On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction numérique f .
(C ) représente la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
1. Réponse C : L'ensemble de définition de f est
En effet, -1 est le seul réel ne possédant pas d'image par f .
2. Réponse A : L'ensemble des réels m où l'équation admet exactement 4 solutions est
Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la courbe (C ) et des droites d'équation
Si m ]2 ; 4[, alors les solutions de l'équation se répartissent comme suit :
Ci-dessous, un exemple graphique illustrant la situation.
3. Réponse C : Une équation cartésienne de l'une des asymptotes à (C ) est
En effet, le tableau de variations de f nous indique que
4. Réponse B : La tangente à (C ) au point d'abscisse 2 peut avoir pour équation cartésienne
L'abscisse du point de tangence est 2.
Cette abscisse appartient donc à l'intervalle ]1 ; 3[.
Le tableau de variations de f montre que f est strictement décroissante sur ]1 ; 3[.
Dès lors, d'une part, nous en déduisons que le coefficient directeur de la tangente doit être négatif, ce qui n'est pas le cas pour l'équation : y = 3.
La réponse c) est à rejeter, d'autre part,
Nous en déduisons que l'ordonnée du point de tangence est comprise entre 2 et 4.
La réponse a) ne convient pas car l'ordonnée du point de tangence serait dans ce cas égale à -2 + 1 = -1 qui n'appartient pas dans l'intervalle ]2 ; 4[.
La réponse correcte est donc la réponse b).
6 points
exercice 2
Soit f la fonction définie sur par :
1. a) Nous devons calculer
Nous devons ensuite montrer que
Dès lors, la courbe (C ) présente une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées en -.
Nous déduisons que la courbe (C ) admet, en +, une asymptote horizontale d'équation y = 0.
2. a) La fonction f est dérivable sur .
2. b) L'exponentielle est strictement positive sur .
Donc le signe de f' (x ) est le signe de (-4x ).
Tableau de signes de la dérivée f' (x ) et de variations de f .
2. c) Nous devons montrer que le point est un point d'inflexion pour la courbe (C ).
La fonction f' est dérivable sur .
Pour tout x réel,
Etudions le signe de
Pour tout x réel, e-2x > 0.
Donc le signe de est le signe de 2(x - 1).
D'où change de signe au voisinage de et seulement au voisinage de
Par conséquent, le point est le seul point d'inflexion pour la courbe (C ).
2. d) Nous devons montrer que la tangente (T) à (C ) au point I a pour équation :
L'équation de la tangente T au point est de la forme :
Par conséquent, une équation de la tangente T à (C ) en est
2. e) Représentation graphique de (C ).
3. a) La fonction g est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; +[. g (0) = 1 et .
D'où
Nous en déduisons que la fonction g réalise une bijection de l'intervalle [0 ; +[ dans l'intervalle J = ]0 ; 1].
Donc la fonction g admet une réciproque g-1 définie sur l'intervalle J = ]0 ; 1].
3. b) Représentation graphique de la courbe (C' ), courbe représentative de g-1.
Voir le graphique de la question 2. e).
4. Soit l'aire en unité d'aire de la partie du plan limitée par (C' ), l'axe des abscisses et les droites d'équations et
4. a) Nous montrerons que la fonction F définie sur par : est une primitive de f en montrant que pour tout x réel,
La fonction F est dérivable sur comme produit de deux fonctions dérivables sur .
Nous avons ainsi montré que la fonction F définie sur par : est une primitive de f .
4. b) Calculons
En vertu de la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'équation y = x , nous déduisons que l'aire de la
partie du plan limitée par (C' ), l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives et est
égale à l'aire de la partie du plan
limitée par la courbe (C ), l'axe des ordonnées et les droites d'équations respectives et ,
soit à l'aire de la partie du plan limitée par la courbe (C ), la droite d'équation
et les droites d'équations respectives et (voir le graphique - question 2. e).
D'où
5 points
exercice 3
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé direct , on considère les points et le vecteur
Manifestement, les vecteurs et ne sont pas colinéaires car leurs abscisses respectives sont égales alors que les autres composantes ne le sont pas.
Nous en déduisons que les points A, B et C ne sont pas alignés.
Par conséquent, les points A, B et C déterminent un plan P.
D'où
D'où
2. b) Nous devons déterminer une équation cartésienne du plan (P).
Nous avons montré dans les questions précédentes que le vecteur est orthogonal aux vecteurs et .
De plus, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
Nous en déduisons que le vecteur est un vecteur normal au plan P déterminé par les points A, B et C.
