Fiche de mathématiques

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Bac S1-S1A-S3 (bis) Sénégal 2021

Coefficient : 8

Durée : 4 heures

5,5 points

exercice 1

Bac S1-S1A-S3 Sénégal 2021 (bis) : image 2

4,5 points

exercice 2

Bac S1-S1A-S3 Sénégal 2021 (bis) : image 5

Bac S1-S1A-S3 Sénégal 2021 (bis) : image 4

10 points

probleme

Bac S1-S1A-S3 Sénégal 2021 (bis) : image 6

Bac S1-S1A-S3 Sénégal 2021 (bis) : image 1

$\red{ \textbf{ Attention : deux erreurs se sont glissées dans la partie C de cet énoncé.}}$

$\white{www}$ 3. a ) $\white{w}$ Les membres extrêmes de la double inégalité doivent être permutées. l'inégalité à démontrer est donc :

$\white{wwwwwww}$ $\dfrac{1}{2n}\,g_1\left(1+\frac{k}{2n}\right)\le\begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} g_1(x)\,\text d x\end{aligned} \le \dfrac{1}{2n}\,g_1\left(1+\frac{k+1}{2n}\right)$

$\white{www}$ $\white{w}$ b ) $\white{w}$ $g_1(1)$ doit être remplacé par $g_1(\frac{3}{2})$ ce qui donne :

$\white{wwwwwww}$ Déduisez-en que : ${\white{www}}S_n-\frac{1}{2n}\,g_1(\frac{3}{2})\le I_1(\frac{3}{2})\le S_n$

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Bac S1-S1A-S3 Sénégal 2021 (bis)

5,5 points

exercice 1

1. On considère les cercles (C ) et (C' ) de centres respectifs O et O' , de rayons respectifs r et 2r , tangents intérieurement en A .
On note A' le point de (C' ) diamétralement opposé à A sur (C' ).
Soit M un point de (C ), distinct de A et de O' et soit M' un point de (C' ) tel que le triangle AMM' soit rectangle en A .
Soit enfin I le point tel que $\overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{OO'}.$

1. a) Figure représentant la situation avec r = 2 cm.

Bac S1-S1A-S3 Sénégal 2021 (bis) : image 9

1. b) Montrons que les points A , O , O' et A' sont alignés.

Soit (t ) la tangente commune aux deux cercles (C ) et (C' ) en A .
Nous savons que (t ) est perpendiculaire au rayon du cercle (C ) passant par A .
Donc (t ) est perpendiculaire à la droite (OA ).
De même, (t ) est perpendiculaire au rayon du cercle (C' ) passant par A .
Donc (t ) est perpendiculaire à la droite (O'A ).
Or il n'existe qu'une seule droite perpendiculaire à une droite donnée en un de ses points.
Dès lors, les droites (OA ) et (O'A ) sont confondues.
Nous en déduisons que les points A , O et O' sont alignés.
De plus, par définition, A' est le point de (C' ) diamétralement opposé à A sur (C' ).
Nous en déduisons que les points A , O' et A' sont alignés.

Par conséquent, les points A , O , O' et A' sont alignés.

2. Soit h_k une homothétie de rapport k transformant (C ) et (C' ).

2. a) Déterminons les valeurs possibles de k .

Notons r' le rayon du cercle (C' ).
Nous savons par construction que r' = 2r .

$(C')=h_k((C))\Longrightarrow r'=|k|\times r \\\phantom{(C')=h_k((C))}\Longrightarrow 2r=|k|\times r \\\phantom{(C')=h_k((C))}\Longrightarrow 2=|k| \\\phantom{(C')=h_k((C))}\Longrightarrow \boxed{k=2\phantom{ww}\text{ou}\phantom{ww}k=-2}$

2. b) Déterminons le centre de h_k .

Premier cas : k = 2.
Les points A, O et O' sont alignés dans cet ordre (voir question 1. b)
De plus, AO = r et AO' = 2r .
D'où $\overrightarrow{AO'}=2\overrightarrow{AO.}$
Par conséquent, le centre de l'homothétie h ₂ est le point A.

Second cas : k = -2.
Par la relation de Chasles, nous savons que $\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IO'}=\overrightarrow{OO'}.$
En utilisant la définition du point I , nous obtenons : $\overrightarrow{OI}=\dfrac{1}{3}\,\overrightarrow{OO'}\Longleftrightarrow\overrightarrow{OO'}=3\,\overrightarrow{OI}.$
Il s'ensuit que :

$\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IO'}=3\,\overrightarrow{OI}\Longleftrightarrow\overrightarrow{IO'}=3\, \overrightarrow{OI}-\overrightarrow{OI} \\\phantom{\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IO'}=3\,\overrightarrow{OI}}\Longleftrightarrow\overrightarrow{IO'}=2\,\overrightarrow{OI} \\\phantom{\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IO'}=3\,\overrightarrow{OI}}\Longleftrightarrow\boxed{\overrightarrow{IO'}=-2\,\overrightarrow{IO}}$
Par conséquent, le centre de l'homothétie h _(-2) est le point I .

2. c) On note M ₁ = h ₂(M ).
Par définition de M ₁, il découle que M ₁ appartient au cercle (C' ) et à la droite (AM ).
De plus, le triangle AMM' est rectangle en A et par conséquent, le triangle AM ₁M' est rectangle en A .
Rappel du théorème du cercle circonscrit d'un triangle rectangle : Si le triangle AM₁M' est rectangle en A, alors son cercle circonscrit est le cercle de diamètre [M₁M'].
D'où le point M ₁ est le point de (C' ) diamétralement opposé à M' sur (C' ).

