1. a) Nous devons démontrer par récurrence que pour tout élément n de , un 0.
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que u0 0.
La relation est évidente puisque u0 = 1 0 et par conséquent, l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
Donc l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout élément n de , un 0.
1. b) Pour tout élément n de ,
D'où la suite (un ) est croissante.
2. Soit (vn ) la suite définie par :
2. b) Nous devons démontrer par récurrence que pour tout élément n de , vn -1.
Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0, soit que v0 -1.
La relation est évidente puisque v0 = 1 -1 et par conséquent, l'initialisation est vraie.
Hérédité : Montrons que si pour un nombre naturel n fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
Cela revient à démontrer que si pour un nombre naturel n fixé, , alors
En effet,
Donc l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout élément n de , vn -1.
2. c) Montrons que la suite (wn ) telle que est une suite arithmétique.
Par conséquent, la suite (wn ) est une suite arithmétique de raison dont le premier terme est
Donnons l'expression du terme général de cette suite (wn ).
6 points
exercice 2
1. Pour tout nombre complexe z , on pose
1. a)
D'où
Par conséquent,
4. c) Nous devons résoudre dans l'équation
D'où, l'ensemble des solutions de l'équation P (z ) = 0 est
2. On désigne par A, B, C et G les points d'affixes respectives
2. a) Calculons les distances AB, BC et AC.
Nous en déduisons que le triangle ABC est un triangle équilatéral.
2. b) Nous devons déterminer un argument du nombre complexe
Dès lors, un argument du nombre complexe est
Nous en déduisons que le triangle GAC est rectangle en C.
3. Soit (D) l'ensemble des points M du plan tels que
3. a) Nous devons montrer que G est le barycentre du système de points pondérés
Nous observons que -1 + 2 + 2 = 3 0.
Dans ce cas, G est le barycentre du système de points pondérés si , soit si
Par conséquent, G est le barycentre du système de points pondérés
3. b) Nous devons montrer que la relation (1) est équivalente à la relation
D'où
3. c) Vérifions que le point A appartient à l'ensemble (D).
Le point A appartient à l'ensemble (D) s'il vérifie la relation (1) ou encore s'il vérifie la relation (2).
Nous allons donc montrer que
Par conséquent, le point A appartient à l'ensemble (D).
3. d) Nous devons montrer que la relation (2) est équivalente à la relation
3. e) Nous en déduisons que l'ensemble (D) est la droite passant par le point A, perpendiculaire à la droite (GC).
9 points
probleme
I) On considère la fonction f définie sur par :
1. L'ensemble de définition Df de f est .
2. a) Nous devons étudier les limites de f en - et +.
2. b) Nous avons montré dans la question 2. a) que
Il s'ensuit que la droite d'équation y = 0 est asymptote horizontale à (Cf ) en +.
2. c) Montrons que la droite () d'équation y = x est asymptote oblique à (Cf ) en -.
D'où, la droite () d'équation y = x est asymptote oblique à (Cf ) en -.
3. Etudions la continuité de la fonction f en 0.
D'une part,
D'autre part,
Par conséquent, la fonction f n'est pas continue en 0.
4. Soit h la fonction définie sur - ; 0[ par :
4. a) Nous devons dresser le tableau de variations de h sur ]- ; 0[.
Étudions le signe de la dérivée h' (x ) sur l'intervalle ]- ; 0[.
Il s'ensuit que la fonction h est strictement croissante sur ]- ; 0[.
D'où, le tableau de variations de h sur ]- ; 0[.
4. b) En nous basant que la question précédente, nous obtenons :
Par conséquent,
5. a)La fonction f n'est pas dérivable en 0 car elle n'est pas continue en 0 (voir question 3).
Étudions la dérivabilité de f à droite de 0.
Calculons la dérivée à droite f'd (0) de f en 0.
Par conséquent, la fonction f est dérivable à droite de 0.
Calculons .
Nous avons montré dans la question 3 que
Calculons
5. b) Déterminons l'expression algébrique de f' (x ).
Premier cas : x ]- ; 0[.
Deuxième cas : x ]0 ; +[
5. c) Nous devons étudier le sens de variations de f sur .
