Fiche de mathématiques
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Bac S2-S2A-S4-S5 Sénégal 2021(remplacement)

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Durée : 4 heures

Coefficient : 5


5 points

exercice 1

Bac S2-S2A-S4-S5 Sénégal 2021 : image 1


6 points

exercice 2

Bac S2-S2A-S4-S5 Sénégal 2021 : image 2


9 points

probleme

Bac S2-S2A-S4-S5 Sénégal 2021 : image 3





Bac S2-S2A-S4-S5 Sénégal 2021 (remplacement)

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5 points

exercice 1

1.  On considère la suite (un ) définie par :  \left\lbrace\begin{matrix}u_0=1\phantom{www}\\u_{n+1}=2u_{n}+n\end{matrix}\right..

1. a)  Nous devons démontrer par récurrence que pour tout élément n  de N,  un  supegal  0.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que u 0 supegal  0.
La relation est évidente puisque u 0 = 1 supegal  0 et par conséquent, l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{{\white{.}}}{u_n\ge 0} , alors  \overset{{\white{.}}}{u_ {n+1}\ge 0.}
En effet,

\left\lbrace\begin{matrix}n\ge0\phantom{w}(\text{car }n\in\N)\phantom{www}\\u_{n}\ge0\phantom{w}(\text{par hypothèse })\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow2u_n+n\ge0 \\\phantom{WWWWWWWWWwWW}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ge 0}
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout élément n  de N,  un  supegal  0.

1. b)  Pour tout élément n  de N,

u_{n+1}-u_n=(2u_n+n)-u_n \\\phantom{u_{n+1}-u_n}=u_n+n \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}u_n\ge0\phantom{w}(\text{voir 1. a})\\n\ge0\phantom{w}(\text{car }n\in\N)\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow u_n+n\ge0 \\\phantom{WWWWWWWWwWW}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}-u_n\ge 0}
D'où la suite (un ) est croissante.

2.  Soit (vn ) la suite définie par :  \left\lbrace\begin{matrix}v_0=1\phantom{ww}\\v_{n+1}=\dfrac{v_n-1}{v_n+3}\end{matrix}\right..

{\red{2.\text{ a)}}}\,\bullet\phantom{w}\boxed{v_0=1} \\\\\bullet\phantom{w}v_1=\dfrac{v_0-1}{v_0+3}=\dfrac{1-1}{1+3}=0\Longrightarrow\boxed{v_1=0} \\\\\bullet\phantom{w}v_2=\dfrac{v_1-1}{v_1+3}=\dfrac{0-1}{0+3}=-\dfrac{1}{3}\Longrightarrow\boxed{v_2=-\dfrac{1}{3}} \\\\\bullet\phantom{w}v_3=\dfrac{v_2-1}{v_2+3}=\dfrac{-\dfrac{1}{3}-1}{-\dfrac{1}{3}+3}=\dfrac{-\dfrac{4}{3}}{\dfrac{8}{3}}=-\dfrac{4}{8}=-\dfrac{1}{2}\Longrightarrow\boxed{v_3=-\dfrac{1}{2}}

2. b)  Nous devons démontrer par récurrence que pour tout élément n  de N,  vn  supegal  -1.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 0, soit que v 0 supegal  -1.
La relation est évidente puisque v 0 = 1 supegal  -1 et par conséquent, l'initialisation est vraie.

Hérédité  : Montrons que si pour un nombre naturel n  fixé, la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang (n +1).
Montrons donc que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{{\white{.}}}{v_n\ge -1} , alors  \overset{{\white{.}}}{v_ {n+1}\ge -1.}
Cela revient à démontrer que si pour un nombre naturel n  fixé,  \overset{{\white{.}}}{v_n+1\ge 0} , alors  \overset{{\white{.}}}{v_ {n+1}+1\ge 0.}
En effet,

v_{n+1}+1=\dfrac{v_n-1}{v_n+3}+1 \\\\\phantom{v_{n+1}+1}=\dfrac{v_n-1+v_n+3}{v_n+3} \\\\\phantom{v_{n+1}+1}=\dfrac{2v_n+2}{v_n+3} \\\\\phantom{v_{n+1}+1}=\dfrac{2(v_n+1)}{v_n+3} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}v_n+1\ge 0\phantom{w}(\text{par hypothèse })\\v_n+3\ge v_n+1\ge0\phantom{www.ww}\end{matrix}\right.\phantom{w}\Longrightarrow\phantom{w}\dfrac{2(v_n+1)}{v_n+3}\ge0 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}+1\ge0}
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout élément n  de N,  vn  supegal  -1.