Soit M (x ; y ; z ) un point quelconque du plan P.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan P est
3. a)Le point E(0 ; 0 ; 1) n'appartient pas au plan P car ses coordonnées ne vérifient pas l'équation de P.
En effet : 20 - 0 + 21 - 4 = 2 - 4 = -2 0.
3. b) Nous devons montrer que le point est le projeté orthogonal du point E sur P.
D'une part, le point appartient au plan P car ses coordonnées vérifient l'équation de P.
D'autre part, les vecteurs et sont colinéaires.
Or le vecteur est un vecteur normal au plan P.
Nous en déduisons que le vecteur est orthogonal au plan P.
Par conséquent, le point est le projeté orthogonal du point E sur P.
3. c) Nous devons montrer que le point est l'orthocentre du triangle ABC.
Il suffit de montrer que le point H appartient à deux hauteurs du triangle ABC.
Nous savons que
Dès lors,
D'où le point H appartient à la hauteur du triangle ABC, issue du sommet C.
De même,
Dès lors,
D'où le point H appartient à la hauteur du triangle ABC, issue du sommet B.
Par conséquent, le point H est l'orthocentre du triangle ABC.
4. Soit S l'ensemble des points M(x ; y ; z ) du plan tel que :
4. a) Dans un repère orthonormé , la sphère de centre et de rayon R a pour équation cartésienne :
Par conséquent, S est la sphère de centre E(0 ; 0 ; 1) et de rayon 1.
4. b) La sphère S et le plan P se coupent suivant un cercle si la distance du centre E de la sphère au plan P est strictement inférieure au rayon.
Nous avons montré que le point H est le projeté orthogonal du point E sur la plan P.
Dès lors la distance du centre E de la sphère au plan P est déterminée par EH.
Il s'ensuit que la distance du centre E de la sphère S au plan P est strictement inférieure au rayon de S.
Donc la sphère S et le plan P se coupent suivant un cercle de centre H.
Déterminons le rayon du cercle .
Soit un point K quelconque du cercle .
Le rayon de est donné par HK.
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle EHK rectangle en H, nous obtenons :
Par conséquent, la sphère S et le plan P se coupent suivant un cercle de centre H et de rayon
4. c) Le point A appartient au plan P (par définition de P).
Le point A(1 ; 0 ; 1) appartient à la sphère S car ses coordonnées vérifient l'équation de S.
En effet,
Donc le point A appartient à l'intersection du plan P et de la sphère S.
Par conséquent, le point A appartient au cercle
De même, le point C appartient au plan P (par définition de P).
Le point C(0 ; 0 ; 2) appartient à la sphère S car ses coordonnées vérifient l'équation de S.
En effet,
Donc le point C appartient à l'intersection du plan P et de la sphère S.
Par conséquent, le point C appartient au cercle
4. d) Montrons que le plan (EHB) est le plan médiateur du segment [AC].
Le plan médiateur du segment [AC] est l'ensemble des points équidistants de A et C.
Nous avons montré dans la question 4. c) que les points A et C appartiennent au cercle de centre H.
Donc AH = HC.
Il s'ensuit que le point H appartient au plan médiateur du segment [AC].
Il s'ensuit que le point E appartient au plan médiateur du segment [AC].
Il s'ensuit que le point B appartient au plan médiateur du segment [AC].
Les trois points E, H et B déterminent de façon unique le plan (EHB) et appartiennent au plan médiateur unique du segment [AC].
Par conséquent, le plan (EHB) est le plan médiateur du segment [AC].
6 points
exercice 4
2. Nous devons résoudre dans l'équation
Par conséquent, l'ensemble des solutions de l'équation (E ) est :
II) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct on considère les points A, B et C d'affixes respectives et
On désigne par le cercle de centre O et de rayon 1 et par le cercle de centre O et de rayon 2.
1.Nous souhaitons écrire sous la forme exponentielle où r1 est le module de zA et 1 l'argument principal de zA .
Par conséquent, la forme exponentielle de zA est
Nous souhaitons écrire sous la forme exponentielle où r2 est le module de zC et 2 l'argument principal de zC .
Par conséquent, la forme exponentielle de zA est
2. a) Nous savons par la question 1 que et que est le cercle de centre O et de rayon 1.
D'où le point A appartient à
Nous savons par la question 1 que et que est le cercle de centre O et de rayon 2.
D'où le point C appartient à
2. b) Nous devons montrer que le quadrilatère OABC est un parallélogramme.
