Bac Bénin 2023

Mathématiques série A2-B

A 561

Durée : 1h30min

Les deux problèmes sont obligatoires.
Le candidat ne sera jugé que sur la base des traces écrites sur sa copie.
Il sera tenu grand compte de la clarté et de la précision des raisonnements.
Les seules calculatrices autorisées sont les calculatrices non programmables.

Situation d'évaluation

Contexte : Initiatives pour de meilleures conditions d'étude

Tâche : Tu es invité(e) à apporter des réponses aux préoccupations de Obassan en résolvant les deux problèmes ci-après:

probleme 1

probleme 2

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probleme 1

1) Le nombre de nouveaux étudiants demandeurs de logements en $2015$ correspond à $u_0$ .

Et le nombre de nouveaux étudiants demandeurs de logements en $2020=2015+5$ correspond à $u_5$ .

Calculons alors $u_0 \text{ et }u_5\text{: }$

$u_0=1000\left[\dfrac{1}{2}\times 0 +1-\ln\left(\dfrac{1}{2} \times 0 +1\right)\right]=1000(1-\ln 1)=1000\times 1= 1000$

$u_5=1000\left[\dfrac{1}{2}\times 5 +1-\ln\left(\dfrac{1}{2} \times 5 +1\right)\right]=1000\left[\dfrac{5+2}{2} -\ln\left(\dfrac{5+2}{2}\right)\right]=1000\left[\dfrac{7}{2} -\ln\left(\dfrac{7}{2}\right)\right]\approx 2247$

On obtient:

$\boxed{\text{ Le nombre de nouveaux étudiants demandeurs de logements est 1000 en 2015, et 2247 en 2020}}$

2-a) $f$ est une fonction dérivable sur $[0;+\infty[$ comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle, donc pour tout $x\geq 0\text{ :}$

$\begin{matrix} f'(x)&=& \left[\dfrac{1}{2}x +1-\ln\left(\dfrac{1}{2} x +1\right)\right]'&=&\dfrac{1}{2} - \dfrac{\left(\dfrac{1}{2} x +1\right)'}{\dfrac{1}{2} x +1} \\&=& \dfrac{1}{2} -\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}x+1}&=& \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{x+2}\\\\&=& \dfrac{(x+2)-2}{2(x+2)}&=&\boxed{\dfrac{x}{2x+4}}\end{matrix}$

b) Pour tout $x\in[0;+\infty[\text{ : }x\geq 0 \enskip\text{ et }\enskip 2x+4\geq 4>0$

D'où, pour tout $x\in [0;+\infty[\text{ : } \boxed{f'(x)=\dfrac{x}{2x+4}\geq 0 }$

Ce qui veut dire que:

$\boxed{\text{ La fonction }f\text{ est croissante sur l'intervalle }[0;+\infty[}$

3-a) La fonction $f$ étant croissante sur $[0;+\infty[$ , elle l'est aussi sur $[0;10]$

Calculons les images des bornes de cet intervalle:

$f(0)=\dfrac{1}{2}\times 0 +1-\ln\left(\dfrac{1}{2} \times 0 +1\right)=1$

$f(10)=\dfrac{1}{2}\times 10 +1-\ln\left(\dfrac{1}{2} \times 10 +1\right)=5+1-\ln 6=6-\ln 6 \approx 4,2$

Et on dresse le tableau de variations:

$\begin{array}{|c|cccc|} \hline x & 0 & & & 10 \\ \hline f'(x) & & & + & \\ \hline & & & & \approx 4,2 \\ f & & &\nearrow& \\ & 1 & & & \\ \hline \end{array}}$

b) Le graphique:

4) On remarque que pour tout entier naturel $n \in\N\text{ : } u_n=1000\left[\dfrac{1}{2}n +1-\ln\left(\dfrac{1}{2} n +1\right)\right]=1000f(n)$

Donc pour tout $n\text{ de }\N\text{ : }u_{n+1}-u_n=1000f(n+1)-1000f(n)=1000(f(n+1)-f(n))$

De plus, pour tout entier naturel $n\text{ : } n+1>n\geq 0 \text{ , et donc }n \text{ et } n+1 \text{ appartiennent à }[0;+\infty[$

Or, on a vu que la fonction $f$ est croissante sur $[0;+\infty[\text{ , donc: }$

$\begin{matrix}\text{ pour tout }n\text{ de }\N\text{ : }n+1>n&\Longrightarrow& f(n+1)> f(n) \\&\Longrightarrow& f(n+1)-f(n)>0 \\&\Longrightarrow& 1000\left(f(n+1)-f(n)\right)>0\\&\Longrightarrow& u_{n+1}-u_n>0\end{matrix}$

On conclut alors que: $\boxed{\text{La suite }(u_n)_{n\in\N}\text{ est (strictement) croissante }}$

probleme 2

5-a) $40\%$ des garçons sont pour le renforcement du parc automobile, alors $60\%=100\%-40\%$ des garçons sont pour la construction des nouvelles résidences, soit:

$\boxed{\dfrac{60\times 60}{100}=36 \text{ garçons sont pour la construction des nouvelles résidences}}$

b) $60\%$ des filles sont pour la construction des nouvelles résidences, soit $\dfrac{40\times 60}{100}=24 \text{ filles }$

Et d'après 5-a), $36$ garçons sont pour la construction des nouvelles résidences.

On obtient donc:

$\boxed{36+24=60 \text{ étudiants au total sont pour la construction des nouvelles résidences}}$

6) A: ''L'étudiant préfère la construction des nouvelles résidences ''

D'après la question précédente, 60 étudiants sont pour la construction des nouvelles résidences sur un total de 100 étudiants participants à l'enquête, alors:

$P(A)=\dfrac{60}{100}\Longrightarrow \boxed{P(A)=\dfrac{3}{5}=0,6}$

B: ''L'étudiant est une fille qui a opté pour le renforcement du parc automobile ''

Puisque $60\%$ des filles sont pour la construction des nouvelles résidences, alors $60\%=100\%-40\%$ des filles sont pour le renforcement du parc automobile, soit $\dfrac{40\times 40}{100}=16 \text{ filles}}$ sur un total de 100 étudiants participants à l'enquête, alors:

$P(B)=\dfrac{16}{100}\Longrightarrow \boxed{P(B)=\dfrac{4}{25}=0,16}$

Publié par malou/Panter le 15-07-2023

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