2. c)  Montrons que la suite (wn ) telle que  w_n=\dfrac{1}{v_n+1}  est une suite arithmétique.

w_{n+1}-w_n=\dfrac{1}{v_{n+1}+1}-\dfrac{1}{v_n+1} =\dfrac{1}{\frac{v_n-1}{v_n+3}+1}-\dfrac{1}{v_n+1} \\\\\phantom{w_{n+1}-w_n}=\dfrac{1}{\frac{v_n-1+v_n+3}{v_n+3}}-\dfrac{1}{v_n+1} =\dfrac{v_n+3}{2v_n+2}-\dfrac{1}{v_n+1} \\\\\phantom{w_{n+1}-w_n}=\dfrac{v_n+3}{2(v_n+1)}-\dfrac{1}{v_n+1} =\dfrac{v_n+3-2}{2(v_n+1)} \\\\\phantom{w_{n+1}-w_n}=\dfrac{v_n+1}{2(v_n+1)} =\dfrac{1}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,n\in\N,\ w_{n+1}-w_n=\dfrac{1}{2}}

Par conséquent, la suite (wn ) est une suite arithmétique de raison  r=\dfrac{1}{2}  dont le premier terme est  w_0=\dfrac{1}{v_0+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}.

Donnons l'expression du terme général de cette suite (wn ).

w_n=w_0+n\times r =\dfrac{1}{2}+n\times \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{2}(1+n) \\\\\Longrightarrow\boxed{w_n=\dfrac{1}{2}(n+1)}\,.

{\red{2.\text{ d) }}}w_n=\dfrac{1}{v_n+1}\Longrightarrow v_n+1=\dfrac{1}{w_n} \\\phantom{{\red{2.\text{ d) }}}w_n=\dfrac{1}{v_n+1}}\Longrightarrow v_n=\dfrac{1}{w_n}-1 \\\phantom{{\red{2.\text{ d) }}}w_n=\dfrac{1}{v_n+1}}\Longrightarrow v_n=\dfrac{1}{\frac{1}{2}(n+1)}-1 \\\\\phantom{{\red{2.\text{ d) }}}w_n=\dfrac{1}{v_n+1}}\Longrightarrow v_n=\dfrac{2}{n+1}-1 \\\\\text{Or }\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}=0\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{2}{n+1}=0 \\\\\phantom{WWWWW.WWW}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{2}{n+1}-1\right)=-1 \\\\\phantom{WWWWW.WWW}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=-1}

6 points

exercice 2

1.  Pour tout nombre complexe z , on pose  P(z)=z^3-3z^2+3z+7.

1. a)  P(-1)=(-1)^3-3\times(-1)^2+3\times(-1)+7=-1-3-3+7=0

D'où  \boxed{P(-1)=0}\,.

{\red{1.\text{ b) }}}P(z)=(z+1)(z^2+az+b) \\\phantom{{\red{1.\text{ b) }}}P(z)}=z^3+az^2+bz+z^2+az+b \\\\\Longrightarrow P(z)=z^3+(a+1)z^2+(b+a)z+b  \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}P(z)=z^3+(a+1)z^2+(b+a)z+b\\P(z)=z^3-3z^2+3z+7\phantom{wwwwwww}\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a+1=-3\\b+a=3\phantom{w}\\b=7\phantom{www}\end{matrix}\right. \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-4\phantom{ww}\\b+a=3\phantom{w}\\b=7\phantom{www}\end{matrix}\right. \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=-4\phantom{ww}\\7-4=3\phantom{w}\\b=7\phantom{www}\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=-4\\b=7\phantom{w}\end{matrix}\right.}

Par conséquent,  \boxed{P(z)=(z+1)(z^2-4z+7)}\,.