OABC est un parallélogramme
Par conséquent, le quadrilatère OABC est un parallélogramme.
2. c) Construction des points A, B et C.
3. Le point A appartient à (voir question 2. a)
Donc [OA] est un rayon de
Montrons que les droites (AC) et (OA) sont perpendiculaires en A.
D'où les droites (AC) et (OA) sont perpendiculaires en A.
Par conséquent, la droite (AC) est tangente au cercle
4. On considère le point I d'affixe zI = 1. - 1 la perpendiculaire à la droite (AC ) et passant par le point I. - 2 la parallèle à l'axe des abscisses passant par le point B. 1 et 2 se coupent en un point H d'affixe zH .
4. a) Nous savons que
Les points B et H appartiennent à la parallèle à l'axe des abscisses.
Leurs affixes possèdent donc la même partie imaginaire
D'où zH s'écrit sous la forme où x est un nombre réel.
4. b) L'affixe du vecteur est
D'autre part, les droites (OA) et (IH) sont parallèles car elles sont perpendiculaires à une même droite (AC).
D'où
Dès lors, l'affixe du vecteur peut également s'écrire sous la forme
Par conséquent,
4. c) Des questions 4. a) et b), nous pouvons déduire :
5. Pour montrer que le triangle BIH est équilatéral, montrons que IB = BH = IH.
Puisque IB = BH = IH = 3, nous avons montré que le triangle BIH est équilatéral.
Publié par malou
le
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT) Inscription Gratuitese connecter
Merci à Hiphigenie / malou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !
&&+&||&+&\Phi&-&\Phi&+&\\&&&||&&|&&|&&\\\hline&&&+\infty||{\white{xxx}}&&4&&&&+\infty\\f&&\nearrow&||&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&-3&&{\white{xxxi}}||-\infty&&&&2&&\\ \hline \end{array}\end{matrix})
=m})
admet exactement 4 solutions est ![\overset{{\white{.}}}{{\red{]2\,;\,4[}}.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{{\red{]2\,;\,4[}}.})
]2 ; 4[, alors les solutions de l'équation ![{\white{ww}}\bullet{\white{w}}x_1\in\;]-\infty\,;\,-1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\white{ww}}\bullet{\white{w}}x_1\in\;]-\infty\,;\,-1[)
![{\white{ww}}\bullet{\white{w}}x_2\in\;]-1\,;\,1[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\white{ww}}\bullet{\white{w}}x_2\in\;]-1\,;\,1[)
![{\white{ww}}\bullet{\white{w}}x_3\in\;]1\,;\,3[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\white{ww}}\bullet{\white{w}}x_3\in\;]1\,;\,3[)
![{\white{ww}}\bullet{\white{w}}x_4\in\;]3\,;\,+\infty[](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\white{ww}}\bullet{\white{w}}x_4\in\;]3\,;\,+\infty[)
=-3.})
d'une part, nous en déduisons que le coefficient directeur de la tangente doit être négatif, ce qui n'est pas le cas pour l'équation : y = 3.<f(2)<f(1)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{2<f(2)<4}})
par : =(2x+1)\,\text{e}^{-2x}.)
.})
=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-2x}\underset{{\red{(X=-2x)}}}{=}\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}(2x+1)\,\text{e}^{-2x}=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWW}\quad\Longrightarrow\quad\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty})
}{x}=+\infty.)