Premier cas : x ]- ; 0[.
Deuxième cas : x ]0 ; +[
Étant donné que l'exponentielle est strictement positive sur , le signe de f' (x ) est le signe de (1 - x ) sur ]0 ; +[.
Tableau de variations de f sur .
6. Représentation graphique de (Cf ).
II) Soit un nombre réel strictement positif ( > 0).
1. Nous devons calculer, en cm2, l'aire S () de la partie du plan formée par l'ensemble des points M(x ; y ) tels que l'on ait : et
Calculons d'abord l'aire S () exprimée en unité d'aire (u.a.) par la méthode d'intégration par parties.
Puisque l'unité graphique est 2 cm, l'unité d'aire vaudra 4 cm2.
Donc
Par conséquent, l'aire S () de la partie du plan formée par l'ensemble des points M(x ; y ) tels que l'on ait : et est
2. Déterminons la limite de S () quand tend vers +.
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, un 
0.
, alors 
\phantom{www}\\u_{n}\ge0\phantom{w}(\text{par hypothèse })\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow2u_n+n\ge0 \\\phantom{WWWWWWWWWwWW}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ge 0})
-u_n \\\phantom{u_{n+1}-u_n}=u_n+n \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}u_n\ge0\phantom{w}(\text{voir 1. a})\\n\ge0\phantom{w}(\text{car }n\in\N)\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow u_n+n\ge0 \\\phantom{WWWWWWWWwWW}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}-u_n\ge 0})
}}}\,\bullet\phantom{w}\boxed{v_0=1} \\\\\bullet\phantom{w}v_1=\dfrac{v_0-1}{v_0+3}=\dfrac{1-1}{1+3}=0\Longrightarrow\boxed{v_1=0} \\\\\bullet\phantom{w}v_2=\dfrac{v_1-1}{v_1+3}=\dfrac{0-1}{0+3}=-\dfrac{1}{3}\Longrightarrow\boxed{v_2=-\dfrac{1}{3}} \\\\\bullet\phantom{w}v_3=\dfrac{v_2-1}{v_2+3}=\dfrac{-\dfrac{1}{3}-1}{-\dfrac{1}{3}+3}=\dfrac{-\dfrac{4}{3}}{\dfrac{8}{3}}=-\dfrac{4}{8}=-\dfrac{1}{2}\Longrightarrow\boxed{v_3=-\dfrac{1}{2}})
, alors 
, alors 
}{v_n+3} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}v_n+1\ge 0\phantom{w}(\text{par hypothèse })\\v_n+3\ge v_n+1\ge0\phantom{www.ww}\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\dfrac{2(v_n+1)}{v_n+3}\ge0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}+1\ge0})
est une suite arithmétique.}-\dfrac{1}{v_n+1} =\dfrac{v_n+3-2}{2(v_n+1)} \\\\\phantom{w_{n+1}-w_n}=\dfrac{v_n+1}{2(v_n+1)} =\dfrac{1}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,n\in\N,\ w_{n+1}-w_n=\dfrac{1}{2}})
dont le premier terme est 
 \\\\\Longrightarrow\boxed{w_n=\dfrac{1}{2}(n+1)}\,.)
 }}}w_n=\dfrac{1}{v_n+1}\Longrightarrow v_n+1=\dfrac{1}{w_n} \\\phantom{{\red{2.\text{ d) }}}w_n=\dfrac{1}{v_n+1}}\Longrightarrow v_n=\dfrac{1}{w_n}-1 \\\phantom{{\red{2.\text{ d) }}}w_n=\dfrac{1}{v_n+1}}\Longrightarrow v_n=\dfrac{1}{\frac{1}{2}(n+1)}-1 \\\\\phantom{{\red{2.\text{ d) }}}w_n=\dfrac{1}{v_n+1}}\Longrightarrow v_n=\dfrac{2}{n+1}-1 \\\\\text{Or }\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}=0\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2}{n+1}=0 \\\\\phantom{WWWWW.WWW}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{2}{n+1}-1\right)=-1 \\\\\phantom{WWWWW.WWW}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=-1})
=z^3-3z^2+3z+7.)