4. c)  Nous devons résoudre dans C l'équation  P(z)=0.

P(z)=0\Longleftrightarrow (z+1)(z^2-4z+7)=0 \\\phantom{P(z)=0}\Longleftrightarrow z+1=0\phantom{w}\text{ ou }\phantom{w}z^2-4z+7=0 \\\\\bullet\phantom{w}z+1=0\Longleftrightarrow z=-1 \\\\\bullet\phantom{w}z^2-4z+7=0 \\\\\phantom{ww}\underline{\text{Discriminant}}:\Delta=(-4)^2-4\times1\times7=16-28=-12<0 \\\\\phantom{ww}\underline{\text{Racines}}: \\\\\phantom{ww}z_1=\dfrac{4-\text{i}\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4-2\,\text{i}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(2-\text{i}\sqrt{3})}{2}=2-\text{i}\sqrt{3} \\\\\phantom{ww}z_2=\dfrac{4+\text{i}\sqrt{12}}{2}=\dfrac{4+2\,\text{i}\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2(2+\text{i}\sqrt{3})}{2}=2+\text{i}\sqrt{3}

D'où, l'ensemble des solutions de l'équation P (z ) = 0 est  \boxed{\lbrace-1\,;\,2-\text{i}\sqrt{3}\,;\,2+\text{i}\sqrt{3}\rbrace}\,.

2.  On désigne par A, B, C et G les points d'affixes respectives  \overset{{\white{.}}}{z_A=-1\,,\,z_B=2+\text{i}\sqrt{3}\,,\,z_C=2-\text{i}\sqrt{3}\ \text{ et }z_G=3.}

2. a)  Calculons les distances AB, BC et AC.

AB=|z_B-z_A|=|(2+\text{i}\sqrt{3})+1|=|3+\text{i}\sqrt{3}|=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \\\\BC=|z_C-z_B|=|(2-\text{i}\sqrt{3})-(2+\text{i}\sqrt{3})|=|2-\text{i}\sqrt{3}-2-\text{i}\sqrt{3}| \\\phantom{BC}=|-2\text{i}\sqrt{3}|=\sqrt{(-2)^2\times(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \\\\AC=|z_C-z_A|=|(2-\text{i}\sqrt{3})+1|=|3-\text{i}\sqrt{3}|=\sqrt{3^2+(-\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \\\\\Longrightarrow\boxed{AB=BC=AC=2\sqrt{3}}
Nous en déduisons que le triangle ABC est un triangle équilatéral.

2. b)  Nous devons déterminer un argument du nombre complexe  \dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}.

\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}=\dfrac{-1-(2-\text{i}\sqrt{3})}{3-(2-\text{i}\sqrt{3})} =\dfrac{-1-2+\text{i}\sqrt{3}}{3-2+\text{i}\sqrt{3}}=\dfrac{-3+\text{i}\sqrt{3}}{1+\text{i}\sqrt{3}} \\\\\phantom{\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}}=\dfrac{(-3+\text{i}\sqrt{3})(1-\text{i}\sqrt{3})}{(1+\text{i}\sqrt{3})(1-\text{i}\sqrt{3})}=\dfrac{-3+3\text{i}\sqrt{3}+\text{i}\sqrt{3}+3}{1+3} \\\\\phantom{\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}}=\dfrac{4\text{i}\sqrt{3}}{4}=\text{i}\sqrt{3} \\\\\Longrightarrow\arg\left(\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}\right)=\arg\left(\text{i}\sqrt{3}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\arg\left(\dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}\right)=\dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]}

Dès lors, un argument du nombre complexe  \dfrac{z_A-z_C}{z_G-z_C}  est  \dfrac{\pi}{2}.
Nous en déduisons que le triangle GAC est rectangle en C.