}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{(2x+1)\,\text{e}^{-2x}}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(2+\dfrac{1}{x}\right)\text{e}^{-2x} \\\\\text{Or }\;\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\left(2+\dfrac{1}{x}\right)=2+0=2\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-2x}\underset{{\red{(X=-2x)}}}{=}\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^{X}=+\infty\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to-\infty}\left(2+\dfrac{1}{x}\right)\text{e}^{-2x}=+\infty)
}{x}=+\infty})
. }}}f(x)=(2x+1)\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{{\red{\text{1. b) }}}f(x)}=2x\,\text{e}^{-2x}+\text{e}^{-2x} \\\phantom{{\red{\text{1. b) }}}f(x)}=\dfrac{2x}{\text{e}^{2x}}+\dfrac{1}{\text{e}^{2x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f(x)=\dfrac{2x}{\text{e}^{2x}}+\dfrac{1}{\text{e}^{2x}}})
\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\text{e}^{2x}}=0\phantom{WWWWWWWWWW}\end{matrix}\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{2x}{\text{e}^{2x}}+\dfrac{1}{\text{e}^{2x}}\right)=0)
=0})
![f'(x)=[(2x+1)\text{e}^{-2x}]' \\\phantom{f'(x)}=(2x+1)'\times\text{e}^{-2x}+(2x+1)\times(\text{e}^{-2x})' \\\phantom{f'(x)}=2\times\text{e}^{-2x}+(2x+1)\times(-2\text{e}^{-2x}) \\\phantom{f'(x)}=2\,\text{e}^{-2x}-2(2x+1)\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{f'(x)}=2[1-(2x+1)]\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{f'(x)}=2(1-2x-1]\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{f'(x)}=2(-2x)\,\text{e}^{-2x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-4x\,\text{e}^{-2x}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x)=[(2x+1)\text{e}^{-2x}]' \\\phantom{f'(x)}=(2x+1)'\times\text{e}^{-2x}+(2x+1)\times(\text{e}^{-2x})' \\\phantom{f'(x)}=2\times\text{e}^{-2x}+(2x+1)\times(-2\text{e}^{-2x}) \\\phantom{f'(x)}=2\,\text{e}^{-2x}-2(2x+1)\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{f'(x)}=2[1-(2x+1)]\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{f'(x)}=2(1-2x-1]\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{f'(x)}=2(-2x)\,\text{e}^{-2x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-4x\,\text{e}^{-2x}})
=(2\times0+1)\text{e}^{0}\\=1\times1\\=1\phantom{ww,}\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&0&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\-4x&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline&&&1&&\\f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&&&0\\ \hline \end{array}\end{matrix})
)
est un point d'inflexion pour la courbe (C ).=(-4x)'\times\text{e}^{-2x}+(-4x)\times(\text{e}^{-2x})' \\\phantom{f''(x)}=(-4)\times\text{e}^{-2x}+(-4x)\times(-2\text{e}^{-2x}) \\\phantom{f''(x)}=-4\,\text{e}^{-2x}+8x\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{f''(x)}=4(-1+2x)\,\text{e}^{-2x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f''(x)=4(2x-1)\,\text{e}^{-2x}})
.)
)
est le signe de 2(x - 1).=(2\times\dfrac{1}{2}+1)\,\text{e}^{-1}\\=2\,\text{e}^{-1}\phantom{w}\\=\dfrac{2}{\text{e}}\phantom{www}\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}{\white{ww}}\begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&\dfrac{1}{2} &&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&\\2x-1&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&\\f''(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\ \hline \end{array}\end{matrix})
et seulement au voisinage de 
.)
(x-\dfrac{1}{2}) + \dfrac{2}{\text{e}}.)
=-4x\,\text{e}^{-2x}\quad\Longrightarrow\quad f'(\dfrac{1}{2})=-4\times\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{-2\times\frac{1}{2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f'(x)=-4x\,\text{e}^{-2x}\quad}\Longrightarrow\quad f'(\dfrac{1}{2})=-2\,\text{e}^{-1}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;f'(x)=-4x\,\text{e}^{-2x}\quad}\Longrightarrow\quad \boxed{f'(\dfrac{1}{2})=\dfrac{-2}{\text{e}}}})
![\text{D'où }\;y=f'(\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2}) + \dfrac{2}{\text{e}}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{-2}{\text{e}}(x-\dfrac{1}{2}) + \dfrac{2}{\text{e}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{-1}{\text{e}}\left[2(x-\dfrac{1}{2}) -2\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{-1}{\text{e}}\left[2x-1 -2\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{-1}{\text{e}}(2x-3)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{D'où }\;y=f'(\dfrac{1}{2})(x-\dfrac{1}{2}) + \dfrac{2}{\text{e}}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{-2}{\text{e}}(x-\dfrac{1}{2}) + \dfrac{2}{\text{e}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{-1}{\text{e}}\left[2(x-\dfrac{1}{2}) -2\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{-1}{\text{e}}\left[2x-1 -2\right]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWWWWW}\quad\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{-1}{\text{e}}(2x-3)})
}\,.)
=0}.})
. ![\overset{{\white{.}}}{g(\,[0\,;\,+\infty[\,)=]0\,;\,1]}.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{g(\,[0\,;\,+\infty[\,)=]0\,;\,1]}.)
l'aire en unité d'aire de la partie du plan limitée par (C' ), l'axe des abscisses et les droites d'équations 
et 
=-(x+1)\,\text{e}^{-2x})
est une primitive de f en montrant que pour tout x réel, =f(x).)