=(-1)^3-3\times(-1)^2+3\times(-1)+7=-1-3-3+7=0)
=0}\,.)
 }}}P(z)=(z+1)(z^2+az+b) \\\phantom{{\red{1.\text{ b) }}}P(z)}=z^3+az^2+bz+z^2+az+b \\\\\Longrightarrow P(z)=z^3+(a+1)z^2+(b+a)z+b \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}P(z)=z^3+(a+1)z^2+(b+a)z+b\\P(z)=z^3-3z^2+3z+7\phantom{wwwwwww}\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a+1=-3\\b+a=3\phantom{w}\\b=7\phantom{www}\end{matrix}\right. \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-4\phantom{ww}\\b+a=3\phantom{w}\\b=7\phantom{www}\end{matrix}\right. \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-4\phantom{ww}\\7-4=3\phantom{w}\\b=7\phantom{www}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=-4\\b=7\phantom{w}\end{matrix}\right.})
=(z+1)(z^2-4z+7)}\,.)
l'équation =0.)
=0\Longleftrightarrow (z+1)(z^2-4z+7)=0 \\\phantom{P(z)=0}\Longleftrightarrow z+1=0\phantom{w}\text{ ou }\phantom{w}z^2-4z+7=0 \\\\\bullet\phantom{w}z+1=0\Longleftrightarrow z=-1 \\\\\bullet\phantom{w}z^2-4z+7=0 \\\\\phantom{ww}\underline{\text{Discriminant}}:\Delta=(-4)^2-4\times1\times7=16-28=-12<0 \\\\\phantom{ww}\underline{\text{Racines}}: \\\\\phantom{ww}z_1=\dfrac{4-\text{i}\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4-2\,\text{i}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(2-\text{i}\sqrt{3})}{2}=2-\text{i}\sqrt{3} \\\\\phantom{ww}z_2=\dfrac{4+\text{i}\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4+2\,\text{i}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(2+\text{i}\sqrt{3})}{2}=2+\text{i}\sqrt{3})
+1|=|3+\text{i}\sqrt{3}|=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \\\\BC=|z_C-z_B|=|(2-\text{i}\sqrt{3})-(2+\text{i}\sqrt{3})|=|2-\text{i}\sqrt{3}-2-\text{i}\sqrt{3}| \\\phantom{BC}=|-2\text{i}\sqrt{3}|=\sqrt{(-2)^2\times(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \\\\AC=|z_C-z_A|=|(2-\text{i}\sqrt{3})+1|=|3-\text{i}\sqrt{3}|=\sqrt{3^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{AB=BC=AC=2\sqrt{3}})
![\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}=\dfrac{-1-(2-\text{i}\sqrt{3})}{3-(2-\text{i}\sqrt{3})} =\dfrac{-1-2+\text{i}\sqrt{3}}{3-2+\text{i}\sqrt{3}}=\dfrac{-3+\text{i}\sqrt{3}}{1+\text{i}\sqrt{3}} \\\\\phantom{\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}}=\dfrac{(-3+\text{i}\sqrt{3})(1-\text{i}\sqrt{3})}{(1+\text{i}\sqrt{3})(1-\text{i}\sqrt{3})}=\dfrac{-3+3\text{i}\sqrt{3}+\text{i}\sqrt{3}+3}{1+3} \\\\\phantom{\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}}=\dfrac{4\text{i}\sqrt{3}}{4}=\text{i}\sqrt{3} \\\\\Longrightarrow\arg\left(\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}\right)=\arg\left(\text{i}\sqrt{3}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\arg\left(\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}=\dfrac{-1-(2-\text{i}\sqrt{3})}{3-(2-\text{i}\sqrt{3})} =\dfrac{-1-2+\text{i}\sqrt{3}}{3-2+\text{i}\sqrt{3}}=\dfrac{-3+\text{i}\sqrt{3}}{1+\text{i}\sqrt{3}} \\\\\phantom{\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}}=\dfrac{(-3+\text{i}\sqrt{3})(1-\text{i}\sqrt{3})}{(1+\text{i}\sqrt{3})(1-\text{i}\sqrt{3})}=\dfrac{-3+3\text{i}\sqrt{3}+\text{i}\sqrt{3}+3}{1+3} \\\\\phantom{\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}}=\dfrac{4\text{i}\sqrt{3}}{4}=\text{i}\sqrt{3} \\\\\Longrightarrow\arg\left(\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}\right)=\arg\left(\text{i}\sqrt{3}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\arg\left(\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]})
est 
![\overset{{\white{.}}}{\left(-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\cdot\overrightarrow{CG}=12.\phantom{www}\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\left(-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\cdot\overrightarrow{CG}=12.\phantom{www}\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]})
\,;\,(B\,;\,2)\,;\,(C\,;\,2)\rbrace .})
0.\,;\,(B\,;\,2)\,;\,(C\,;\,2)\rbrace})
si =\overrightarrow{0}})
, soit si +2\,(z_B-z_G)+2\,(z_C-z_G)=0.)