3.  Soit (D) l'ensemble des points M du plan tels que  \overset{{\white{.}}}{\left(-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\cdot\overrightarrow{CG}=12.\phantom{www}\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}

3. a)  Nous devons montrer que G est le barycentre du système de points pondérés  \overset{{\white{.}}}{\lbrace(A\,;\,-1)\,;\,(B\,;\,2)\,;\,(C\,;\,2)\rbrace .}

Nous observons que -1 + 2 + 2 = 3 different 0.

Dans ce cas, G est le barycentre du système de points pondérés  \overset{{\white{.}}}{\lbrace(A\,;\,-1)\,;\,(B\,;\,2)\,;\,(C\,;\,2)\rbrace}  si  \overset{{\white{.}}}{-\overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GB}+2\overrightarrow{GC}\right)=\overrightarrow{0}} , soit si  -(z_A-z_G)+2\,(z_B-z_G)+2\,(z_C-z_G)=0.

\text{Or }\,-(z_A-z_G)+2\,(z_B-z_G)+2\,(z_C-z_G)=-(-1-3)+2\,(2+\text{i}\sqrt{3}-3)+2\,(2-\text{i}\sqrt{3}-3) \\\phantom{\text{Or }\,-(z_A-z_G)+2\,(z_B-z_G)+2\,(z_C-z_G)}=4+2\,(-1+\text{i}\sqrt{3})+2\,(-1-\text{i}\sqrt{3}) \\\phantom{\text{Or }\,-(z_A-z_G)+2\,(z_B-z_G)+2\,(z_C-z_G)}=4-2+2\,\text{i}\sqrt{3}-2-2\,\text{i}\sqrt{3} \\\phantom{\text{Or }\,-(z_A-z_G)+2\,(z_B-z_G)+2\,(z_C-z_G)}=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{-(z_A-z_G)+2\,(z_B-z_G)+2\,(z_C-z_G)=0}

Par conséquent, G est le barycentre du système de points pondérés  \overset{{\white{.}}}{\lbrace(A\,;\,-1)\,;\,(B\,;\,2)\,;\,(C\,;\,2)\rbrace .}

3. b)  Nous devons montrer que la relation (1) est équivalente à la relation  \overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4.\phantom{www}\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right].}

\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]\Longleftrightarrow\left(-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\cdot\overrightarrow{CG}=12 \\\phantom{\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}\Longleftrightarrow(-1+2+2)\,\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{CG}=12 \\\phantom{\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}\Longleftrightarrow3\,\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{CG}=12 \\\phantom{\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{MG}\cdot\overrightarrow{CG}=4 \\\phantom{\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\phantom{ww}\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]

D'où  \boxed{\left(-\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\cdot\overrightarrow{CG}=12\left[\overset{}{\text{ relation (1) }}\right]\Longleftrightarrow\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}

3. c)  Vérifions que le point A appartient à l'ensemble (D).

Le point A appartient à l'ensemble (D) s'il vérifie la relation (1) ou encore s'il vérifie la relation (2).
Nous allons donc montrer que  \overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{CG}=-4.

\left\lbrace\begin{matrix}G\,(3\,;\,0)\\A\,(-1\,;\,0)\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\overrightarrow{GA}\,\begin{pmatrix} x_A-x_G\\y_A-y_G\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1-3\\0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWWWW}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\overrightarrow{GA}\,\begin{pmatrix} -4\\0\end{pmatrix}}

\left\lbrace\begin{matrix}C\,(2\,;\,-\sqrt{3})\\G\,(3\,;\,0)\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}\overrightarrow{CG}\,\begin{pmatrix} x_G-x_C\\y_G-y_C\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3-2\\0+\sqrt{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\\\sqrt{3}\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWWWWW}\Longrightarrow\phantom{ww}\boxed{\overrightarrow{CG}\,\begin{pmatrix} 1\\\sqrt{3}\end{pmatrix}} \\\\\\ \text{D'où }\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\times1+0\times\sqrt{3} \\\phantom{\text{D'où }\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{CG}}=-4+0 \\\phantom{\text{D'où }\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{CG}}=-4 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{CG}=-4}

Par conséquent, le point A appartient à l'ensemble (D).