![F'(x)=-[(x+1)\,\text{e}^{-2x}]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-[(x+1)'\times\,\text{e}^{-2x}+(x+1)\times\,(\text{e}^{-2x})']} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-[1\times\,\text{e}^{-2x}+(x+1)\times\,(-2\,\text{e}^{-2x})]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-[\text{e}^{-2x}-2(x+1)\,\text{e}^{-2x}]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-[\text{e}^{-2x}-2x\,\text{e}^{-2x}-2\,\text{e}^{-2x}]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-[-2x\,\text{e}^{-2x}-\text{e}^{-2x}]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=2x\,\text{e}^{-2x}+\text{e}^{-2x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=(2x+1)\,\text{e}^{-2x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=f(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;F'(x)=f(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F'(x)=-[(x+1)\,\text{e}^{-2x}]' \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-[(x+1)'\times\,\text{e}^{-2x}+(x+1)\times\,(\text{e}^{-2x})']} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-[1\times\,\text{e}^{-2x}+(x+1)\times\,(-2\,\text{e}^{-2x})]} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{F'(x)}=-[\text{e}^{-2x}-2(x+1)\,\text{e}^{-2x}]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-[\text{e}^{-2x}-2x\,\text{e}^{-2x}-2\,\text{e}^{-2x}]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=-[-2x\,\text{e}^{-2x}-\text{e}^{-2x}]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=2x\,\text{e}^{-2x}+\text{e}^{-2x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=(2x+1)\,\text{e}^{-2x}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{F'(x)}=f(x)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\R,\;F'(x)=f(x)})
est
égale à l'aire de la partie du plan
limitée par la courbe (C ), l'axe des ordonnées et les droites d'équations respectives 
et 
,
soit à l'aire de la partie du plan limitée par la courbe (C ), la droite d'équation 
et 
(voir le graphique - question 2. e).-\dfrac{2}{\text{e}}\right)\,\text d x\end{aligned}}\,.)
![{\white{ww}}\;\mathscr{A}=\begin{aligned}\int\nolimits_0^{\frac{1}{2}}\left(f(x)-\dfrac{2}{\text{e}}\right)\,\text d x\end{aligned} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWW}=\left[F(x)-\dfrac{2}{\text{e}}x\right]_0^{\frac{1}{2}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWW}=\left[-(x+1)\,\text{e}^{-2x}-\dfrac{2}{\text{e}}x\right]_0^{\frac{1}{2}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\left[-(\dfrac{1}{2}+1)\,\text{e}^{-2\times\frac{1}{2}}-\dfrac{2}{\text{e}}\times\dfrac{1}{2}\right]-\left[-(0+1)\,\text{e}^{-2\times0}-\dfrac{2}{\text{e}}\times0\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\left[-\dfrac{3}{2}\,\text{e}^{-1}-\dfrac{1}{\text{e}}\right]-\left[-\text{e}^{0}-0\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=-\dfrac{3}{2\,\text{e}}-\dfrac{1}{\text{e}}+1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=-\dfrac{3}{2\,\text{e}}-\dfrac{2}{2\,\text{e}}+\dfrac{2\,\text{e}}{2\,\text{e}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\dfrac{-5+2\,\text{e}}{2\,\text{e}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\white{ww}}\;\mathscr{A}=\begin{aligned}\int\nolimits_0^{\frac{1}{2}}\left(f(x)-\dfrac{2}{\text{e}}\right)\,\text d x\end{aligned} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWW}=\left[F(x)-\dfrac{2}{\text{e}}x\right]_0^{\frac{1}{2}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWW}=\left[-(x+1)\,\text{e}^{-2x}-\dfrac{2}{\text{e}}x\right]_0^{\frac{1}{2}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\left[-(\dfrac{1}{2}+1)\,\text{e}^{-2\times\frac{1}{2}}-\dfrac{2}{\text{e}}\times\dfrac{1}{2}\right]-\left[-(0+1)\,\text{e}^{-2\times0}-\dfrac{2}{\text{e}}\times0\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\left[-\dfrac{3}{2}\,\text{e}^{-1}-\dfrac{1}{\text{e}}\right]-\left[-\text{e}^{0}-0\right]} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=-\dfrac{3}{2\,\text{e}}-\dfrac{1}{\text{e}}+1} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=-\dfrac{3}{2\,\text{e}}-\dfrac{2}{2\,\text{e}}+\dfrac{2\,\text{e}}{2\,\text{e}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWW}=\dfrac{-5+2\,\text{e}}{2\,\text{e}}} )