2. d) Nous déduisons de la question précédente que $\overrightarrow{O'M'}=-\overrightarrow{O'M_1}.$
Or $\overrightarrow{O'M_1}=2\overrightarrow{OM}$ car M₁ = h ₂(M).
D'où $\overrightarrow{O'M'}=-2\overrightarrow{OM}.$
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{{\boxed{M'=h_{-2}(M)}\,.}}$
Etant donné que l'homothétie h _(-2) admet le point I comme centre, nous en déduisons que la droite (MM' ) passe par le point fixe I lorsque le point M décrit le cercle (C ) privé des points A et O' .

3. La droite (MM' ) coupe (C ) en N et (C' ) en N' .
Déterminons h _(-2)(N ).

h _(-2)(N ) est un point de (C' ) car N est un point de (C ).
h _(-2)(N ) est un point de la droite (IN ) car I est le centre de l'homothétie h _(-2).
Donc h _(-2)(N ) est le point d'intersection de (C' ) et (IN ).
Il s'ensuit que h _(-2)(N ) est soit le point N' , soit le point M' .
Or nous savons que M' = h _(-2)(M ) et que M et N sont deux points distincts.
D'où h _(-2)(N ) ne peut pas être égal à M' .
Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\boxed{h_{(-2)}(N)=N'}}$

4. La mesure d'un angle au centre d'un cercle est le double de celle d'un angle inscrit dans ce cercle interceptant le même arc.
Donc dans le cercle (C ) de centre O , nous obtenons : $(\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OM})=2(\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM})\,[2\pi].$
De même, dans le cercle (C' ) de centre O' , nous obtenons : $(\overrightarrow{O'N'},\overrightarrow{O'M'})=2(\overrightarrow{AN'},\overrightarrow{AM'})\,[2\pi].$
Or $(\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OM})=(\overrightarrow{O'N'},\overrightarrow{O'M'})\,[2\pi]$ car l'homothétie h _(-2) conserve la mesure des angles.
Par conséquent, $2(\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM})=2(\overrightarrow{AN'},\overrightarrow{AM'})\,[2\pi]$ , soit $\boxed{(\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM})=(\overrightarrow{AN'},\overrightarrow{AM'})\,[\pi]}$

Montrons que le triangle ANN' est rectangle en A .

$(\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AN'})={\red{(\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM})}}+{\blue{(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AM'})}}+{\red{(\overrightarrow{AM'},\overrightarrow{AN'})}}\,[\pi]\phantom{www}(1) \\\\ \text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}(\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM})=(\overrightarrow{AN'},\overrightarrow{AM'})\,[\pi]\\ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AM'})=\dfrac{\pi}{2}\,[\pi]\phantom{WWWw}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}{ \red{(\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM})+(\overrightarrow{AM'},\overrightarrow{AN'})=0\,[\pi]}}\\ {\blue{ (\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AM'})=\dfrac{\pi}{2}\,[\pi]}}\phantom{WWWWw}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\ (1)\Longleftrightarrow(\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AN'})={\red{0}}+{\blue{\dfrac{\pi}{2}}}\,[\pi] \\\phantom{www.ww}\Longleftrightarrow\boxed{(\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AN'})=\dfrac{\pi}{2}\,[\pi]}$
Par conséquent, le triangle ANN' est rectangle en A .

5. Soit J le milieu de [MM' ] et D le milieu de [OO' ].

5. a) Nous devons exprimer DJ en fonction de r .
Le point J est le milieu de [MM' ].

$\text{Donc }\ \overrightarrow{DM}+\overrightarrow{DM'}=(\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{JM})+(\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{JM'}) \\\phantom{\text{Donc }\ \overrightarrow{DM}+\overrightarrow{DM'}}=2\overrightarrow{DJ}+(\overrightarrow{JM}+\overrightarrow{JM'}) \\\phantom{\text{Donc }\ \overrightarrow{DM}+\overrightarrow{DM'}}=2\overrightarrow{DJ}+\overrightarrow{0} \\\phantom{\text{Donc }\ \overrightarrow{DM}+\overrightarrow{DM'}}=2\overrightarrow{DJ}$

Nous obtenons ainsi :

$2\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{DM'} \\\phantom{2\overrightarrow{DJ}}=(\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OM})+(\overrightarrow{DO'}+\overrightarrow{O'M'})\phantom{ww}(\text{relation de Chasles}) \\\phantom{2\overrightarrow{DJ}}=(\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{DO'})+(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{O'M'}) \\\phantom{2\overrightarrow{DJ}}=\overrightarrow{0}+(\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{O'M'})\phantom{xx}(\text{car D est le milieu de [OO'])} \\\phantom{2\overrightarrow{DJ}}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{O'M'} \\\phantom{2\overrightarrow{DJ}}=\overrightarrow{OM}-2\overrightarrow{OM}\phantom{xx}(\text{voir question 2. d)} \\\phantom{2\overrightarrow{DJ}}=-\overrightarrow{OM} \\\\\Longrightarrow2DJ=OM \\\phantom{\Longrightarrow}2DJ=r \\\\\Longrightarrow\boxed{DJ=\dfrac{r}{2}}$

5. b) Nous en déduisons que le point J appartient au cercle de centre D , milieu de [OO' ] et de rayon $\dfrac{r}{2}.$

4,5 points

exercice 2

1. Le nombre de groupes de 5 cyclistes choisis par 25 est égal à $\overset{{\white{.}}}{\begin{pmatrix}25\\5\end{pmatrix}=C_{25}^5=\dfrac{25!}{5!\,20!}=\dfrac{25\times24\times23\times22\times21}{5!}=\dfrac{25\times24\times23\times22\times21}{5\times4\times3\times2\times1}=53\,130.}$

Par conséquent, à l'issue de chaque étape, nous pouvons former 53 130 groupes possibles de 5 cyclistes choisis parmi les 25 cyclistes.

2. Soit E l'événement : "le cycliste portant le dossard numéro 10 a subi le contrôle prévu pour une étape donnée ".
Calculons la probabilité P(E).
Nous sommes dans une situation d'équiprobabilité.