+2\,(z_B-z_G)+2\,(z_C-z_G)=-(-1-3)+2\,(2+\text{i}\sqrt{3}-3)+2\,(2-\text{i}\sqrt{3}-3) \\\phantom{\text{Or }\,-(z_A-z_G)+2\,(z_B-z_G)+2\,(z_C-z_G)}=4+2\,(-1+\text{i}\sqrt{3})+2\,(-1-\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\text{Or }\,-(z_A-z_G)+2\,(z_B-z_G)+2\,(z_C-z_G)}=4-2+2\,\text{i}\sqrt{3}-2-2\,\text{i}\sqrt{3} \\\phantom{\text{Or }\,-(z_A-z_G)+2\,(z_B-z_G)+2\,(z_C-z_G)}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{-(z_A-z_G)+2\,(z_B-z_G)+2\,(z_C-z_G)=0})
![\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4.\phantom{www}\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right].}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4.\phantom{www}\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right].})
![\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]\Longleftrightarrow\left(-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\cdot\overrightarrow{CG}=12 \\\phantom{\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}\Longleftrightarrow(-1+2+2)\,\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{CG}=12 \\\phantom{\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}\Longleftrightarrow3\,\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{CG}=12 \\\phantom{\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{CG}=4 \\\phantom{\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\phantom{ww}\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]\Longleftrightarrow\left(-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\cdot\overrightarrow{CG}=12 \\\phantom{\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}\Longleftrightarrow(-1+2+2)\,\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{CG}=12 \\\phantom{\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}\Longleftrightarrow3\,\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{CG}=12 \\\phantom{\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{CG}=4 \\\phantom{\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\phantom{ww}\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right])
![\boxed{\left(-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\cdot\overrightarrow{CG}=12\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]\Longleftrightarrow\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\left(-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\cdot\overrightarrow{CG}=12\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]\Longleftrightarrow\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]})
\\A\,(-1\,;\,0)\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\overrightarrow{GA}\,\begin{pmatrix} x_A-x_G\\y_A-y_G\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1-3\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWWWW}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\overrightarrow{GA}\,\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix}})
\\G\,(3\,;\,0)\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\overrightarrow{CG}\,\begin{pmatrix} x_G-x_C\\y_G-y_C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-2\\0+\sqrt{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\\sqrt{3}\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWWWWW}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\overrightarrow{CG}\,\begin{pmatrix} 1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}} \\\\\\ \text{D'où }\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\times1+0\times\sqrt{3} \\\phantom{\text{D'où }\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{CG}}=-4+0 \\\phantom{\text{D'où }\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{CG}}=-4 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{CG}=-4})
![\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]\Longleftrightarrow\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}\right)\cdot\overrightarrow{CG}=-4 \\\phantom{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4 \\\phantom{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}\Longleftrightarrow-4+\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\phantom{ww}\text{(voir question 3. c)} \\\phantom{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CG}=0 \\\phantom{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{GC}=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]\Longleftrightarrow\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}\right)\cdot\overrightarrow{CG}=-4 \\\phantom{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4 \\\phantom{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}\Longleftrightarrow-4+\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\phantom{ww}\text{(voir question 3. c)} \\\phantom{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CG}=0 \\\phantom{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{GC}=0)
![\text{D'où }\boxed{\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{GC}=0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{D'où }\boxed{\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{GC}=0})
par : ![f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}x+(1-x)\,\text{e}^{2x}\phantom{www}\text{si }x\in\,]-\infty\,;\,0\,[\\x\,\text{e}^{-x}\phantom{wwwxxwww}\text{si }x\in[0\,;\,+\infty[\end{matrix}\right.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}x+(1-x)\,\text{e}^{2x}\phantom{www}\text{si }x\in\,]-\infty\,;\,0\,[\\x\,\text{e}^{-x}\phantom{wwwxxwww}\text{si }x\in[0\,;\,+\infty[\end{matrix}\right.)