)
, on considère les points ,\;B(0\,;-2\,;\,1)\;\text{et } C(0\,;0\,;\,2))
et le vecteur 
et 
ne sont pas colinéaires car leurs abscisses respectives sont égales alors que les autres composantes ne le sont pas. }}}\;\left\lbrace\begin{matrix} \overrightarrow{N}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}\\\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\-2\\0\end{pmatrix}\right. \end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad\left|\begin{matrix}\overrightarrow{N}\cdot\overrightarrow{AB}=2\times(-1)-1\times(-2)+2\times0\\=-2+2+0\phantom{WWWw}\\=0\phantom{WWWWWWWw}\end{matrix})
-1\times0+2\times1\\=-2-0+2\phantom{WW}\\=0\phantom{WWWWWW}\end{matrix})
est orthogonal aux vecteurs 
est un vecteur normal au plan P déterminé par les points A, B et C.\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{N} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{M\in(P)}\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{N}=0} \\\\\text{Or }\bullet\left\lbrace\begin{matrix}A(1\,;\,0\,;\,1)\\M(x\,;\,y\,;\,z)\end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AM}:\begin{pmatrix}x-1\\y\\z-1\end{pmatrix} \\\\\phantom{\text{Or }}\bullet\overrightarrow{N}:\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} \\\\\text{D'où }\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{N}=0\Longleftrightarrow2(x-1)-y+2(z-1)=0 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{N}=0}\Longleftrightarrow2x-2-y+2z-2=0} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{D'où }\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{N}=0}\Longleftrightarrow \boxed{2x-y+2z-4=0}})
0 - 0 + 2
0.})
est le projeté orthogonal du point E sur P.
D'une part, le point +2\times\dfrac{13}{9}-4=\dfrac{8}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{26}{9}-4 \\\phantom{\text{En effet, }\;2\times\dfrac{4}{9}-\left(\dfrac{-2}{9}\right)+2\times\dfrac{13}{9}-4}=\dfrac{36}{9}-4 \\\phantom{\text{En effet, }\;2\times\dfrac{4}{9}-\left(\dfrac{-2}{9}\right)+2\times\dfrac{13}{9}-4}=4-4 \\\phantom{\text{En effet, }\;2\times\dfrac{4}{9}-\left(\dfrac{-2}{9}\right)+2\times\dfrac{13}{9}-4}=0.)
et 
est un vecteur normal au plan P.
-\dfrac{2}{9}\times(-2)-\dfrac{5}{9}\times0 \\\phantom{\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}}=-\dfrac{4}{9}+\dfrac{4}{9}-0 \\\phantom{\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{CH}\perp\overrightarrow{AB}})
+\dfrac{16}{9}\times0+\dfrac{4}{9}\times1 \\\phantom{\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}}=-\dfrac{4}{9}+0+\dfrac{4}{9} \\\phantom{\overrightarrow{CH}\cdot\overrightarrow{AB}}=0 \\\\\Longrightarrow\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BH}\perp\overrightarrow{AC}})
)
et de rayon R a pour équation cartésienne : ^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2.)
=1} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;x^2+y^2+z^2-2z=0}\quad\Longleftrightarrow\quad \boxed{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-1)^2=1^2}})
\\\overset{{\white{.}}}{H\left(\dfrac{4}{9}\,;\,\dfrac{-2}{9}\,;\,\dfrac{13}{9}\right)}\end{matrix}\right.\quad\Longrightarrow\quad EH=\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}-0\right)^2+\left(\dfrac{-2}{9}-0\right)^2+\left(\dfrac{13}{9}-1\right)^2} \\\phantom{WWWWWWWW\quad\Longrightarrow\quad EH}=\sqrt{\left(\dfrac{4}{9}\right)^2+\left(\dfrac{2}{9}\right)^2+\left(\dfrac{4}{9}\right)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW\quad\Longrightarrow\quad EH}=\sqrt{\dfrac{16}{81}+\dfrac{4}{81}+\dfrac{16}{81}}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{WWWWWWWW\quad\Longrightarrow\quad EH}=\sqrt{\dfrac{36}{81}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{WWWWWWWW\quad\Longrightarrow\quad EH}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}} \\\text{D'où }\;\boxed{EH=\dfrac{2}{3}\,{\red{<1}}})
)
de centre H.^2+HK^2 \\\phantom{EK^2=EH^2+HK^2}\quad\Longleftrightarrow\quad 1=\dfrac{4}{9}+HK^2 \\\phantom{EK^2=EH^2+HK^2}\quad\Longleftrightarrow\quad HK^2=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9} \\\\\Longrightarrow\boxed{HK=\dfrac{\sqrt{5}}{3}})
.)