$P(E)=\dfrac{\text{nombre de groupes de 5 cyclistes comprenant le cycliste portant le dossard numéro 10}}{\text{nombre de groupes de 5 cyclistes choisis par 25}}$

Les groupes de 5 cyclistes comprenant le cycliste portant le dossard numéro 10 se différencient par 4 cyclistes choisis parmi 24.
De tels groupent sont au nombre de $\overset{{\white{.}}}{\begin{pmatrix}24\\4\end{pmatrix}=C_{24}^4=\dfrac{24!}{4!\,20!}=\dfrac{24\times23\times22\times21}{4!}=\dfrac{24\times23\times22\times21}{4\times3\times2\times1}=10\,626.}$
D'où $P(E)=\dfrac{10\,626}{53\,130}$ , soit $\boxed{P(E)=0,2}$
Par conséquent, la probabilité le cycliste portant le dossard numéro 10 subisse le contrôle prévu pour une étape donnée est égale à 0,2.

3. On note X la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de contrôles subis par le cycliste portant le dossard numéro 10 sur l'ensemble des 10 étapes de la course.

3. a) Nous répétons 10 fois la même expérience aléatoire.
Tous les choix des cyclistes sont identiques et indépendants.
Chaque expérience n'a que deux issues :
"le cycliste portant le dossard numéro 10 a subi le contrôle" dont la probabilité est p = 0,2.
"le cycliste portant le dossard numéro 10 n'a pas subi le contrôle" dont la probabilité est : 1 - p = 0,8.
La variable aléatoire X suit donc la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,2.

3. b) Soit A l'événement : "Il a été contrôlé 5 fois".
$P(A)=P(X=5)=\begin{pmatrix}10\\5\end{pmatrix}\times(0,2)^5\times(1-0,2)^{10-5} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(A)=P(X=5)}=\dfrac{10!}{5!\times5!}\times(0,2)^5\times(0,8)^{5}\approx0,0264}$
Par conséquent, la probabilité que le cycliste portant le dossard numéro 10 ait été contrôlé 5 fois est environ égale à 0,0264 (valeur arrondie au dix-millième).

Soit B l'événement : "Il a été contrôlé au moins une fois".

$P(B)=P(X\ge1) \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(B)}=1-P(X=0)} \\\phantom{P(B)}=1-\begin{pmatrix}10\\0\end{pmatrix}\times(0,2)^0\times(1-0,2)^{10} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(B)}=1-1\times1\times(0,8)^{10}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P(B)}=1-(0,8)^{10}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P(B)}\approx0,8926}$
Par conséquent, la probabilité que le cycliste portant le dossard numéro 10 ait été contrôlé au moins une fois est environ égale à 0,8926 (valeur arrondie au dix-millième).

4. Pour un cycliste choisi au hasard, on appelle T l'événement : "le contrôle est positif".
On admet que P(T) = 0,05.
On note D l'événement : "le cycliste est dopé".
Soit x = P(D).
Les données de l'énoncé peuvent être représentée par l'arbre pondéré suivant :

Bac S1-S1A-S3 Sénégal 2021 (bis) : image 7

4. a) Nous devons déterminer P(D).
Les événements $\overset{{\white{.}}}{D}$ et $\overline{D}$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(T)=P(D\cap T)+P(\overline{D}\cap T) \\\phantom{P(T)}=P(D)\times P_{D}(T)+P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(T) \\\phantom{P(T)}=x\times0,97+(1-x)\times0,01 \\\phantom{P(T)}=0,97x+0,01-0,01x \\\phantom{P(T)}=0,96x+0,01 \\\\\text{Or }P(T)=0,05 \\\\\text{D'où }\phantom{w}0,96x+0,01=0,05 \\\phantom{wwww}0,96x=0,04 \\\phantom{wwww} x=\dfrac{0,04}{0,96}\approx0,0417$

Par conséquent, $\boxed{P(D)\approx0,0417}\,.$

4. b) Nous devons déterminer $P_T(\overline{D}).$

$P_T(\overline{D})=\dfrac{P(\overline{D}\cap T)}{P(T)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_T(\overline{D})}=\dfrac{P(\overline{D})\times P_{\overline{D}}(T)}{P(T)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_T(\overline{D})}=\dfrac{(1-P(D))\times P_{\overline{D}}(T)}{P(T)}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{P_T(\overline{D})}\approx\dfrac{(1-0,0417)\times 0,01}{0,05}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{P_T(\overline{D})}\approx0,1917}$

Par conséquent, la probabilité qu'un cycliste ayant un contrôle positif ne soit pas dopé est environ égale à 0,1917.

10 points

probleme

PARTIE A (3,5 points)

Soit n un entier naturel non nul, alpha

un réel strictement positif et $\overset{{\white{.}}}{g_{(\alpha,n)}}$ la fonction définie par :

$g_{(\alpha,n)}(x)=\dfrac{\sqrt{\ln\alpha x}}{x^n}.$

1. a) Nous devons déterminer le domaine de définition $\overset{{\white{.}}}{D_{g_{(\alpha,n)}}}$ de la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_{(\alpha,n)}}$ .