et +![\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[x+(1-x)\,\text{e}^{2x}\right] \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[x+\text{e}^{2x}-x\,\text{e}^{2x}\right] \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[x+\text{e}^{x}\times \text{e}^{x}-x\,\text{e}^{x}\times\text{e}^{x}\right] \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\phantom{WWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to-\infty}x\,\text{e}^x=0\phantom{ww}(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[x+(1-x)\,\text{e}^{2x}\right] \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[x+\text{e}^{2x}-x\,\text{e}^{2x}\right] \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[x+\text{e}^{x}\times \text{e}^{x}-x\,\text{e}^{x}\times\text{e}^{x}\right] \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\phantom{WWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to-\infty}x\,\text{e}^x=0\phantom{ww}(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty})
=\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\text{e}^{-x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}=0\phantom{ww}(\text{croissances comparées}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0})
=0.)
) d'équation y = x est asymptote oblique à (Cf ) en -![\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x+(1-x)\,\text{e}^{2x}-x\right) \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]}=\lim\limits_{x\to-\infty}(1-x)\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]}=\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^{2x}-x\,\text{e}^{2x}) \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]}=\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^{x}\times\text{e}^{x}-x\,\text{e}^{x}\times\text{e}^{x}) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to-\infty}x\,\text{e}^x=0\phantom{ww}(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]=0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x+(1-x)\,\text{e}^{2x}-x\right) \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]}=\lim\limits_{x\to-\infty}(1-x)\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]}=\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^{2x}-x\,\text{e}^{2x}) \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]}=\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^{x}\times\text{e}^{x}-x\,\text{e}^{x}\times\text{e}^{x}) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to-\infty}x\,\text{e}^x=0\phantom{ww}(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]=0})
=0\times\text{e}^{0}=0\times1=0\Longrightarrow\boxed{f(0)=0}})
=\lim\limits_{x\to0^+}x\,\text{e}^{-x} \\\\\phantom{\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to0^+}f(x)}=0\times\text{e}^{0}\\\\\phantom{\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to0^+}f(x)}=0\times1=0\\\\\phantom{\bullet\phantom{x}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=0} \\\\\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}\left(x+(1-x)\,\text{e}^{2x}\right) \\\\\phantom{\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to0^+}f(x)}=0+(1-0)\,\text{e}^0 \\\\\phantom{\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to0^+}f(x)}=0+1\times1=1 \\\\\phantom{\bullet\phantom{x}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=1} \\\\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\neq\lim\limits_{x\to0^-}f(x)})
=1+(1-2x)\,\text{e}^{2x}.)