^2+(y_A-y_E)^2+(z_A-z_E)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwx}=\sqrt{(1-0)^2+(0-0)^2+(1-1)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwx}=\sqrt{1}}=1 \\\\ {\phantom{wx}}EC=\sqrt{(x_C-x_E)^2+(y_C-y_E)^2+(z_C-z_E)^2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wwwx}=\sqrt{(0-0)^2+(0-0)^2+(2-1)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wwwx}=\sqrt{1}}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{EA=EC})
^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwx}=\sqrt{(1-0)^2+(0+2)^2+(1-1)^2}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{wwwx}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}} \\\\ {\phantom{wx}}BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2+(z_C-z_B)^2} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wwwx}=\sqrt{(0-0)^2+(0+2)^2+(2-1)^2}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{wwwx}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}} \\\\\Longrightarrow\boxed{BA=BC})
}\;{\red{1.}}\;(1-\text{i}\sqrt{3})^2=1^2-2\times1\times \text{i}\sqrt{3}+(\text{i}\sqrt{3})^2 \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\mathbf{I)}\;{\red{1.}}\;(1-\text{i}\sqrt{3})^2}=1-2\,\text{i}\sqrt{3}-3} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\mathbf{I)}\;{\red{1.}}\;(1-\text{i}\sqrt{3})^2}=-2-2\,\text{i}\sqrt{3}} \\\\\Longrightarrow\boxed{(1-\text{i}\sqrt{3})^2=-2-2\,\text{i}\sqrt{3}})
l'équation :2z^2-4\,\text{i}\sqrt{3}z-5+\text{i}\sqrt{3}=0.)
![\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta=(-4\,\text{i}\sqrt{3})^2-4\times2\times(-5+\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=16\times(-1)\times3-8(-5+\,\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=-48+40-8\,\text{i}\sqrt{3} \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=-8-8\text{i}\sqrt{3} \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=4(-2-2\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=4(1-\text{i}\sqrt{3})^2 \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=[2(1-\text{i}\sqrt{3})]^2\quad(\text{voir question 1.})](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta=(-4\,\text{i}\sqrt{3})^2-4\times2\times(-5+\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=16\times(-1)\times3-8(-5+\,\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=-48+40-8\,\text{i}\sqrt{3} \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=-8-8\text{i}\sqrt{3} \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=4(-2-2\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=4(1-\text{i}\sqrt{3})^2 \\\phantom{\underline{\text{Discriminant}}:\;\Delta}=[2(1-\text{i}\sqrt{3})]^2\quad(\text{voir question 1.}))
}{2\times2}=\dfrac{4\,\text{i}\sqrt{3}+2-2\,\text{i}\sqrt{3}}{4} \\\\\phantom{\underline{\text{Racines}}:\;z_1}=\dfrac{2+2\,\text{i}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2(1+\text{i}\sqrt{3})}{4}=\dfrac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2} \\\\\phantom{\underline{\text{Racines}}:}\;z_2=\dfrac{4\,\text{i}\sqrt{3}-2(1-\text{i}\sqrt{3})}{2\times2}=\dfrac{4\,\text{i}\sqrt{3}-2+2\,\text{i}\sqrt{3}}{4} \\\\\phantom{\underline{\text{Racines}}:\;z_1}=\dfrac{-2+6\,\text{i}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{2(-1+3\,\text{i}\sqrt{3})}{4}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3\,\text{i}\sqrt{3}}{2})
,)
on considère les points A, B et C d'affixes respectives 
et 
)
le cercle de centre O et de rayon 1 et par )
le cercle de centre O et de rayon 2.
Nous souhaitons écrire 
sous la forme exponentielle 
où r1 est le module de zA et 
1 l'argument principal de zA .^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{1}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{r_1=1})
=\dfrac{\frac{1}{2}}{r_1}=\dfrac{\frac{1}{2}}{1}\\\overset{{\white{.}}}{\sin(\theta_1)=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{r_1}=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1}}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta_1)=\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\sin(\theta_1)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\boxed{\theta_1=\dfrac{\pi}{3}} )
sous la forme exponentielle 
où r2 est le module de zC et ^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2 \\\\\Longrightarrow\boxed{r_2=2})
=\dfrac{-1}{r_2}=-\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\sin(\theta_2)=\dfrac{\sqrt{3}}{r_2}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos(\theta_2)=-\dfrac{1}{2}\\\overset{{\white{.}}}{\sin(\theta_2)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\boxed{\theta_2=\dfrac{2\pi}{3}} )
et que .)
et que .)
