,\,]0\,;\,+\infty[, \boxed{f(x)=\ln x\,(\dfrac{1}{2}\ln x+1)+x} \\\\\bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to0^+}\left(\dfrac{1}{2}\ln x+1\right)=-\infty\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to0^+}\left[\ln x\,(\dfrac{1}{2}\ln x+1)+x\right]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWiWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty} \\\\ \bullet\phantom{w}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty }\ln x=+\infty\\\\\lim\limits_{x\to+\infty }\left(\dfrac{1}{2}\ln x+1\right)=+\infty\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\lim\limits_{x\to+\infty }\left[\ln x\,(\dfrac{1}{2}\ln x+1)+x\right]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWwWW}\Longrightarrow\phantom{w}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty }f(x)=+\infty} )
![f'(x)=\dfrac{1}{2}(\ln^2x)'+(\ln x)'+x' \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{2}\times2(\ln x)'\,\ln x+\dfrac{1}{x}+1 \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{x}\,\ln x+\dfrac{1}{x}+1 \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\ln x+1+x}{x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,\,]0\,;\,+\infty[,\,f'(x)=\dfrac{1+x+\ln x}{x}} \\\\f'(x)=\dfrac{1+x+\ln x}{x} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{-(-1-x-\ln x)}{x} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{-g(x)}{x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,\,]0\,;\,+\infty[,\,f'(x)=-\dfrac{g(x)}{x}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x)=\dfrac{1}{2}(\ln^2x)'+(\ln x)'+x' \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{2}\times2(\ln x)'\,\ln x+\dfrac{1}{x}+1 \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{x}\,\ln x+\dfrac{1}{x}+1 \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\ln x+1+x}{x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,\,]0\,;\,+\infty[,\,f'(x)=\dfrac{1+x+\ln x}{x}} \\\\f'(x)=\dfrac{1+x+\ln x}{x} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{-(-1-x-\ln x)}{x} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{-g(x)}{x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,\,]0\,;\,+\infty[,\,f'(x)=-\dfrac{g(x)}{x}})
=0\Longleftrightarrow -\alpha-1-\ln \alpha=0 \\\phantom{g(\alpha)=0}\Longleftrightarrow \ln \alpha=-\alpha-1)
^2\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longleftrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix} \ln \alpha=-\alpha-1\\ \ln^2 \alpha=\alpha^2+2\alpha+1\end{matrix}\right.)
=\dfrac{1}{2}\ln^2\alpha+\ln \alpha+\alpha =\dfrac{1}{2}(\alpha^2+2\alpha+1)+(-\alpha-1)+\alpha \\\\\phantom{f(\alpha)}=\dfrac{1}{2}\alpha^2+\alpha+\dfrac{1}{2}-\alpha-1+\alpha =\dfrac{1}{2}\alpha^2+\alpha-\dfrac{1}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(\alpha)=\dfrac{1}{2}\alpha^2+\alpha-\dfrac{1}{2}})
=-\dfrac{g(x)}{x}=\dfrac{g(x)}{-x}.)
&||&+&0&-&\\-x&||&-&-&-&\\\hline &||&&&&\\f'(x)&||&-&0&+&\\ &||&&&&\\\hline&+\infty&&&&+\infty\\f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&\dfrac{1}{2}\alpha^2+\alpha-\dfrac{1}{2}&&\\ \hline \end{array})
Calculons }{x}.)
}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\frac{1}{2}\ln^2x+\ln x+x}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{\frac{1}{2}\ln^2x}{x}+\dfrac{\ln x}{x}+\dfrac{x}{x}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\ln^2x}{x}+\dfrac{\ln x}{x}+1\right)})
 \\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln^2x}{x}}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln^2x}{x}=0})
}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\,\dfrac{\ln^2x}{x}+\dfrac{\ln x}{x}+1\right) =\dfrac{1}{2}\times0+0+1=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1})
-x).)
-x)=\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{2}\ln^2x+\ln x+x-x) \\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}(\frac{1}{2}\ln^2x+\ln x) \\\phantom{\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)}=\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x\,(\frac{1}{2}\ln x+1) \\\\\text{Or }\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x\,(\frac{1}{2}\ln x+1)=+\infty \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}(f(x)-x)=+\infty})
-x=\frac{1}{2}\ln^2x+\ln x+x-x \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)-x}=\frac{1}{2}\ln^2x+\ln x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{f(x)-x}=\ln x\,(\frac{1}{2}\ln x+1)} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)-x=\ln x\,(\frac{1}{2}\ln x+1)})
-x&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\ \hline \end{array})
=\dfrac{1}{2}\,x\,\ln^2x+\dfrac{x^2}{2}.)