=1+(1-2x)\,\text{e}^{2x}\Longleftrightarrow\boxed{h(x)=1+\text{e}^{2x}-2x\,\text{e}^{2x}} \\\\ \bullet{\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}2x=-\infty\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\end{matrix}\right.{\phantom{ww}}\underset{X=2x}{\underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}}{\phantom{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{2x}=0} \\\\\bullet{\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}2x=-\infty\\\lim\limits_{X\to-\infty}X\text{e}^X=0\end{matrix}\right.{\phantom{ww}}\underset{X=2x}{\underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}}{\phantom{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}2x\,\text{e}^{2x}=0} \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=1+0-0\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=1})
![\lim\limits_{x\to0^-}h(x)=\lim\limits_{x\to0^-}[1+\text{e}^{2x}-2x\,\text{e}^{2x}] \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)}=1+\lim\limits_{x\to0^-}\text{e}^{2x}-\lim\limits_{x\to0^-}2x\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)}=1+\text{e}^{0}-0\times\,\text{e}^{0} \\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)}=1+1-0 \\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)}=2 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)=2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lim\limits_{x\to0^-}h(x)=\lim\limits_{x\to0^-}[1+\text{e}^{2x}-2x\,\text{e}^{2x}] \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)}=1+\lim\limits_{x\to0^-}\text{e}^{2x}-\lim\limits_{x\to0^-}2x\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)}=1+\text{e}^{0}-0\times\,\text{e}^{0} \\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)}=1+1-0 \\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)}=2 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)=2})
![h'(x)=\left(\overset{}{1+(1-2x)\,\text{e}^{2x}}\right)' \\\\\phantom{h(x)}=1'+(1-2x)'\times\text{e}^{2x}+(1-2x)\times(\text{e}^{2x})' \\\\\phantom{h(x)}=0+(-2)\times\text{e}^{2x}+(1-2x)\times(2x)'\text{e}^{2x} \\\\\phantom{h(x)}=-2\,\text{e}^{2x}+(1-2x)\times2\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{h(x)}=2\,\text{e}^{2x}(-1+1-2x) \\\\\phantom{h(x)}=-4x\,\text{e}^{2x} \\\\\Longrightarrow\boxed{h'(x)=-4x\,\text{e}^{2x}} \\\\\text{Or pour tout }x\,\in\,\,]-\infty\,;\,0[,\,\left\lbrace\begin{matrix}x<0\\\text{e}^{2x}>0\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}-4x\,\text{e}^{2x}>0 \\\\\Longrightarrow\boxed{h'(x)>0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h'(x)=\left(\overset{}{1+(1-2x)\,\text{e}^{2x}}\right)' \\\\\phantom{h(x)}=1'+(1-2x)'\times\text{e}^{2x}+(1-2x)\times(\text{e}^{2x})' \\\\\phantom{h(x)}=0+(-2)\times\text{e}^{2x}+(1-2x)\times(2x)'\text{e}^{2x} \\\\\phantom{h(x)}=-2\,\text{e}^{2x}+(1-2x)\times2\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{h(x)}=2\,\text{e}^{2x}(-1+1-2x) \\\\\phantom{h(x)}=-4x\,\text{e}^{2x} \\\\\Longrightarrow\boxed{h'(x)=-4x\,\text{e}^{2x}} \\\\\text{Or pour tout }x\,\in\,\,]-\infty\,;\,0[,\,\left\lbrace\begin{matrix}x<0\\\text{e}^{2x}>0\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}-4x\,\text{e}^{2x}>0 \\\\\Longrightarrow\boxed{h'(x)>0})
&&&+&&\\&&&&&\\\hline&&&&&(2)\\h(x)&&&\nearrow&&\\&(1)&&&&\\ \hline \end{array})
![h\left(\overset{}{]-\infty\,;\,0[}\right)=\,]1\,;\,2[.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?h\left(\overset{}{]-\infty\,;\,0[}\right)=\,]1\,;\,2[.)
![\boxed{\forall\,x\in\,\,]-\infty\,;\,0[,\phantom{v}h(x)>0}\,.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\forall\,x\in\,\,]-\infty\,;\,0[,\phantom{v}h(x)>0}\,.)
La fonction f n'est pas dérivable en 0 car elle n'est pas continue en 0 (voir question 3).=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} \\\\\phantom{f'_d(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x\,\text{e}^{-x}-0}{x-0} \\\\\phantom{f'_d(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x\,\text{e}^{-x}}{x} \\\\\phantom{f'_d(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\text{e}^{-x} \\\\\phantom{f'_d(0)}=\text{e}^{0}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'_d(0)=1})
.)
.=1.)