3. d)  Nous devons montrer que la relation (2) est équivalente à la relation  \overset{{\white{.}}}{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{GC}=0.}

\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]\Longleftrightarrow\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AM}\right)\cdot\overrightarrow{CG}=-4 \\\phantom{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{GA}\cdot\overrightarrow{CG}+\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4 \\\phantom{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}\Longleftrightarrow-4+\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\phantom{ww}\text{(voir question 3. c)} \\\phantom{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CG}=0 \\\phantom{\overrightarrow{GM}\cdot\overrightarrow{CG}=-4\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]}\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{GC}=0

\text{D'où }\boxed{\left[\overset{}{\text{ relation (2) }}\right]\Longleftrightarrow\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{GC}=0}

3. e)  Nous en déduisons que l'ensemble (D) est la droite passant par le point A, perpendiculaire à la droite (GC).

9 points

probleme

I) On considère la fonction f  définie sur R par :  f(x)=\left\lbrace\begin{matrix}x+(1-x)\,\text{e}^{2x}\phantom{www}\text{si }x\in\,]-\infty\,;\,0\,[\\x\,\text{e}^{-x}\phantom{wwwxxwww}\text{si }x\in[0\,;\,+\infty[\end{matrix}\right.

1.  L'ensemble de définition Df  de f  est R.

2. a)  Nous devons étudier les limites de f  en -infini et +infini.

\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[x+(1-x)\,\text{e}^{2x}\right] \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[x+\text{e}^{2x}-x\,\text{e}^{2x}\right] \\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)}=\lim\limits_{x\to-\infty}\left[x+\text{e}^{x}\times \text{e}^{x}-x\,\text{e}^{x}\times\text{e}^{x}\right] \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty\phantom{WWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to-\infty}x\,\text{e}^x=0\phantom{ww}(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}

\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\text{e}^{-x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\text{e}^{x}}=0\phantom{ww}(\text{croissances comparées}) \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}

2. b)  Nous avons montré dans la question 2. a) que  \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0.
Il s'ensuit que la droite d'équation y  = 0 est asymptote horizontale à (Cf ) en +infini.

2. c)  Montrons que la droite (deltamaj) d'équation y = x  est asymptote oblique à (Cf ) en -infini.

\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x+(1-x)\,\text{e}^{2x}-x\right) \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]}=\lim\limits_{x\to-\infty}(1-x)\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]}=\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^{2x}-x\,\text{e}^{2x}) \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]}=\lim\limits_{x\to-\infty}(\text{e}^{x}\times\text{e}^{x}-x\,\text{e}^{x}\times\text{e}^{x}) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^x=0\phantom{WWWWWWWWWWW}\\\lim\limits_{x\to-\infty}x\,\text{e}^x=0\phantom{ww}(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-x]=0}
D'où, la droite (deltamaj) d'équation y = x  est asymptote oblique à (Cf ) en -infini.

3.  Etudions la continuité de la fonction f  en 0.

D'une part,  \overset{{\white{.}}}{f(0)=0\times\text{e}^{0}=0\times1=0\Longrightarrow\boxed{f(0)=0}}

D'autre part,

\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}x\,\text{e}^{-x} \\\\\phantom{\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to0^+}f(x)}=0\times\text{e}^{0}\\\\\phantom{\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to0^+}f(x)}=0\times1=0\\\\\phantom{\bullet\phantom{x}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=0} \\\\\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}\left(x+(1-x)\,\text{e}^{2x}\right) \\\\\phantom{\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to0^+}f(x)}=0+(1-0)\,\text{e}^0 \\\\\phantom{\bullet\phantom{x}\lim\limits_{x\to0^+}f(x)}=0+1\times1=1 \\\\\phantom{\bullet\phantom{x}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=1} \\\\\\\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\neq\lim\limits_{x\to0^-}f(x)}

Par conséquent, la fonction f  n'est pas continue en 0.