$g_{(\alpha,n)}(x)\in\R\phantom{xx}\Longleftrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}\alpha x>0\\\ln \alpha x\ge0\\x^n\neq0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{g_{(\alpha,n)}(x)\in\R\phantom{xx}}\Longleftrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}x>0\phantom{xx}(\text{car }\alpha>0)\\\alpha x\ge1\phantom{WWWWW}\\x\neq0\phantom{WWWWW}\end{matrix}\right. \\\\\phantom{g_{(\alpha,n)}(x)\in\R\phantom{xx}}\Longleftrightarrow\phantom{x}\left\lbrace\begin{matrix}x>0\\ x\ge\dfrac{1}{\alpha}\\\overset{{\white{.}}}{x\neq0}\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{D_{g_{(\alpha,n)}}=\left[\dfrac{1}{\alpha}\,;\,+\infty\right[}$

1. b) Nous devons étudier la dérivabilité de $\overset{{\white{.}}}{g_{(\alpha,n)}}$ en $\dfrac{1}{\alpha}.$

$\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{g_{(\alpha,n)}(x)-g_{(\alpha,n)}(\frac{1}{\alpha})}{x-\frac{1}{\alpha}}=\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{\dfrac{\sqrt{\ln\alpha x}}{x^n}-\dfrac{\sqrt{\ln\left(\alpha\times\frac{1}{\alpha}\right)}}{\left(\frac{1}{\alpha}\right)^n}}{x-\frac{1}{\alpha}} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWwWW}=\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{\dfrac{\sqrt{\ln\alpha x}}{x^n}-\dfrac{\sqrt{\ln1}}{\left(\frac{1}{\alpha}\right)^n}}{x-\frac{1}{\alpha}} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWwWW}=\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{\dfrac{\sqrt{\ln\alpha x}}{x^n}-0}{x-\frac{1}{\alpha}} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWwWW}=\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{\sqrt{\ln\alpha x}}{x^n\left(x-\frac{1}{\alpha}\right)} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWwWW}=\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{\ln\alpha x}{x^n\left(x-\frac{1}{\alpha}\right)\sqrt{\ln\alpha x}}$
${\white{wwWWWWWWwWWWww}}=\left[\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{\ln\alpha x}{x-\frac{1}{\alpha}}\right]\times\left[\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{1}{x^n\sqrt{\ln\alpha x}}\right]}$

Si la fonction h est définie sur ]0 ; + infini

[ par $h(x)=\ln\alpha x$ , alors,
d'une part,

$\lim\limits_{x\to\frac{1}{\alpha}}\,\dfrac{\ln\alpha x}{x-\frac{1}{\alpha}}=\lim\limits_{x\to\frac{1}{\alpha}}\,\dfrac{\ln\alpha x-0}{x-\frac{1}{\alpha}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wWW.WW}=\lim\limits_{x\to\frac{1}{\alpha}}\,\dfrac{\ln\alpha x-\ln1}{x-\frac{1}{\alpha}}} \\\phantom{wWW.WW}=\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to\frac{1}{\alpha}}\,\dfrac{\ln\alpha x-\ln(\alpha\times\frac{1}{\alpha})}{x-\frac{1}{\alpha}}} \\\phantom{wWW.WW}=\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to\frac{1}{\alpha}}\,\dfrac{h(x)-h(\frac{1}{\alpha})}{x-\frac{1}{\alpha}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wWW.WW}=h'(\frac{1}{\alpha})} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to\frac{1}{\alpha}}\,\dfrac{\ln\alpha x}{x-\frac{1}{\alpha}}=h'(\frac{1}{\alpha})}$

$\text{Or }\phantom{x}h(x)=\ln\alpha x\Longrightarrow h'(x)=\dfrac{(\alpha x)'}{\alpha x} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\phantom{x}h(x)=\ln\alpha x}\Longrightarrow h'(x)=\dfrac{\alpha}{\alpha x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\phantom{x}h(x)=\ln\alpha x}\Longrightarrow h'(x)=\dfrac{1}{x}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\phantom{x}h(x)=\ln\alpha x}\Longrightarrow h'(\frac{1}{\alpha})=\dfrac{1}{\frac{1}{\alpha}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\phantom{x}h(x)=\ln\alpha x}\Longrightarrow \boxed{h'(\frac{1}{\alpha})=\alpha}}$

Il en découle que $\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to\frac{1}{\alpha}}\,\dfrac{\ln\alpha x}{x-\dfrac{1}{\alpha}}=h'(\frac{1}{\alpha})\\\\h'(\frac{1}{\alpha})=\alpha\end{matrix}\right.\phantom{www}\Longrightarrow\phantom{www}\boxed{\lim\limits_{x\to\frac{1}{\alpha}}\,\dfrac{\ln\alpha x}{x-\frac{1}{\alpha}}=\alpha}$

D'autre part, calculons $\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{1}{x^n\sqrt{\ln\alpha x}}.$

$\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{1}{x^n}=\dfrac{1}{\left(\frac{1}{\alpha}\right)^n}=\alpha ^n\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\sqrt{\ln\alpha x}=\sqrt{\ln\alpha \frac{1}{\alpha}}=\sqrt{\ln1}=0^+\Longrightarrow\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{1}{\sqrt{\ln\alpha x}}=+\infty\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{1}{x^n\sqrt{\ln\alpha x}}=+\infty}$

En conclusion,

$\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{g_{(\alpha,n)}(x)-g_{(\alpha,n)}(\frac{1}{\alpha})}{x-\frac{1}{\alpha}}=\left[\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{\ln\alpha x}{x-\frac{1}{\alpha}}\right]\times\left[\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{1}{x^n\sqrt{\ln\alpha x}}\right] \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{g_{(\alpha,n)}(x)-g_{(\alpha,n)}(\frac{1}{\alpha})}{x-\frac{1}{\alpha}}=+\infty}$

Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{g_{(\alpha,n)}}$ n'est pas dérivable en $\dfrac{1}{\alpha}.$

Géométriquement, ce résultat montre que la courbe représentative de la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_{(\alpha,n)}}$ admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse $\frac{1}{\alpha}.$

1. c) Nous devons étudier les variations de la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_{(\alpha,n)}}.$