![\lim\limits_{x\to0^-}f'(x) =\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{f(x)-1}{x-0} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{x+(1-x)\,\text{e}^{2x}-1}{x} =\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{(1-x)\,\text{e}^{2x}-(1-x)}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{(1-x)\,(\text{e}^{2x}-1)}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\left[(1-x)\times\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x}\right] \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=\lim\limits_{x\to0^-}(1-x)\times\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=1\times\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\lim\limits_{x\to0^-}f'(x) =\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{f(x)-1}{x-0} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{x+(1-x)\,\text{e}^{2x}-1}{x} =\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{(1-x)\,\text{e}^{2x}-(1-x)}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{(1-x)\,(\text{e}^{2x}-1)}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\left[(1-x)\times\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x}\right] \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=\lim\limits_{x\to0^-}(1-x)\times\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=1\times\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x})
\phantom{www}\text{où }g(x)=\text{e}^{2x}. \\\\\text{Or }g(x)=\text{e}^{2x}\Longrightarrow g'(x)=2\,\text{e}^{2x} \\\phantom{\text{Or }g(x)=\text{e}^{2x}}\Longrightarrow g'(0)=2\,\text{e}^0 \\\phantom{\text{Or }g(x)=\text{e}^{2x}}\Longrightarrow g'(0)=2 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x}=2})
=2})
]-![f'(x)=\left(\overset{}{x+(1-x)\,\text{e}^{2x}}\right)'=x'+\left(\overset{}{(1-x)\,\text{e}^{2x}}\right)' \\\\\phantom{f'(x)}=1+(1-x)'\times\text{e}^{2x}+(1-x)\times(\text{e}^{2x})' \\\\\phantom{f'(x)}=1+(-1)\times\text{e}^{2x}+(1-x)\times2\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{f'(x)}=1-\text{e}^{2x}+2\,\text{e}^{2x}-2x\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{f'(x)}=1+\text{e}^{2x}-2x\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{f'(x)}=1+(1-2x)\,\text{e}^{2x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,]-\infty\,;\,0[\,,f'(x)=1+(1-2x)\,\text{e}^{2x}=h(x) }](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x)=\left(\overset{}{x+(1-x)\,\text{e}^{2x}}\right)'=x'+\left(\overset{}{(1-x)\,\text{e}^{2x}}\right)' \\\\\phantom{f'(x)}=1+(1-x)'\times\text{e}^{2x}+(1-x)\times(\text{e}^{2x})' \\\\\phantom{f'(x)}=1+(-1)\times\text{e}^{2x}+(1-x)\times2\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{f'(x)}=1-\text{e}^{2x}+2\,\text{e}^{2x}-2x\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{f'(x)}=1+\text{e}^{2x}-2x\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{f'(x)}=1+(1-2x)\,\text{e}^{2x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,]-\infty\,;\,0[\,,f'(x)=1+(1-2x)\,\text{e}^{2x}=h(x) })
![f'(x)=\left(\overset{}{x\,\text{e}^{-x}}\right)'=x'\times\text{e}^{-x}+x\times(\text{e}^{-x})' \\\\\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{-x}+x\times(-\text{e}^{-x}) \\\\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}-x\,\text{e}^{-x} \\\\\phantom{f'(x)}=(1-x)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,]0\,;\,+\infty[\,,f'(x)=(1-x)\,\text{e}^{-x}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x)=\left(\overset{}{x\,\text{e}^{-x}}\right)'=x'\times\text{e}^{-x}+x\times(\text{e}^{-x})' \\\\\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{-x}+x\times(-\text{e}^{-x}) \\\\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}-x\,\text{e}^{-x} \\\\\phantom{f'(x)}=(1-x)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,]0\,;\,+\infty[\,,f'(x)=(1-x)\,\text{e}^{-x}})
![f'(x)=h(x)>0\phantom{ww}(\text{voir 4.\,b)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\,\in\,]-\infty\,;\,0[,\,f'(x)>0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x)=h(x)>0\phantom{ww}(\text{voir 4.\,b)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\,\in\,]-\infty\,;\,0[,\,f'(x)>0})
=(1-x)\,\text{e}^{-x}.)
&&+&||&+&0&-&\\&&&||&&&&\\\hline&&&1||{\white{v}}&&\text{e}^{-1}&&\\f(x)&&\nearrow&||&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&{\white{v}}||0&&&&0\\ \hline \end{array})
un nombre réel strictement positif (
et .)