4.  Soit h  la fonction définie sur -infini ; 0[ par :  h(x)=1+(1-2x)\,\text{e}^{2x}.

4. a)  Nous devons dresser le tableau de variations de h  sur ]-infini ; 0[.

h(x)=1+(1-2x)\,\text{e}^{2x}\Longleftrightarrow\boxed{h(x)=1+\text{e}^{2x}-2x\,\text{e}^{2x}} \\\\ \bullet{\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}2x=-\infty\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\end{matrix}\right.{\phantom{ww}}\underset{X=2x}{\underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}}{\phantom{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{2x}=0} \\\\\bullet{\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}2x=-\infty\\\lim\limits_{X\to-\infty}X\text{e}^X=0\end{matrix}\right.{\phantom{ww}}\underset{X=2x}{\underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}}{\phantom{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}2x\,\text{e}^{2x}=0} \\\\\text{D'où }\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=1+0-0\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=1}

\lim\limits_{x\to0^-}h(x)=\lim\limits_{x\to0^-}[1+\text{e}^{2x}-2x\,\text{e}^{2x}] \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)}=1+\lim\limits_{x\to0^-}\text{e}^{2x}-\lim\limits_{x\to0^-}2x\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)}=1+\text{e}^{0}-0\times\,\text{e}^{0} \\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)}=1+1-0 \\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)}=2 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}h(x)=2}

Étudions le signe de la dérivée h' (x ) sur l'intervalle ]-infini ; 0[.

h'(x)=\left(\overset{}{1+(1-2x)\,\text{e}^{2x}}\right)' \\\\\phantom{h(x)}=1'+(1-2x)'\times\text{e}^{2x}+(1-2x)\times(\text{e}^{2x})' \\\\\phantom{h(x)}=0+(-2)\times\text{e}^{2x}+(1-2x)\times(2x)'\text{e}^{2x} \\\\\phantom{h(x)}=-2\,\text{e}^{2x}+(1-2x)\times2\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{h(x)}=2\,\text{e}^{2x}(-1+1-2x) \\\\\phantom{h(x)}=-4x\,\text{e}^{2x} \\\\\Longrightarrow\boxed{h'(x)=-4x\,\text{e}^{2x}} \\\\\text{Or pour tout }x\,\in\,\,]-\infty\,;\,0[,\,\left\lbrace\begin{matrix}x<0\\\text{e}^{2x}>0\end{matrix}\right.\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}-4x\,\text{e}^{2x}>0 \\\\\Longrightarrow\boxed{h'(x)>0}
Il s'ensuit que la fonction h  est strictement croissante sur ]-infini ; 0[.
D'où, le tableau de variations de h  sur ]-infini ; 0[.

{\white{wwwwwwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&&&0\\&&&&&\\\hline&&&&&\\h\,'(x)&&&+&&\\&&&&&\\\hline&&&&&(2)\\h(x)&&&\nearrow&&\\&(1)&&&&\\ \hline \end{array}

4. b)  En nous basant que la question précédente, nous obtenons :  h\left(\overset{}{]-\infty\,;\,0[}\right)=\,]1\,;\,2[.

Par conséquent,  \boxed{\forall\,x\in\,\,]-\infty\,;\,0[,\phantom{v}h(x)>0}\,.

5. a)  \bullet{\white{x}}La fonction f  n'est pas dérivable en 0 car elle n'est pas continue en 0 (voir question 3).

\bullet{\white{x}}Étudions la dérivabilité de f  à droite de 0.

Calculons la dérivée à droite f'd (0) de f  en 0.

f'_d(0)=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} \\\\\phantom{f'_d(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x\,\text{e}^{-x}-0}{x-0} \\\\\phantom{f'_d(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x\,\text{e}^{-x}}{x} \\\\\phantom{f'_d(0)}=\lim\limits_{x\to0^+}\text{e}^{-x} \\\\\phantom{f'_d(0)}=\text{e}^{0}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'_d(0)=1}

Par conséquent, la fonction f  est dérivable à droite de 0.