La fonction $\overset{{\white{.}}}{g_{(\alpha,n)}}$ est dérivable en $\left]\dfrac{1}{\alpha}\,;\,+\infty\right[.$
$g\,'_{(\alpha,n)}(x)=\left(\dfrac{\sqrt{\ln\alpha x}}{x^n}\right)' \\\phantom{g\,'_{(\alpha,n)}(x)}=\dfrac{\left(\sqrt{\ln\alpha x}\right)'\times x^n-\sqrt{\ln\alpha x}\times (x^n)'}{(x^n)^2} \\\phantom{g\,'_{(\alpha,n)}(x)}=\dfrac{\dfrac{(\ln\alpha x)'}{2\sqrt{\ln\alpha x}}\times x^n-\sqrt{\ln\alpha x}\times nx^{n-1}}{x^{2n}} \\\phantom{g\,'_{(\alpha,n)}(x)}=\dfrac{\dfrac{\frac{1}{x}}{2\sqrt{\ln\alpha x}}\times x^n-\sqrt{\ln\alpha x}\times nx^{n-1}}{x^{2n}} \\\phantom{g\,'_{(\alpha,n)}(x)}=\dfrac{\dfrac{x^{n-1}}{2\sqrt{\ln\alpha x}}-nx^{n-1}\sqrt{\ln\alpha x}}{x^{2n}}$

$\\\phantom{g\,'_{(\alpha,n)}(x)}=\dfrac{x^{n-1}\left(\dfrac{1}{2\sqrt{\ln\alpha x}}-n\sqrt{\ln\alpha x}\right)}{x^{2n}} \\\phantom{g\,'_{(\alpha,n)}(x)}=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{\ln\alpha x}}-n\sqrt{\ln\alpha x}}{x^{n+1}} \\\\\phantom{g\,'_{(\alpha,n)}(x)}=\dfrac{1-2n\ln\alpha x}{2\,x^{n+1}\sqrt{\ln\alpha x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{g\,'_{(\alpha,n)}(x)=\dfrac{1-2n\ln\alpha x}{2\,x^{n+1}\sqrt{\ln\alpha x}}}$

Le dénominateur de $\overset{{\white{.}}}{g\,'_{(\alpha,n)}(x)}$ est strictement positif.
Donc le signe de $\overset{{\white{.}}}{g\,'_{(\alpha,n)}(x)}$ est le signe de $\overset{{\white{.}}}{ 1-2n\ln\alpha x}.$

$\begin{matrix}1-2n\ln\alpha x<0\Longleftrightarrow 2n\ln\alpha x>1\\\phantom{2x-1<0xxx}\Longleftrightarrow \ln\alpha x>\dfrac{1}{2n}\\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{2x-1<0x}\Longleftrightarrow \alpha x>\text{e}^\frac{1}{2n}}\\\phantom{2x-1<0x}\Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{\alpha}\,\text{e}^\frac{1}{2n}\\\\1-2n\ln\alpha x=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{\alpha}\,\text{e}^\frac{1}{2n}\\\\1-2n\ln\alpha x>0\Longleftrightarrow x<\dfrac{1}{\alpha}\,\text{e}^\frac{1}{2n}\end{matrix}{\white{w}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{w}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&\dfrac{1}{\alpha}&&\dfrac{1}{\alpha}\,\text{e}^\frac{1}{2n}&&+\infty\\&&&&&\\\hline1-2n\ln\alpha x&&+&0&-&\\\hline&&&&&\\g\,'_{(\alpha,n)}(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\g_{(\alpha,n)}(x)&&\nearrow&g_{(\alpha,n)}\left(\dfrac{1}{\alpha}\,\text{e}^\frac{1}{2n}\right)&\searrow&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix}$

D'où, la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_{(\alpha,n)}}$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\alpha}\,;\,\dfrac{1}{\alpha}\,\text{e}^\frac{1}{2n}\right]$
${\white{wwwwwwwwwwwwww.w}}$ strictement décroissante sur l'intervalle $\left[\dfrac{1}{\alpha}\,\text{e}^\frac{1}{2n}\,;\,+\infty\right[.$

1. d) Nous déduisons de la question précédente que la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_{(\alpha,n)}}$ admet un maximum $\overset{{\white{.}}}{\alpha _n}$ en $\overset{{\white{.}}}{\dfrac{1}{\alpha}\,\text{e}^\frac{1}{2n}}.}$
Calculons $\overset{{\white{.}}}{\alpha _n.}$
$\alpha _n =g\left(\dfrac{1}{\alpha}\,\text{e}^\frac{1}{2n}\right) =\dfrac{\sqrt{\ln\left(\alpha\dfrac{1}{\alpha}\,\text{e}^\frac{1}{2n}\right)}}{\left(\dfrac{1}{\alpha}\,\text{e}^\frac{1}{2n}\right)^n} =\dfrac{\sqrt{\ln\left(\text{e}^\frac{1}{2n}\right)}}{\dfrac{1}{\alpha ^n}\,\text{e}^\frac{1}{2}} =\dfrac{\sqrt{\dfrac{1}{2n}}}{\dfrac{\text{e}^\frac{1}{2}}{\alpha ^n}} =\dfrac{\alpha ^n}{\sqrt{2n\,\text{e}}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\alpha _n =\dfrac{\alpha ^n}{\sqrt{2n\,\text{e}}} }$

2. On considère la suite (U_n ) définie pour tout n appartient

^* par : $U_n=\dfrac{1}{\alpha}\,\text{e}^{\frac{1}{2n}}.$

2. a) Nous devons étudier le sens de variation de la suite (U_n ).

Nous remarquons que tous les termes de la suite (U_n ) sont strictement positifs car alpha

> 0 et $\text{e}^{\frac{1}{2n}}>0.$

$\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\dfrac{\frac{1}{\alpha}\,\text{e}^{\frac{1}{2(n+1)}}}{\frac{1}{\alpha}\,\text{e}^{\frac{1}{2n}}}=\dfrac{\text{e}^{\frac{1}{2n+2}}}{\text{e}^{\frac{1}{2n}}} \\\phantom{\dfrac{U_{n+1}}{U_n}}=\text{e}^{\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n}} =\text{e}^{\frac{2n-(2n+2)}{2n(2n+2)}} \\\phantom{\dfrac{U_{n+1}}{U_n}}=\text{e}^{\frac{-2}{2n(2n+2)}} =\text{e}^{\frac{-1}{n(2n+2)}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{U_{n+1}}{U_n}=\text{e}^{\frac{-1}{n(2n+2)}} } \\\\\\\text{Or }\dfrac{-1}{n(2n+2)}<0\Longrightarrow\text{e}^{\frac{-1}{n(2n+2)}}<\text{e}^0 \\\phantom{\text{Or }\dfrac{-1}{n(2n+2)}<0}\Longrightarrow\boxed{\dfrac{U_{n+1}}{U_n}<1}$

Par conséquent, la suite (U_n ) est décroissante.