= \begin{aligned}\int\nolimits_0^{\alpha} x\,\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned})
![\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{\alpha} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^{\alpha}-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{\alpha} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x\phantom{www}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=1\phantom{ww}\\v'(x)=\text{e}^{-x}\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}v(x)=-\text{e}^{-x}\end{matrix}\right. \\\\\text{Dès lors, }\ S(\alpha)= \begin{aligned}\int\nolimits_0^{\alpha} x\,\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{x\times(-\text{e}^{-x}})\right]\limits_0^{\alpha}- \begin{aligned}\int\nolimits_0^{\alpha} 1\times(-\text{e}^{-x})\,\text d x\end{aligned}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{\alpha} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^{\alpha}-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{\alpha} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x\phantom{www}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=1\phantom{ww}\\v'(x)=\text{e}^{-x}\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}v(x)=-\text{e}^{-x}\end{matrix}\right. \\\\\text{Dès lors, }\ S(\alpha)= \begin{aligned}\int\nolimits_0^{\alpha} x\,\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{x\times(-\text{e}^{-x}})\right]\limits_0^{\alpha}- \begin{aligned}\int\nolimits_0^{\alpha} 1\times(-\text{e}^{-x})\,\text d x\end{aligned})
![{\white{WWWWWWWWWWWW..}}=\left[\overset{}{-x\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{\alpha}- \begin{aligned}\int\nolimits_0^{\alpha} -\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=\left[\overset{}{-x\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{\alpha}-\left[\overset{}{\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{\alpha}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\white{WWWWWWWWWWWW..}}=\left[\overset{}{-x\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{\alpha}- \begin{aligned}\int\nolimits_0^{\alpha} -\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=\left[\overset{}{-x\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{\alpha}-\left[\overset{}{\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{\alpha})
![\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=\left[\overset{}{-\text{e}^{-x}(x+1)}\right]\limits_0^{\alpha} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=-\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)-(-\text{e}^{0}\times1) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=-\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)+1 \\\\\Longrightarrow\boxed{S(\alpha)=-\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)+1\,\text{u.a.}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=\left[\overset{}{-\text{e}^{-x}(x+1)}\right]\limits_0^{\alpha} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=-\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)-(-\text{e}^{0}\times1) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=-\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)+1 \\\\\Longrightarrow\boxed{S(\alpha)=-\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)+1\,\text{u.a.}})
![\overset{{\white{.}}}{[-\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)+1]\,\text{u.a.}=[-4\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)+4]\,\text{cm}^2.}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{[-\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)+1]\,\text{u.a.}=[-4\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)+4]\,\text{cm}^2.})
)
est ![\overset{{\white{.}}}{\boxed{S(\alpha)=[4-4\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)]\,\text{cm}^2.}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\boxed{S(\alpha)=[4-4\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)]\,\text{cm}^2.}})
![S(\alpha)=[4-4\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)]\,\text{cm}^2=[4-4{\alpha}\,\text{e}^{-{\alpha}}-4\,\text{e}^{-{\alpha}}]\,\text{cm}^2 \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\text{e}^{-\alpha}=0{\white{WWWWWWWWWWWw}}\\\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\alpha\,\text{e}^{-\alpha}=0\phantom{wwww}(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\lim\limits_{\alpha\to+\infty}S(\alpha)=[4-0-0]\,\text{cm}^2 \\\\\text{soit }\boxed{\lim\limits_{\alpha\to+\infty}S(\alpha)=4\,\text{cm}^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?S(\alpha)=[4-4\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)]\,\text{cm}^2=[4-4{\alpha}\,\text{e}^{-{\alpha}}-4\,\text{e}^{-{\alpha}}]\,\text{cm}^2 \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\text{e}^{-\alpha}=0{\white{WWWWWWWWWWWw}}\\\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\alpha\,\text{e}^{-\alpha}=0\phantom{wwww}(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\lim\limits_{\alpha\to+\infty}S(\alpha)=[4-0-0]\,\text{cm}^2 \\\\\text{soit }\boxed{\lim\limits_{\alpha\to+\infty}S(\alpha)=4\,\text{cm}^2})
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