\bullet{\white{x}}Calculons  \lim\limits_{x\to0^-}f'(x)..

Nous avons montré dans la question 3 que  \lim\limits_{x\to0^-}f(x)=1.

\lim\limits_{x\to0^-}f'(x) =\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{f(x)-1}{x-0} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{x+(1-x)\,\text{e}^{2x}-1}{x} =\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{(1-x)\,\text{e}^{2x}-(1-x)}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{(1-x)\,(\text{e}^{2x}-1)}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\left[(1-x)\times\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x}\right] \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=\lim\limits_{x\to0^-}(1-x)\times\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=1\times\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x} \\\\\phantom{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x}

Calculons  \lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x}.

\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x}=\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-\text{e}^0}{x-0}=g'(0)\phantom{www}\text{où }g(x)=\text{e}^{2x}. \\\\\text{Or }g(x)=\text{e}^{2x}\Longrightarrow g'(x)=2\,\text{e}^{2x} \\\phantom{\text{Or }g(x)=\text{e}^{2x}}\Longrightarrow g'(0)=2\,\text{e}^0 \\\phantom{\text{Or }g(x)=\text{e}^{2x}}\Longrightarrow g'(0)=2 \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}\dfrac{\text{e}^{2x}-1}{x}=2}

\text{D'où }\boxed{\lim\limits_{x\to0^-}f'(x)=2}

5. b)  Déterminons l'expression algébrique de f' (x ).

Premier cas : x appartient ]-infini ; 0[.

f'(x)=\left(\overset{}{x+(1-x)\,\text{e}^{2x}}\right)'=x'+\left(\overset{}{(1-x)\,\text{e}^{2x}}\right)' \\\\\phantom{f'(x)}=1+(1-x)'\times\text{e}^{2x}+(1-x)\times(\text{e}^{2x})' \\\\\phantom{f'(x)}=1+(-1)\times\text{e}^{2x}+(1-x)\times2\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{f'(x)}=1-\text{e}^{2x}+2\,\text{e}^{2x}-2x\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{f'(x)}=1+\text{e}^{2x}-2x\,\text{e}^{2x} \\\\\phantom{f'(x)}=1+(1-2x)\,\text{e}^{2x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,]-\infty\,;\,0[\,,f'(x)=1+(1-2x)\,\text{e}^{2x}=h(x) }

Deuxième cas : x appartient ]0 ; +infini[

f'(x)=\left(\overset{}{x\,\text{e}^{-x}}\right)'=x'\times\text{e}^{-x}+x\times(\text{e}^{-x})' \\\\\phantom{f'(x)}=1\times\text{e}^{-x}+x\times(-\text{e}^{-x}) \\\\\phantom{f'(x)}=\text{e}^{-x}-x\,\text{e}^{-x} \\\\\phantom{f'(x)}=(1-x)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\in\,]0\,;\,+\infty[\,,f'(x)=(1-x)\,\text{e}^{-x}}

5. c)  Nous devons étudier le sens de variations de f  sur R.

Premier cas : x appartient ]-infini ; 0[.

f'(x)=h(x)>0\phantom{ww}(\text{voir 4.\,b)} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\,x\,\in\,]-\infty\,;\,0[,\,f'(x)>0}

Deuxième cas : x appartient ]0 ; +infini[

f'(x)=(1-x)\,\text{e}^{-x}.

Étant donné que l'exponentielle est strictement positive sur R, le signe de f' (x ) est le signe de (1 - x )
sur ]0 ; +infini[.

{\white{wwwwwww}}\left\lbrace\begin{matrix}1-x>0\Longleftrightarrow 0<x<1\\1-x=0\Longleftrightarrow x=1\phantom{ww.}\\1-x<0\Longleftrightarrow x>1\phantom{ww.}\end{matrix}\right.

Tableau de variations de f  sur R.