2. b) La suite (U_n ) est décroissante et bornée inférieurement par 0.
Elle admet donc une limite.

$\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2n}=0\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\text{e}^{\frac{1}{2n}}=e^0=1 \\\\\phantom{wwwwwwww}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{\alpha}\text{e}^{\frac{1}{2n}}=\dfrac{1}{\alpha} \\\\\phantom{wwwwwwww}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}U_n=\dfrac{1}{\alpha}}$

PARTIE B (3 points)

Pour tout entier naturel n non nul, on pose $\overset{{\white{.}}}{g_n}}$ la fonction définie sur [1 ; + infini

[ par $g_n(x)=\dfrac{\sqrt{\ln x}}{x^n}.$

1. a) Nous devons étudier la dérivabilité de $\overset{{\white{.}}}{g_n}}$ en 1.

Nous remarquons que la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_n}}$ est un cas particulier de la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_{(\alpha,n)}}$ dans le cas où = 1.
Or nous avons montré dans la question 1. a) de la partie A que la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_{(\alpha,n)}}$ n'est pas dérivable en $\dfrac{1}{\alpha}$ car $\lim\limits_{x\to\left(\frac{1}{\alpha}\right)^+}\dfrac{g_{(\alpha,n)}(x)-g_{(\alpha,n)}(\frac{1}{\alpha})}{x-\frac{1}{\alpha}}=+\infty$

Donc, en remplaçant alpha

par 1, nous en déduisons que $\overset{{\white{.}}}{g_n}$ n'est pas dérivable en 1 car $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{x\to1^+}\dfrac{g_n(x)-g_n(1)}{x-1}=+\infty.}$

Géométriquement, ce résultat montre que la courbe représentative (C_n ) de la fonction $\overset{{\white{.}}}{g_n}$ admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse 1.

1. b) Pour tout entier naturel n non nul, $g_n(1)=0.$
Par conséquent, toutes les courbes (C_n ) passent par le point fixe I(1 ; 0).

1. c) Nous devons étudier la position relative des courbes (C_n ) et (C_n+1 ).

Pour tout x dans [1 ; + infini

[,

$g_{n+1}(x)-g_n(x)=\dfrac{\sqrt{\ln x}}{x^{n+1}}-\dfrac{\sqrt{\ln x}}{x^{n}}=\dfrac{\sqrt{\ln x}}{x\times x^{n}}-\dfrac{\sqrt{\ln x}}{x^{n}} \\\\\Longrightarrow\boxed{g_{n+1}(x)-g_n(x)=\dfrac{\sqrt{\ln x}}{x^{n}}(\dfrac{1}{x}-1)} \\\\\text{Or pour tout }x\in[1\,;\,+\infty[, \\\\\bullet\phantom{x}\sqrt{\ln x}\ge0 \\\\\bullet\phantom{x}x^n\ge0 \\\\\bullet\phantom{x}x\ge1\Longrightarrow0\le\dfrac{1}{x}\le1 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\bullet\phantom{x}x\ge1}\Longrightarrow-1\le\dfrac{1}{x}-1\le1-1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\bullet\phantom{x}x\ge1}\Longrightarrow\dfrac{1}{x}-1\le0} \\\\\text{D'où pour tout }x\in[1\,;\,+\infty[, \boxed{g_{n+1}(x)-g_n(x)\le0}$
Dès lors, la courbe (C_n+1 ) est en dessous de la courbe (C_n ).

2. Représentation graphique des courbes (C ₁) et (C ₂).

Bac S1-S1A-S3 Sénégal 2021 (bis) : image 10

PARTIE C (3,5 points)

Pour tout réel lambda

1, on pose $I_n(\lambda )=\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{\lambda} g_n(t)\,\text d t\end{aligned}.$

1. Nous devons calculer $I_1(\lambda ).$

$I_1(\lambda )=\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{\lambda} g_1(t)\,\text d t\end{aligned} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_1(\lambda )}=\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{\lambda}\dfrac{\sqrt{\ln t}}{t}\,\text d t\end{aligned}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_1(\lambda )}=\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{\lambda}\dfrac{1}{t}\times(\ln t)^{\frac{1}{2}}\,\text d t\end{aligned}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_1(\lambda )}=\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{\lambda}(\ln t)'\times(\ln t)^{\frac{1}{2}}\,\text d t\end{aligned}}$

$\\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_1(\lambda )}=\left[\dfrac{(\ln t)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]}_1^{\lambda}=\left[\dfrac{2}{3}\sqrt{(\ln t)^3}\right]_1^{\lambda} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_1(\lambda )}=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{(\ln \lambda)^3}-\sqrt{(\ln 1)^3}\right)} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{I_1(\lambda )}=\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{(\ln \lambda)^3}-0\right) } \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{I_1(\lambda )}=\dfrac{2}{3}\sqrt{(\ln \lambda)^3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{I_1(\lambda )=\dfrac{2}{3}\sqrt{(\ln \lambda)^3}=\dfrac{2}{3}\ln \lambda\,\sqrt{\ln \lambda}}$

2. L'aire en unité d'aire du domaine délimité par (C ₁), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = e et x = e² se détermine par : $\begin{aligned}\int\nolimits_{\text{e}}^{\text{e}^2} g_1(t)\,\text d t\,.\end{aligned}$
En utilisant le résultat de la question 1., nous obtenons :