\end{matrix}\right. \\\\\\\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}z_A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2}\\\\z_B-z_C=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{3\,\text{i}\sqrt{3}}{2}+1-\text{i}\sqrt{3}\end{matrix}\right. \\\\\\\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}z_A=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2}\\\\z_B-z_C=\dfrac{-1}{2}+\dfrac{3\,\text{i}\sqrt{3}}{2}+\dfrac{2}{2}-\dfrac{2\text{i}\sqrt{3}}{2}\end{matrix}\right. \\\\\\\Longleftrightarrow\quad\left\lbrace\begin{matrix}z_A={\red{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2}}}\\\\z_B-z_C={\red{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\text{i}\sqrt{3}}{2}}}\end{matrix}\right. \\\\\\\Longrightarrow\boxed{z_A=z_B-z_C})
=\arg\left(\dfrac{z_A}{z_A-z_C}\right) )
}} \\\overset{{\white{.}}}{\phantom{\text{Or }\;\dfrac{z_A}{z_A-z_C}}=\dfrac{1}{1-2\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;\dfrac{z_A}{z_A-z_C}}=\dfrac{1}{1-2z_A}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;\dfrac{z_A}{z_A-z_C}}=\dfrac{1}{1-2(\frac{1+\text{i}\sqrt{3}}{2})}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;\dfrac{z_A}{z_A-z_C}}=\dfrac{1}{1-1-\text{i}\sqrt{3}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;\dfrac{z_A}{z_A-z_C}}=\dfrac{1}{-\text{i}\sqrt{3}}} \\\overset{{\phantom{.}}}{\phantom{\text{Or }\;\dfrac{z_A}{z_A-z_C}}=\dfrac{\text{i}}{\sqrt{3}}})
![\text{Donc }\;\left(\widehat{\overrightarrow{CA}\,,\overrightarrow{OA}}\right)=\arg(\dfrac{\text{i}}{\sqrt{3}})\\\phantom{\text{Donc }\;\left(\widehat{\overrightarrow{CA}\,,\overrightarrow{OA}}\right)}=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi] \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\widehat{\overrightarrow{CA}\,,\overrightarrow{OA}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Donc }\;\left(\widehat{\overrightarrow{CA}\,,\overrightarrow{OA}}\right)=\arg(\dfrac{\text{i}}{\sqrt{3}})\\\phantom{\text{Donc }\;\left(\widehat{\overrightarrow{CA}\,,\overrightarrow{OA}}\right)}=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi] \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\widehat{\overrightarrow{CA}\,,\overrightarrow{OA}}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]} )
- 
1 la perpendiculaire à la droite (AC ) et passant par le point I.
où x est un nombre réel.
est 
![\overset{{\white{.}}}{\left(\widehat{\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{IH}}\right)=\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\left(\widehat{\overrightarrow{u}\,,\overrightarrow{IH}}\right)=\dfrac{\pi}{3}\,[2\pi].})
![\text{Or }\;x+\,\text{i}\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=1+r\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\quad\Longleftrightarrow\quad x+\,\text{i}\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=1+r\,[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\text{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)] \\\phantom{WWWWWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad x+\,\text{i}\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=1+r\,\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\text{i}\,r\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\\phantom{WWWWWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x=1+r\,\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\\\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=r\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x=1+r\times\dfrac{1}{2}\\\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=r\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}{}\end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Or }\;x+\,\text{i}\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=1+r\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\quad\Longleftrightarrow\quad x+\,\text{i}\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=1+r\,[\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\text{i}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)] \\\phantom{WWWWWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad x+\,\text{i}\,\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=1+r\,\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\text{i}\,r\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \\\phantom{WWWWWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x=1+r\,\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\\\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=r\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWx}\quad\Longleftrightarrow\quad \left\lbrace\begin{matrix}x=1+r\times\dfrac{1}{2}\\\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=r\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}{}\end{matrix}\right.)
^2+\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2} \\\phantom{\overset{{\white{.}}}{\bullet{\white{w}}}IB}=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{4}}=\sqrt{\dfrac{36}{4}}=\sqrt{9}=3 \\\\\\\phantom{ww}\Longrightarrow\boxed{IB=3})
 \\\\\phantom{ww}\Longrightarrow\boxed{IH=3})
Voir la correction
forum de terminale