![F\,'(x)=\frac{1}{2}\,\left(x\,\ln^2x\right)'+\frac{1}{2}(x^2)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=\frac{1}{2}\,\left[x'\times\ln^2x+x\times(\ln^2x)'\right]+\frac{1}{2}\times2x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=\frac{1}{2}\,\left[1\times\ln^2x+x\times2\times(\ln x)'\times\ln x\right]+x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=\frac{1}{2}\,\left[\ln^2x+x\times2\times(\dfrac{1}{x})\times\ln x\right]+x} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=\frac{1}{2}\,\left[\ln^2x+2\,\ln x\right]+x} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=\frac{1}{2}\ln^2x+\ln x+x} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=f(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\,]0\,;\,+\infty[,\ F\,'(x)=f(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F\,'(x)=\frac{1}{2}\,\left(x\,\ln^2x\right)'+\frac{1}{2}(x^2)' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=\frac{1}{2}\,\left[x'\times\ln^2x+x\times(\ln^2x)'\right]+\frac{1}{2}\times2x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=\frac{1}{2}\,\left[1\times\ln^2x+x\times2\times(\ln x)'\times\ln x\right]+x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=\frac{1}{2}\,\left[\ln^2x+x\times2\times(\dfrac{1}{x})\times\ln x\right]+x} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=\frac{1}{2}\,\left[\ln^2x+2\,\ln x\right]+x} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=\frac{1}{2}\ln^2x+\ln x+x} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F\,'(x)}=f(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\,]0\,;\,+\infty[,\ F\,'(x)=f(x)})
\,\text d x\end{aligned}.)
\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{{A}}=\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}+\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned}+\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}x\,\text d x\end{aligned})
par la méthode d'intégration par parties.![\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_1^{3}-\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\frac{1}{2}\ln^2x\phantom{www}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=\dfrac{1}{2}\times2\times\dfrac{1}{x}\times\ln x=\dfrac{\ln x}{x}\phantom{ww}\\v'(x)=1\phantom{wwwwww}\Longrightarrow\phantom{W}v(x)=x\phantom{WWwwwwWWWW....ww}\end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_1^{3}-\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=\frac{1}{2}\ln^2x\phantom{www}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=\dfrac{1}{2}\times2\times\dfrac{1}{x}\times\ln x=\dfrac{\ln x}{x}\phantom{ww}\\v'(x)=1\phantom{wwwwww}\Longrightarrow\phantom{W}v(x)=x\phantom{WWwwwwWWWW....ww}\end{matrix}\right. )
![\text{Dès lors, }\ \begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{\dfrac{1}{2}\,x\ln^2x}\right]\limits_1^{3}- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3} \dfrac{\ln x}{x}\times x\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ \begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}}=\left[\overset{}{\dfrac{1}{2}\,x\ln^2x}\right]\limits_1^{3}- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Dès lors, }\ \begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{\dfrac{1}{2}\,x\ln^2x}\right]\limits_1^{3}- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3} \dfrac{\ln x}{x}\times x\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ \begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}}=\left[\overset{}{\dfrac{1}{2}\,x\ln^2x}\right]\limits_1^{3}- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned})
![\\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ \begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}}=\left[\overset{}{\dfrac{1}{2}\times3\ln^23-\dfrac{1}{2}\times1\ln^21}\right]- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned} \\\phantom{\text{Dès lors, }\ \begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}}=\left[\overset{}{\dfrac{1}{2}\times3\ln^23-0}\right]- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned} \\\phantom{\text{Dès lors, }\ \begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}}=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23}- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned} \\\\\Longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23}- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\\\phantom{\text{Dès lors, }\ \begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}}=\left[\overset{}{\dfrac{1}{2}\times3\ln^23-\dfrac{1}{2}\times1\ln^21}\right]- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned} \\\phantom{\text{Dès lors, }\ \begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}}=\left[\overset{}{\dfrac{1}{2}\times3\ln^23-0}\right]- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned} \\\phantom{\text{Dès lors, }\ \begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}}=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23}- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned} \\\\\Longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\dfrac{1}{2}\ln^2x\,\text d x\end{aligned}=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23}- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned}})
+\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned}+\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}x\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{A}=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23- \begin{aligned}\int\nolimits_1^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned}}+\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}\ln x\,\text d x\end{aligned}+\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}x\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{A}=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23}+\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{3}x\,\text d x\end{aligned} )
![\\\phantom{A}=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23}+\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^3 \\\phantom{A}=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23}+\left(\dfrac{3^2}{2}-\dfrac{1^2}{2}\right)=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23}+\left(\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}\right) \\\phantom{A}=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23+4} \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=\overset{}{\left(\dfrac{3}{2}\ln^23+4\right)\,\text{cm}^2\approx5,81\,\text{cm}^2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\phantom{A}=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23}+\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_1^3 \\\phantom{A}=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23}+\left(\dfrac{3^2}{2}-\dfrac{1^2}{2}\right)=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23}+\left(\dfrac{9}{2}-\dfrac{1}{2}\right) \\\phantom{A}=\overset{}{\dfrac{3}{2}\ln^23+4} \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}=\overset{}{\left(\dfrac{3}{2}\ln^23+4\right)\,\text{cm}^2\approx5,81\,\text{cm}^2}})
Publié par malou
le
Voir l'énoncé seul
forum de terminale