$\begin{aligned}\int\nolimits_{\text{e}}^{\text{e}^2} g_1(t)\,\text d t\end{aligned}=\dfrac{2}{3}\left[\ln \lambda\,\sqrt{\ln \lambda}\right]_{\text{e}}^{\text{e}^2} \\\\\phantom{wwwwwww}=\dfrac{2}{3}\left(\ln \text{e}^2\,\sqrt{\ln \text{e}^2}-\ln \text{e}\,\sqrt{\ln \text{e}}\right) \\\\\phantom{wwwwwww}=\dfrac{2}{3}\left(2\,\sqrt{2}-1\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\begin{aligned}\int\nolimits_{\text{e}}^{\text{e}^2} g_1(t)\,\text d t\end{aligned}=\dfrac{2}{3}\left(2\,\sqrt{2}-1\right) \text{u.a.}}$
Or la courbe (C ₁) est construite dans le plan dont l'unité de longueur est de 2 cm.
Donc l'unité d'aire du graphique correspond à 2 multiplie

2 = 4 cm².
Par conséquent, l'aire en cm² du domaine délimité par (C ₁), l'axe des abscisses et les droites d'équations x = e et x = e² est égale à : $\dfrac{2}{3}\left(2\,\sqrt{2}-1\right)\times4\text{ cm}^2$ , soit $\boxed{\dfrac{8}{3}\left(2\,\sqrt{2}-1\right)\text{cm}^2}$

3. Pour tout entier naturel non nul n , on pose : $S_n=\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n}\left[\dfrac{\sqrt{\ln\left(1+\frac{k}{2n}\right)}}{k+2n}\right]\end{aligned}.$

3. a) Nous devons montrer que pour tout entier naturel k tel que 0 infegal

n - 1, nous avons :

$\dfrac{1}{2n}\,g_1\left(1+\frac{k}{2n}\right)\le\begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} g_1(x)\,\text d x\end{aligned} \le \dfrac{1}{2n}\,g_1\left(1+\frac{k+1}{2n}\right).$

Considérons les intervalles de la forme $\left[1+\dfrac{k}{2n}\,;\,1+\dfrac{k+1}{2n}\right]$ pour tout entier naturel k tel que 0 infegal

n - 1.

$\bullet{\white{w}}$ Si k = 0, alors $\left[1+\dfrac{k}{2n}\,;\,1+\dfrac{k+1}{2n}\right]=\left[1\,;\,1+\dfrac{1}{2n}\right]$
$\bullet{\white{w}}$ Si k = 1, alors $\left[1+\dfrac{k}{2n}\,;\,1+\dfrac{k+1}{2n}\right]=\left[1+\dfrac{1}{2n}\,;\,1+\dfrac{2}{2n}\right]$
$\bullet{\white{w}}$ Si k = 2, alors $\left[1+\dfrac{k}{2n}\,;\,1+\dfrac{k+1}{2n}\right]=\left[1+\dfrac{2}{2n}\,;\,1+\dfrac{3}{2n}\right]$
$\bullet{\white{w}}$ ...
$\bullet{\white{w}}$ Si k = n - 1, alors $\left[1+\dfrac{k}{2n}\,;\,1+\dfrac{k+1}{2n}\right]=\left[1+\dfrac{n-1}{2n}\,;\,1+\dfrac{n}{2n}\right]=\left[1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2n}\,;\,1+\dfrac{1}{2}\right]=\left[\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2n}\,;\,\dfrac{3}{2}\right]$

Nous en déduisons que tous les intervalles de la forme $\left[1+\dfrac{k}{2n}\,;\,1+\dfrac{k+1}{2n}\right]$ pour tout entier naturel k tel que 0 infegal

n - 1 sont inclus dans l'intervalle $\left[1\,;\,\dfrac{3}{2}\right]$ .
Or nous avons montré dans la question 1. c) que la fonction g ₁ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[1\,;\,\text{e}^\frac{1}{2}\right]$ où $\text{e}^\frac{1}{2}\approx1,6.$
Il s'ensuit alors que la fonction g₁ est strictement croissante sur l'intervalle $\left[1\,;\,\dfrac{3}{2}\right].$
Par conséquent, la fonction g₁ est strictement croissante sur les intervalles $\left[1+\dfrac{k}{2n}\,;\,1+\dfrac{k+1}{2n}\right].$

D'où,

$\forall\ x\in\left[1+\dfrac{k}{2n}\,;\,1+\dfrac{k+1}{2n}\right],\ g_1\left(1+\dfrac{k}{2n}\right)\le g_1(x)\le g_1\left(1+\dfrac{k+1}{2n}\right) \\\\\Longrightarrow \begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} g_1\left(1+\dfrac{k}{2n}\right)\,\text d x\end{aligned}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} g_1(x)\,\text d x\end{aligned}\le \begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} g_1\left(1+\dfrac{k+1}{2n}\right)\,\text d x\end{aligned} \\\\\Longrightarrow g_1\left(1+\dfrac{k}{2n}\right)\begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} 1\,\text d x\end{aligned}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} g_1(x)\,\text d x\end{aligned}\le g_1\left(1+\dfrac{k+1}{2n}\right)\begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} 1\,\text d x\end{aligned}$

$\text{Or}\ \begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} 1\,\text d x\end{aligned} =\left[\overset{{\white{\frac{}{}}}}{x}\right]_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}}\\\\\phantom{wWWWWwww}=\left(1+\dfrac{k+1}{2n}\right)-\left(1+\dfrac{k}{2n}\right) \\\\\phantom{wWWWWwww}=1+\dfrac{k}{2n}+\dfrac{1}{2n}-1-\dfrac{k}{2n}\\\\\phantom{wWWWWwww}=\dfrac{1}{2n}$