\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&0&&1&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline&&&||&&&&\\f'(x)&&+&||&+&0&-&\\&&&||&&&&\\\hline&&&1||{\white{v}}&&\text{e}^{-1}&&\\f(x)&&\nearrow&||&\nearrow&&\searrow&\\&-\infty&&{\white{v}}||0&&&&0\\ \hline \end{array}


6.  Représentation graphique de (Cf ).

Bac S2-S2A-S4-S5 Sénégal 2021 : image 4


II) Soit alpha un nombre réel strictement positif (alpha > 0).

1.  Nous devons calculer, en cm2, l'aire S (alpha) de la partie du plan formée par l'ensemble des points M(x  ; y ) tels que l'on ait :  0\le x\le \alpha  et  0\le y\le f(x).

Calculons d'abord l'aire S (alpha) exprimée en unité d'aire (u.a.) par la méthode d'intégration par parties.

 S(\alpha)= \begin{aligned}\int\nolimits_0^{\alpha} x\,\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned}

\underline{\text{Formule de l'intégrale par parties}}\ :\ {\blue{\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{\alpha} u(x)v'(x)\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{u(x)v(x)}\right]\limits_0^{\alpha}-\begin{aligned}\int\nolimits_{0}^{\alpha} u'(x)v(x)\,\text d x\end{aligned}}}. \\\\\left\lbrace\begin{matrix}u(x)=x\phantom{www}\Longrightarrow\phantom{ww}u'(x)=1\phantom{ww}\\v'(x)=\text{e}^{-x}\phantom{ww}\Longrightarrow\phantom{ww}v(x)=-\text{e}^{-x}\end{matrix}\right.  \\\\\text{Dès lors, }\ S(\alpha)= \begin{aligned}\int\nolimits_0^{\alpha} x\,\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned}=\left[\overset{}{x\times(-\text{e}^{-x}})\right]\limits_0^{\alpha}- \begin{aligned}\int\nolimits_0^{\alpha} 1\times(-\text{e}^{-x})\,\text d x\end{aligned}

{\white{WWWWWWWWWWWW..}}=\left[\overset{}{-x\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{\alpha}- \begin{aligned}\int\nolimits_0^{\alpha} -\text{e}^{-x}\,\text d x\end{aligned} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=\left[\overset{}{-x\,\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{\alpha}-\left[\overset{}{\text{e}^{-x}}\right]\limits_0^{\alpha}

\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=\left[\overset{}{-\text{e}^{-x}(x+1)}\right]\limits_0^{\alpha} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=-\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)-(-\text{e}^{0}\times1) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWW..}=-\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)+1 \\\\\Longrightarrow\boxed{S(\alpha)=-\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)+1\,\text{u.a.}}

Puisque l'unité graphique est 2 cm, l'unité d'aire vaudra 4 cm2.
Donc  \overset{{\white{.}}}{[-\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)+1]\,\text{u.a.}=[-4\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)+4]\,\text{cm}^2.}

Par conséquent, l'aire S (alpha) de la partie du plan formée par l'ensemble des points M(x  ; y ) tels que l'on ait :  0\le x\le \alpha  et  0\le y\le f(x)  est  \overset{{\white{.}}}{\boxed{S(\alpha)=[4-4\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)]\,\text{cm}^2.}}

2.  Déterminons la limite de S (alpha) quand alpha tend vers +infini.

S(\alpha)=[4-4\text{e}^{-{\alpha}}({\alpha}+1)]\,\text{cm}^2=[4-4{\alpha}\,\text{e}^{-{\alpha}}-4\,\text{e}^{-{\alpha}}]\,\text{cm}^2 \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\text{e}^{-\alpha}=0{\white{WWWWWWWWWWWw}}\\\lim\limits_{\alpha\to+\infty}\alpha\,\text{e}^{-\alpha}=0\phantom{wwww}(\text{croissances comparées})\end{matrix}\right. \\\\\text{D'où }\lim\limits_{\alpha\to+\infty}S(\alpha)=[4-0-0]\,\text{cm}^2 \\\\\text{soit }\boxed{\lim\limits_{\alpha\to+\infty}S(\alpha)=4\,\text{cm}^2}
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