Donc $g_1\left(1+\dfrac{k}{2n}\right)\times\dfrac{1}{2n}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} g_1(x)\,\text d x\end{aligned}\le g_1\left(1+\dfrac{k+1}{2n}\right)\times\dfrac{1}{2n}$

soit $\boxed{\dfrac{1}{2n}\,g_1\left(1+\frac{k}{2n}\right)\le\begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} g_1(x)\,\text d x\end{aligned} \le \dfrac{1}{2n}\,g_1\left(1+\frac{k+1}{2n}\right)}\,.$

3. b) Nous devons en déduire que : $S_n-\frac{1}{2n}\,g_1(\frac{3}{2})\le I_1(\frac{3}{2})\le S_n.$

En utilisant le résultat de la question précédente, nous obtenons :

$\dfrac{1}{2n}\,g_1\left(1+\frac{k}{2n}\right)\le\begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} g_1(x)\,\text d x\end{aligned} \le \dfrac{1}{2n}\,g_1\left(1+\frac{k+1}{2n}\right) \\\\\Longrightarrow \,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{2n}g_1\left(1+\frac{k}{2n}\right)\end{aligned}\le\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n-1}\begin{aligned}\int\nolimits_{1+\frac{k}{2n}}^{1+\frac{k+1}{2n}} g_1(x)\,\text d x\end{aligned}\end{aligned} \le \begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{2n}\,g_1\left(1+\frac{k+1}{2n}\right)\end{aligned} \\\\\Longrightarrow \dfrac{1}{2n}\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n-1} g_1\left(1+\frac{k}{2n}\right)\end{aligned}\le\begin{aligned}\int\nolimits_{1}^{\frac{3}{2}} g_1(x)\,\text d x\end{aligned} \le \dfrac{1}{2n}\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n-1}g_1\left(1+\frac{k+1}{2n}\right)\end{aligned}$
$\Longrightarrow \dfrac{1}{2n}\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n} g_1\left(1+\frac{k}{2n}\right)\end{aligned}-\dfrac{1}{2n}\,g_1(1+\frac{n}{2n})\le I_1(\frac{3}{2})\le \dfrac{1}{2n}\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k={\red{1}}}^{{\red{n}}}g_1\left(1+\frac{{\red{k}}}{2n}\right)\end{aligned} \\\\\Longrightarrow \dfrac{1}{2n}\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n} g_1\left(1+\frac{k} {2n}\right)\end{aligned}-\dfrac{1}{2n}\,g_1(\frac{3}{2})\le I_1(\frac{3}{2})\le \dfrac{1}{2n}\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k={\red{0}}}^{n}g_1\left(1+\frac{k}{2n}\right)\end{aligned}-g_1(1) \\\\\Longrightarrow \boxed{\dfrac{1}{2n}\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n} g_1\left(1+\frac{k}{2n}\right)\end{aligned}-\dfrac{1}{2n}\,g_1(\frac{3}{2})\le I_1(\frac{3}{2})\le \dfrac{1}{2n}\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n}g_1\left(1+\frac{k}{2n}\right)\end{aligned}}\phantom{ww}(\text{car }g_1(1)=0)$

$\text{Or }\ \dfrac{1}{2n}\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n} g_1\left(1+\frac{k}{2n}\right)\end{aligned}=\dfrac{1}{2n}\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n} \frac{\sqrt{\ln\left(1+\frac{k}{2n}\right)}}{1+\frac{k}{2n}}\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWW.WWWWW}=\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n} \dfrac{1}{2n}\frac{\sqrt{\ln\left(1+\frac{k}{2n}\right)}}{\frac{2n+k}{2n}}\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWW.WWWWW}=\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n} \frac{\sqrt{\ln\left(1+\frac{k}{2n}\right)}}{k+2n}\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWW.WWWWW}=S_n \\\\\phantom{\text{Or }}\Longrightarrow\boxed{\dfrac{1}{2n}\,\begin{aligned}\sum\nolimits_{k=0}^{n} g_1\left(1+\frac{k}{2n}\right)\end{aligned}=S_n}$

Par conséquent, $\boxed{S_n-\frac{1}{2n}\,g_1(\frac{3}{2})\le I_1(\frac{3}{2})\le S_n}\,.$

3. c) Nous devons calculer $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n.}$

$S_n-\frac{1}{2n}\,g_1(\frac{3}{2})\le I_1(\frac{3}{2})\le S_n\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}I_1(\frac{3}{2})\le S_n\\\\S_n-\frac{1}{2n}\,g_1(\frac{3}{2})\le I_1(\frac{3}{2})\end{matrix}\right. \\\\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}I_1(\frac{3}{2})\le S_n\\\\S_n\le I_1(\frac{3}{2})+\frac{1}{2n}\,g_1(\frac{3}{2})\end{matrix}\right. \\\\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow I_1(\frac{3}{2})\le S_n\le I_1(\frac{3}{2})+\frac{1}{2n}\,g_1(\frac{3}{2}) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}I_1(\frac{3}{2})\le \lim\limits_{n\to+\infty}S_n\le \lim\limits_{n\to+\infty}(I_1(\frac{3}{2})+\frac{1}{2n}\,g_1(\frac{3}{2}))$

${\white{wwwwwwwWWWWWxW}$ $\\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}I_1(\frac{3}{2})\le \lim\limits_{n\to+\infty}S_n\le \lim\limits_{n\to+\infty}I_1(\frac{3}{2})+\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{1}{2n}\,g_1(\frac{3}{2}) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow I_1(\frac{3}{2})\le \lim\limits_{n\to+\infty}S_n\le I_1(\frac{3}{2})+0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW}\Longleftrightarrow I_1(\frac{3}{2})\le \lim\limits_{n\to+\infty}S_n\le I_1(\frac{3}{2})$

$\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}S_n=I_1(\frac{3}{2})}$

Publié par malou le 13-12-2021

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